Pengaruh Medan Magn et terhadap Struktur Elektronik Elektron

Jurnal Ilmu Pengetahuan dan Teknologi TELAAH
Volume 28, November 2010
Pengaruh Medan Magnet terhadap Struktur Elektronik Elektron
Tunggal Quantum Ring Dua Dimensi
SLAMET PRIYONO
Pusat Penelitian Fisika – LIPI, Komplek PUSPITEK Tangerang, Indonesia
E-MAIL : [email protected]
KAMSUL ABRAHA
Departemen Fisika-FMIPA UGM, Yogyakarta, Indonesia
INTISARI :Telah dilakukan studi teoritis struktur elektronik quantum ring electron tunggal dalam system 2D dalam
pengaruh medan magnet secara analitik. Penentuan struktur elektronik dilakukan dengan menyelesaikan persamaan
Shrodinger kemudian dilakukan pendekatan. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa swanilai elektron tunggal sistem
quantum ring dalam pengaruh medan magnet adalah
E n' 
1
 c n  1 yang
2
berarti bahwa seluruh keadaan
termasuk dalam pita Landau terendah (lowest Landau band).
KATA KUNCI : Kuantum ring, medan magnet, struktur elektron, pita landau
ABSTRACT : Theoretical study on the electronic structures of a single electron quantum ring in two dimension with
external magnetic field was discussed by using analytical method. Electronic structures was determined by solving the
Shrodinger equation throught variable separation. The results of calculations showed that eigen state of a single electron
in quantum ring system with external magnetic field is
E n' 
1
 c n  1 ,
2
it’s means that all energy spectrum
enters lowest Landau band if cylotron frequency is much larger than the frequancy associated with the potential
confinement and for narrow ring.
KEYWORDS : Quantum ring, magnetic field, electronic structures, Landau band
1. PENDAHULUAN
Perkembangan teknologi nano begitu pesat yang salah satu diantaranya dengan ditemukannya suatu
teknik pengungkungan elektron melalui fabrikasi. Teknik pengungkungan elektron terbaru yang berhasil
dikembangkan oleh ilmuwan saat ini adalah pengungkungan sistem quantum ring yang merupakan generasi
dari quantum dot[1]. Pengungkungan elektron merupakan usaha untuk menjebak elektron dalam sumur
quantum dengan suatu potensial tertentu sehingga arah gerak electron terbatas. Pada sistem quantum ring
elektron hanya dapat bergerak melingkar dan kearah radial tetapi tidak dapat bergerak secara vertical.
Elektron yang terkungkung di dalam suatu potensial tertentu akan menyebabkan terjadinya kuantisasi energi
yang memberikan struktur elektronik dan sifat-sifat material.
Tujuan penelitian ini adalah mempelajari pengaruh medan magnet terhadap struktur elektronik
elektron tunggal quantum ring dua dimensi. Dengan mengetahui struktur elektronik dalam medan magnet
akan diketahui perilaku spin, sifat magnetik, dan pecahnya energi dari atom buatan sistem quantum ring.
Dalam medan magnetik, spin dapat menyimpang ke kanan atau kiri tergantung arah dari medan magnet yang
diberikan sehingga spin dapat berupa spin-up atau spin down. Perilaku spin ini yang dipakai dalam
pembuatan memori komputer dan ATM. Dengan mengetahui sifat magnetik suatu atom, maka akan diketahui
atom atau material buatan tersebut akan masuk dalam golongan ferromagnetik, paramagnetik, atau
diamagnetik. Dan dalam medan magnetik struktur elektronik dapat terpecah, hal ini yang disebut dengan efek
Zeeman.
Model potensial ring dapat diperoleh dengan meninjau eksperimen yang dilakukan oleh Lorke et al
(2000), mengenai penumbuhan mandiri quantum ring In x Ga 1- x As yang hanya melibatkan sebuah
elektron2. Bentuk geometri potensial ring yang digunakan Lorke dkk ketika eksperimen dan kemudian
dilakukan analisis matematis dapat dirumuskan oleh Pers (1).
V r  
1
2
me 02 r  r0 
2
(1)
dengan r0 adalah jari-jari ring. Secara dua dimensi potensial ring merupakan potensial sumur ganda (double
well potential), untuk lebih jelasnya lihat Gambar (1). Untuk kasus khusus r0  0 maka potensialnya
35
Jurnal Ilmu Pengetahuan dan Teknologi TELAAH
Volume 28, November 2010
merupakan potensial quantum dot. Perbedaan antara sistem quantum ring dan quantum dot adalah ada
tidaknya potensial penghalang (barrier) di dalam potensial pengungkung
Gambar 1. Potensial ring yang menyerupai potensial sumur ganda
Perhitungan struktur elektronik quantum dots dua dimensi baik tanpa medan magnet maupun dengan
medan magnet telah dilakukan oleh Cahyanto dkk [2] yang salah satunya menggunakan pendekatan analitik
telah berhasil menentukan swanilai dan swafungsinya. Swanilai inilah yang memberikan struktur elektronik


