Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa MODAL ANALYSIS Dosen Resmi Bestari Muin Prodi Teknik Sipil FTSP UMB October 20, 2015 (Modul-8) MODAL ANALYSIS Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Upperbound Response Reasonable Response (Modul-8) MODAL ANALYSIS Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Pers. Diferensial Independen (uncoupling ) n o [M]nxn Ÿ nx1 n o + [C ]nxn Ẏ {Y } = φ11 φ21 .. . φn1 φ12 φ22 .. . φn2 nx1 ··· ··· .. . ··· + [K ]nxn {Y }nx1 = {P(t)}nx1 φ1n φ2n .. . φnn z1 z2 .. . zn (2) {Y } = [φ] {Z } n o n o Ẏ = [φ] Ż n o n o Ÿ = [φ] Z̈ Substitusi pers. (5), (4) dan (3) ke dalam pers. (1), diperoleh n o n o [M] [φ] Z̈ + [C ] [φ] Ż + [K ] [φ] {Z } = {P(t)} yang merupakan perssamaan simultan dependen / saling berhubungan / coupling. MODAL ANALYSIS (1) Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa (3) (4) (5) (6) (Modul-8) Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Jika pers. (6) dikalikan diawalnya dengan {φ}Tj , diperoleh n o n o {φ}Tj [M] [φ] Z̈ + {φ}Tj [C ] [φ] Ż + {φ}Tj [K ] [φ] {Z } = {φ}Tj {P(t)} (7) Mengingat hubungan orthogonal dimana {φ}Ti [M] {φ}j = 0 (8) {φ}Ti [C ] {φ}j = 0 (9) {φ}Ti [K ] {φ}j = 0 (10) maka pers. (7) menjadi, {φ}Tj [M] {φ}j z̈j + {φ}Tj [C ] {φ}j żj + {φ}Tj [K ] {φ}j zj = {φ}Tj {P(t)} (11) Jika gerak dinamis struktur diakibatkan oleh pergerakan tanah, maka {P(t)} = − [M] {1} ÿt MODAL ANALYSIS Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa (12) (Modul-8) Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Jika didefinisikan Mj∗ = {φ}Tj [M] {φ}j Cj∗ = {φ}Tj [C ] {φ}j Kj∗ = {φ}Tj [K ] {φ}j (13) dan Pj∗ = {φ}Tj [M] {1} = {φ}Tj {M} (14) maka pers. (11) menjadi Mj∗ z̈j + Cj∗ żj + Kj∗ zj = Pj∗ ÿt (15) Mj∗ , Cj∗ dan Kj∗ merupakan konstanta. Untuk mode ke j, berlaku hunbungan ξj = Cj∗ Cj∗ Cj∗ = sehingga ∗ = 2ξj ωj ∗ ccr 2Mj ωj Mj dan MODAL ANALYSIS ωj2 = Kj∗ Mj∗ Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa (16) (Modul-8) Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Kemudian jika persamaan (15) dibagi dengan Mj∗ , dan denga memperhatikan hubungan pada persamaan (16), didapat z̈j + 2ξj ωj żj + ωj2 zj = Γj ÿt dimana Γj = Pj∗ Mj∗ T = n P {φ} {M} i=1 = n P {φ}j [M] {φ}j i=1 (17) {φ}j mi (18) {φ}2j mi Persamaan (18) disebut juga sebagai partisipasi mode, dalam hal ini partisipasi mode ke j. Jika żj zj z̈j (19) g̈ = , ġ = , dan g = Γj Γj Γj maka persamaan (17) dapat ditulis seperti berikut g̈j + 2ξj ωj ġj + ωj2 gj = ÿt (20) Persamaan (20) merupakan persamaan independen pada masing-masing mode, yang tidak tergantung pada mode lainnya. Persamaan ini mirip dengan persamaan diferensial SDOF seperti yang dibahas sebelumnya. Sehingga dapat diselesaikan dengan (Modul-8) MODAL ANALYSIS Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur I Integral Duhamel I Metoda Numerik 1. 2. 3. 4. 5. Metoda Metoda Metoda Metoda Metoda Kecepatan Konstan Percepatan Linier Central Difference Newmark Wilson Jika gj telah diperoleh, maka dapat dihitung simpangan masing-masing massa i struktur akibat mode ke j, yakni yij = φij zj = φij Γj gj (21) (Modul-8) MODAL ANALYSIS Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Upperbound Response Reasonable Response Upperbound Response Simpangan struktur adalah konstribusi dari simpangan akibat masing-masing mode pada pers. (21) di atas. Gambar 10.1 : Kontribusi Masing-Masing Mode (Modul-8) MODAL ANALYSIS Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Upperbound Response Reasonable Response Tentunya konstribusi masing-masing mode ini pada kondisi yang maksimum (simpangan maksimum). Permasalahannya, kondisi yang maksimum ini terjadi tidak pada waktu yang bersamaan. (lihat Gambar 10.1). Sekelompok ahli berpendapat : Simpangan total dapat diambil dari hasil penjumlahan nilai absolut dari kontribusi masing-masing mode, yi = n X |φij Γj gj,maks | (22) j=1 (Modul-8) MODAL ANALYSIS Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa Daftar Isi Pers Independen Respon Struktur Upperbound Response Reasonable Response Reasonable Response Kelompok ahli lainnya berpendapat, bahwa simpangan struktur adalah nilai akar dari jumlah kwadrat partisipasi masing-masing mode, atau disebut juga dengan SRSS (square roots of the sum of the square) dari partisipasi mode. v uX u n yi = t (φij Γj gj,maks )2 (23) j=1 (Modul-8) MODAL ANALYSIS Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa