v. distribusi normal

V. DISTRIBUSI NORMAL
Dipelajari pertama kali pd abad ke -18
Pencetus :
De Moivre (1733)
Laplace (1775)
Gauss (1809)  Dist. Gauss.
Suatu variabel random kontinu x dikatakan berdistribusi
normal dgn mean  dan variansi 2 adalah jika
mempunyai fungsi probabilitas yang berbentuk :
f (X ) 
1
2  2

e
1
2
2
( X  )2
Untuk
- < x < 
- <  < 
2 > 0 dan  = 3,14 dan e = 2,718
Sifat-sifat distribusi normal :
1. Harga modus, yaitu harga pada sumbu x dengan kurva
maksimum terletak pada x = 
2. Kurva normal simetris terhadap sumbu vertikal melalui

3. Kurva normal mempunyai titik belok pada x = 
4. Kurva normal memotong sumbu mendatar secara
asimtotis
5. Luas daerah dibawah kurva normal dan diatas sumbu
mendatar sama dengan 1.
Kurva normal :
Luas bagian kurva normal antara
x=a dan x=b dapat ditulis menjadi
P(a≤x≤b)
b
P(a  x  b)   f ( x)dx
a

X
Nilai ini untuk distribusi normal
standar telah ditabelkan  Tabel III
Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang
mempunyai mean =0 dan standar deviasi =1
Untuk distribusi normal yang bukan distribusi normal standar
maka diubah dengan rumus transformasi Z :
x
z


Tabel III. Distribusi Normal
Nilai pada tabel III adalah luas dibawah kurva normal dari 0
sampai bilangan positif b atau P(0≤Z≤b).
Contoh :
1. Luas kurva normal dari 0 hingga 1,9
P(0 ≤ Z ≤ 1,9)=0,3621
Karena Kurva normal simetris di =0 maka
P(-1,9 ≤ Z ≤0)= 0,321
Karena kurva normal simetris di =0 dan luas dibawah
kurva normal = 1 maka :
P(0 ≤ Z ≤ +) = 0,5 dan P(-≤Z≤0)= 0,5
P(2,5 ≤ Z ≤ +) = 0,5 – P(0≤Z≤2,5)= 0,5 – 0,4798=0,0202
P(0,5 ≤ Z ≤ 2,5) = P(0 ≤ Z ≤ 2,5)- P(0 ≤ Z ≤ 0,5)
= 0,4798 – 0,1915 =0,2883
2.
Suatu distribusi normal mempunyai mean 60 dan standar
deviasi 12. Hitunglah :
a. Luas kurva normal antara =60 dan x= 76 adalah : P(60 ≤ x
≤ 76) = …….. Dicari dulu nilai Z-nya
x
76  60
z 

 1,33

12
Jadi P(60 ≤ x ≤ 76)= P(0 ≤ Z ≤ 1,33) = 0,4082
b. Luas kurva normal antara x1=68 dan x2=84.
x
68  60
z1 

 0,67

12
x
84  60
z2 

 2,0

12
P(68 ≤ x ≤ 84)= P(0,67 ≤ Z ≤ 2,00)= 0,4772-0,2486 = 0,2284
c. Luas kurva normal antara x3=37 dan x4=72.
z3 
x
z4 


x

37  60
 1,92
12

72  60
 1,00
12
P(37 ≤ x ≤ 72)= P(-1,92 ≤ Z ≤ 1,00)
= P(-1,92 ≤ Z ≤ 0,00) + P(0,00 ≤ Z ≤ 1,00)
= 0,4726 + 0,3412 = 0,8136
d. Luas kurva normal antara x4=72 sampai positif takterhingga
P(72≤ x ≤ +)= 0,5 – P(0 ≤ Z ≤ 1,00)
= 0,5 – 0,3412 = 0,1588
Contoh aplikasi dalam bidang TP
3. Sebuah perusahaan memproduksi susu bubuk rendah
lemak. Diasumsikan kadar lemak susu bubuk merk A
berdistribusi normal dengan mean 3,5 % dan standar deviasi
0,3 %.
a. Berapakah probabilitas kadar lemak susu bubuk yang
diambil secara acak berkisar antara 2,9 hingga 3,8 %?
a. Jika standar pabrik menentukan bahwa maksimal
kadar lemak susu bubuknya adalah 4,0 %, hitunglah
berapa persentase produk yang tidak memenuhi
syarat tersebut?
Jawaban soal nomor 3.
Diketahui :  = 3,5 dan = 0,3
a. P( 2,9 ≤ x ≤ 3,8) =
x
2,9  3,5
z1 

 2,0

0,3
x
3,8  3,5
z2 

1

0,3
Sehingga :
P( 2,9 ≤ x ≤ 3,8) = P( -2,0 ≤ x ≤ 1)
= P( -2,0 ≤ x ≤ 0) +P( 0 ≤ x ≤ 1,0)
= 0,4772 + 0,3412 = 0,8184
b. P(X 4,0) = 0,5 – P(0≤ x ≤ 4,0) = 0,5 – P(0≤ Z ≤ 1,67)
= 0,5 – 0,4525 = 0,0475
Pendekatan normal untuk binomial
Distribusi normal akan memberikan pendekatan yang sangat baik
jika n besar dan p mendekati 0,5.
dalam hal ini :
x  np
2
 = np dan  =np(1-p) sehingga : Z 
np(1  p)
Contoh 4.
Suatu proses produksi mempunyai kemungkinan 10% cacat, jika
sampel sebanyak 100 buah diambil secara acak dari proses
tersebut maka berapakah probabilitas :
a. Delapan produk cacat
b. Paling banyak lima produk cacat
c. Paling sedikit lima belas produk cacat
INGAT :
Distribusi Normal : Kontinu VS Distribusi Binoamial : Diskrit
Jawab :
Kejadian binomial tetapi n besar shg didekati dengan
distribusi normal, sehingga :
 = np = 100 X 10% = 10
2 = np(1-p) = 100. 10% X 0,9 = 9   = 3
Maka :
a. P(x = 8) = P (7,5≤ x ≤ 8,5) = P(-0,83 ≤ Z ≤ -0,5)
= P (-0,83 ≤ Z ≤ 0) - (-0,5 ≤ Z ≤ 0)
= 0,2967 – 0,1915 = 0,1052
b. P(x ≤ 5) = P(x ≤ 5,5)
= P(Z ≤ -1,5) = 0,5 – P(-1,5 ≤ Z ≤ 0)
= 0,5 – 0,4332 = 0,0668
c. P(x  15) = P(x  14,5) = 0,5 – P(0 ≤ x ≤ 14,5)
= 0,5 – P(0≤ Z ≤ 1,5)
= 0,5 - 0,4332 = 0,0668