MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS Ibnu Muttaqin, S.E., M.E. FEBI IAIN KUDUS an 2 SISTEM BILANGAN 01 1. Hubungan Perbandingan Antarbilangan 2. Operasi Bilangan 3. Operasi Tanda 4. Operasi Bilangan Pecahan 5. Latihan Soal Sistem Bilangan SISTEM BILANGAN A. SISTEM BILANGAN DESIMAL Di dalam kehidupan sehari-hari sistem bilangan yang biasanya dipakai adalah sistem bilangan dengan basis 10 dan dikenal dengan nama bilangan desimal. Angka yang digunakan ada sepuluh yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Bilangan ditulis dengan menggunakan harga tempat. Tempat, dicacah dari letak tanda koma ke kiri. Tempat pertama mempunyai harga satuan 100 = 1, tempat kedua 101 = 10, tempat ketiga 102 = 100 dan tempat ke n harga satuannya 10n-1 dan seterusnya. Contoh: a) 45 artinya 4 × 101 + 5 × 100 = 40 + 5 b) 1990 artinya = 1 × 103 + 9 × 102 + 9 × 101 + 0 × 100 = 1000 + 900 + 90 + 0. c) 67,85 = 6 × 101 + 7 × 100 + 8 × 10-1 + 5 × 10-2 = 60 + 7 +810+5100 SISTEM BILANGAN B. SISTEM BILANGAN BINAR Sistem bilangan dengan basis 2 digunakan pada kebanyakan alat komputer. Angka yang digunakan adalah 0 dan 1. Pada penulisan bilangan, berlaku juga harga tempat sehingga untuk tempat pertama mempunyai harga 20, tempat kedua yang berada di sebelah kiri tempat pertama mempunyai harga 21, tempat ketiga mempunyai harga 22 dan seterusnya. Contoh: Bilangan 101010 mempunyai harga = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42 SISTEM BILANGAN C. BILANGAN KOMPLEKS Dalam mencacah atau menghitung, mula-mula manusia menggunakan bilangan alam atau bilangan bulat positif yaitu 1,2,3,4,... Bilangan-bilangan ini digunakan untuk menambah, mengurang, mengali serta membagi. Bilangan nol dan bilangan negatif kemudian diciptakan agar dapat menghitung x dari persamaan a + x = b. Nilai a dan b merupakan bilangan alam sembarang. Bilangan bulat positif maupun negatif dan bilangan nol, merupakan himpunan bilangan bulat. Kemudian, bilangan pecahandiciptakan agar dapat menghitung nilai x dari persamaan ax - b = 0 Pada persamaan tersebut di atas, nilai a dan b adalah sembarang bilangan bulat dengan nilai b ≠ 0. Dengan demikian, dari setiap nilai yang diberikan kepada a dan b akan diperoleh suatu jawaban untuk x. Bila tidak ada bilangan pecah, maka harga untuk x tidak bisa dijawab. SISTEM BILANGAN C. BILANGAN KOMPLEKS (Lanjutan) Contoh: a. 3x - 2 = 0. x =23 Bilangan yang ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat disebut bilangan rasional. Bilangan rasional juga dapat ditulis sebagai bilangan desimal berulang. b.23= 0,6666... (Satu angka berulang) Selain bilangan rasional, juga dikenal adanya bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Karena tidak dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, maka dengan sendirinya kita tidak pernah akan menjumpai bilangan desimal berulang. Bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bilangan riil / nyata. SISTEM BILANGAN C. BILANGAN KOMPLEKS (Lanjutan) Contoh: Keliling suatu lingkaran dengan diameter satu adalah π yaitu suatu simbol untuk angka yang nilainya 3,141592. Angka ini merupakan bilangan irasional karena tidak dapat ditunjukkan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Bilangan irasional diciptakan, agar Anda dapat menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yang bentuk umumnya: ax2 + bx + c = 0 Pada persamaan di atas nilai a ≠ 0 dan akar persamaan dapat diperoleh dengan menggunakan kaidah: 2 −�� ± �� − 4���� ��1,2 = 2�� Bila diskriminan b2- 4 ac > 0, maka akar-akar persamaan dapat dicari karena adanya bilangan irasional. Akan tetapi bila diskriminan b2- 4 ac < 0, maka supaya persamaan dapat diselesaikan kemudian diciptakan bilangan khayal / imajiner. SISTEM BILANGAN C. BILANGAN KOMPLEKS (Lanjutan) Irrasional Bulat Nyata Pecahan Khayal Bilangan Rasional KAIDAH OPERASI BILANGAN OPERASI TANDA (+) A. Operasi Penjumlahan 1) Jumlah dari dua bilangan positif (+ a) dan (+ b) adalah sebuah bilangan positif baru (+ c) yang nilainya lebih besar 2) Jumlah dari dua bilangan negatif (- a) dan (- b) adalah sebuah bilangan positif baru (- c) yang nilainya lebih kecil 3) Jumlah dari bilangan positif (+ a) dan negatif (- b) adalah sebuah bilangan positif (+ c) jika harga mutlak a lebih besar dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (- d) jika harga mutlak a lebih kecil dari harga mutlak b. 4) Jumlah dari bilangan negatif (- a) dan positif (+ b) adalah sebuah bilangan positif (+ c) jika harga mutlak a lebih kecil dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (- d) jika harga mutlak a lebih besar dari harga mutlak b. OPERASI TANDA (-) B. Operasi Pengurangan 1) Selisih antara dua bilangan positif (+ a) dan (+ b) adalah bilangan positif (+ c) jika harga mutlak a lebih besar dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (- d) jika harga mutlak a lebih kecil dari harga mutlak b. 2) Selisih antara dua bilangan negatif (- a) dan (- b) adalah bilangan positif (+ c) jika harga mutlak a lebih kecil dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (- d) jika harga mutlak a lebih besar dari harga mutlak b. 3) Selisih antara bilangan positif (+ a) dan bilangan negatif (- b) adalah bilangan positif (+ c) hal ini identik dengan penjumlahan dua bilangan positif. 