MODUL GEOMETRI Mengerti, memahami, dan memiliki

Pertemuan ke 10
MODUL
GEOMETRI
Standar Kompetensi
Mengerti, memahami, dan memiliki
pengetahuan serta kemampuan untuk
menerapkan ilmu matematika dalam
memecahkan masalah di bidang teknik
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
1
Kompetensi Dasar
1.
2.
3.
4.
Mampu melakukan pengukuran sudut dengan berbagai cara
Mampu menghitung kll dan luas bidang datar
Dapat menggambar bangun ruang
Dapat menghitung luas permukaan dan isi bangun ruang
Indikator Hasil Belajar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Mampu menunjukan hubungan antara satuan derajat dengan radian
Mengetahui sifat-sifat segitiga
Menghitung luas luas segitiga
Mengetahui sifat-sifat segi empat
Menghitung luas segi empat
Mengitung:kll,luas, dan luas bagian lingkaran
Menghitung luas daerah dengan aturan Trapesium
Mampu menggambar betuk prisma, limas dan elipsoida
Mampu menghitung luas permukaan prisma kubus,baluk,tabung,
limas, kerucut dan bola
10. Mampu menghitung volume sebuah: prisma balok,tabung, kerucut,
bola dan elipsoida
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
2
Materi Pokok
Dasar-Dasar Geometri Bidang
1. Pengukuran sudut
2. Segi tiga
3. Segi empat
4. Segi – n
5. Lingkaran
6. Elips
7. Bidang tak beraturan
Geometri Ruang
1. Bujursangkar , Kubus, Selinder,dan kerucut
2. Prisma
3. Limas
4. Bola
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
3
Dasar-Dasar Geometri Bidang
Sudut Datar dan Garis
A
O
B
AOB
Arah
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
4
Satuan sudut
derajat
radian
1 putaran = 3600 (derajat)
1 derajat = 60’ (menit)
1 menit = 60 “ (detik)
Sudut dalam radian
Panjang busur lingkaran
jari jari lingkaran
Sudut dalam radian =
2 r
r
1 putaran = 3600 ( sama dengan
keliling limgkaran), berarti
2 radian = 3600
radian = 1800
2
1 radian =
180 0
57,30
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
5
Nyatakan sudut 1100 kedalam radian
110 0
110 0
180
0
1,92rad .
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
6
Perpotongan Dua Garis Lurus
Jika dua garis lurus berpotongan, ada dua sudut bertolak belakang yang sama
A2
A1
A3
A2
A4
A1
A3 A4
Sudut sudut bertolak belakang
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
7
Jika ada dua garis sejajar dipotong oleh satu garis lurus, maka ada sudut-sudut yang
sama, yaitu:
Sudut sehadap
Sudut dalam berseberangan
Sudut luar bersebrangan
2
A3
4 1
3 2
B 1
A1
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
A1
B3
A4
B2
A2
B4
A3
B1
Sudut sudut sehadap
Sudut sudut dalam bersebrangan
Sudut sudut luar bersebrangan
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
8
Bidang Datar
Segitiga
Setiap segitiga berlaku sifat-sifat
a). Jumlah sudut dalamnya sama dengan 1800.( + + = 1800)
b). Jumlaj sudut luar sama dengan 3600 (.( 1+ 1 + 1 = 3600)
c). Hubungan antara sudut luar denga dalam
1=. +
+
1=
1= +
1
1
1
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
9
Segitiga sama dan sebangun ( )
Dua buah segitiga disebut sama dan sebangun , jika:
1. Satu sisi dan dua sudut sama besar
2. Dua sisi dan sudut antara dua sisi tersebut sama
besar
3. Ketiga sisinya sama
Segitiga Sebangun ( )
Dua segitiga adalah sebagun, jika ketiga sudut yang
seletak sama besar
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
10
C
D
E
B
A
DCE
CDE
ACB
CAB
CDE
CBA
