b0abf4f26bd1137b0a159e006d8c24cf

1
DIKTAT KULIAH
FISIKA ZAT PADAT I
Oleh
Nyoman Wendri, S.Si., M. Si.
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS UDAYANA
2016
(i)
2
3
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan yang Maha Esa, karena berkat
rahmat-Nya sehingga Diktat Fisika Zat Padat I ini dapat terselesaikan tepat pada
waktunya. Terwujudnya Diktat Fisika Zat Padat ini tidak terlepas dari bantuan berbagai
pihak, sehingga pada kesempatan yang baik ini menghaturkanbanyak terima kasih kepada
yang terhormat:
1. Bapak Drs. Ida Bagus Made Suaskara, M.Si, selaku Dekan FMIPA
Universitas Udayana
2. Bapak Ir. S. Poniman, M.Si selaku ketua Jurusan Fisika FMIPA Universitas
Udayana
3. Bapak Drs. Made Sumadiyasa, M.Si, atas bantuan yang telah memberikan
masukan dan koreksi sehingga diktat ini bisa terselesaikan.
4. Bapak serta Ibu dosen jurusan fisika dilinkungan Fakultas Matematika dan
Ilmu pengetahuan Alam Universitas Udayana yang telah memberikan
dukungan sehingga Diktat Fisika Zat Padat I ini dapat diselesaikan tepat pada
waktunya.
Pada kesempatan ini penulis senantiasamengharapkan kritik dan saran yang bersifat
membangun
Bukit Jimbaran,
Penulis
(iii)
Juni 2016
4
DAFTAR ISI
Halaman
JUDUL
HALAMAN JUDUL ................................................................................................... i
LEMBAR PENGESAHAN........................................................................................ ii
KATA PENGANTAR .............................................................................................. iii
DAFTAR ISI ............................................................................................................. iv
BAB I. STRUKTUR KRISTAL......................................................................................1
1.1 Kisi Kristal : Basis dan Kisi ; Sistem Kristal...................................................1
1.2 Sistem Indeks Bidang Kristal
1.3 Struktur Kristal Sederhana
1.4 Ikatan Kristal ; Kristal dari Gas Inert
BAB II . DIFRAKSI KRISTAL
2.1 Hukum Bragg
2.2 Kisi Balik /Resiprok (Reciprocacal lattice)
2.3 Vektor Kisi Balik
2.4 Difraksi dan Hukum Bragg
BAB III. DINAMIKA KISI (Fonon)
3.1 Gelombang Elastis
3.2 Vibrasi Pada Kisi Monoatomik
3.3 Kecepatan Fase dan Kecepatan Group
3.4 Kisi Linier Diatomik
BAB IV. SIFAT-SIFAT TERMAL
4.1. Energi Model Klasik
4.2. Energi Model Einstein
4.3. Energi Model Debeye
4.5. Ekspansi Termal
BAB V. ELEKTRON BEBAS GAS FERMI
5.1. Pengaruh Suhu Terhadap Distribusi Fermi-Dirac
5.2. Gas Elektron Bebas Dalam Tiga Dimensi
5.3. Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm
5.5. Efek Hall
DAFTAR PUSTAKA
iv
5
BAB I
STRUKTUR KRISTAL
Suatu benda padat tampak sebagai benda yang kontinyu, tetapi bila diteliti lebih
mendalam, secara mikroskopik benda padat tersebut tersusun atas unit-unit yang diskrit,
atom-atomnya tersusun dengan teratur mengikuti suatu pola. Suatu kristal ideal adalah
dibangun oleh pengulangan tak berhingga unit-unit struktur ideal dalam ruang.
1.1. Kisi Kristal
Kisi kristal terdiri dari kisi Bravais dan non Bravais, kisi Bravais seluruh titik kisi
adalah ekuivalen, oleh karenanya seluruh atom dalam kristal sama jenisnya. Sedangkan
dalam kisi non Bravais terdapat titik-titik kisi yang tidak ekuivalen. Seperti diperlihatkan
pada Gambar 1.1 kisi tempat A, B, C adalah ekuivalen satu sama lain, sedangkan tempat
A’, B’, C’ juga ekuivalen satu sama lain. Tetapi dua tempat, A dan A’ adalah titik
ekuivalen. Atom pada A dapat sama atau tidak dengan atom pada A’. Misalnya dua atom
H atau atom H dan Cl.
Gambar 1.1. Kisi non Bravais
Kisi non-Bravais terkadang diungkapkan sebagai kisi dengan basis. Pada Gambar
1.2, basisnya adalah A dan A’. Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari
dua atau lebih kisi Bravais dengan orientasi tertentu. Oleh karenanya, titik-titik A, B, C
dan seterusnya membentuk kisi Bravais, sedangkan titik-titik A’, B’, C’ membentuk kisi
Bravais yang lain. Struktur kristal real terbentuk bila atom-atom basis ditempatkan secara
identik pada setiap titik kisi. Relasi logikanya adalah :
Kisi + Basis = Struktur Kristal
Setiap titik dalam kisi tiga dimensional dapat ditulis sebagai ujung dari vektor kisi.
Rn = n1a, + n2b + n3c
(1.1)
1
26
Dimana : a, b, dan c adalah vektor; n1, n2 dan n3 bilangan yang nilainya tergantung pada
titik kisinya. Seperti diberikan pada Gambar 1.2. dalam gambaran dua dimensi, titik asal
berada pada titik kisi tertentu, A. Titik B, (n1, n2) = (1,0); C, (n1, n2) = (1,1), D, (n1, n2) =
(0,-1).
Gambar 1.2. Vektor a dan b adalah vektor basis kisi. Vektor a dan b’
membentuk satu set vektor basis yang lain. Daerah yang diarsir
adalah satu unit sel untuk kedua basis tersebut
1.2. Sistem Indeks Bidang Kristal
Perhatikan Gambar 1.3 perpotongan pada vektor basis a, b, c bidang ABC adalah
pada 3a, 2b, 2c. Resiproks bilangan tersebut adalah 1/3, 1/2, 1/2. Ini dapat dinyatakan
dalam bentuk bilangan bulat dengan mengalikan ketiga bilangan tersebut dengan 6
sehingga diperoleh 2, 3, 3. Maka indeks bidang tersebut adalah (h k l) = (2 3 3). Indeks
Miller secara matematis dapat diselesaikan :
Tentukan perpotongan sepanjang sumbu vektor a, b, c dan andaikan perpotongan tersebut
sebagai x, y, z masing-masing sebagai fraksi perkalian dari a, b dan c. dengan demikian
kita dapatkan tiga fraksi :
x y z
,
,
a b c
Cari kebalikan
(1.2)
dari fraksi tersebut dan direduksi dengan suatu bilangan sehingga
diperoleh bilangan bulat terkecil, yang dinyatakan sebagai indeks Miller (h, k, l) dengan
a
hn ,
x
b
kn ,
y
ln
c
z
(1.3)
Jika bidang memotong sumbu pada sisi negatif dengan titik asal, indeks
Misalnya pada kasus di atas, x = 3a, y = 2b, z = 2c. kebalikan fraksionalnya adalah
37
Gambar1.3. Bidang ABC : Indeks bidang (2 3 3) ; Bidang ADE :
Indeks bidang (434) ; Bidang AD~ : Indeks bidang (4 3 0)
Jarak antara bidang dengan indeks Miller yang sama, (h k l) dapat dinyatakan dalam
bentuk persamaan yang tergantung pada struktur kristalnya. Secara umum, jarak antara
bidang dh k l :
d hkl 
1
1
1
1
 2 2
2
x
y
z
1

h
k
l 
 2  2  2
b
c 
a
2
2
2
1
2
(1.4)
1.3. Struktur Kristal Sederhana
Struktur sodium klorida, NaCl adalah sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.4.
Struktur kristal NaCl dikonstruksi oleh ion Na+ dan Cl- yang terletak berselang seling
pada titik kisi dari kisi kubus. Dalam kristal setiap ion dikelilingi oleh enam ion lain
terdekat dengan muatan berlawanan. Ruang kisinya adalah FCC dan basisnya terdiri dari
ion Cl- pada 000 dan ion Na+ pada ½, ½, ½. Pada setiap unit kubus terdapat empat unit
NaCl dengan atom-atom pada posisi :
Cl : 0 0 0; ½ ½ 0; ½ 0 ½; 0 ½ ½
Na : ½ ½ ½; 0 0 ½; 0 ½ 0; ½ 0 0
Gambar 1.4. Struktur Sodium Klorida, b. Model sodium Clorida
48
1.4. Ikatan Kristal
Energi kohesif pada kristal adalah energi yang harus ditambahkan pada kristal
untuk memisahkan komponen-komponennya menjadi atom bebas pada jarak pisah tak
terhingga. Energi kisi digunakan dalam pembicaraan kristal-kristal ionik dan
didefinisikan sebagai energi yang diberikan pada kristal untuk memisahkan komponenkomponennya menjadi ion-ion bebas.
1.4.1. Kristal dari Gas-Gas Inert
Misalkan dua atom gas inert yang identik dipisahkan oleh jarak R dengan R <<
C jari jari atom. Apakah ada interaksi diantara atom-atom netral tersebut ?
Gambar 1.6. Koordinat Dua osilator
Ambil P1 dan P2 merupakan momentum masing-masing osilator dan C merupakan
konstanta gaya. Sistem Hamiltonian adalah :
Ho 
1 2 1
1 2 1
2
2
P1  C x1  P2  C x 2
2m
2
2m
2
(1.5)
Setiap osilator tak terkopel memiliki frekuensi o dan konstanta gaya C = mo2,
H1 energi interaksi coulomb dua osilator yaitu:
H1 
(1.6)
e2
e2
e2
e2



