第一类贝塞尔函数：数学定义与图形

第一
一类贝塞
塞尔函数
数
0进行
行分离变量
量法得到贝
贝塞
在柱坐标
标系中对
对拉普拉斯
斯方程
尔方
方程
0
（
（1）
对应于贝塞尔方
方程的通解
解为
（
（2）
或
（3）
上述第一
一种解的表达式只
只对
1
为整数阶
阶时，
种解
解的表达式
式对任意
意
把
为非
非整数情况
况是成立的，因为
为当
，两个解
解不是独立
立的解；第
第二
均成立
立。
塞尔函数。
称为第一类贝塞
图1
0 阶、1 阶和 2 阶第一类贝
贝塞尔函数（J
线
x ）曲线
第一类贝塞尔函数的级数表达式
1
!
1
k
2
0
4
伽马函数
,
1
1;
0
1；当 n 为正整数时，
2
1
！
整数阶贝塞尔函数的母函数
把e
和e
分别展开为绝对收敛级数，然后逐项相乘而得到
1
x
m n ! n! 2
e
1
J
J
因此 e
1
n! |m|
1
x z
x z
z
x
n ! 2
1
J|
|
| |
z
x z
（5）
称为整数阶第一类贝塞尔函数的母函数。这是丹麦
天文学家汉森于1843 年提出的。
雅可比-安格尔恒等式
在（5）式中，令
，则
（6）
也可以变换为
（7）
雅可比-安格尔恒等式在物理（平面波与柱面波相互转换）和信
号处理（描述调频信号）中非常有用。
由于
1
为整数阶时，
，则式（7）变为
2
（8）
，等式（8）两
利用欧拉公式
边的实部、虚部分别相等，得到
2
2
1
cos 2
cos 2
1
同理，可得
2
2
2
2
1
1