DEC dan ABC adalah sebangun
Untuk segitiga sebangun berlaku perbandingan
DE
AB
CD
CA
CE
CB
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
11
Luas daerah segitiga dan keliling segitiga
C
b
A
L
L
s
L
a
t
Keliling segitiga s = a + b + c
B
c
alas x tinggi
2
s( s a )( s b)( s c)
a b c
2
1
bc sin A
2
1
ac sin B
2
1
ab sin C
2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
12
Teorema Phytagoras pada segitiga
c
b
c 2 = a 2 + b2
a
a
450
300
300
1
s 2
2
s
s
s
1
s 3
2
450
600
600
1
s
2
s
1
s
2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
13
Contoh 1
Sebuah baji yang simetris mempunyai panjang ( dari alas kepuncaknya
100 mm). Lebar alasnya 20 mm. Bila baji tersebut ditempatkan pada celah
yang lebarnya 8 mm, berapakah panjang baji tersebut dari celah
Penyelesaian: Misalkan panjang baji dari celah = x mm
20 mm
8 mm
x
100 : (100-x) = 20 : 8
(100 –x) mm
x = 60 mm
100 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
14
Contoh 2
Sebuah kerucut mempunyai diameter 48 mm dengan tinggi 60 mm. Dari
kerucut ini dibentuk kerucut yang lebih kecil yang tingginya 20 mm. Hitung
diameter dari kerucut yang lebih kecil tersebut.
Penyelesaian:
A
20
AFE
AGC
20
60
D
E
F
20
AF FE
60
AG GC
FE 1 / 3 X 24
FE
FE
24
B
24
G
24
C
8
Jadi diameter kerucut yang lebih kecil 2.8 mm =16 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
15
Sebuah segitiga mempunyai panjang sisi 15 mm, 24 mm, 36 mm,
panjang sisi terpendek segitiga sebangunnya adalah 20 mm. Hitunglah
panjang kedua sisi yang lainnya.
1
2
Sabuk penggerak bersilangan menghubungkan pully yang
berdiameter 100 mm dan 240 mm. Hitung jarak di mana sabuk
bersilangan diukur dari pusat pully yang terbesar.
240 mm
100 mm
400 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
16
3
4
Tiga kabel melalui lubang berbentuk lingkaran. Bila kabel
berdiameter 8 mm. Tentukan kemungkinan terkecil diameter
lubang (D)
Gambar.
Dua buah lingkaran masing-masing berdiameter 78 mm dan 50
mm berpotongan pada A dan B. Jika tali busur AB mempunyai
panjang 30 mm, sedangkan C dan D masing-masing adalah
lingkaran yang besar dan kecil . Hitunglah:
a. Jarak pusat lingkaran – lingkaran tersebut ( CD)
b. Luas setiga CAD
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
17
Ke 11
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
18
Segiempat
Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong
garis yang saling bertemu dan menutup
D
C
A
B
Empat persegi panjang
c
D
d
A
C
E
a
b
B
AB = CD dan AB // CD
AD = BC dan AD // BC
A = B = C = D =90o
AC dan BD diagonal
Keliling = 2 ( panjang + lebar )
Luas = panjang x lebar
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
19
Bujur Sangkar
D
A
a
A
a
D
E
a
a
B
AB = CD dan AB // CD
AD = BC dan AD // BC
A = B = C = D =90o
AC dan BD diagonal AC = BD
AE=EC=DE=EB
DE
AC
Keliling = 4a
Luas = a2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
20
Jajaran Genjang
Sifat-sifat jajaran genjang:
Dua buah pasang sisinya sejajar
Sudut yang berhadapan sama besar.
D
C
E
A
B
AC = DC; AD = BC
AE = EC ; DE = EB
A= C ; B = D
Kll = ( AB + BC ).2
Luas = alas x tinggi atau
Luas = ½ ( hasil kali diagonal)
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
21
Belah Ketupat
Sifat-sifat belah ketupat
-. Panjang semua sisi adalah sama
-. Sisi yang berhadapan adalah sejajar
-. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar.