R R  x1  x2 R  x1 R  x2
Bila |x1| dan |x2| << R, dan menyelesaikan Persamaan (1. 6) maka dapat diperoleh
2 e 2 x1 x2
H1  
R3
(1.7)
Hamiltoman total dengan menggunakan bentuk pendekatan Persamaan (1.7) bagi H1.
Modus simetri dan anti-simetri dari gerakan dua osilator adalah :
1
1
x s   x1  x 2 
x1   x s  x a 
2
2
1
1
x a   x1  x 2 
x2  xs  xa 
2
2
Momentum bagi dua modus, Ps dan Pa :
P1 
1
Ps  Pa 
2
P2 
1
Ps  Pa 
2
(1.8)
(1.9)
(1.10)
95
Dengan demikian, Hamiltonian total H adalah
H0 + H1,
 1 2 1
2e 2  2   1 2 1 
2e 2  2 
H 
Ps   C  3  xs   
Pa   C  3  xa 
2
R    2m
2
R  
 2m
1
1
2
2
2


2e  1  2
2e  1 
   C  3  
   C  3  
R  m
R  m


C
   
M 
dengan 1  X 
1/ 2
1/ 2

2e 2 
1 

3 
 CR 
1/ 2
 1  2e 2  1  2e 2  2





 0 1  


...
3 
3 

 2  CR  8  CR 

(1.
(1.11)
(1.12)
X 1


 1   X 2  ....
2 8


1
H 0   o  2  o dengan T= 0K
2
Energi terendah (titik nol) adalah ½(a + s); Energi osilator tak tergandeng adalah
2.(½0) dan setelah tergandeng energinya berkurang sebesar U,
h  0  2e 
U  


8  CR 3 
h0 e4
A

A
2C
 6
R
2
 1  2e 2  
 
U  U akhir  U 0   o  
3 
 8  CR  
2
(1.13)
Energinya pada saat jarak tertentu adalah bersifat tolak-menolak yang sebagian
besar diakibatkan oleh prinsip larangan Pauli : dua elektron tidak dapat memiliki
seluruh bilangan kuantum yang sama. Energi potensial total pada dua atom dengan jarak
R adalah :
  12   6 
U R   4       
 R   R  
B
U  12
R
 r 12  r  6 
  4       
 R 
 R  
A  4  6 , B  4   12
R

U   exp 
  
(1.14)
10
  12    6 
1
U R   N 4      
2
 R 
 R  
dengan Pij   Pij R
j
U tot 
6
   12

 
1
    
N 4   


2
 j  pij R 
j  pij R  


Telah dilakukan evaluasi untuk struktur FCC :
p
j

Untuk hCP
ij
 12
ij
 ij
12.13188 ;
12
p
j
6
ij
 12.13229;   ij
6
14.45392
 14,45481
ij
Besar R0 kesetimbangan dapat dicari
dU t R 
0
dR

dU tot
 12
6
  2 N (12)(12.13) 13  (6)(14.45) 7 
dR
R
R 



 R0
6

 
14,45
1
 
   
 R  R0
24,26

 R0  1,09
R0

 1,09  untuk keadaan equilibrium m dengan R0 adalah jarak terdekat
Sehingga diperoleh:
R0

1.4.2. Ikatan Kristal Ionik
1,09
Apabila ion Na+ dan ion Cl- saling berdekatan satu sama lain, energi tarik-menarik
Coulomb pada jarak pisah antar inti R relatif terhadap energi nol pada jarak tak terhingga
adalah :
U coil  
q2
4  o R
(1.19)
Bentuk lain interaksi tolak menolak (suku pertama persamaan (1.14) adalah dalam bentuk
empiris :
 R
U rep  B exp .   
(1.20)
 
Dengan menggunakan Persamaan (1.19) dan (1.20), energi interaksi antara ion ke i dan
ion lain adalah
U ij  U coul  U rep 
q2

 B exp
4 o R
 R
.   
 
11
(1.21)
Kontribusi interaksi Van der Waals pada energi kohesif dalam kristal ionik
U i   U ij
(`1.22)
j
Energi total pada kristal yang terkomposisi atas Ñ molekul atau 2 N ion adalah
2
diungkapkan sebagai, U  B exp   R   q
ij
   4 R


o
(1.23)
U tot  N U i
 
j
R

q 2 

 N  zB e  
4 o R 

 
konstanta
pij
(1.24)
Madelung 
Definisi ekivalen dari Persamaan (1.24) adalah :

R

j

rj
Ambil ion negatif sebagai ion acuan dan jarak R sebagai jarak antar ion terdekat. Hasilnya

1
1
1
1

:
R
2 


 ...
 R 2 R 3R 4 R

 1 1 1

  2 1     ...
 2 3 4

x2 x3 x4
ln 1  x   x     ...
2
3 4
(1.25)
Dengan membandingkan kedua deret di atas dengan x = 1 maka konstanta Madelung
rantai satu dimensi di atas adalah
  2 ln 2
Untuk sistem kristal kita perhatikan kristal NaCl; terdapat :
6 Cl- terdekat dengan jarak R
12 Na+ terdekat berikutnya dengan jarak  2 R
8 Cl- berikutnya dengan jarak  3 R
dan seterusnya.
Maka

Atau
  1, 748
12
6
 

R R
2R
8

 ...
3R

Untuk kristal CsCl;   1,762675; kristal ZnS (kubus),  = 1,6381.
Turunan pertama terhadap R dan pada kondisi sama dengan nol.
dU tot
0
dR
 R  Nq 2
NzB

exp   0  
0


4

R


o
12
R 
q 2
B
exp .  0 
2
4 o zRo
  
(1.26)
Maka energi ikat pada jarak R tertentu :
Ui   N
q 2
4 o R

 Ro  R 
R

1  2 exp 
  
 Ro
(1.27)
Pada jarak pisah kesetimbangannya, R=R0
U eq   N
q 2
4 o R0
 

1  Ro 
(1.28)
Soal-Soal
1. Pikirkanlah struktur fcc, bcc, hcp dan intan
Gambarkan satu satuan sel struktur tersebut, nyatakan posisi atom sebagai fungsi
tinggi dari satu satuan sel
a. Beri koordinat atom dalam basis masing-masing struktur tersebut.
b. Jika struktur dibangun oleh bola-bola yang saling berkontak, hitunglah fraksi yang
ditempati oleh bola-bola tersebut.
2. Sudut antara ikatan tetdra hedral pada intan adalah sama dengan sudut antara diagonal
ruang kubus. Gunakanlah analisis vektor elementer untuk menentukan besar sudut
tersebut.
3. Tunjukkanlah bahwa perbandingan c/a untuk suatu struktur paket tertutup heksagonal
(hcp) adalah 1.633.
4. Gambarkan satu satuan sel kubus dengan bidang kisi (122), (201), (233) dan (222)
13
BAB II
DIFRAKSI OLEH KRISTAL
2.1 Hukum Bragg
Berkas datang direfleksikan secara persial pada setiap bidang seperti terlihat pada
gambar 2.1. Andaikan jarak antar bidang
Gambar 2.1. Model Difaksi untuk menurunkan persamaan Bragg
Beda lintasan untuk kedua berkas termaksud adalah:







  AB BC  AC  2 AB AC ' karena AB  BC
'
Sedangkan

AB 


2d
d
dan AC '  AC cos  
cos 
sin 
tan 
Sehingga


2d
2d
2d

cos 2  
1  cos 2 
sin  sin 
sin 

 2d sin 
Interferensi yang saling menguatkan terjadi apabila
  n ;
Dimana:
n adalah bilangan bulat positip
λ adalah panjang gelombang sinar-X
Sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl)
n  2d hkl sin 
n  1,2,3,4,......
n adalah ordo pemantulan
(2.1)
14
2.2. Kisi Balik (Reciprocal Lattice)
2.2.1. Vektor Kisi Balik (resiprok)
Kita membangun sumbu vektor b1, b2 dan b3 untuk kisi balik dengan hubungan
b1  2
a2 xa3
a3 xa1
a1 xa2
; b2  2
; b3  2
a1  a2 xa3
a1  a2 xa3
a1  a 2 xa3
(2.2)
Setiap vektor yang didefinisikan oleh Persamaan (2.2) adalah ortogonal dengan dua
sumbu vektor kisi kristal. Sifat-sifat dari b1, b2 dan b3 adalah bahwa
bi  a j  2ij
(2.3)
Dimana berlaku aturan ij = 1 jika i = j , α = 0 0 dan ij = 0 jika ij. α =- 90 0
Titik dalam kisi balik dipetakan dengan seperangkat vektor dalam bentuk vektor
kisi balik G :
G  v1b1  v2b2  v3b3
(2.4)
2.2.2. Kisi Resiprok dari kisi simple cubic (sc)
Vektor basis dari kekisi kubus sederhana adalah

a1  a x ;

a2  a y ;

a3  a z
(2.5)
Dengan x, y dan z adalah vektor satuan. Volume sel adalah a1  a 2 xa3  a 3 . Vektor basis
primitif dari kisi baliknya dapat diperoleh dari Persamaan ( 2.2),
b1 
2
x ;
a
b2 
2
y ;
a
b3 
2
z
a
(2.6)
Dalam hal ini konstanta kisi adalah 2 / a .
Batas-batas daerah Brillouin pertama adalah bidang normal dari 6 vektor kisi balik
 b1 ;b2 ;b3 , yaitu pada titik tengahnya,

1
 b1   a  x ;
2

1
 b2   a  y ;
2


1
b3    a  z
2
(2.7)
Keenam bidang batas sebuah kubus dengan tepi 2 / a dan volume 2 / a  . Kubus ini
3
adalah daerah Brillouin pertama kisi kristal kubus sederhana.
2.2.3. Kisi Balik Dari Kubus Berpusat Tubuh (bcc:body center cubic)
15
11
Vektor basis primitif dari kekisi bcc, seperti terlihat pada Gambar 2.2 adalah
a1 
1
1
1
a ( xˆ  yˆ  zˆ ) , a 2  a ( xˆ  yˆ  zˆ ) ; a 3  a ( xˆ  yˆ  zˆ )
2
2
2
(2.8)
Gambar 2.2. Vektor basis oprimitif
pada kisi bcc
Dengan a adalah rusuk dari kubus dan x, y dan z adalah vektor satuan. Volume satu
satuan sel primitif adalah,
1
V  a1 . a2 xa3  a 3
2
(2.9)
Dengan menggunakan persamaan 2.2, vektor basis kisi balik bcc adalah
b1 
2
2
2
( yˆ  zˆ ) ; b2 
( xˆ  zˆ ) ; b3 
( xˆ  yˆ )
a
a
a
(2.10)
Vektor kisi balik dengan bilangan bulat h, k dan l dapat ditentukan dengan menggunakan
Persamaan (2.4) dan (2.10), yaitu
G
2
(k  ) xˆ  (h  ) yˆ  (h  k ) zˆ 
a
(2.11)
Setiap sel mengandung satu titik kisi pada titik pusat selnya. Daerah ini (untuk kisi bcc)
dibatasi oleh bidang normal terhadap 12 vektor, pada titik tengah dari
 2 
 2 
 2 

  yˆ  z  ; 
  xˆ  zˆ  ; 
  yˆ  yˆ 
 a 
 a 
 a 
(2.12)
Daerah tersebut terdiri atas 12 permukaan dalam bentuk rhombik-dodekahedron, Gambar
2.4. Vektor-vektor dari titik asal ke titik pusat setiap permukaan adalah
12
16
 
 
 
  yˆ  zˆ ;   xˆ  zˆ ;   xˆ  yˆ 
a
a
a
(2.13)
.Pemilihan tanda dilakukan secara bebas sehingga memberikan 12 vektor.
2.3. Kondisi Difraksi dan Hukum Bragg
Didefinisikan vektor hamburan k sedemikian rupa k + k = k’. Ini merupakan
ukuran dari perubahan vektor gelombang terhambur. Bila yang terjadi adalah hamburan
yang bersifat elastis, tidak ada perubahan besar vektor gelombang :
k  k '  2
(2.17)

Seperti diperlihatkan pada Gambar 2.7, perubahan vektor k dalam k adalah tegak lurus
terhadap bidang (hkl) . Arahnya adalah searah dengan arah G(hkl) atau vektor satuan n.
Maka diperoleh hubungan


1
 4  Sin  
 k  k  k  2 Sin  k n  
n
 

 4  Sin   G hkl


 
 G hkl
(2.18)
Dapat ditunjukkan bahwa jarak antar bidang d(hkl) berkaitan dengan besar G(hkl)
dalam bentuk
d hkl 
2
(2.19)
G hkl
Oleh karenanya Persamaan (2.18) dapat diuangkapkan sebagai
 2 d (hkl) Sin  
k  
 G (hkl)



Jika hukum Bragg terpenuhi maka,
(2.20)
 k  G hkl
(2.21)
Dari persamaan ini, hubungan antara vektor gelomabang awal dan akhir refleksi Bragg
gelombang - partikel dapat ditulis sebagai
(2.22)
k '  G hkl  k
Sehingga kondisi difraksi dapat ditulis sebagai k  G   k 2 atau
2
2 k . G  G2  0
Ini adalah ungkapan khusus yang dipergunakan sebagai kondisi bagi difraksi
(2.23)
13
17
Produk skalark dan G, dari persaman 2.3 dan 2.4, kita dapatkan,
a1 .  k  2 h ;
a 2 .  k  2 k ;
a 3 .  k  2 l
(2.24)
Persamaan ini adalah persamaan Laue, yang mana digunakan dalam pembicaraan simetri
dan struktur kristal. Persamaan (2.24) di atas memiliki interpretasi sebagai berikut,
acos 2  cos  2   k;
acos 1  cos 1   h;
acos 3  cos  3   l;
2.4. Faktor Struktur
Hasil difraksi gelombang oleh keseluruhan atom dalam unit sel (satu satuan sel)
dinyatakan dalam faktor struktur. Bila kondisi difraksi terpenuhi amplitudo terhambur
bagi kristal terdiri dari N sel adalah diungkapkan sebagai
FC  N  S G
(2.25)
Dimana kuantitas SG disebut dengan faktor struktur yang didefinisikan sebagai
SG 
fe
i G .. r
j
j
(2.26)
j
Dengan rj adalah vektor terhadap pusat atom ke j
(2.27)
rj  x j a1  y j a 2  zi a 3
Dan fj = faktor atomik. Kemudian, bagi refleksi yang tandai dengan h, k, l,


G .r  hb1  kb2  lb3 x j a1  y j a2  z j a3 
 2 hx j  ky j  lz j 
(2.28)
Sehingga persamaan (2.26) menjadi


SG hkl    f j exp i 2 hx j  ky j  lz j 
(2.29)
j
Faktor struktur S tidak perlu real karena intensitas hamburan adalah melibatkan S*S yang
hasilnya adalah real, dimana S* adalah “kompleks konjugate” dari S.
Basis bcc adalah sel kubus dengan atom-atom identik pada x1  y1  z1  0
dan
x2  y2  z 2  1 2 . Dengan Persamaan (2.29),
S hkl f 1  expi h  k  l 
dan
S = 0,
bila h+k+l = bilangan ganjil
S = 2f, bila h+k+l = bilangan genap
Misalnya Sodium memiliki struktur bcc. Puncak difraksi (100), (300), (111) atau (221)
tidak ada, tetapi puncak (200), (110) dan (222) tampak.
1814
Basis struktur fcc untuk sel kubus dengan atom identik pada 000 ; 0½ ½ ; ½01/2, ½ ½ 0.
Dengan Persamaan (2.29)
S  0 , bila hkl adalah bilangan genap
S  0, bila hkl adalah bilangan ganjil
S = 0, bila hkl adalah dua genap satu ganjil
S = 0 , bila hkl adalah satu genap dua ganjil
Beberapa contoh menghitung faktor struktur geometrik Fhkl, Sel satuan kubik sederhana
(SC; Simple cubic),
Atom terletak di (000)


SG hkl    f j exp i 2 hx j  ky j  lz j 
j
 f a e 2i 0 0 0 
SG
2
 fa
2
Base-Centered Cell
Atom-atom ini terletak di 000 dan
1 1 1
2 2 2


SG hkl    f j exp i 2 hx j  ky j  lz j 
j
 fae
2i 0 h  0 k  0 l 
 fae
1 1

2i  h  k  0 l 
2 2

 f a  f a e i h  k 

 f a 1  e i h  k 

S G hkl  2 f a , untuk h dan k yang tidak tercampur ; artinya keduanya genap atau
keduanya ganjil
S G hkl   0 , untuk h dan k tercampur artinya h dan k tidak dua-duanya genap atau dua-
duanya ganjil
Persamaan (2.25) adalah sebagai penjumlahan bentuk eksponensial,
F hkl   f j e
i j
j
e i  Cos   i Sin 
 A  iB
Dengan fj = faktor fase. Dari bentuk identitas
Sehingga,
f ei  f Cos   f i Sin 
 f Af B
(2.30)
19
15
Dalam difraksi intensitas adalah terkait dengan besar absolut |F|. ungkapan
trigonometri untuk menghitung |F| :
2
2

 
 
