328799026-Modul8-Modal-Analysis-Resmi-Bestari-Muin (1)

Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
MODAL ANALYSIS
Dosen Resmi Bestari Muin
Prodi Teknik Sipil FTSP UMB
October 20, 2015
(Modul-8)
MODAL ANALYSIS
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Upperbound Response
Reasonable Response
(Modul-8)
MODAL ANALYSIS
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Pers. Diferensial Independen (uncoupling )
n o
[M]nxn Ÿ
nx1
n o
+ [C ]nxn Ẏ



{Y } = 

φ11
φ21
..
.
φn1
φ12
φ22
..
.
φn2
nx1
···
···
..
.
···
+ [K ]nxn {Y }nx1 = {P(t)}nx1
φ1n
φ2n
..
.
φnn











z1
z2
..
.
zn





(2)




{Y } = [φ] {Z }
n o
n o
Ẏ = [φ] Ż
n o
n o
Ÿ = [φ] Z̈
Substitusi pers. (5), (4) dan (3) ke dalam pers. (1), diperoleh
n o
n o
[M] [φ] Z̈ + [C ] [φ] Ż + [K ] [φ] {Z } = {P(t)}
yang merupakan perssamaan simultan dependen / saling berhubungan /
coupling.
MODAL ANALYSIS
(1)
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
(3)
(4)
(5)
(6)
(Modul-8)
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Jika pers. (6) dikalikan diawalnya dengan {φ}Tj , diperoleh
n o
n o
{φ}Tj [M] [φ] Z̈ + {φ}Tj [C ] [φ] Ż + {φ}Tj [K ] [φ] {Z } = {φ}Tj {P(t)} (7)
Mengingat hubungan orthogonal dimana
{φ}Ti [M] {φ}j = 0
(8)
{φ}Ti [C ] {φ}j = 0
(9)
{φ}Ti
[K ] {φ}j = 0
(10)
maka pers. (7) menjadi,
{φ}Tj [M] {φ}j z̈j + {φ}Tj [C ] {φ}j żj + {φ}Tj [K ] {φ}j zj = {φ}Tj {P(t)}
(11)
Jika gerak dinamis struktur diakibatkan oleh pergerakan tanah, maka
{P(t)} = − [M] {1} ÿt
MODAL ANALYSIS
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
(12)
(Modul-8)
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Jika didefinisikan
Mj∗ = {φ}Tj [M] {φ}j
Cj∗ = {φ}Tj [C ] {φ}j
Kj∗ = {φ}Tj [K ] {φ}j
(13)
dan
Pj∗ = {φ}Tj [M] {1} = {φ}Tj {M}
(14)
maka pers. (11) menjadi
Mj∗ z̈j + Cj∗ żj + Kj∗ zj = Pj∗ ÿt
(15)
Mj∗ , Cj∗ dan Kj∗ merupakan konstanta.
Untuk mode ke j, berlaku hunbungan
ξj =
Cj∗
Cj∗
Cj∗
=
sehingga ∗ = 2ξj ωj
∗
ccr
2Mj ωj
Mj
dan
MODAL ANALYSIS
ωj2 =
Kj∗
Mj∗
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
(16)
(Modul-8)
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Kemudian jika persamaan (15) dibagi dengan Mj∗ , dan denga memperhatikan
hubungan pada persamaan (16), didapat
z̈j + 2ξj ωj żj + ωj2 zj = Γj ÿt
dimana
Γj =
Pj∗
Mj∗
T
=
n
P
{φ} {M}
i=1
= n
P
{φ}j [M] {φ}j
i=1
(17)
{φ}j mi
(18)
{φ}2j mi
Persamaan (18) disebut juga sebagai partisipasi mode, dalam hal ini partisipasi
mode ke j. Jika
żj
zj
z̈j
(19)
g̈ = , ġ = , dan g =
Γj
Γj
Γj
maka persamaan (17) dapat ditulis seperti berikut
g̈j + 2ξj ωj ġj + ωj2 gj = ÿt
(20)
Persamaan (20) merupakan persamaan independen pada masing-masing mode,
yang tidak tergantung pada mode lainnya.
Persamaan ini mirip dengan persamaan diferensial SDOF seperti yang dibahas
sebelumnya.
Sehingga dapat diselesaikan dengan
(Modul-8)
MODAL ANALYSIS
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
I Integral Duhamel
I Metoda Numerik
1.
2.
3.
4.
5.
Metoda
Metoda
Metoda
Metoda
Metoda
Kecepatan Konstan
Percepatan Linier
Central Difference
Newmark
Wilson
Jika gj telah diperoleh, maka dapat dihitung simpangan masing-masing massa i
struktur akibat mode ke j, yakni
yij = φij zj = φij Γj gj
(21)
(Modul-8)
MODAL ANALYSIS
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Upperbound Response
Reasonable Response
Upperbound Response
Simpangan struktur adalah konstribusi dari simpangan akibat masing-masing mode
pada pers. (21) di atas.
Gambar 10.1 : Kontribusi Masing-Masing Mode
(Modul-8)
MODAL ANALYSIS
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Upperbound Response
Reasonable Response
Tentunya konstribusi masing-masing mode ini pada kondisi yang maksimum
(simpangan maksimum).
Permasalahannya, kondisi yang maksimum ini terjadi tidak pada waktu yang
bersamaan. (lihat Gambar 10.1).
Sekelompok ahli berpendapat :
Simpangan total dapat diambil dari hasil penjumlahan nilai absolut dari
kontribusi masing-masing mode,
yi =
n
X
|φij Γj gj,maks |
(22)
j=1
(Modul-8)
MODAL ANALYSIS
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa
Daftar Isi
Pers Independen
Respon Struktur
Upperbound Response
Reasonable Response
Reasonable Response
Kelompok ahli lainnya berpendapat, bahwa simpangan struktur adalah nilai
akar dari jumlah kwadrat partisipasi masing-masing mode, atau disebut juga
dengan SRSS (square roots of the sum of the square) dari partisipasi mode.
v
uX
u n
yi = t
(φij Γj gj,maks )2
(23)
j=1
(Modul-8)
MODAL ANALYSIS
Dinamika Struktur & Rekayasa Gempa