D
C
E
A
B
AB = BC = CD = DA
AB//CD
AD//BC
DE AC
Luas = ½ ( AC x BD )
Luas = alas x tinggi
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
22
Trapesium
Sifat-sifat dari trapesium yaitu mempunyai satu pasang sisi yang sejajar
AB//CD
+ + +
= 3600
Kll = AB + BC + CD + DA
Luas
Jumlah sisi sejajar
x tinggi
2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
23
CONTOH 1
1
Sebuah jajaran genjang dengan panjang sisi yang berdekatannya
masing-masing 5 mm dan 8 mm, sudut apitnya sebesar 600 .
Hitunglah:
a). Panjang diagonal-diagonalnya
b). Luas jajaran genjang
c). Jarak antara garis-garis yang sejajar.
Penyelesaian
D
C
60O
A
F
B
E
BE = ½ BC
BE = ½ x 5 =2,5
AC
AE 2
CE 2
AC
(8 2,5) 2
BD
DF 2
BD
( 2,5 3 ) 2
( 2,5 3 ) 2
11,36mm
FB 2
(8 2,5) 2
49
7mm
G
Jadi BD = 7 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
24
Luas = alas x tinggi
L = AB x DF
L = 8 x 2,5 3=34,64 mm
DF = 2,5 3 = 4,33 mm
BG = ½ AB
=½.8
=4
AG
AB 2
AG
82
BG 2
42
48
6,93mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
25
CONTOH 2
Hitunglah luas belah ketupat dengan sisi 7,2 mm dan diagonal
terpanjang 10,5 mm
D
10,5
A
D
7,2
B
Penyelesaian
Luas belah ketupat adalah jumlah luas 2 buah setiga ABC dengan
panjang sisi 7,2, 7,2 dan 10,5
a = 7,2; b = 10,5 dan c = 7,2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
26
a b c
2
Luas ABC
7,2 10,5 7,2
12,45
2
s ( s a )( s b)( s c)
Luas ABC
12,45(12,45 7,2)(12,45 10,5)(12,45 7,2)
s
25,87 mm 2
L = 2 x 25,87 = 51,7 mm2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
27
Soal 5
Diketahui segitiga OAB seperti pada gambar
B
y
3x
D
C
2y
x
T
O
A
Titik C pada garis AB dan titik D pada garis OB. Titik T
perpotongan OC dan AD sedemikian hingga AC:CB = 2 : 1 dan
OD : DB = 1 : 3. Tentukan OT : TC !
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
28
Penyelesaian
Panjang OA tidak ditentuka n maka berlaku untuk semua segitiga. Diambil
Segitiga OAB siku-siku di B, panjang OA = 5, BO = 4 dan AB = 3
Perhatikan segitiga ABO
Kesamaan luas segitiga OAB = Luas segitiga ABO
B
1
3
D
O
C
2
T
1
G
1
OA.EB
2
H
F
E
1
AB.BO
2
5.EB = 3 . 4
12
EB
5
A
5
Perhatikan segitiga OBE siku-siku di E
OE
( BO) 2 ( BE ) 2
4
OE
16
5
2
12
5
2
AE = AO – OE
AE
5
9
5
16
5
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
AE
29
Perhatikan
OBE
OB
OD
4
1
DG
ODG
BE
DG
OB
OD
12
5
DG
3
5
4
1
OG
1
3
1
O
G
16
5
DG
4
5
Jadi Koordinat Titik D
B
D
OE
OG
4 3
,
5 5
C
2
T
H
E
F
A
5
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
30
Perhatikan
ABE
ACF
AB
AC
BE
CF
B
1
3
D
1
O
G
C
2
T
H
E
F
12
5
CF
8
5
3
2
A
CF
5
Dan
AB
AC
3
2
CF
Jadi Koordinat Titik C
19 8
,
5 5
OF
AE
AF
9
5
AF
6
5
5
6
5
19
5
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
31
Persamaan grs OC: grs melalui titik O(0,0) dan
C( 19/5, 8/5)
B
Pers. grs OC:
1
3
D
O
2
T
1
x 0
y 0
19
8
0
0
5
5
x
y
19 8
5
5
C
G
H
E
F
A
5
y1
Jadi pers. grs OC:
Persamaan grs AD: grs melalui titik O(5,0) dan
C( 4/5, 3/5)
x 5
4
5
5
x 5
21
5
y 0
3
0
5
y
3
5
Jadi pers. grs AD:
y2
8
x
19
x 5
7
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
32
8
x
19
y1
Titik T titik tengah perpotongan daris OC
dan AD, akibatnya:
B
y1
1
3
D
1
O
y2
G
C
2
T
H
E
F
A
5
x 5
