STATISTIKA LINGKUNGAN

TEORI PROBABILITAS
Probabilitas - pendahuluan
 Statistika deskriptif : menggambarkan data
 Statistik inferensi  kesimpulan valid dan perkiraan
akurat ttg populasi dengan mengobservasi sampel
 Teori probabilitas sbg dasar statistika inferens
Kategori Probabilitas
 Probabilitas Apriori: probabilitas yang telah ditentukan
sebelumnya P[A]= n (A)/n(S)
 Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas
berdasarkan fakta setelah kejadian P[A]= f/n ; f=jumlah
kejadian A muncul; n= jumlah sampel /eksperimen
 Probabilitas subyektif: probabilitas berdasarkan
pertimbangan seseorang
Contoh:
1.
Probabilitas bayi cacat yang dilahirkan oleh seorang Ibu
yang menderita campak Jerman saat hamil?
2.
Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan
kidal dan tidak kidal?
3.
Hasil analisa air sungai menunjukkan bahwa dari
pengalaman yang ada , 8 % dari 100 sampel mengandung
kadar fosfat yang tdk terdeteksi jika dianalisa dengan
menggunakan metode rutin.
PERANAN PROBABILITAS
 Pembuatan model, analisis matematis, simulasi
komputer  banyak didasarkan atas asumsi yang dalam
kondisi ideal  model kuantitatif mungkin bisa
mendekati atau jauh dari kondisi sebenarnya.
 Dalam pengembangan desain rekayasa  keputusan
dirumuskan pada ketidakpastian  banyak keputusan
terpaksa harus diambil:
* tanpa memandang kelengkapan informasi
* fenomena alamiah bersifat acak atau tak tentu
PERANAN PROBABILITAS
 Kuantifikasi ketidakpastian dan penilaian
pengaruhnya pada perilaku dan perancangan suatu
sistem  melibatkan konsep atau metode
probabilitas (kemungkinan).
 Variabel acak  variabel yang tidak dapat diramalkan
dengan pasti  nilainya hanya dapat diramalkan
dengan probabilitas.
PERANAN PROBABILITAS
 Ketidakpastian yang lain  pemodelan atau
penaksiran tidak sempurna  nilai rerata tidak akan
bebas dari kesalahan terutama bila datanya terbatas.
 Dalam beberapa hal  taksiran lebih baik 
didasarkan atas pertimbangan seorang ahli
DASAR-DASAR PROBABILITAS
 Probabilitas
mengacu pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif
terhadap peristiwa lain  ada lebih dari satu
kemungkinan  masalah menjadi tidak tertentu (non
deterministik).
sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya
suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa
lain.
 memerlukan identifikasi himpunan semua
kemungkinan, yaitu ruang kemungkinan (possibility
space) dan peristiwa yang ditinjau
DASAR-DASAR PROBABILITAS
 Contoh : aerator  taksiran kemungkinan masa layan selama 6 tahun adalah 50%.
Digunakan 3 aerator  pertanyaan: berapa probabilitas 1 aerator masih baik setelah 6
tahun?
Aerator 1 B
B
B
R
R
R
B
R
Aerator 2 B
B
R
R
B
R
R
B
Aerator 3 B
R
R
R
B
B
B
R
 Satu aerator yang baik  3 kombinasi : B-R-R, R-R-B dan R-B-R  probabilitas adalah
3/8 atau 37,5%
Konsep Probabilitas
 Ruang sampel: gabungan semua kemungkinan dalam
suatu masalah probabilitas
 Titik Sampel: setiap kemungkinan secara individual
 Sifat ruang sampel: Diskrit – kontinu, berhingg atau
tidak berhingga.
 Suatu peristiwa  sub himpunan dari ruang sampel.
S
S
A
Variabel Diskrit
Distribusi probabilitas variabel acak diskrit:
gabungan seluruh kemungkinan yang terjadi serta
probabilitas untuk terjadi.
Expected value: merupakan nilai rata-rata (µx) semua
kemungkinan peristiwa, dengan nilai setiap
kemungkinan merupakan frekuensi relatif atau
probabilitas
11
7/22/2017
Dwina Roosmini
ELEMEN TEORI HIMPUNAN
 Peristiwa mustahil (impossible event)   
peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel 
himpunan kosong.
 Peristiwa tertentu (certain event)  S  peristiwa
yang mengandung semua titik sampel dalam ruang
sampel.
 Peristiwa komplementer (complementary event)  E
semua titik sampel dalam S yang tidak terkandung
dalam E
ELEMEN TEORI HIMPUNAN
Pasien hipertensi
Pasien kelebihan
berat badan
Not mutually exclusive
Pasien perokok
Binatang
Mamalia
Mutually exclusive
Unggas
Independen
Peristiwa terjadi dengan bebas
Kelinci yang diinokulasi virus polio
Darah kelinci mengandung antibodi cacar
Kelinci yang diinokulasi virus polio
Darah kelinci mengandung antibodi polio
Aturan Probabilitas
1.
Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang
merupakan hasil suatu proses atau
eksperimen/pengamatan
2.
Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut
komplemen A dengan lambang A’. Jika P(A)
merupakan probabilitas kejadian A maka
P(A’)= 1- P(A)
3.
17
Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A
dan B terjadi bersama adalah 0
7/22/2017
Dwina Roosmini
Aturan probabilitas (lanj.)
4.
Jika persitiwa A dan B ME, maka probabilitas baik
A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masingmasing  P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P (B)
5.
Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas
baik A atau B terjadi adalah P(A atau B)= P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A dan B)
6.
Jika dua peristiwa saling dependen, maka
probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi
adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A)
18
7/22/2017
Dwina Roosmini
Aturan probabilitas (lanj.)
7.
Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas bahwa
baik peristiwa A dan B akan terjadi adalah:
P(A dan B) = P(AB) = P(A) x P(B)
8.
Jika peristiwa A dan B not independen, probabilitas
bahwa A dan B akan terjadi adalah:
P(A dan B)= P(AB) = P (A) x P(B/A)
7/22/2017
19
Dwina Roosmini
Contoh:
 Analisa kimia air laut menunjukkan kandungan Pb
dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada
sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel
mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel
mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg.
Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan
mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung
Pb?
 Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai
genap?
Lokasi
produksi mobil
Perlu perbaikan dalam 90 hari
pertama pemakaian
Jumlah
Ya
Tidak
US
7
293
300
Non US
13
187
200
20
480
500
a. Pembelian 1 bh mobil Probabilitas mobil perlu perbaikan ?
b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US?
c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan
perbaikan?
d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di
US?
e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan ?
a. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa
probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama
pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan/jumlah
total mobil baru
= 20/500 = 0,04 = 4%
b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa
probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan
pada 90 hari pertama pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan
diproduksi di USA/jumlah
total mobil baru
= 7/500 = 0,014 = 0,14%
Mutually Exclusive
c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang
tidak memerlukan perbaikan?
P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak
memerlukan perbaikan) = (20/500) + (480/500) = 1
Not Mutually Exclusive
d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil
yang diproduksi di USA
P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) =
P(memerlukan perbaikan)+ P(diproduksi di USA) P(memerlukan perbaikan dan diproduksi di USA)=
(20/500) + (300/500) – (7/500) = 0,626 = 62,6 %
Independen
 Probabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2 kali
pelemparan dadu?
P(A dan B) = P(A) x P(B)
Distribusi Probabilitas
Terdapat 2 kelompok:
Distribusi probabilitas diskrit
Distribusi probabilitas kontinu
27
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Probabilitas
Diskrit
Distribusi Probabilitas
Kontinu
 Binomial
 Normal
 Hypergeometrik
 Binomial
 Poisson
 Uniform
 Geometrik
 Log Normal
 Multinomial
 Gamma
28
7/22/2017
Dwina Roosmini
Expected Value
µx=E(x)=∑ Xi P(Xi)
X= Variabel acak distkrit
Xi= Hasil X pada perlakuan I
P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X
i = 1,2,3,….,n
Varians = σx2=∑(Xi-µx)2 P(Xi)
Standard Deviasi = σx
29
7/22/2017
Dwina Roosmini
Contoh: Data kecelakaan lalu lintas
X
Frek.
P(X)
Relatif
Nilai rata-rata/Expected
value?
0
1
2
3
4
5
6
12
27
9
3
3
Varians dan standard
deviasi?
7/22/2017
0,10
0,20
0,45
0,15
0,05
0,05
Dwina Roosmini
30
Expected value=µx= Ex= ∑ Xi P(Xi)=
(0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,05)+(5)
*(0,05)= 2
Varians=
(0-2)2*(0,10)+(1-2)2*(0,2)+(2-2)2*(0,45)+ (3-2)2*(0,15)+
(4-2)2*(0,05)+(5-2)2*(0,05)= 1,4
Standard Deviasi= √1,4=1,18
31
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Binomial
Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan
asumsi:
1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak
2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya
3. Hanya ada dua kemungkinan hasil
4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan
sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya
32
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Binomial
Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p
Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p
Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali
dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b
7/22/2017
Dwina Roosmini
33
Distribusi Binomial
x
 n x
n
!
p
b( x; n, p)    p (1  p) n x 
(1  p) n x
x!(n  x)!
 x
Dimana x= 0,1,2,3,…n
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……..
0!=1
Rerata= =n*p
Simpangan baku=   np(1  p)
7/22/2017
Dwina Roosmini
34
Distribusi Binomial
Tentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat
dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas
keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3.
 4 2
b(2;4,0,3)   0,3 (1  0,3) 42  0,2646
 2
35
7/22/2017
Dwina Roosmini
Tabel Distribusi Binomial
n
x
p
0,05
16
0
……
1
0,8108
2
0,9571
3
0,9930
0,1
0,5
b( x; n, p)  B( x; n, p)  B( x  1; n, p)
36
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Hipergeometris
 Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa
pengembalian kembali
 Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak
 Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/N
 Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak:
1.
2.
a/(N-1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan
(a-1)/(N-1) jika sampel 1 terambil yang rusak
 Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h
37
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi hipergeometrik