sistem quantum dot dengan elektron tunggal menurut E nm   0 2n  m  1 yang menunjukkan bahwa
struktur kulit atom buatan sistem quantum dot dapat digambarkan dengan set aras energi merosot yang terisi
penuh oleh 2, 6, 12, 18, dan seterusnya yang dikenal sebagai ”bilangan magis” untuk atom buatan sistem
quantum ring. Sedangkan dalam pengaruh medan magnet, seluruh keadaan struktur elektronik
1

'
E nm
  c  n   masuk dalam kawasan Landau[3].
2

Sedangkan perhitungan struktur elektronik quantum ring dua dimensi tanpa adanya medan magnet


telah dilakukan oleh Priyono dkk [4] yang memberikan E nm   0 n  m  1 . Pengisian secara penuh
kulit atom ini membentuk pola N = 2, 8, 18, 32...pola inilah yang disebut ”bilangan magis” untuk atom
buatan sistem quantum ring. Pengungkungan elektron dalam sistem quantum dot dan ring menunjukkan
perilaku seperti atom real. Hasil perhitungan struktur elektronik quantum dot dan ring tanpa medan magnet
memberikan hasil yang tidak terlalu jauh, hanya berbeda pada bilangan kuantum radial1, sehingga hasil
perhitungan struktur elektronik elektron tuggal quantum ring dalam pengaruh medan magnet diprediksikan
tidak akan jauh berbeda dari quantum dot.
2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilaksanakan dengan menggunakan metode analitik dan penyelesaian persamaan
Schrodinger dilakukan dengan menggunakan pemisahan variabel. Langkah-langkah penyelesaian persamaan
Schrodinger adalah dibentuk Hamiltonian (Hˆ ) dari operator energi kinetik dan potensial ring dan
dimasukkan operator potensial vektor ( Â ) sebagai wakil dari medan magnet, kemudian disubtitusikan

ˆ  1 B  r pada Hamiltonian (Hˆ ) selanjutnya dijabarkan. Digunakan tripel
operator potensial vektor A
2
  
  
eB
product A  B  C  A  B  C dan subtitusi  c 
. Dipilih sistem koordinat polar (karena simetris
mc
agar memudahkan perhitungan). Kemudian subtitusi operator momentum dengan p̂  i

 

2 1  1 2
 c2
2
2
dengan  


, subtitusi pula   0 
dan dibentuk persamaan Shrodinger
r 2 r r r 2  2
4
Hˆ   E . Selanjutnya dilakukan pemisahan variabel r dan  dengan subtitusi   'r' 
kedalam persamaan Shrodinger. Persamaan Shrodinger bagian azimut diselesaikan (persamaan yang
36
Jurnal Ilmu Pengetahuan dan Teknologi TELAAH
Volume 28, November 2010
 ). Persamaan Shrodinger bagian radial diselesaikan untuk daerah asimtotik terlebih
dahulu, yaitu daerah r  0 dan r ~ . Kedua hasil penyelesaiaan daerah asimtotik dikombinasikan dan
ditambah tetapan kombinasi Lr  kemudian di subtitusi kembali ke persamaan Shrodinger bagian radial
mengandung variabel
dan subtitusi z   a r maka akan terbentuk fungsi khas tertentu. Kemudian ditarik penyelesaian khusus
fungsi khas tersebut. Seluruh hasil penyelesaian baik di bagian azimut maupun radial dikombinasikan untuk
mendapatkan fungsi gelombang. Digunakan syarat khusus suatu fungsi agar menjadi polinomial untuk
mendapatkan eigen state/energi. Terakhir, dilakukan pendekatan untuk medan magnet yang besar dan jarijari potensial ring yang kecil.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini memberikan analisis pengaruh medan magnet luar yang diberikan tegak lurus pada ring.
Sama seperti pada kasus quantum dot, efek Zeeman dan interaksi spin orbit sebagai akibat adanya medan
magnet luar ini diabaikan karena pengaruhnya cukup kecil dibandingkan dengan efeknya terhadap
pengubahan orbital3. Pada kasus ini Hamiltonian sistem Ĥ ' dalam medan magnetik akan berbentuk
2
1  e ˆ  
1
2
(2)
Hˆ ' 
p  A(r )  me  02 r  r0 

2me 
c
2


 1  
 
dengan B  Bzˆ dan potensial vektor Ar  dipilih bersimetri tera, sehingga dapat diambil A  B  r .
2
Seperti pada kasus quantum ring 1D, Hamiltonian setelah dikenai medan magnet eksternal mengandung suku


potensial vektor A dan bukan medan magnet B . Selanjutnya, Pers (2) di atas dapat diuraikan menjadi
2
1 
e ˆ 
pˆ 2
e
 ˆ
e2 B2 2 1
2
ˆ
ˆ


(3)
p

A
r


p

r

B

rˆ  m 02 r  r0 
2


2me 
c
2me 2me c
8me c
2

     
dengan memanfaatkan aturan perkalian tiga A  B  C  A  B  C dan definisi frekuensi siklotron
 c  e B / me c , Hamiltonian sistem akhirnya menjadi


  2 1 
1  2   c ˆ me c2 2 me 02 2 1
 2 

Hˆ  
 2
Lz 
rˆ 
rˆ  me 02 r02  2rr0
2 
2me  r
r r r   2
8
2
2


2
dengan L̂ z adalah komponen-z operator momentum sudut. Dengan mengambil    0 
(4)
 c2
dan
4
mengingat swanilai Lˆ z   m , maka hamiltonian akan menjadi
  2 1 
1 2
ˆ

H ' 


2 me  r 2 r r r 2  2
 1
1
  me  2 rˆ 2  m e 02 r02  2 rr0
2
 2


(5)
Hamiltonian Pers (5) dimasukkan ke dalam persamaan Schrödinger memberikan
 2 1 
1 2 
1
1
 2 
  me  2 rˆ 2  me 02 r02  2rr0   E '  0
(6)
 2
2 
r r r  
2
2
 r
dengan E ' dan  ' adalah nilai eigen dan fungsi eigen setelah diberi medan magnet eksternal. Selanjutnya