4) Selisih antara bilangan negatif (- a) dan bilangan positif (+ b) adalah bilangan negatif (- c) hal ini identik dengan penjumlahan dua bilangan negatif. OPERASI TANDA (x) C. Operasi Perkalian 1) Hasilkali antara dua bilangan positif (+a) dan (+b), serta antara dua bilangan negatif (-a) dan (-b), adalah sebuah bilangan positif baru (+c). Contoh: (-2) x (-2) = 4 2) Hasilkali antara dua bilangan yang berlainan tanda (dan +), adalah sebuah bilangan negatif baru (-c). Contoh: (-2) x (+2) = -4 OPERASI TANDA (:) D. Operasi Pembagian 1) Hasilbagi antara dua bilangan positif (+a) dan (+b), serta antara dua bilangan negatif (-a) dan (-b), adalah sebuah bilangan positif baru (+c). Contoh: (-4) x (-2) = 2 2) Hasilbagi antara dua bilangan yang berlainan tanda (dan +), adalah sebuah bilangan negatif baru (-c). Contoh: (-4) x (+2) = -2 OPERASI BILANGAN PECAHAN Bilangan Pecahan ialah bilangan rasional yang tidak bulat atau tidak utuh. pecahan desimal. Pecahan biasa 1 2 Pecahan desimal 0,5 berdasarkan penulisannya, bilangan pecahan bisa dibedakan atas pecahan biasa dan OPERASI PECAHAN A. Operasi Pemadanan Suku-suku dalam sebuah pecahan dapat diperbesar atau diperkecil tanpa mengubah nilai pecahannya, sepanjang keduanya (suku terbagi dan suku pembagi) dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, �� ��×�� = �� 2×5 3= Contoh: 2 ��×�� ��= �� ��∶ �� ��∶ �� 10 10 10∶5 2 = 3 3×5= 15 15= 15∶5 OPERASI PECAHAN B. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Dua buah pecahan atau lebih hanya dapat ditambahkan dan dikurangkan apabila mereka memiliki suku-suku pembagi yang sama atau sejenis. Contoh: a)58+28=78b) 6 8+24=34+24=54 Note: Angka 4 pada contoh b) adalah spbt (suku pembagi bersama terkecil). Jika tidak memiilik spbt, maka dikalikan c) 5 8+23=15 16 + 24 31 24= 7 = 1 24 24 OPERASI PECAHAN C. Operasi Perkalian Perkalian antarpecahan dilakukan dengan cara mengalikan suku-suku sejenis, suku terbagi dikalikan suku terbagi dan suku pembagi dikalikan suku pembagi. �� ab x× y= xy a Contoh: 5 15 5 4× 6= 24= 8 3 OPERASI PECAHAN D. Operasi Pembagian Ada 3 cara, cara pertama yang paling populer; 1) Kalikan pecahan terbagi dengan kebalikan dari pecahan pembagi Contoh:58:34=58×43=20 5 = 6 24 2) Ubah terlebih dahulu pecahan terbagi dan pecahan pembagi, sehingga keduanya mempunyai spbt, batalkan spbt tersebut dan kemudian bagilah suku-suku terbagi tersisa. Contoh:58:34=58:68= 5: 6 =56 3) Kalikan terlebih dahulu kedua pecahan dengan spbt-nya, selesaikan atau sederhanakan masing-masing pecahan dan kemudian baru dibagi. Contoh:58:34=58× 8 :34× 8 = 5: 6 =56 LATIHAN SOAL EXERCISE TIME ! 1. Benarkah bahwa jika a < x < b, maka selalu x.a < x.b ? 2. Mana yang salah di antara pernyataan-pernyataan berikut? a) Bilangan positif berpangkat genap menghasilkan bilangan positif. b) Bilangan negatif berpangkat genap menghasilkan bilangan positif. c) Bilangan negatif berpangkat ganjil menghasilkan bilangan negatif. d) Bilangan positif berpangkat ganjil menghasilkan bilangan negatif. 3. Ubahlah pecahan-pecahan biasa di bawah ini menjadi pecahan desimal, sampai dengan tiga angka di belakang koma: a)38c) 3 20e) 11 4 b)712d) −5 8f ) 15 −9 EXERCISE TIME ! 4. Tentukan spbt dari pasangan-pasangan pecahan berikut: a)38dan 4 5 5 3 7 5 b) dan c ) dan d) 6dan 6 6 12 7 3 413 5. Hitunglah jumlah dari masing-masing pasangan pecahan dalam soal no. 4 di atas. 6. Hitunglah selisih dari masing-masing pasangan pecahan dalam soal no. 4 di atas dan sajikan secara desimal. 7. Hitunglah hasilkali dari masing-masing pasangan pecahan dalam soal no. 4 di atas. 8. Dalam soal no. 4, hitunglah hasilbagi masing-masing pasangan dan nyatakan dalam bentuk desimal. EXERCISE TIME ! 9. Selesaikan: a)34+27+16c) 3 4×27×16 b) 3 4−27−16d) 3 4:27:16 10.Selesaikan: a) 0,32 + 0,09 + 0,13 b) 0,32 × 0 ,09 × 0,13 b) 0,32 − 0,09 − 0,13 d) 0,32 : 0,09 : 0,13 THANK YOU Sampai Ketemu di Pertemuan Selanjutnya.