F    f j Aj     f j B j  
 j
  j
 

   f j Cos 
 j
2
1
2






j     f j Sin  j 

 j

2



1
2
(2.31)
Selanjutnya dapat ditulis sebagai,
1
2
2

 
 2
F   f j cos 2 hx j  ky j  lz j    f j sin 2 hx j  ky j  lz j   (2.32)
 j
  j
 
Bagian trigonometrei sering ditulis sebagai faktor struktur geometri
ditulis secara
terpisah
A   Cos 2 (hx  ky  lz )
B   Sin 2 (hx  ky  lz )
A dan B adalah fungsi koordinat posisi atom dalam sel,
Bila struktur kristal memiliki pusat simeteri dan titik asal berada pada koordinat
pusat tersebut maka faktor struktur dapat lebih sederhana. Dalam hal ini atom pada titik
xyz adalah cocok dengan atom yang sama pada titik –(xyz) fase kedua atom :
 ( xyz)  2 (hx  hy  lz )
 ( x y z )  2 (hx  hy  lz )
  2 (hx  ky  lz )
   ( xyz)
Jadi bila pusat simetri pada titik asal, terdapat pasangan atom yang identik dengan besar
fase yang sama tetapi berlawanan tanda. Karena cos (-) = cos  untuk seluruh  dan sin
(-) = -sin  maka,
F (hkl)   f j Cos 2 (hx j  kt j  lz j )
j
Soal-soal Bab 2
1. Vektor translasi primitive kisi ruang heksagonal diberikan oleh,
a
a
a
a
a1  ( 3 ) x̂  ( ) ŷ ; a 2  ( 3 ) x̂  ( ) ŷ ; a 3  cẑ
2
2
2
2
 3 2
a c
Buktikan bahwa volume sel primitif adalah 

2


20
2. Buktikan bahwa translasi primitif kisi baliknya adalah
b1  (
2
2
2
2
2
) x̂  ( ) ŷ ; b 2  (
) x̂  ( ) ŷ ; b3  ( )ẑ
a
a
c
3a
3a
Perhatikan suatu bidang hkl dalam suatu kisi kristal.
(a). Buktikan bahwa vektor kisi balik G=ha1+ka2+la3 adlah tegak lurus terhadap
bidang hkl tersebut.
(b). Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan adalah
d(hkl)=2/|G|.
(c). Tunjukkan bagi sebuah kisi kubus
a2
d  2
h  k 2  l2
2
21
BAB III
VIBRASI KRISTAL
3.1. Gelombang Elastis
Vibrasi dapat dipandang sebagai gelombang elastis. Andaikan gelombang elastis
merambat dalam suatu medium yang berbentuk batangan seperti Gambar 3.1.
x x+dx
Gambar 3.1. Gelombang elastis dalam suatu medium
Bila gelombang yang merambat adalah gelombang longitudinal dan perpindahan
secara elastis pada titik x adalah u(x) dan sesuai dengan hukum Newton II pada segmen
dx berlaku hubungan :
dx
 2u ( x )
 S x  dx   S ( x) A
t 2
(3.1)
dimana  = rapat masa ; A = luas penampang ; S = stress yang didefinisikan sebagai gaya
persatuan luas, sesuai dengan hukum Hooke,
S  Ye
; (regangan=strain)
(3.2)
Dengan Y = modulus Young (atau modulus elastis “bulk” K) e = strain yang didefinisikan
sebagai :
e 
du
dx
(3.3)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) dan dengan menggantikan S pada
persamaan (3.1), maka diperoleh
 2u   2u

;
 x 2 Y t 2
v
 2u 1  2u

0
 x 2 v2  t 2
Y

(3.4)
))
(3.5)
Penyelesaian Persamaan (3.4) adalah berbentuk :
U  Ce i kx t 
(3.6)
C = amplitudo ; k = bilangan gelombang ;  = frekuensi sudut gelombang dengan
hubungan :
  vk
(3.7)
17
22
18
Laju suatu gelombang longitudinal dalam medium dengan rapat masa  adalah
diberikan oleh Persamaan (3.5), yaitu
0   v 
B

Dengan B adalah modulus “bulk” elastis atau koefisien kekakuan medium. Dengan
mengetahui rapat masa dan modulus bulk (dapat diukur) laju 0 dapat dihitung.
3.2. Vibrasi Pada Kisi Monoatomik
Energi vibrasi dari kisi disebut sebagai fonon, yang mana merupakan vibrasi
kolektif suatu bahan. Gambar 3.2. memperlihatkan model kisi dengan basis monoatomik
dalam satu bidang s dengan konstanta kisi sama dengan a. Pada saat bervibrasi setiap
atom berpindah dari tempatnya. Karena atom-atom berinteraksi satu sama lain dengan
atom terdekatnya, atom-atom yang bervibrasi bergerak secara bersamaan. Bila terdapat
gaya yang bekerja pada bidang s sehingga mengakibatkan perpindahan atom-atom pada
bidang s ke s+p, dimana gaya tersebut sebanding dengan perbedaan perpindahan kedua
bidang, (Us+p – Us). Bila kita hanya memperhatikan interaksi antara bidang terdekat saja,
yaitu p = ± 1 saja., supaya total pada s yang datang dari bidang s ± 1 :
Fs   U s 1  U s    U s 1  U s 
   2U s U s 1 U s 1 
(a)
(3.8)
23
19
(b)
Gambar 3.2. Model kisi monotomik (a). Bidang atom berpindah pada gelombang
longitudinal (b). Bidang atom berpindah pada gelombang transversal,
menggambarkan perpindahan bidang s dari posisi kesetimbangannya.
Pada zat padat yang homogen transmisi suatu gelombang bidang dalam arah
tertentu, arah x dapat diungkapkan dalam bentuk persamaan perpindahan,
U  A expikx  t 
(3.9)
A = amplitudo, k = bilangan gelombang,  = frekwensi sudut, t = waktu. Lebih khusus
seamalog dengan Persamaan (3.9), perpindahan bidang ke s,
U s  A exp iksa  t 
(3.10)
sa = posisi kesetimbangan bidang ke s ; a = jarak antar bidang. Turunan dua kali
pers.(3.10) terhadap waktu t, diperoleh
d 2U s
   2 A exp  i ksa   t 
2
…
dt
2
  U s
(3.11)
Sesuai dengan hukum Newton kedua, gaya pemulih pada bidang s adala
d 2U s
Fs  m
  m  2U s
2
dt
(3.12)
Dari Persamaan. (3.8) dan (3.12) :
 m  2 U s    2U s  U s 1 U s 1 
2 

 
U
U 
 2  s 1  s 1 
m
Us
Us 

m
2  exp .i ka  exp . i ka
(3.13)
20
24
Kita ketahui bahwa 2 cos x = eix + e-ix , maka

2  2 Cos ka
m
2
1 Cos ka

m
4
 ka 

Sin 2  
m
 2 
2 
(3.14)
Dari Persamaan (3.14) kita dapatkan bahwa hubungan dispersi gelombang dalam kisi
monotomik adalah :
3.4. Kristal Linier Diatomik
Pada bagian ini kita bahas model matematis kristal linier diatomik. Dalam model
ini kita memiliki dua jenis atom yang bermasa M yang terletak dalam suatu bidang dan
atom yang bermasa m pada bidang yang lain. Kedua atom tersebut dapat dipandang
sebagai satu rantai linier dimana jarak antara dua atom terdekat pada saat keadaan
kesetimbangannya adalah a.
Gambar 3.4. Untaian linier atom bermasa m dan M dengan jarak
antara dua atom terdekat adalah a, jarak pengulangan adalah 2a
Diasumsikan bahwa interaksi hanya terjadi diantara atom terdekat saja dan
konstanta gaya adalah identik. Perpindahan yang terjadi adalah dalam daerah jangkauan
hukum Hooke. Persamaan gaya bagi perpindahan U2l dan U2l + 1 adalah :
d 2U 2 r
  m 2U 2 r   U 2 r 1  U 2 r 1  2U 2 r 
2
dt
2
d U 2 r 1
m
  m 2U 2 r 1   U 2 r  2  2U 2 r  2U 2 r 1 
2
dt
M
(3.23)
Persamaan ini diharapkan mempunyai solusi yang berbentuk :
U 2 r  Ae i ka 2 r t 
(3.24)
25
21
U 2 r 1  Be i ka 2 r 1t 
Subtitusi Persamaan (3-24) ke dalam Persamaan (3-23), diperoleh persamaan
linier simultan.

