Pendahuluan

DIMENSI PARTISI PADA ULAT BULU MONELY
HOMOGEN DAN BULU PISANG HOMOGEN
PROPOSAL PENELITIAN
OLEH
RINI ANGGRIANI
NIM 200313859002
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI S2 MATEMATIKA
DESEMBER 2020
DIMENSI PARTISI PADA BEBERAPA KELUARGA
POHON PADA ULAT BULU MONELY HOMOGEN DAN BULU
PISANG HOMOGEN
PROPOSAL PENELITIAN
diajukan kepada
Universitas Negeri Malang
untuk memenuhi salah satu persyaratan
dalam menyelesaikan program magister
matematika
OLEH
RINI ANGGRIANI
NIM 200313859002
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI S2 MATEMATIKA
DESEMBER 2020
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika berkembang sangat pesat sehingga Matematika sering dipakai
untuk menyelesaikan berbagai permasalahan diberbagai bidang. Matematika
terdiri dari berbagai cabang ilmu, diantaranya Aljabar, Geometri, Statistika,
Probabilitas (peluang), Matematika Tehnik, Matematika Komputasi, Matematika
Ekonomi, Matematika Diskrit, Sains Komputer dan lain ssebagainya. Salah satu
cabang matematika yang menarik untuk diteliti lebih lanjut adalah matematika
diskrit dengan fokus kajian pada teori graf. Garf didefenisikan sebagai himpunan
(𝑉, 𝐸) yang ditulis dengan notasi 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan tidak
kosong simpul (vertex), selanjutnya 𝐸 adalah himpunan sisi, boleh kosong yang
menghubungkan sepaang simpul. Untuk selanjutnya , suatu graf dapat ditulis
dengan notasi 𝐺, tampa menyebutkan himpunan simpul dan sisinya.
Teori graf pada mulanya dikembangan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736 di
Jerman. Pada saat itu terdapat empat daerah yang terhubung oleh tujuh jembatan
diatas sungai Pregel di Konigsberg Jerman. Leonhard Euler mencoba
membuktikan kemungkinaan mengunjungi empat daerah yang terhubung oleh
tujuh jembatan, melewati setiap jembatan tepat satu kali dan kembali ketempat
asal. Permasalahan jembatan Konigsberg dapat direspresentasikan dengan graf,
dengan mempresentasikan keempat daerah itu sebagai simpul (vertex) dan ketujuh
jembatan sebagai sisi (edge) yang menghubungkan pasangan simpul yang sesuai.
Salah satu topic yang menjadi kajian dalam teori graf adalah dimensi partisi
dan dimensi metrik. Dalam artikelnya, Slater dalam Imran dkk (2012)
menyebutkan suatu himpunan dengan sebutan locating set yang sering dikenal
dengan himpunan pembeda (resolfing set), selanjutnya Chartrand dkk (2000)
mengenalkan konsep partisi pembeda dengan himpunan pembeda suatu graf.
Chartrand
dkk(2000)
melakukan
pengelompokan
simpul
di
graf
𝐺 ke dalam sejumlah kelas partisi dan mengitung jarak setiap simpul di 𝐺
terhadap semua kelas partisi untuk mempresentasikan setiap simpul dpada grag 𝐺.
Terdapat beberapa hasil tentang dimensi partisi suatu graf yang telah diperoleh
diantaranya bahwa 𝑝𝑑 (𝐺) = 2 jika dan hanya jika 𝐺 adalah graf lintas 𝑃𝑛 dan
menunjukan bahwwa graaf 𝐺 mmempunyai 𝑝𝑑 (𝐺) = 𝑛 jika dan hanya jika (𝐺)
adalah graf lengkap 𝐾𝑛 . Disajikan batas atas batas baawwah dimensi partisi graf
pohon.
Ketika berdiskusi tentang suatu konsep atau dugaan dalam teori graf, biasanya
orang mengkaji konsep tersebut atau memeriksa dugaan tersebut pada kelas pohon
terlebih dahulu (Bin dan Zhongyi, 2010).
Dalam hal dimensi matrik, Chartrand dkk (2000) telah berhasil memberikan
dimensi metric untuk sembarang pohon 𝑇 secara lengkap. Namun, tidak demikian
untuk dimensi partisi graf pohon. Hanya beberapa garf dalam kelas pohon yang
telah diketaahui dimensi partisinnya, seperti graf bintang ganda dan graf bintan.