7
Jadi OH =
19
15
=
y2
8
x 5
x
19
7
56
x x 5
19
75
x 5
19
19
x
15
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
33
Perhatikan
B
1
3
D
1
O
OHT
OFC
OT
OC
C
2
T
OT
OC
G
H
E
F
5
Akibatnya:
A
OT
OC
OT
TC
OT
TC
OT
TC
OT
OC OT
1
3 1
1
2
OH
OF
19
15
19
5
1
3
Jadi OT : TC = 1 : 2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
34
Soal 10
Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar 1
Gambar 1
Penyelesaian
Luas daerah yang diarsir = Luas ABD + Luas ABE
=½ 4 6+ ½ 4 9
= (12 + 18
2 Luas ABC
2 ½ 4 3
12) cm2
Jadi luas daerah yg diarsir 18 cm2 Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
35
Soal 11
ABC adalah sebuah segitiga dengan panjang AB
= 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang
menyinggung sisi AB di K, AC di L dan BC di M
(lihat gambar 2). Jika panjang LC = 5, tentukan
keliling segitiga ABC.
Gambar 2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
36
Soal 12
Pada segitiga ABC diketahui panjang AC = 5, AB
= 6 dan BC = 7. Dari titik C dibuat garis tegak
lurus sisi AB memotong sisi AB di titik D.
Tentukan panjang CD.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
37
Soal 13
Perhatikan gambar. AB dan CD adalah diameter
lingkaran dengan AB = CD = 8 serta AB dan CD
saling tegak lurus. Busur AC, CB, BD dan DA adalah
4 busur yang kongruen dengan dua busur yang
berdekatan saling bersinggungan. Tentukan luas
daerah yang diarsir. (Jawaban boleh dinyatakan
dalam . Ingat bahwa
22/7 maupun 3,14.)
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
38
C
C
E
E
F
A
B
A
G
H
D
Buat persegi EFGH dengan A, B, C dan D adalah pertengahan
sisi-sisinya.
Luasarsir =
Luaspersegi EFGH
Luasarsir = 8 8
Luasarsir =
64
O
4 (¼
16
Misal
perpotongan
garis AB dan CD di
titik O
4 Luas1/4 lingkaran
42 )
Cara Lain :
Luastembereng AC = Luas1/4 lingkaran Luas
Luas arsir =
Luas arsir =
Luas lingkaran
42 8 (4
AOC
=4
8
8 Luas tembereng
8)
Ketut Darma Teknik Mesin
Luas arsirGeometri
= 64 by16
Politeknik Negeri Bali
39
Alternatif 2 :
Misal perpotongan garis AB dan CD
di titik O
Luastembereng AC = Luas1/4 lingkaran
Luas AOC
Luastembereng AC = ¼
42 ½ 4
4
Luastembereng AC = 4
8
Luas arsir = Luas lingkaran
8
Luas tembereng
Luas arsir =
42 8 (4
8)
Luas arsir = 64 16
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
40
Soal 4
Pada segitiga ABC, titik F membagi sisi AC dalam
perbandingan 1: 2. Misalkan, G titik tengah BF
dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan
AG. Tentukan perbandingan, titik E membagi
sisi BC
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
41
Penyelesaian:
Teori:
Perbandingan seharga dan segitiga sebangun
Karena segita ABC berlaku untu semua segitiga termasuk
segitiga siku-siku. Ambil segitiga ABC siku-siku dan siku-siku di A
Misalkan AC = 3 dan AB = 4
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
42
Y
Karena segitiga ABF dan DBG sebangun berlaku:
AF
DG
C
2
BF
BG
Karena G titik tengah BF maka
3
F
E
G
A
D
AF
DG
1
DG
Akibatnya:
1
H
B
BF
BG
X
4
DG
Jika DG = ½ AF maka; AD = ½ AB = ½.4 = 2
1
2
Jadi Koordinat titik G (2,2 )
Kemiringan
tg
garis
1
2
2
DG
AD
Persamaan
Sedangkank
3
y
x
4
grs
an
2
1
BF
BG
2
1
1
2
AG
1
4
AG