A  Be

 2A
M 2 B  A e ika  e ika  2B
m 2
ika
 e ika
Atau
M 2 B  A2 coska  2B
m 2 A  B2 coska  2A
(3.25)
Ini memberikan persamaan Untuk A dan B
2   mA  2 cos kaB  0
 2 cos kaA  2   M B  0
2
2
Persamaan ini memiliki solusi yang tidak trivial hanya jika determinan koefisien A dan
B sama dengan nol.
2  M 
2
 2 coska
 2 coska
2  m 2


= 0
Yang memberikan solusi untuk ω2
  Mm   2 m  M  4 1  cos ka  0
  Mm   2 m  M  4 sin ka  0
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
 1 1  2 4 Sin 2 (ka) 
1 1 
2
           

mM 
m M 
 m M 
1
2
(3.26)
Dari pers.(3.26) diperoleh dua solusi, yaitu
a.
1 1
12    
m M
2
2
  1 1  4 Sin (ka) 



 


mM 
  m M 
Dengan 12  0
12 = 2/M ,
b.
2
2
1
2
untuk k = 0
 1 1  2 4 Sin 2 (ka) 
1 1 
          

mM 
m M 
 m M 
Dengan  22  2 1 / m  1 / M 
(3.27)
untuk ka = /2
untuk k = 0
1
2
26
22
22  2 / m
untuk ka = /a
(3.28)
Cabang bagian bawah pada Gambar 3.5 diperoleh dari pemilihan negatif pada Persamaan
(3-26). Cabang ini disebut dengan cabang akustik. Sedangkan cabang bagian atas
diperoleh dari pemilihan tanda positif pada persamaan (3.26). Cabang ini disebut dengan
cabang optik.
Gambar 3. 5. Cabang optik (bagian atas) dan akustik (bagian bawah)
dari relasi dispersi untuk kisi linier diatomik, dengan jarak
pengulangan adalah 2a.
Dari Gambar 3.5 (cabang akustik) tampak bahwa :
1. Perpindahan sekarang dapat diungkapkan dalam bentuk vektor gelombang
dengan harga /2a, dibandingkan dengan batas daerah Brillouin pada ± /a
pada rantai linier monoatomik. Dalam hal ini perlu diperhatikan bahwa daerah
Brillouin adalah ditentukan oleh jarak pengulangan 2a, bukan oleh jarak antar
tetangga terdekat.
2.. Frekwensi sudut maksimum ragam vibrasi akustik adalah :
1 
2
M
Tampak frekuensi sudut maksimum tidak tergantung pada masa atom yang
lain, m dalam rantai. Frekuensi sudut berkisar antara 0 sampai 1.
3. Perbandingan amplitudo kedua atom sebagai fungsi frekwensi, dari
Amplitudo dari masa yang berat M
B
2   m 2
 
Amplitudo dari masa yang lebih ringan m A 2  Cos ka
2  Cos ka

2  M 2
(3.29)
27
23
Tampak perbandingan amplitudo tersebut mendekati satu (seluruh atom bergerak dengan
cara yang sama, pada gelombang yang panjang amplitudonya sefasa, vektor gelombang |
k | << /2a
.4. Pada | k | = /2a
 8a 2 

Kecepatan fasa

k   2 M 
d
Kecepatan group
0
dk
Dari cabang optiknya, daerah vibrasi adalah dari

1
2
(3.30)
2
1 1 
sampai dengan   2   
m
m M 

1. * Pada k  0 ;
Kecepatan fasa /k  ~
Kecepatan group d/dk  0
* Pada k  /2a

 8 a 2 

Kecepatan fasa

k   2 M 
1
2
Kecepatan group d/dk  0
2. Pada k = 0, perbandingan amplitudo B/A adalah negatif :
2  w mA  2B Cos ka
2

1  
1
2   2   m  M m A  2 B

 

B
m

A
M
(3.31)
Artinya, getaran atom bermasa m berlawanan fasa dengan getaran atom bermasa M ;
MB + mA=0 menyatakan bahwa titik pusat masa atom tidak berubah.
Soal – soal Bab 3
1. Tunjukkan bahwa relasi dispersi bagi vibrasi kisi dari rantai linier dari atom atom bermasa M bila konstanta rantai penghubung (pegas) antara atom
tetangga terdekat pertama adalah C 1 dan atom tetangga terdekat kedua adalah
C 2 sbagai berikut,
M 2  2C1 (1  cos ka)  2C2 (1  cos 2ka)
2428
Hitunglah kecepatan groupnya pada k=/a

 ka 
 ka 
Sin      m Sin  
m
 2
 2
2
m  2

(3.15)
m
Tanda + dan - menunjukkan perambatan gelombang ke kanan atau ke kiri.
Perbatasan zona Brillouin pertama berada pada k = ±/a. Kita dapat menunjukkan
dari pers.(3-14) bahwa kemiringan (slope) kurva dari  sebagai fungsi k adalah nol pada
batas zona Brillouin
d 2 2a

Sin ka  0
dk
m
(3-16)
karena pada k = ±/a, sin (ka) = sin (±) = 0. Plot  terhadap k diberikan pada Gambar
3.3 Daerah k yang kecil merupakan daerah spektrum dari gelombang yang panjang. Bagi
ka <<1, sin (ka/2)  (ka/2) dan relasi frekwensi sudut terhadap bilangan gelombang adalah
 2
 ka
m 2
 v0 k
v0  a

ka<<1
m
Gambar 3.3. Grafik  terhadap k untuk perambatan gelombang
dalam kisi monoatomik, interaksi hanya terjadi antara atom
terdekat saja. Daerah | k | < /a adalah zona Brillouin pert
(3-17)
29
BAB IV
SIFAT-SIFAT THERMAL
4.1. Energi Kisi Model Klasik
Andaikan atom bermasa m melakukan gerak harmonik dengan frekuensi . Bila
konstanta gaya pemulih adalah , perpindahan atom dari titik kesetimbangannya adalah
, dan kecepatannya adalah v, maka energi totalnya adalah :
E = energi kinetik + energi potensial
 1 / 2mv 2  1 / 2x 2

 1/ 2 v 2   2 x 2

(4.1)
Energi rata-rata sesuai dengan didistribusi Boltzmann, harga ekspektasi klasik :
m
E 
 
0
xm
0
m
 
o
E .e
xm
o
e

  E

 k 0T 

  E

 k 0T 
d dx
(4.2)
d dx
T = suhu ; k0 = konstanta Boltzmann
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.1)
ke dalam persamaan (4.2) dan
n 1
mengingat bahwa :
~
1  n  1  2
x 2 n
I n    e x dx   

o
2  2 
Maka Persamaan (4.2) dapat dievaluasi, hasilnya adalah :
E  k oT
Untuk N atom yang mana masing-masing memiliki tiga derajat kebebasan,
sehingga energi total kisi adalah :
U  3Nk0T
(4.3)
Dari sini, panas jenisnya adalah :
 U 
Cv  
  3Nk0
 T v
Pada volume konstan, panas per mole adalah :
CV  3N o k o  24,94 joule / Mole  Kelvin
Ini dikenal sebagai hukum Dulong dan Petit. Tampak bahwa panas jenis adalah konstan,
tidak tergantung pada suhu.
Secara eksperimen panas jenis sesungguhnya adalah tergantung pada suhu, seperti
diperlihatkan pada Gambar 4.1. Oleh karenanya perlu pejelasan lebih lanjut untuk
menjelaskan ketergantungan panas jenis pada suhu
25
30
26
Gambar 4.1. Ketergantungan suhu dari panas jenis Argon, Xenon dan Kripton. Garis
mendatar adalah hasil perhitungan secara klasik
4.2. Model Einstein
Berdasarkan kesuksesan dari M. Planck dalam menggambarkan radiasi benda
hitam dengan aturan terkuantisasinya, Einstein kemudian mengambil aturan tersebut
untuk menjelaskan bagaimana ketergantungan panas jenis terhadap suhu. Dalam hal ini
gelombang elastis yang digambarkan sebagai fonon adalah analog dengan foton. Secara
kuantum energi suatu keadaan (osilator) adalah diungkapkan sebagai :
E n  n ;
n = 0, 1, 2
(4.4)
Dan probalitas keadaan ke n adalah :
E 
g n  exp  n 
 k 0T 
(4.5)
Energi rata-rata sesuai dengan osilator dalam kesetimbangan termalnya, adalah :

E 
 En e
 

En

k 0T 
n0

e
 

En

k 0T 
n  0 penjumlahan untuk x < 1 berlaku hubungan
Dengan mengingat bentuk
1
;
1 x
n
d
x
n nx n  x dx n x n  1  x 2
x
n

maka Persamaan (4-6) dapat dievaluasi, dan hasilnya adalah
(4.6)
2731
   k T  
E   e  0  1


1
(4.7)
Untuk penyederhanaan, Einstein menganggap bahwa N atom memiliki 3 N ragam
vibrasi dan seluruhnya memiliki frekuensi sudut yang sama, yaitu  E . Dengan demikian
setiap ragam vibrasi memiliki energi yang sama, yaitu <E>. Energi vibrasi kisi secara
total adalah
U 
3 N E

  E
exp 

 k 0T
 
  1
 
(4.8)
Dengan menggunakan Persamaan .(4.8) ini, panas jenis pada volume konstan
adalah
 U 
Cv  

 T V
 3 Nk0 FE  E , T 
(4.9)
dengan fungsi Einstein FE  E , T  adalah
2
  E 
  

 exp . E 
kT
 k0T 
FE ( E , T )   0 
2

  E  
  1
exp .
k
T
 0  

(4.10)
Fungsi Einstein adalah mendekati satu pada suhu tinggi, sehingga panas jenisnya adalah
sama dengan panas jenis klasik.
Dengan mendefinisikan suhu karakteristik Einstein, TE   E / k 0 , pada T << TE
maka Persamaan.(4.10) menjadi
 exp    E

