kal 2 MODUL 10

3. Persamaan Diferensial Linier orde satu
Bentuk Umum :
.
dy
 P( x) y  Q( x)
dx
Penyelesaian umum diberikan rumus langsung yaitu :

y

e
Contoh-contoh:
 P ( x ) dx
{ Q( x).e
P ( x ) dx
dx  C}
1.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 xy  3 x
dx
Jawab : P(x)= x dan Q(x) = 3x
penyelesaian umum.
.
ye 
 xdx
 3x.e

x ) dx
ye 
 P ( x ) dx
P ( x ) dx

{ Q( x).e
dx  C}
ye
dx  C
Catatan Misal U = 1/2 x2
dU

dx

dU = x dx
x
1
 x2
2
{ 3x.e
1 2
x
2
dx  C}
.
x
 xe dx 
2
U
 x.e
  eU dU
ye

dU
x
1 U 1 z2
e  e
2
2
3 1/ 2 x 2
( e
 C)
2
1
 x2
2
1
 x2
3
y   Ce 2  sebagai penyelesaian pesamaan diferensial
2
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut : dy  2 y  3 x
dx x
Jawab :
 P ( x ) dx
P ( x ) dx

penyelesaian umum. y  e 
{ Q( x).e
dx  C}

 2 / xdx
2 / xdx
ye 
{ 3x.e
dx  C}
y  e 2 ln x { 3x.e 2lx2 dx  C}
.
y  x 2  3x( x 2 )dx  C )
y  x2 (
3 4
3 2
x  C)  y 
x  Cx  2
4
4
4. Persamaan Diferensial Bernoulli
Bentuk Umum : dy
 P( x) y  Q( x) y ^ n
dx
Cara Menyelesaikan :
Dibagi yn :
1 dy
1 n

P
(
x
)
y
 Q( x)
y n dx
Dimisalkan u = y1-n  du = (1-n) y-n dy
1 du 1 dy
 n
1  n dx y dx
Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
 P( x).u  Q( x)
1  n dx
.
du
 (1  n) P( x).u  (1  n)Q( x
) PD linier orde satu dalam u.
dx
-Penyelesaian umum :
ue 
 p ( x ) dx
p ( x ) dx

{ q( x).e
dx  C}
Dimana p(x) = (1-n) P(x)
.q(x) = (1-n) Q(x)
Contoh-contoh:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 y  (2  3x) y 4
dx
Jawab :
Dibagi y4 : diperoleh
1 dy
3

y
 (2  3x)
y 4 dx
Dimisalkan u = y-3  du = (-3) y-4 dy
1 du
1 dy
 4
 3 dx
y dx
Persamaan diferensial akan menjadi: 1 du
 3 dx
 u  (2  3x)
du
 3.u  3(2  3 x)  PD linier orde satu dalam u.
dx
- Penyelesaian umum : P(x)=-3 dan Q(x)= -6 +9x
.
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e
dx  C}
 3dx
3dx
u  e  { (6  9 x).e dx  C}
u  e3 x { (6  9 x).e 3 x dx  C}
u  e3 x {
 (9 x  6)  3 x
e  e  3 x  C}
3
1
3x

(
2

3
x
)

1

Ce
y3
y
1
3
1  3x  Ce3 x
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
Jawab :
1 dy 2  2
 y  3x
Dibagi y3 : 3
y dx
dy 2
 y  3 xy3
dx x
x
Dimisalkan u = y-2  du = (-2) y-3 dy
1 du
1 dy
 3
 2 dx
y dx
Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du 2
 u  3x
 2 dx x
du
4
 .u  6 x
 PD linier orde satu dalam u. P(x)= -4/x dan Q(x)= - 6x
dx
x
- Penyelesaian umum :
4
4
   dx
 dx

x
x
  p ( x ) dx
p ( x ) dx
u

e
{
(

6
x
).
e
dx  C}


ue
{ q( x).e
dx  C}
ue
4 ln x
{ (6 x).e
4 ln x
dx  C}
1
 x 4 ( 62 x  2  C )
2
y
u  x 4 { (6 x).x 4 dx  C}
1
2
4

3
x

Cx
y2
y
1
3 x  Cx
2
4
///
5. Persamaan Diferensial Eksak
Bentuk umum :
.m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
m n
Disebut Persamaan Diferensial Eksak bila dipenuhi syarat


y
x
Cara menyelesaikan :
Dicari fungsi F(x,y) = C yang memenuhi persamaan diferensial tersebut, maka
.
F
F
dx 
dy  0
y
x
Maka
F
F
 m( x, y )dan.
 n ( x, y )
x
y
F ( x, y )   m( x, y ).dx  Q( y )
Turunkan terhadap y dan disamakan dengan n(x,y) diperoleh Q(y).
Sehingga diperoleh penyelesaian umum PD EKSAK :F(x,y) = C.
Contoh-contoh:
1..Selesaikan persamaan diferensial berikut : (2xy-sin x) dx + x2 dy = 0
Jawab :
m= 2 xy – sin x  m  2 x
y
n = x2  n  2 xJadi merupakan PD Eksak.
x
Penyelesaian :
.
F ( x, y )  (2 xy  sin x)dx  Q( y )
F(x,y) = x2 y+ cos x + Q(y)
F
.
 n ( x, y )
y
 x2 + 0 + Q’(y) = x2  Q’(y) = 0  Q(y) = C
Jadi penyelesaian umum : F(x,y) = x2 y + cos x = C ///
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut :(3+ y exy ) dx – ( 3y – x exy) dy = 0
Jawab : m= .(3+ y exy ) 
.n = – ( 3y – x exy)  m  e xy  xyexy Jadi merupakan PD Eksak.
y
Penyelesaian :
n
 e xy  xyexy
x
F ( x, y )   {3  ye xy ) }dx  Q( y )  F(x,y) = 3x + exy + Q(y)
F
. .  n ( x, y ) 
y
0+ x exy + Q’(y) = – ( 3y – x exy)
Q’(y) = - 3y  Q(y) = - 3/2 y2 + C
Jadi F(x,y) = 3x + exy – 3/2 y2 = C ///
TUGAS:
dy 2
1Selesaikan persamaan diferensial berikut : dx  x y  2 cos 3 x
2Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 y  (cos x  sin x) y 3
dx
3Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 2 y  (9 x  6 x 3 ) y 4
dx
xy
dy
6

3
ye
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :

dx
6 y  3xexy
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
(x y2 – x ) dx + ( y + x2y ) dy = 0