: y
pers,
grs
1
x
4
BC : 3x
4y
12
3
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
43
Kemiringan garis AG
tg
DG
AD
1
2
2
1
4
1
x
4
Sedangkank an pers, grs BC : 3x 4y
Persamaan grs AG :
y1
y2
3
x
4
12
3
Titik E berpotongan garis AG dan BC, maka y1 = y2
1
3
x
x 3
4
4
maka x 3
Maka, AH 3 dan HB 1
1
Akibatnya : BE
BC
3
BE 1
BC 3
Jawaban:
B Teknik Mesin
Geometri by
Ketut Darma
Politeknik Negeri Bali
44
Ke 12
Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik- titik yang berjarak tetap
terhadap satu titik. Jarak yang tetap itu disebut jari-jari (r) sedangkan
titiknya disebut pusat lingkaran.. Sebuah lingkaran yang berjari-jari r
dengan pusat P dinyatakan dengan (P,r).
P
r
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
45
Unsur-Unsur Lingkaran
tali busur
diameter
Jari-jari
Ruas garis yang menghubungkan dua titik di lingkaran dinamakan
talibusur. Talibusur yang melalui pusat lingkaran dinamakan garis
tengah/diameter
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
46
Diameter suatu lingkaran yang tegak lurus sebuah tali
busur, membagi dua tali bususr itu
Diameter lingkaran yang melalui titik tengah ebuah tali
busur, tentu tegak lurus talibusur itu
Setiap diameter lingkaran adalah sumbu simetri lingkaran itu
A
M
B
O
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
47
Keliling, luas , busur, sudut pusat dan juring
busur
O
= sudut pusat
r
Keliling lingkaran C = 2 .r = .d ; d = diameter lingkaran
Luas lingkaran L = r2 = ¼ d2
= 3,14
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
48
Panjang busur
L busur )
keliling
x
360 0
L busur )
keliling
x
2
360
2
0
(2 r )
.2 r
bila
dinyatakan dalam derajat
r
dinyatakan dalam radian
Luas sektor/juring:
Asektor
r
O
360
0
( r 2 ),
dalam derajat
Lbusur
Asektor
2
2
( r )
r2
2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
49
Luas Segmen lingkaran
B
A
O
Luas segmen = luas juring – luas
AOB
r
Luas segmen
360 0
r2
1 2
r sin
2
Sifat-Sifat Lingkaran
Sudut yang terletak dipusat besarnya dua kali sudut yang terletak
dikelilinglingkaran dan semua sudut yang terletak di keliling lingkaran
dan semua sudut yang terletak dikeliling lingkaran pada busur yang
sama adalah sama besar
Sebua sudut yang yang terletak pada segmen yang sama
adalah sama besar, sehingga sudut yang terletak di kekeling
setengah lingkaran adalah siku-siku.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
50
C
O
A
B
AOB = 2
AOC
CAO = 2
CBO
O
P
R
N
M
PMR =
RNP =900
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
51
Bila dua buah tali busur sebuah lingkaran berpotongan, baik di dalam
maupun di luar lingkaran tersebut, hasil kali ke dua segmen tali busur
yang satu sama dengan hasil kali kedua segmen tali busur yang lain
D
D
A
A
A
O
O
C
C
OA x OB = OD x OC
(berpotongan di dalam)
B
B
C
O
D
OA x OB = OC x OD
(berpotongan di luar)
OAxOA = OD x OC
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
52
Dua buah garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran
adalah sama panjang, dan sudut yang terletak antara garis singgung dan
garis singgung dan garis garis yang ditarik dari titik itu ke pusat lingkaran
tersebut adalah sama besar.