FE  E , T     E



k
T
k
T
0 
0 


2
2
T 
 T 
  E  exp   E 
T 
 T 
(4.11)
Perbandingan kurva panas jenis model klasik dan model yang dibuat oleh Einstein
sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 4. 2
32
28
Joule/moleModel klasik
Model
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Gambar 4.2. Panas jenis model klasik Dulong - Petit dibandingkan dengan model
Eintein.
Sesuai dengan prinsip mekanika kuantum “modern” yang mana dibangun 20
tahun setelah masanya Einstein, energi kuantum persamaan (4.4) dimodifikasi menjadi :
E n  1 / 2  n
Ada tambahan energi ½, adalah energi titik nol karena ada pada seluruh suhu termasuk
T = 0.
4.3. Model Debye
Kelemahan dari model Einstein adalah terletak pada anggapan bahwa semua
modus vibrasi mempunyai frekwensi sama E. Sebelum membahas model Debye terlebih
dahulu dibahas rapat keadaan dan jumlah ragam vibrasi dalam daerah frekwensi ,  +
d. Persamaan gelombang untuk suatu polarisasi (longitusinal atau transversal) didalam
ruang isotropik 3 dimensi.
 2  2  2 1  2



x 2 y 2 z 2  2 t 2
(4.12)
 = perpindahan posisi, v = cepat rambat. Pada batas kristal perpindahan   0, dan
solusi Persamaan (4.12) adalah dalam bentuk gelombang berdiri,
U ~ sin k x x sin k y y sin k z z e it
(4.13)
Komponen-komponen k dalam Lx, Ly, Lz adalah :
kx 
2
mx ;
Lx
ky 
2
my ;
Ly
kz 
2
mz
Lz
m = bilangan bulat.
Terdapat satu harga k per volume (2/L)3 dalam ruang k, atau
(4.14)
29
33
3
V
 L 
   3
 2  8
(4.15)
harga k yang diijinkan per satu satuan volume di dalam ruang k. Jumlah total ragam
dengan vektor gelombang kurang dari k adalah (L/2)3 kali volume bola yang berjari-jari
k, yaitu :
3
 L   4k 

N
 
 2   3 
3
(4.16)
Rapat keadaan adalah didefinisikan sebagai,
2
 dN  Vk dk
g    

2
 d  2 d
(4.17)
Dalam pendekatan Debye digunakan relasi dispersi  = vk di mana v = kecepatan yang
konstan. Dengan demikian, rapat keadaan pers.(4-17) menjadi :
V 2
V 2

2 2V 3 2 2
Selanjutnya kita bahas panas
g   
 1
2 
 3 3


(4-18)
 L T 
jenis sesuai dengan model Debye. Model ini
didasarkan pada asumsi Berarti sistem mempunyai ragam utama dengan 3 N derajat
kebebasan. Oleh karenanya,
m
3N  
o
g ( ) d
(4.19)
Sebagai pendekatan, Debye mendefinisikan bahwa
3V  2
3
2 2 0
g   
0   D
(4.20)
Untuk seluruh ragam vibrasi, kemudian Persamaan 4.19 dapat ditulis sebagai :
3N

V

D
o
D ³
3 ²
d 
2 ²  0 ³
2 ²  0 ³
Atau
1
 6 ² N  3
D  
 0
 V 
(4.21)
 D disebut dengan frekuensi ambang.
Suhu karateristik Debye diungkapkan dalam bentuk
 D
 D  
 k0


1

   D   6 ² N  3
 
 
 k0   V


(4.22
3034
Selanjutnya, energi vibrasi kisi per satu satuan volume adalah
U 

(  ) g ( ) d
(4.23)
 
 
exp  k 0T   1
Dengan menggunakan ungkapan Persamaan .(4.20), maka Persamaan (4.23) menjadi :
 3 
 3 d
U   2 3  
 2  0      
exp 
  1
  k 0T  
(4.24)
Kemudian didefinisikan variabel tak berdimensi,
x

D

; xD 
 D
k0T
k0T
T
.Sehingga persamaan (4.24) dapat diungkapkan dalam variabel x,
3k04T 4
2 203 3
xD
9 Nk0T 4
U 
V D ³
xD
U
x 3dx
0 e x  1
x ³ dx
x
1
e
0
(4.25)
Panas jenis dicari dengan mendiferensialkan pers.(4.25) terhadap T, yaitu
 4 exp   k T 

3

²

U
D


0 

Cv  

2

0

T

 2 ² 0 ³ k0T ²






exp  k0T  1
Dan dalam variable x,
9N k0
CV 
V
T

D



3
xD
x4 e X
 e
0
X

1
(4.26)
2
Kurva panas jenis suatu zat padat (per-mole) sebagai fungsi suhu sesuai dengan model
Debye diberikan pada Gambar 4.3.
Sifat-sifat termal U dan Cv melibatkan integral yang cukup rumit untuk
diselesaikan secara langsung. Akan tetapi dengan mudah dapat diselesaikan secara
analitik dengan pendekatan pada suhu yang sangat tinggi dan sangat rendah. Untuk suhu
yang sangat tinggi dimana T >> D.
x3
 x²
e X 1
35
31
Joule/mole-K
20
15
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Gambar 4. 3. Panas jenis sebagai fungsi suhu. Lingkaran adalah data eksperimen
dari Yttrium yang dilaporkan oleh l.D. Jennings, dkk. (1960)
Sehingga persamaan 4.25 dapat diungkapkan kembali dalam bentuk suhu T,
U

9 Nk0 T 4 xD3
V  D3
3
9 Nk0 T 4  D3
3Nk0T

3
3
V  D 3T
V
(4.27)
dan panas jenis pers. 4.26 mejadi
Cv 
3 Nk0
V
(4.28)
Hasilnya ternyata sesuai dengan pendekatan klasik. Untuk T << D, dengan mengambil
batas atas sampai tak terhingga dapat diperoleh

~
0
~
~
x 3 dx
3

x
 e nx
e x  1 0 s 1
~
 6
s 1
1 4

s 4 15
Dengan demikian, persamaan energi total pers. 4.25 dapat dinyatakan dalam suhu T, yaitu
U
3Nk0 T 4
5V  D3
Kemudian panas jenis CV dapat dihitung, yaitu
36
32
C 
12 4 Nk 0
5V
T

D
3

T 
  234 Nk D  
 

3
(4.29)
Hasilnya memperlihatkan bahwa panas jenis berbanding lurus dengan T3. Persamaan
(4.29) ini disebut dengan hukum Debye T3
Untuk suatu gradien suhu yang kecil arus thermal yang diamati sebanding dengan
T:
jv   K
dT
dx
J = - KT
(4.30)
Energi thermal per elektron adalah (T{x-l}. l = vx adalah panjang lintasan bebas
rata-rata bila v = kecepatan rata-rata dan  = waktu rata-rata
1
J  nv T x  l  T x  l 
2
Dengan perubahan suhu pada lintasan bebas rata-rata adalah sangat kecil,
persamaan di atas dapat diekspansikan sehingga diperoleh
J  nv X2 
d  dT 


dT  dx 
(4.31)
Kecepatan elektronik rata-rata dalam berbagai arah
n
v x2  v y2  v z2  1 / 3v karena :
d
N  d 
 
  Cv
dT V  dT 
adalah panas jenis, maka pers.(4.31) dapat ditulis sebagai

1
J  v 2  Cv  T
3

(4.32)
Dengan membandingkan persamaan.(4.30) dan persamaan (4.32) maka koefisien
konduktivitas panas dapat diungkapkan sebagai

1 2
1
v  C v  l vC v
3
3
(4.33)
Dari pembicaraan konduktivitas listrik DC pada logam rapat arus
__
J  E
 ne 2
 m
  



E= medan listrik, m = masa elektron, e = muatan elektron mak
1
2
Dari pendekatan klasik,Cv = 3/2Cvnkmo vdan
½ mv2 = 3/2 koT, pers.(4-34) menjadi
3


n e2
(4.34)
33
37

3k 
  0
T 2  e 
2
 1,11.10  8 Watt  Ohm 2
K
Ini dikenal sebagai hukum Wiedemann-Franz, dan sering disebut seabgai bilangan
Lorentz. Harga ini adalah sekitar setengah dari harga hasil eksperimen.
4.4.
Ekspansi Thermal
Dalam membicarakan ekspansi thermal biasanya parameter yang menjadi
perhatian adalah koefisien ekspansinya, karena koefisien ini merupakan karakteristik dari
suatu bahan. Koefisien ekspansi thermal tersebut didefinisikan sebagai,
 
1  V 


V  T  p
(4.35)
Ini dapat ditulis dalam bentuk
 
1  V

V  p
  p 
1  p 
 
  

T  T V B  T V
(4.36)
dengan
 p 
B  V 

 V T
(4.37)
dimana B adalah “modulus bulk”, yaitu modulus elastis yang mana menentukana
perubahan volume yang diakibatkan oleh adanya perubahan tekanan. Untuk
mengevaluasi ekspansi thermal kita perlu membicarakan ketergantungan volume dan
suhu terhadap tekanan. Untuk itu kita perhatikan energi bebas Helmholtz,
F  U .TS
(4.38)
Hubungan antara tekanan, p dengan energi bebas Helmholtz adalah
 F 
p  