Lebih jauh dimensi partisi pada ulat baru didapatkan batas atas batas bawahnya
oleh Chartrand dkk (1998).
Pada dimensi partisi beberapa graf dalam kelas pohon, yaitu graf ulat
(caterpillar), graf kembang api (firecracker), dan graf pohon pisang (banana tree).
Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) mengawali penelitian dimensi partisi untuk
kelas graf multipartit dengan menentukan dimensi partisi graf bipartit. Oleh
karena baru dimensi partisi graf bipartit yang telah diketahui, dalam disertasi ini
kami membahas pula dimensi partisi graf 𝑟 − 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑡, dan graf tripartit minus
sebuah matching. Darmiji (2011), menentukan dimensi partisi dari grafik
multipartit,ulat khusus, dan kincir angin, selain itu Darmiji (2017), Menentukan
dimensi partisi ulat, kayu berapi, pohon pisang, dan berkas-berkas produk korona.
Edy Tri Baskoro dkk (2015), menentukan dimensi partisi dari beberapa keluarga
pohon ulat homogen dan pohon pisang homogen.
Pada penelitian sebelunya mereka hanya menemukan beberapa graf dalama
kelas pohon yang telah diketahui dimensi partisinya. Seperti, graf bintang ganda
dan graf bintang, dan dimensi graf ulat baru baru didapatkan batas atas dan batas
bawahnya. Sejauh ini juga didapatkan pembahasan mengenai dimensi partisi
beberapa graf dalam kelas pohon, yaitu graf ulat (caterpillar), graf dimensi partisi
graf hasil operasi korona antara dua graf terhubung, kembang api (ftrecracker).
Dan pohon pisang (baanana tree). Untuk itu, pada penelitian ini saya ingin
meneliti mengenai kelanjutan dimensi partisi pada beberapa keluarga pohon ulat
bulu monely homogen dan bulu pisang homogen.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas dapat dirumuskan permasalahan yang akan
diteliti yaitu, “bagaimanakah hasil dimensi partisi keluarga pohon khususnya pada
ulat bulu monely homogen dan bulu pisang homogen”.
1.3 Tujun Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini yaitu mencari dan menunjukan hasil dimensi
partisi terhadap keluarga pohon khususnya pada ulat bulu monely homogen dan
bulu pisang homogen.
1.4 Manfaat Penelitian
a. Bagi diri sendiri : yaitu untuk mengkaji kembali tentang penentuan
dimensi partisi pada graf pohon.
b. Untuk pembaca : yaitu sebagai bahan untuk mengaji lebih lanjut mengenai
dimensi partisi graf pohon.
c. Untuk fakultas : yaitu sebagai bahan kontribusi penelitian dalam bidang
teori graf khususnya dimensi partisi graf pohon.
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA
A. Graf
1. Pengertian Graf
Chartrand dan Lesniak, (1996:1) Sebuah graf adalah himpunan tidak
kosong dari objek-objek yang dinamakan simpul dengan sebuah himpunan
pasangan tidak berurutan dari simpul-simpul yang berbeda yang disebut
rusuk.
2. Jenis –jenis Graf
a.
Graf Null (𝑁𝑛 )
Graf kosong (null) adalah graf yang tidak memiliki sisi.
Conttoh : graf kosong 𝑁1 dan 𝑁2
𝑁1
b.
𝑁2
Graf sederhana (simple graf)
Merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung gelang maupun sisiganda.
Contoh :
c.
Graf ganda (muti grap)
Merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung gelang (loop).
Contoh :
d.
Graf semu (pseudu grap)
Merupakan merupakan graf yang boleh mengandung gelang (loop).
Contoh:
e.
Graf berarah (digraph)
Merupakan graf yang setiap sisinya mempunyai arah dan tidak mempunyai
dua sisi yang berlawanan antara dua buah simpul (tidak mempunyai sisi
ganda).
Contohnya:
f. Graf ganda berarah (directed multi grap)
Merupakan graf berarah yang membolehkan adanya sisi ganda pada graf
tersebut (boleh mempunyai dua sisi yang berlawanan antara dua buah
simpul).
Contohnya:
g.