A
O
C
B
Bila dua buah lingkaran berpotongan, maka garis antar pusat akan
memotong tegak lurus tali busur persekutuannya di tengah-tengah
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
53
1
Tentukan lebar potongan bila sebuah batang bulat berdiameter 74 mm
dipotong sedalam 2 mm. ( lihat gambar).
Penyelesaian
C
A
O
B
2mm
74 mm
Kedalaman pemotongan CO =
2 mm
Lebar pemotongan = x
E
OA x OB = CO x OE
1 1
x x 2.72
2 2
1 2
x
144
4
x 24
OA
OB
1
x
2
Jadi lebar pemotongannya adalah 24 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
54
2. Diketahui seperti gambar
Jika diameter lingkaran 12
mm, hitunglah MA
A
B
600
M
Penyelesaian
tg 30 0
AM
OA
AM
AM
6
18
3
3
3
6
tg 30 0
6 3
Jadi MA = 6 3
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
55
3
Pada gambar berikut adalah segitiga siku-siku ABC dengan lingkaran
dalamnya
B
E
D
A
F
C
a. Hitunglah BC dan CA jika AD = 2 cm dan BE = 3 cm
b. Hitunglah diameter lingkaran dalamnya jika AB = 6 cm
dan BC = 10 cm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
56
Penyelesaian
B
E
D
A
C
AF = AD = 2
F
BE = BD = 3
AB = 5
Misalkan CF = x maka CE = CF = x
BC 2
AC 2
(3 x) 2
AB 2
(2 x) 2
9 6x x 2
2 x 29 9
x 10
4 4x
52
x2
25
Jadi BC = 13 cm dan CA = 12 cm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
57
b. Misalkan AD = y cm
B
D
E
M
y
AC
BC 2
AD 2
AC
100 36
8
D
A
F
BE = BD = 6 – y
AF = AD = y
CE = CF = 8 – y
BC = 10
(6 – y ) + (8 – y) = 10
2y = 4
y=2=r
Jadi diameter lingkaran d = 4
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
58
Latihan
1 Jari-jari ketiga lingkaran berikut adalah sama.
t
a. Jika jari-jari ketiga lingkaran itu adalah 12cm hitunglah harga t
b. Htunglah jari-jari lingkaran yang menyinggung ketiga lingkaran
itu untuk didalam dan diluar.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
59
2
Empat bola timah dengan jari-jari 12 cm akan diikat bersama-sama
ke dalam lak band platik seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Berapakah panjang lak band plastik yang diperlukan agar ke empat
bola tersebut dapat terikat secara bersama-sama.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
60
2
Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut
(a)
(b)
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
61
4
Pada gambar berikut hitunglah R jika p = 4,25 cm
C
D
N
3,75
M
A
B
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
62
Pertemuan ke 13
Volume dan Luas Permukaan
Benda Berdimensi 3
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
63
Balok
V = a.b.t
t
Luas permukaan A = 2 (ab + at + bt)
b
a
Kubus
V = x3
Luas permukaan A = 6 x2
x
x
x
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
64
Selinder
r
Volume V = .r2.t = ¼ .d2t
t
d
Luas permukaan A = 2. .r2 + 2 .r.t = 2 .r( r + t )
Volume sebuah pipa dengan diameter luar
D dan diameter dalam d dan tinggi h
V
h
4
(D 2
d 2 ).h
D
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
65
Kerucut.
Volume V = 1/3 .r2.t
Luas selimut = .r.i
i
t
Luas total permukaan = .r2 + .r.i
i
i
garis pelukis (hypothema)
r2
t2
r
Kerucut Terpancung.