2me


untuk mendapatkan solusi bagi Pers (6) diatas, maka dilakukan pemisahan variabel
 '  ' r  '  
(7)
Subtitusi Pers (7) ke Pers (6) menghasilkan
37
Jurnal Ilmu Pengetahuan dan Teknologi TELAAH
Volume 28, November 2010
r 2 d 2 ' r  r d' r  1 d 2 '  


 a 2 r 4  2 r02  2rr0 r 2  k 2 r 2  0
' dr 2
' dr
 ' d 2


(8)
2me E '
m
m
yang berkaitan dengan nilai eigen ,   e 0 , dan a  e  . Penyelesaian
2



persamaan untuk variable azimuth   adalah
dengan k 
d 2 '  
 m 2 '  0
(9)
d 2
dengan m adalah bilangan kuantum azimuth yang berupa bilangan bulat. Solusi persamaan diatas adalah
 '    Ae im
(10)
dengan A adalah faktor normalisasi.
Persamaan Schrödinger bagian radial adalah
d 2 ' r  1 d' r  m 2

 2 ' r   a 2 r 2 ' r   2 r02  2rr0 ' r   k 2 ' r   0
r dr
dr 2
r


(11)
Dengan cara yang sama seperti pada kasus tanpa medan magnet luar1, syarat fisis yang harus dipenuhi oleh
fungsi gelombang radial ' r  adalah bahwa saat r  0 maka
' r   
(finit), dan saat
r 
maka ' r   0 . Selanjutnya persamaan differensial ini di sekitar r  0 (yang berkaitan dengan antisipasi
titik singular reguler untuk keperluan penyelesaian ekspansi di titik tersebut) dapat dinyatakan sebagai
ungkapan
d 2 ' r  1 d' r  m 2

 2 ' r   0
r dr
dr 2
r
(12)
Penyelesaian persamaan differensial ini dapat dikerjakan dengan metode Frobenius yang menghasilkan solusi
berbentuk ' r   r . Dengan alasan sama untuk asimptot
bagian radial menjadi berbentuk
m
r  ,
maka persamaan Schrödinger
d 2 ' r 
 a 2 r 2  2rr0 2 ' r   0
2
dr


a r
2 2

Solusi Pers (13) adalah ' r   e
bentuk fungsi gelombang bagian radial
a r
2 2
m
' r   r e

 2 2 rr0
2a
 2 2 rr0
2a
(13)

. Selanjutnya, kombinasi dua hasil di atas menghasilkan

Lr 
(14)
Substitusi Pers (14) ke dalam Pers (11) akan menghasilkan
d 2 Lr   2 m  1 2 2

  r0  a 2 r
a
dr 2
 r

2
 dLdrr    2a m  2a  2 arr m   r



4
0
a
2
0
2


 2 r0
 k 2   2 r02  L r   0
ar

(15)
dengan memperkenalkan variabel baru z   a r , Lr  menjadi berbentuk persamaan differensial Heun
Biconfluent (Biconfluent Heun(BCH) differential equation) yang memiliki bentuk umum[4].
38
Jurnal Ilmu Pengetahuan dan Teknologi TELAAH
Volume 28, November 2010


  2 k 2  2 r02 a 2  24 r02 
 22 r 4m2 r
 2
22 r0 
  4m  4 z  3 / 20  3 / 2 0

2 z  1  2m  3 / 2 
3
a
a
a
a  dL z  
d L z  




L z   0
dz 2
z
dz
2z
2
(16)
dan memiliki penyelesaian berupa fungsi HeunB yaitu
L z   HeunB ,  ,  ,  , z 
(17)
3
3
  
  

 ,   k 2  2 r02 
 ,   0 , dan
 4 r02 
  2m ,   2r0 
m

m

m

e
 e 
 e 
me 
z
r . Dengan syarat fungsi HeunB akan menjadi polinomial jika dan hanya jika   2    2n

dengan n  0,1,2,... adalah bilangan kuantum radial4. Setelah kondisi ini terpenuhi, fungsi gelombang baru
dengan
dapat dinormalisasi. Dengan demikian penyelesaian lengkap Pers (6) adalah dengan mengkombinasikan
hasil yang telah diperoleh pada Pers (10), (14), dan (17) yaitu
a r
2 2
 ' nm r ,    C nm r m e

