ARITMATIKA (1)

ARITMATIKA
Cynthia Tri Octavianti
1.1 JENIS-JENIS BILANGAN
1. Bilangan Asli ( Natural Numbers ) ditulis dengan menggunakan kesepuluh numeral 0,1,2,...,9
di mana kedudukan angka menentukan nilai yang diwakilinya.
Contoh : 246 berarti 2 ratusan, 4 puluhan dan 6 satuan. Dengan kata lain 200+40+6. Di sini
numeral 2, 4 dan 6 masing-masing disebut koefisien ratusan, puluhan dan satuan. Inilah prinsip
nilai tempat.
Titik-titik pada sebuah garis dan urutan.
Bilangan asli dapat direpresentasikan oleh titik-titik yang berjarak sama pada sebuah
garis lurus di mana bilangan pertamanya adalah nol.
Bilangan-bilangan asli di atas tersusun berurutan dimulai dari yang kecil hingga yang ke besar.
Pada garis tersebut, bilangan-bilangan di kiri suatu bilangan lebih kecil daripada (<) bilangan
tersebut, dan sebaliknya. Misalnya, 3 < 6 karena 3 berada di sebelah kiri 6.
2. Bilangan Bulat
Jika garis lurus yang memperlihatkan bilangan asli diperpanjang ke kiri kita dapat memplot
titik-titik yang berjarak sama di kiri bilangan nol.
Operasi Aritmatika dan Aturannya
Operasi Aritmatika terdiri dari empat operasi yaitu penambahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian. Keempat operasi tersebut menuruti aturan-aturan prioritas yang mengatur urutan
pelaksanaan sebagai berikut:
a. Bekerja dari kiri tentukan nilai pembagian dan perkalian begitu pembagian atau perkalian itu
dijumpai, ini akan menyisakan pernyataan yang melibatkan penambahan dan pengurangan saja;
b. Bekerja dari kiri tentukan nilai penambahan dan pengurangan begitu penambahan atau
pengurangan itu dijumpai.
Tanda kurung digunakan untuk mengelompokkan bilangan-bilangan dan operasi-operasinya bersamasama. Dalam sebarang pernyataan aritmatika, isi di dalam tanda kurung dihitung terlebih dahulu.
Hukum Dasar Aritmatika
Dari keempat operasi aritmatika hanya dua operasi (penambahan dan perkalian) yang berlaku untuk sifat-sifat berikut
1. Komutativitas
Untuk sebarang bilangan bulat 𝑎 dan 𝑏, berlaku 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 dan 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎.
2. Asosiativitas
Untuk sebarang bilangan bulat 𝑎, 𝑏 dan 𝑐, berlaku 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 dan 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐).
3. Distributivitas
Untuk sebarang bilangan bulat 𝑎, 𝑏 dan 𝑐, berlaku 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐 dan 𝑎 + 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × 𝑐 + (𝑏 × 𝑐)
Contoh:
1. Tempatkanlah simbol < atau > di antara masing-masing pasangan berikut:
a. -1 -6
b. 5 -29
2. Carilah nilai dari masing-masing soal berikut:
a. 16 − 12 × 4 + 8 ÷ 2
b. 9 − 3(17 + 5 5 − 7 )
Penyelesaian :
1. a. −1 > −6
b. 5 ≻ 29
2. a. 16 − 12 × 4 + 8 ÷ 2 = 16 − 48 + 4 = 16 − 44 = −28 ( dahulukan perkalian dan pembagian)
b. 9 − 3 17 + 5 5 − 7 = 9 − 3 17 + 5 −2 = 9 − 3 17 − 10 = 9 − 3 7 = 9 − 21 = −12
1.2 FAKTOR BILANGAN PRIMA
Faktor
Setiap pasangan bilangan asli disebut faktor-faktor dari hasil kali mereka. Contohnya bilangan 3 dan 6 merupakan
faktor dari 18 karena 3 × 6 = 18 . Faktor dari 18 bukan hanya dua ini saja. Kumpulan faktor lengkap untuk 18
adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18 karena 18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6.
Bilangan Prima
Jika suatu bilangan asli hanya memiliki dua faktor yang berupa bilangan itu sendiri dan bilangan 1, bilangan asli ini
disebut bilangan prima. Keenam bilangan prima yang pertama ialah 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. Bilangan 1 bukanlah
bilangan prima karena bilangan ini hanya memiliki satu faktor, yaitu, bilangan itu sendiri.
Faktorisasi Prima
Setiap bilangan asli dapat ditulis sebagai hasil kali yang hanya melibatkan faktor-faktor prima. Sebagai contoh ,
bilangan 126 memiliki faktor-faktor 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, dan 126, yang diantaranya 2, 3, dan 7
merupakan bilangan prima sehingga 126 dapat ditulis sebagai:
126 = 2 × 3 × 3 × 7
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dua bilangan asli adalah faktor terbesar yang sama-sama dimiliki oleh kedua bilangan
tersebut. Sebagai contoh, faktorisasi prima dari 144 dan 66, ialah
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
66 = 2
×3
× 11
Hanya bilangan 2 dan 3 yang sama-sama dimiliki kedua faktorisasi itu dan oleh sebab itu faktor terbesar yang sama-sama
dimiliki oleh kedua bilangan asli ini (FPB) ialah 2 × 3 = 6
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Bilangan asli terkecil yang dapat habis dibagi oleh pasangan bilangan asli, disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
Kelipatan persekutuan terkecil ini juga diperoleh dari faktorisasi prima masing-masing dari kedua bilangan tersebut.