 V T
(4.39)
Kemudian dengan pendekatan harmonik,
F  E pot  E mod us
Dengan Epot. Adalah energi potensial yang mana tidak tergantung pada suhu berkenaan
dengan adanya interaksi inter-atomik. Emodus adalah energi sebahai konsekuensi dari
adanya vibrasi kisi. Dari pelajaran fisika statistik, energi setiap modus pada osilasi
harmonik dapat diungkapkan sebagai
3438
f  k 0T ln  

  
1

  k 0T ln 1  exp  
2
k
T
 0 

(4.40)
Dari persamaan.(4.38) dan (4.40) dapat diperoleh hubungan,
dE pot.
p
dV

f
mod us V

   
  1 
  1

  
  exp  

dV
k0T  
mod us V 2



dE pot.
1




(4.41)
Keterkaitan antara frekuensi vibrasi dengan volume diungkapkan dalam bentuk
persamaan berpangkat  ~ V-, dengan  adalah parameter tak-berdimensi yang mana
disebut dengan parameter Gruneisen. Selanjutnya ini dapat dibuat dalam bentuk
persamaan diferensial,
d (ln )
 
d (ln V)
d
d

dV
V
dan
(4.42)
Dengan demikian dapat diperoleh ungkapan untu tekanan, p dalam bentuk
1
1

    
  1 
p
       exp 

dV
V mod us  2
k
T
 0   


dE pot.

(4.43)
Energi potensial tidak tergantung pada suhu sehingga koefisien ekspansi thermal  dapat
diungkapkan sebagai,

C
  V
V BV
  Emod us 

BV  T
(4.44)
CV adalah kapasitas panas kisi pada volume konstan yang mana berkaitan dengan efek
ketidak-harmonikan. Dalam hal ini volume adalah tergantung pada frekuensi vibrasi.
Pers. 44 dikenal sebagai hukum Gruneisen. Parameter  adalah menggambarkan efek dari
suku ketidak-harmonikan, ketergantungan volume terhadap frekuensi.
Soal – soal Bab 4
1. Tentukan ungkapan bagi kapasitas panas kerena vibrasi rantai linier dari atom-atom
identik dengan pendekatan Debye. Tunjukkan pada suhu rendah kapasitas panas
berbanding lurus dengan T.
2. Hitunglah energi titik nol per atom dari vibrasi kisi zat padat Argon (D=92)
39
39
BAB V
ELEKTRON DALAM LOGAM
5.1. Tingkat-Tingkat Energi dalam Satu Dimensi
Gas elektron bebas dalam satu dimensi, memenuhi teori kuantum dan prinsip Pauli.
e Seperti terlihat pada Gambar 5.1, lektron dengan massa m dapat bergerak di sepanjang
lintasan L saja karena dibatasi oleh penghalang tak terhingga pada x=0 dan x=L. Fungsi
gelombang n(x) dari elektron adalah merupakan penyelesaian dari persamaan
Schrodinger
H n x    n x 
Gambar 5.1. Tiga tingkat energi pertama dan fungsi gelombang dari elektron bebas
bermasa m sepanjang garis L. Tingkat energi ditandai berdasarkan
bilangan kuantum n. Energi n pada tingkat bilangan kuantum n adalah
sama dengan (2/2m)(n/2L)2.
Dengan mengabaikan bagian energi potensialnya, maka H = p2/2m, dimana p adalah
momentum. Dalam teori kuantum, p dapat diwakili oleh  i d / dx , sehingga :
H n  
 2 d 2 n
 n  n
2m dx 2
(5.1)
di mana n adalah energi dari elektron pada orbit ke n. Kita gunakan istilah orbital untuk
menyatakan penyelesaian dari persamaan gelombang pada sistem dengan satu elektron.
Syarat batas n(0)=0 dan n(L)=0 adalah sebagai akibat dari penghalang potensial
yang takterhingga pada x=0 dan x=L. Ini dipenuhi jika fungsi gelombangnya adalah
fungsi gelombang sinus dimana bilangan bulat n kali setengah panjang gelombang sama
dengan jarak antara 0 sampai dengan L, yaitu
36
35
40
36
 2 
x  ;

n


 n x   A sin 
1
2
nn  L
(5.2)
dimana A adalah konstanta. Kita dapat lihat bahwa persamaan (5.2) adalah penyelesaian
dari persamaan (5.1), karena
d n
 n 
 n 
 A   Cos 
x ;
 L
 L 
dx
d 2 n
 n 
 n 
x
 Sin 
2  A
 L
 L 
dx
2
dimana energi n diberikan oleh :
n 
 2  n 


2m  L 
2
(5.3)
Berdasarkan prinsip larangan Pauli tidak dimungkinkan dua elektron dapat
mempunyai seluruh bilangan kuantum yang identik. Ini berarti bahwa setiap orbital hanya
bisa ditempati paling banyak oleh satu elektron. Hal ini berlaku juga untuk elektron dalam
atom, molekul, atau zat padat.
Energi Fermi F adalah didefinisikan sebagai energi dari tingkat tertinggi yang
telah terisi dalam keadaan dasar pada sistem N elektron. Dari persamaan (5.3) dengan
n=nF, maka untuk satu dimensi,
 2  n F    2  N 
F 

 


2m * L  2m  2 L 
2
2
(5.4)
5.2. Pengaruh Temperatur Terhadap Distribusi Fermi-Dirac
Distribusi Fermi-Dirac memberikan probabilitas suatu orbit dengan energi  akan
ditempati oleh suatu gas elektron ideal pada kesetimbangan termal. Fungsi distribusi
Fermi Dirac dinyatan sebagai
f () 

1

(5.5)
exp (  ) / k B T  1
Besaran  adalah suatu fungsi terhadap temperatur. Pada nol absolut =F, karena
dalam limit T 0 fungsi f() berubah secara tidak kontinyu dari nilai 1 (terisi) ke nilai 0
(kosong) pada =F = . Pada semua temperatur f() sama dengan ½ ketika  = ,
dimana penyebut pada persamaan (5.5) akan bernilai sama dengan 2.
Besaran  adalah potensial kimia dan pada temperatur absolut sama dengan nol
potensial kimia tersebut adalah sama dengan energi Fermi, yang didefinisikan sebagai
energi dari orbital teratas yang telah terisi. Daerah dimana
- >> kB T; suku
41
37
eksponensial akan dominan pada penyebut persamaan (5.5), sehingga f()  exp [)/k0T]. Batas ini disebut distribusi Boltzmann atau Maxwell.
5.3. Gas Elektron Bebas Dalam Tiga Dimensi
Persamaan Schrodinger partikel bebas dalam tiga dimensi adalah :

2 2
2   2
 2
  (r )  k  k (r )

2m   x  y 2  z 2  k
(5.6)
Jika elektron dibatasi oleh kubus dengan sisi L, fungsi gelombangnya adalah gelombang
berdiri:
 n x x   n y y   n z z 
 sin 
 sin 
 (5.7)

 L   L   L 
 n r   A sin 
dimana nx, ny, nz adalah bilangan bulat positif. Titik asal adalah pada salah satu sudut dari
kubus.
Fungsi gelombang yang periodik dalam x, y, z dengan periode L, yaitu:
 x  L, y, z   x, y, z 
(5.8)
demikian juga untuk koordinat y dan z. Fungsi gelombang memenuhi persamaan
Schrodinger untuk partikel dan memenuhi kondisi keperiodikan adalah berbentuk
gelombang datar berjalan,
 k r   ekspik .r 
(5.9)
dimana komponen dari vektor gelombang k memenuhi
k x 0 ;

2
;
L

4
; . . .,
L
(5.10)
demikian juga untuk ky dan kz
Setiap komponen k memiliki bentuk 2n/L, dimana n adalah bilangan bulat positif
atau negatif. Komponen k adalah bilangan kuantum bersama dengan bilangan kuantum
ms untuk spin. Nilai-nilai kx yang memenuhi persamaan (5.8), untuk :
expik x  L  expi 2nx  L / L
 exp i2nx / L exp i2n 
 exp i 2nx / L  exp i 2n 
(5.11)
Dengan mensubstitusikan persamaan (5.9) ke persamaan (5.6) maka diperoleh energi k
dari orbital dengan vektor gelombang k.
42
38
k 
2 2 2 2 2 2
k  (k x k y  k z )
2m
2m
(5.12)
Besar vektor gelombang dihubungkan dengan panjang gelombang  oleh relasi k =2/.
Momentum linier p direpresentasikan dengan mekanika kuantum dengan operator
p  i , dengan demikian untuk orbital Persamaan (5.9), akan dipenuhi :
p k (r)   i k (r)  k k (r)
(5.13)
sehingga gelombang datar k merupakan fungsi-eigen dari momentum linier dengan nilai
eigen k Kecepatan partikel dalam orbital k adalah diberikan oleh v = k/m.
Untuk sistem N elektron bebas dalam keadaan dasar, elektron elektron yang
menempati orbital dapat direpresentasikan sebagai titik-titik di dalam suatu bola dalam
ruang k. Energi pada permukaan bola adalah energi Fermi; vektor gelombang pada
permukaan Fermi mempunyai besar sama dengan kF, seperti (Gambar 5.4), sedemikian
rupa sehingga :
F 
2 2
k
2m F
(5.14)
Dari Persamaan (5.10) terdapat satu vektor gelombang yang diijinkan untuk
elemen volume (2/L)3 pada ruang k. Jadi dalam bola dengan volume 4kF3/3, jumlah
total orbit adalah :
4 k F3 / 3
V 3
2.
k  N
3 
(2 / L)
3 2 F
(5.15)
dimana faktor 2 pada ruas sebelah kiri berasal dari dua harga yang diperbolehkan pada
ms, yaitu bilangan kuantum spin, untuk setiap harga k yang diijinkan. Selanjutnya kita
dapatkan :
 3 2 N 

kF  
 V 
1/ 3
(5.16)
dimana hanya tergantung pada konsentrasi partikel. Dengan menggunakan Persamaan
(5.14) dapat ditulis sebagai
 2  3 2 N 