 2 2 rr0
2a

3

  
m 
 ,2n  m  1,0, e r e im
HeunB 2 m ,2r0 

 
 me  


(18)
dan diperoleh swanilai sebuah elektron dalam medan magnet yaitu
E ' nm    o2 

4 2
 c2
n  m  1  2m2e o ro2  1 me o2 ro2  1 m  c
4
4 o   c  2
2
Jika medan magnet B yang diterapkan pada sistem cukup besar maka akan mengakibatkan
sehingga spektrum energi Pers (19) akan menjadi
E ' nm 
1
1
 c n  1  me o2 ro2
2
2
Pada Pers (20) menunjukkan bahwa swanilai mengandung suku potensial penghalang Vbarrier 
(19)
 c   0 ,
(20)
1
me 02 r02 ,
2
hal ini berarti bahwa potensial penghalang ini sangat berperan dalam proses pemecahan energi meskipun
medan magnet sangat besar  c   0 . Sedangkan untuk kasus ring yang kecil (narrow ring) maka suku
kedua Pers (20) dapat diabaikan sehingga, swanilai elektron tunggal dalam medan magnet menjadi
E n' 
1
 c n  1
2
(21)
dalam kasus ini seluruh keadaan termasuk dalam pita Landau terendah (lowest Landau band), aras Landau
merupakan kuantisasi orbil elektron dalam medan magnetik. Dan pada keadaan ini elektron dalam ring
berlaku seperti partikel bebas (tidak dapat dikopling dengan interaksi Coulomb karena kekekalan momentum
sudut) dalam pengaruh medan magnet yang sangat besar.
Ukuran atom buatan quantum ring dapat bervariasi secara kontinu (dengan mengatur tegangan
gerbang), saat ukuran ring diperbesar maka energi Coulomb yang timbul sebagai tolakan antar elektron
menurun karena rerata jarak antar elektron bertambah jika jumlah elektron dibuat tetap. Karena ukuran atom
quantum ring lebih besar dari atom dots maupun atom real, efek medan magnetik juga akan lebih mudah
diamati dengan kuat medan yang jauh lebih kecil. Hal ini dikarenakan atom buatan akan lebih banyak
menampung fluks kuantum magnetik dengan luasan atom yang dimilikinya.
39
Jurnal Ilmu Pengetahuan dan Teknologi TELAAH
Volume 28, November 2010
4. KESIMPULAN
Telah berhasil ditentukan struktur elektronik elektron tunggal sistem quantum ring dua dimensi dalam
pengaruh
medan magnet luar melalui pendekatan analitik. Hasil akhir perhitungan adalah
E n' 
1
 c n  1 , hal ini menunjukkan bahwa pengaruh medan magnet yang besar dan jari-jari ring
2
yang kecil menyebabkan seluruh keadaan/struktur elektroniknya berada dalam pita Landau terendah yang
pada akhirnya akan mempengaruhi sifat-sifat magnetik.
DAFTAR PUSTAKA
[1].
[2].
[3].
[4].
40
Priyono, S., Absor, M.A.U., Umar, M.D., dan Abraha,K., 2009,”Struktur Elektronik Elektron
Tunggal dalam Sistem Quantum Ring”,Prosiding Seminar Nasinal Penelitian, pendidikan, dan
Penerapan MIPA, FMIPA UNY, Yogyakarta
Lorke, J. Luyken, A.O. Govorov, dan J.P. Kotthaus, 2000, “Spectroscopy of Nanoscopic,
Semiconductor Ring”,Physical. Review. Letters. 84, 2223
Cahyanto, W. T., Abraha, K., dan Nurwantoro, P., 2006, “Theoretical exposition of a single
electron quantum dot”, Proceeding of 1st International Conference on Advanced Material and
Practical Nanotechnology, Serpong
Arriola, E.R. Zarzo, A. dan Dehesa, J.S,1991,“Spectral Properties of the Biconfluent Heun
Differential Equation”, Journal. Computation. Applied. Mathematic. 37 161-169