a  N  a 
h( x;n, a, N )  P( x)  x










n x
N 
n







dimana:
x  a dan (n  x)  ( N  a)
x  0,1,2,...n
Rata  rata    n(a / N )
 2  n.a( N  a)(N  n)
N 2( N 1)
38
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Hipergeometrik
Suatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan memenuhi
persyaratan penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3
suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel suku cadang
secara acak, berapa kemungkinan mendapat tepat satu
yang cacat dalam 5 sampel diatas bila dalam kotak
tersebut berisi 3 yang cacat
39
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Poisson

Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian diskret
dalam suatu area kesempatan, contoh: jumlah telepon
panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan
kopor perhari pada suatu airport, dll

Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika
n>> dan p<<  n.p ≤10

Batasan:
 konstant untuk setiap unit waktu dan ruang
2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik waktu
atau ruang adalah 0
3. peristiwa satu dengan lainnya independen
1.
40
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Poisson
 x

P( x;  ) 
x!
e
untuk x  0,1,2,3,...
  rata - rata peristiwa  s
Hasil pengukuran kualitas udara selama 9 perioda menunjukkan
hasil sebagai berikut:
3, 1, 10, 2, 4, 6, 8, 2 ppb
Pada konsentrasi rendah hanya akan dilaporkan sampai dengan
besaran tertentu. Berapakah probabilitas bahwa pada perioda
monitoring berikutnya hanya ada satu atau kurang dari satu ppb?
41
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Geometris
 Bila peristiwa berhasil pertama akan dicapai setelah x
percobaan, gagal= x-1.
 Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x-1) pada
percobaan (x-1) adalah g
g ( x; p)  P( x)  p(1 p) x 1
dengan
  1/ p
42
7/22/2017
Dwina Roosmini
Distribusi Multinomial
 Sampel n bersifat bebas
 Semua hasil merupakan mutually exclusive
 Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari 2,
mis: nilai A, B, C, D
m(x1, x2, x3,...,xk) 
43
n!
 p1x1 p2x2...pk xk
x1!x2!x3!...xk!
7/22/2017
Dwina Roosmini