Graf pohon (𝑇𝑛 )
Merupakan graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit (siklus). Suatu
graf 𝐺 adalah pohon jika dan hanya jika terdapat satu jalur diantara setiap
pasang simpul dari garf 𝐺.
Contohnya:
h. Graf Pohon Pisang (𝐵(𝑛,𝑘) )
Graf pohon pisang adalah suatu graf yang diperoleh dengan
menghubungkan satu daun pada setiap 𝑛 kopian dari suatu 𝑘 − graf
bintang dengan akar simpul tunggal yang dibedakan dari semua graf
bintang yang ada.
Contohnya:
i. Graf ulat
Merupakan graf yang jika semua titik ujungnya dihilangkan akan
menghasilkan lintasan. Graf ulat didapatkan dengan menghubungkan titik
pusat 𝑐 dari subrag bintang secara berurut.
Contohnya:
B. Dimensi Partisi
Dimensi partisi dari sebuah graf 𝐺 dikenakan oleh Chartrand dkk
pada tahun 1998. Mereka menggelompokan semua simpul di 𝐺 ke dalam
sejumlah kelas partisi dan menetukan jarak setiap simpul terhadap setiap
kelas partisi tersebut. Secara tepat, misalkan ∏ = {𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , , , 𝑆𝑘 }
merupakan partisi terurut dari 𝑉(𝐺) dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺). Representasi dari 𝑣 ∈
𝑉(𝐺)
terhadap
∏
didefenisikan
sebagai
pasangan
𝑘
terurut
(𝑑(𝑣, 𝑆1 ), 𝑑(𝑣, 𝑆2 ), 𝑑(𝑣, 𝑆3 ), , , 𝑑(𝑣, 𝑆𝑘 )). Jika untuk setiap dua simpul
berbeda 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) berlaku 𝑟(𝑣|∏) ≠ 𝑟(𝑣, |∏) , maka ∏ disebut partisi
pembeda dari 𝑉(𝐺) . Partisi pembeda ∏ dengan kardinalitas minimum
disebut partisi pembeda minimum dari 𝐺. Dimensi partisi 𝑝𝑑 (𝐺) dari garf
𝐺 adalah kardinalitas dari partisi pembeda minimum dari 𝐺.
BAB 3
METEODOLOGI PENELITIAN
3.1 Jenis Penelitian
Jenis penelitian ini adalah penelitian kualitatif yang dilakukan dengan
cara memeriksa konsep dimensi partisi graf ulat bulu monely homogen dan bulu
pisang homogen.
3.2 Tahapan-tahapan Penelitian
a) Mengkaji literature terkait konsep dimensi partisi graf
b) Observasi
c) Investigasi Penelitian
d) Tahapan akhir
Tahapan awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah mengkaji
literature terkait konsep dimensi partisi graf. Kajian literature ini diperlukan untuk
membantu proses observasi dimensi partisi graf ulat bulu monely homongen dan
bulu pisang homogen. Selanjutnya, tahapan investigasi penelitian terdiri dari
diskusi kajian terhadap pencarian dimensi graf ulat bulu monely homongen dan
graf bulu pisang homogen. Tahapan akhir adalah penulisan pembuktian teorema
yang tersusun secara sistematis dan lengkap.
DAFTAR RUJUKAN
Chartrand, G., Zhang, P. dan Salehi, E. (1998), ‘On the partition dimension of a
graph’, Congressus Numerantium 130, 157 – 160.
Chartrand, G. dan Zhang, P. (2003), ‘The theory and appllications of
resolvability in graphs: a survey’, Congressus Numerantium 160, 47 – 68.
Bin Xiong and Zhongyi (2010, Trand Paperback). “Grap Theory”.
Darmiji. (2011). The Partition Dimension of Multipartite Grapshs and a Corona
Product of Two Connected, Disertasi Doktor pada Institut Teknologi
Bandung.
Ketut Queena Fredlina and Edy Tri Baskoro. (2015). The Partition Dimension of
Some Families of Trees. Combinatorial Mathematics Research Group,
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Institut Teknologi Bandung,
Jalan Ganesa 10, Bandung 40132, Indonesia
Marsudi. (2016), “Teori Graf”.
Darmiji (2017), The Partition Dimension and Star Partition Dimensi of Comb
Product of Two Conneected, Institut Teknologi Bandung.