NAMA KELOMPOK ARIQAH TSABITAH AZZAHRA (A1C020046) MEY SINTA (A1C020032) MIFTAHUL IZZATI (A1C020044) NADILA TRIANA LISA (A1C020054) BASIS DAN DIMENSI BASIS DAN DIMENSI Sistem koordinat bukan siku-siku Pada geometri analitik bidang kita telah belajar untuk mengaitkan suatu titik p pada suatu bidang dengan sepasang koordinat (a,b) dengan memproyeksi p pada sepasang koordinat yang saling tegak lurus. (Gambar 5.4.1 a) Dengan cara ini,setiap titik pada bidang tersebut ditentukan oleh suatu himpunan koordinat yang unik dan sebaliknya, setiap pasang koordinat dikaitkan dengan suatu titik unik pada bidang tersebut. Kita menggambarkan hal ini dengan menyatakan bahwa sistem koordinat menyusun suatu korespondensi satu ke satu antara titik-titik pada bidang tersebut dan pasangan-pasangan bilangan real yan berurutan. BASIS DAN DIMENSI Meskipun sumbu-sumbu koordinat yang saling tegak lurus adalah yang paling umum digunakan, tetapi dua garis sejajar sembarang dapat digunakan untuk menentukan suatu sistem koordinat pada bidang . Sebagai contoh, pada gambar 5.4.1b Kita melampirkan sepasang koordinat (a,b) ke titik p dengan memproyeksi p sejajar terhadap sumbu-sumbu koordinat yang tidak saling tegak lurus. Demikian juga, tiga sumbu koordinat sembarang yang nonkoplanar pada ruang dimensi 3 dapat digunakan untuk mendifinisakan suatu sistem koordinat (Gambar 5.4.1 c) BASIS DAN DIMENSI Sistem koordinat pada ruang berdimensi 2 atau 3 dengan mengunakan vektor-vektor dan bukan dengan sumbu-sumbu koordinat untuk menentukan sistem koordinat. Ini dapat dilakukan dengan mengganti setiap sumbu koordinat. Sebagai contoh (Gambar 5.4.2 n a),vektor-vektor 𝑣1 dan 𝑣2 adalah vektor-vektor semacam itu. Sebagaimana diilustrasikan pada gambar tersebut jika p adalah suatu kombinasi linear dari 𝑣1 dan 𝑣2 dengan memproyeksi p sejajar terhadap 𝑣1 dan 𝑣2 dengan memproyeksi p sejajar terhadap 𝑣1 dan 𝑣2 untuk membuat 𝑂𝑃 menjadi diagonal dari paralelogram yang dibatasi oleh vektor-vektor 𝑎𝑣1 dan 𝑏𝑣2 : 𝑂𝑃 = 𝑎𝑣1 +𝑏𝑣2 Di sini tampak bahwa bilangan a dan b pada rumus vektor ini adalah koordinat-koordinat p pada sistem koordinat (Gambar 5.4.1b) Dengan cara yang serupa, koordinat-koordinat (a,b,c) dari titik p pada gmabr 5.4.1cndapat diperoleh dengan menyatakan 𝑂𝑃 sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor yang ditunjukan pada Gambar 5.4.2b DEFINISI DAN TEOREMA 5.4.1 BASIS Jika V adalah suatu ruang vektor sembarang dan S = 𝑣1 , 𝑣2 , . . . ., 𝑣𝑛 } adalah suatu himpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika dua syarat Berikut berlaku: a) S bebas Linear b) S merentang V Suatu basis adalah generalisasi ruang vektor dari suatu sistem koordinat pada ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. teorema berikut akan membantu untuk memahami hal tersebut. Teorema 5.4.1 Keunikan Representasi Basis Jika S = 𝑣1 , 𝑣2 , . . . ., 𝑣𝑛 } adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka setiap vektor v pada V dapat Dinyatakan dalam bentuk v = 𝑐1 𝑣1 +𝑐2 𝑣2 + . . . + 𝑐𝑛 𝑣𝑛 dengan tepat satu cara PEMBUKTIAN TEOREMA 5.4.1 Pembuktian v = 𝑐1 𝑣1 +𝑐2 𝑣2 + . . . + 𝑐𝑛 𝑣𝑛 v = 𝑘1 𝑣1 +𝑘2 𝑣2 + . . . + 𝑘𝑛 𝑣𝑛 Dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama menghasilkan 0 = (𝑐1 −𝑘1 ) 𝑣1 +(𝑐2 −𝑘2 ) 𝑣2 +. . . +(𝑐𝑛 −𝑘𝑛 ) 𝑣𝑛 Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada S, kebebasan Linear dari S mwngimplikasikan bahwa • 𝑐1 − 𝑘1 =0 • 𝑐𝑛 − 𝑘𝑛 =0 𝑐1 = 𝑘1 𝑐𝑛 = 𝑘𝑛 • 𝑐2 − 𝑘2 =0 𝑐2 = 𝑘2 Jadi, kedua pernyataan untuk v adalah sama TEOREMA 5.4.1 Koordinat-koordinat Relatif terhadap suatu Basis Jika S= 𝑣1 , 𝑣2 , . . . ., 𝑣𝑛 } adalah basis untuk ruang vektor V dan v = 𝑐1 𝑣1 +𝑐2 𝑣2 + . . . + 𝑐𝑛 𝑣𝑛 Adalah pernyataan untuk suatu vektor v dalam bentuk basis S. maka skalar 𝑐1 , 𝑐2 , . . . ., 𝑐𝑛 Disebut sebagai koordinat v relatif terhadap basis S. vektor(𝑐1 , 𝑐2 , . . . ., 𝑐𝑛 ) pada 𝑅𝑛 yang disusun dari koordinat-koordinat ini disebut vektor koordinat v relatif terhadap S. ini dinotasikan sebagai (𝑣)𝑠 = 𝑐1 , 𝑐2 , . . . ., 𝑐𝑛 Note : Harus dicatat bahwa vektor koordinat tidak hanya tergantung pada basis S tetapi juga pada urutan penulisan vektor basis. Perubahan urutan vektor basis akan berakibat pada perubahan yang berkaitan dengan urutan entri-entri pada vektor koordinat TERIMA KASIH