F 
2m  V 
2/3
(5.17)
43
39
Gambar 5. 4. Dalam keadaan dasar sistem N elektron bebas menempati orbital sistem
mengisi bola dengan jari-jari kF, dimana F   2 k F2 / 2m adalah energi
elektron yang mempunyai vektor gelombang kF.
Persamaan (5.17) menjelaskan ubungan antara energi Fermi dengan konsentrasi elektron
N/V. Kecepatan elektron vF pada permukaan Fermi adalah :
2
 k     3 N 

v F   F    
 m   m  V 
1/ 3
(5.18)
Selanjutnya kita lakukan perhitungan terhadap jumlah orbital per satuan daerah
energi, yaitu kerapatan keadaan D(). Kita gunakan persamaan (5.17) untuk jumlah
total orbital pada energi   :
V  2m  
N 2  2 
3   
3/ 2
(5.19)
sehingga kerapatan keadaan Gambar 5 adalah :
dN V  2m 
D()  2 . 2 
d  2   
3/ 2
. 1 / 2
(5.20)
Persamaan (5.20) dapat disederhanakan menjadi:
3
1nN  1n  konstan ;
2
dN 3 d 
 .
,
N 2 
dengan
D () 
dN 3 N

d  2
(5.21)
Sehingga jumlah orbital per unit energi Fermi adalah jumlah total elektron konduksi
dibagi oleh energi Fermi, seperti yang kita harapkan.
44
40
5.4.
Kapasitas Panas Gas Elektron
Ketika kita memanaskan suatu bahan dari nol absolut, tidak semua elektron
mendapat energi ~k0T seperti yang diharapkan secara klasik, tetapi hanya elektronelektron dalam orbital-orbital dapat dieksitasi secara termal pada temperatur T dan
elektron-elektron ini mendapat tambahan energi sebesar k0T, seperti terlihat pada Jika N
adalah jumlah total elektron, hanya beberapa elektron dalam orde T/TF dapat dirangsang
secara termal pada temperatur T, karena hanya ini yang berada di dalam daerah energi
dalam orde k0T pada bagian atas dari distribusi energi. Setiap fraksi NT/T F ini elektron
mempunyai energi termal sebesar k0T. Energi kinetik termal elektronik total U adalah
dalam orde
U  (NT / TF) k0T.
(5.22)
Kapasitas panas elektron adalah sebagai berikut
C el 
U
 Nk 0 (T / TF )
T
(5.23)
dan berbanding langsung T, sesuai dengan hasil percobaan. Pada temperatur ruang C el
adalah lebih kecil dibandingkan dengan nilai klasik (3/2)Nk0 dengan faktor dalam orde
0,01 atau kurang, untuk TF  5x104 K.
Ungkapan kuantitatif untuk kapasitas panas elektronik pada temperatur rendah
k0T<< F. Penambahan U  U T   U 0 terhadap energi total (Gambar 5.5) pada
sistem N elektron jika dipanaskan dari 0 ke T adalah :

F
0
0
U  d  D() f () d D()
(5.24)
di sini f() adalah fungsi Dirac-Fermi dan D() adalah jumlah orbital persatuan energi.
Kita kalikan identitas

F
0
0
N  d  D() f () d  D()
(5.25)
dengan F untuk memperoleh
 F    d  f () D() F d  D()
F
F
0
 0 F 
(5.26)
Kita gunakan (26) untuk menulis kembali (24) seperti

1
0
0
U   d (F ) f () D()  d (F  )[1  f ()]d ()
(5.27)
Hasil ()D() d di dalam integral pertama adalah jumlah elektron yang
meloncat ke orbital dalam daerah energi d pada energi . Faktor [1-()] dalam integral
41
45
kedua adalah probabilitas elektron yang telah berpindah dari orbital .
C el 
df
dU 
  d (F ) D()
dT 0
dT
(5.28)
Jika variasi dari  dengan T menyarankan bahwa bila k0T << F kita abaikan
ketergantungan temperatur potensial kimia  pada fungsi distribusi Fermi-Dirac dan 
diganti dengan konstan F. Kita dapatkan kemudian dengan kBT,
df F exp[( F ) /  ]

.
d  2 {exp[( F ) /  ]1}2
(5.29)
Kita ambil
x  (-F)/
(5.30)
Dan dari Persamaan (5.29) dan (5.30) maka
C el  k 02 T D( F )

F / t
Dengan
dx x 2
ex
(e x  1) 2
(5.31)
mengganti batas bawah dengan - karena faktor ex di dalam
pengintegralan adalah sangat kecil pada x = -F/ jika kita berbicara pada temperatur
rendah sedemikian rupa F/~100 atau lebih. Integral menjadi



dx x 2
2
ex

3
(e x  1) 2
(5.32)
Sehingga kapasitas panas gas elektron persamaan (5.32) menjadi
1
Cel   2 D (F ) k 02 T
3
(5.33)
Dari persamaan (5.21) kita dapatkan bahwa
DF   3N / 2 F  3N / 2k 0TF
(5.34)
untuk gas elektron bebas dengan k0TF  F. Selanjutnya, Persamaan (5.34) menjadi
1
C el   2 Nk 0T / TF
2
(5.35)
Temperatur Fermi, TF sesungguhnya bukanlah temperatur yang nyata tetapi hanya notasi
dari temperatur referensi
5.5. Efek Hall
Medan Hall adalah medan listrik yang terbentuk melewati dua permukaan
konduktor dalam arah jxB, bila arus j mengalir memotong medan magnet B. Andaikan
bahan berbentuk batang dalam arah longitudinal medan listrik, Ex dan transversal medan
42
46
magnet, seperti tampak dalam Gambar 5.14. Jika tidak ada arus yang mengalir keluar
batang dalam arah y maka vy=0. jika medan listrik transversal
E y   c E x 
eB
E
m x
(5.37)
Kuantitas yang didefinisikan sebagai :
RH 
Ey
jx B
Koefisien Hall
(5.38)
Untuk mengevaluasi model yang sederhana tersebut kita gunakan jx = ne2Ex/m dan
koefisien Hall menjadi :
RH  
1
ne
(5.39)
Gambar 5.14. Susunan standar dari efek Hall, sampel dengan tampang lintang segiempat
diletakkan pada medan magnet yang berada dalam arah Z seperti pada (a).
Medan listrik Ex dilewatkan pada salah satu sisi elektroda menyebabkan arus
listrik jx mengalir sepanjang sampel. Kecepatan hanyut dari elektron yang
bermuatan negatif segera terjadi setelah diberi medan listrik seperti terlihat
pada (b). Pembelokan ke arah y ini terjadi karena adanya medan magnet.
Elektron terkumpul pada salah satu sisi dari batang dan kelebihan ion positif
terkumpul pada sisi yang berlawanan sampai seperti terlihat pada (c), medan
listrik tranversal (medan Hall) saling meniadakan dengan gaya Lorentz yang
disebabkan oleh medan magnet.
.Pengukuran koefisien Hall sangat penting untuk mengukur konsentrasi pembawa
muatan. Simbol RH yang menyatakan koefisien Hall kadang-kadang digunakan dengan
maksud yang berbeda, yaitu sebagai resistansi Hall dalam masalah dua dimensi.
Resistansi Hall didefinisikan sebagai,
43
47
 H  BR H  E y / j x (5.55a)
(3.40)
dimana jx adalah kerapatan arus permukaan dalam arah x. Persamaan sederhana
persamaan 5.55 diperoleh dengan asumsi bahwa waktu relaksasi seluruhnya adalah sama,
tidak tergantung pada kecepatan tiap elektron.
Daftar Pustaka
1. C. Kittel, Intruduction to Solid State Physics, 6-edition,john Willey &Sons, Inc,
California
2. J. S. Blakemore, Solid State Physics, 2-edition
3. M. A. Omar, Elementary Solid State Phisics : Principles & Application, Addison –
Wesley Publihing, Manila 1975
4. V. Rajendran, A. Marikani, Materials Science, Tata McGraw-Hill Publiching, New
Delhi, 2004