Volume V = 1/3 .t (R2 + R.r + r2)
Luas selimut = . i ( R + r )
Luas total permukaan = r2 + R2 + . i ( R + r )
r
i
t
R
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
66
Piramid.
t
Volume V = 1/3 A. t.
A = luas bidang alas
t = tinggi.
Luas total permukaan
= luas bidang alas + jumlah luas segitiga.
Prisma.
Volume V = A.t
A = luas bidang alas
t = tinggi.
Luas total permukaan =
luas bidang alas + jumlah luas bidang dimensi dua
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
67
Bola
Volume V = 4/3. .r3
Luas permukaan = 4 .r2
r
Tembereng Bola
Volume V
r
h
atau V
R
h2
(R
3
h
(3r 2
6
h)
h2)
Luas permukaan = luas permukaan lengkung + luas alas
= 2 .R.h + r2.atau
= (r2 +h2) + .r2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
68
Contoh
1
Gambar berikut menunjukkan paku keling dengan memotong batang
berdiameter 5 mm, lalu ditempa kepalanya (ujungnya). Berapa
panjang batang yang dibutuhkan
Penyelesaian
5
8
18
Kepala (ujungnya) merupakan
kerucut terpancung
Volume
3
Benda ini ditempa dari selindris berdiameter 5 mm.
Misalkan panjang selindris = l
Maka
.5 2.l
32,25
4
32,25
l
5,16
6,25
h 2
(R
Rr r 2 )
3
3
(4 2 4.2,5 2,5 2 )
3
32,25
Tambahan panjang yang dibutuhkan =
5,16 – 3 = 2,16
Sehingga potongannya = 18 + 2,16 = 20,16
Jadi panjang batang diperlukan adalah 20,16 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
69
2
Sebuah tangki penyimpanan air panas terlihat pada gambar . Jari-jarinya
400 mm dan tingimginya 900 mm. Tentukan luasnya dalam meter persegi
yang dibutuhkan untuk memutup seluruh tanggi.
r
h
Penyelesaian
Jari-jari selinder r = 400 mm = 0,4 m
Tinggi tangki = 900 mm = 0,9 m
Tingginya selinder h = 0,9 m – 0,4 m = 0,5 m
r
Luas permukaan total A = luas lingkaran + luas selimut selinder + luas permukaan setngah
bola.
A
A
A
A
r
2
r
2
r2
3
r (3r
2
r.h
2 r.h
r2
4
2
2
r2
2 r.h
2h)
A
3,14.0,4(3.0,4 2.0,5)
A
2,76
Jadi luas bahan diperlukan 2,76 m2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
70
Latihan:
1
2
3
Panjang 250 mm dipotong dari batang empat persegi panjang120
mm dan 40 mm. Balok kemudian dikerjakan mesin menjadi prisma
117 mm x 36 mm x 240 mm. Berapa persen dari batang terbuang
oleh pengerjaan mesin.
Sebuah terdiri dari batang besi 40 mm x 5 mm yang
berpenampangsegi empat dengan panjang 120 mm. Pada
permukaan yang besar, 4 lubang dengan diameter 20 mm di bor
lurus menenbus pelat (5 mm). Berapa persen metal yang
terbuang karena pengboran.
Billet logam yang berdiameter 30 mm dan panjang 80 mm yang
diproses menjadi potongan yang berdiameter 10 mm dan tebal 1
mm. Perkiraran tidak ada logan yang terbuang, hitunglah jumlah
potongan yang dihasilkan.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
71
4
5
Bejana dengan penampang lingkaran berdiameter 50 mm,
mengandung air sedalam 60 mm. Bila bola dengan diameter 40
mm, dimasukkan ke dalam air, berapakah penambahan
ketinggian air dalam bejana tersebut ?
Tutup sebuah cabin berbentuk setengah silinder seperti
ditunjukkan pada gambar berikut.
a. Berapakah luas permukaan tutup kabin
b. Berapa luas total tutup dan bagian luar cabin
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin
Politeknik Negeri Bali
72