Sebagai contoh,
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
66 = 2
×3
× 11
𝐾𝑃𝐾 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 11 = 1584
Pembulatan
Bilangan bulat dapat didekatkan ke 10 terdekat sebagai berikut:
• Jika bilangan itu lebih kecil daripada setengah jalan menuju kelipatan 10 yang berikutnya maka bilangan tersebut
dibulatkan ke bawah kelipatan 10 sebelumnya. Sebagai contoh, 53 dibulatkan ke bawah menjadi 50.
• Jika bilangan itu lebih besar daripada setengah jalan menuju kelipatan 10 yang berikutnya maka bilangan tersebut
dibulatkan ke atas kelipatan 10 berikutnya. Sebagai contoh, 39 dibulatkan menjadi 40.
• Jika bilangan itu tepat setengah jalan menuju ke kelipatan 10 yang berikutnya maka bilangan itu dibulatkan ke atas atau
ke bawah kelipatan 10 genap berikutnya. Sebagai contoh, 35 dibulatkan ke 40 tetapi 65 dibulatkan ke 60.
Prinsip ini juga berlaku sewaktu membulatkan ke kelipatan 100, 1000, 10000 dan seterusnya. Sebagai contoh 349 dibulatkan
menjadi 350 untuk kelipatan 10 terdekatnya, tetapi dibulatkan ke bawah menjadi 300 ke kelipatan 100 terdekatnya, dan
2501 dibulatkan menjadi 3000 ke kelipatan 1000 terdekatnya. Perhatikan bahwa 2500 dibulatkan ke bawah menjadi 2000
ke kelipatan 1000 terdekatnya, karena 2000 merupakan ribuan genap terdekatnya.
Contoh:
1.Carilah FPB dan KPK pasangan bilangan 63 dan 42.
2. Bulatkan masing-masing bilangan dari bilangan ini ke 10, 100, dan 1000 terdekatnya
a. 2562 b. 1500 c. -14525
Penyelesaian:
1. Faktorisasi prima 63 = 3 × 3 × 7, dan 42 = 2 × 3 × 7. Maka 𝐹𝑃𝐵 = 3 × 7 = 21 dan 𝐾𝑃𝐾 = 2 × 3 × 3 × 7 = 126.
2. a. 2560, 2600, 3000
b. 1500, 1500, 2000
c. -14520, -14500, -15000
1.3 PECAHAN
Pembagian Bilangan Bulat
Pecahan merupakan suatu bilangan yang direpresentasikan sebagai satu bilangan bulat
(pembilang)
yang dibagi dengan bilangan bulat lain (penyebut atau pembagi). Sebagai
3
contoh, ialah pecahan dengan pembilang 3 dan penyebut 5.
5
Mengalikan Pecahan
Dua pecahan dapat dikalikan dengan mengalikan 2masing-masing
pembilang dan
5
2×5
10
penyebutnya secara independen. Sebagai contoh, × =
= .
3
7
3×7
21
Dari
Kata “dari” apabila diselipkan di antara dua pecahan berarti perkalian. Sebagai
contoh:
1
1
setengah dari setengah kue sama dengan seperempat kue. Dengan kata lain, 𝑑𝑎𝑟𝑖
=
2
2
1
1
1
× =
2
2
4
Pecahan Ekuivalen
Mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama adalah ekuivalen dengan mengalikan pecahan tersebut
dengan satu:
4×3 4 3 4
4
= × = ×1=
5×3 5 3 5
5
4×3
12
4
12
Sekarang, 5×3 = 15 sehingga pecahan 5 dan pecahan 15 keduanya menyatakan bilangan yang sama dan oleh karena itu
4
12
kita sebut 5 dan 15 pecahan ekuivalen.
Membagi Pecahan
1
1
Pernyataan 6 ÷ 3 berarti banyaknya 3 dalam 6, yang sebanyak 2. Serupa halnya, pernyataan 1 ÷ 4 berarti banyaknya 4
dalam 1, yang tentu saja ada 4. Dengan kata lain
1
4
1÷ =4= 1×
4
1
Perhatikan bagaimana pembilang dan penyebut dari pembagi dipertukarkan dan pembagian diganti dengan perkalian.
Menambahkan dan Mengurangkan Pecahan
Dua pecahan hanya dapat langsung ditambahkan atau dikurangkan jika keduanya memiliki penyebut yang sama, yang
dalam hal ini kita menambahkan atau mengurangkan pembilang dan membaginya dengan penyebut persekutuannya.
2
3
2+3
5
Sebagai contoh: 7 + 7 = 7 = 7
Jika kedua pecahan itu tidak memiliki penyebut yang sama, keduanya harus ditulis kembali dalam bentuk yang ekuivalen
sehingga keduanya memiliki penyebut yang sama, yang disebut penyebut persekutuan (common denominator), sebagai
2
1
10
3
10+3
13
contoh: 3 + 5 = 15 + 15 = 15 = 15
Penyebut persekutuan dari pecahan ekuivalennya ialah KPK dari kedua penyebut aslinya.
Rasio
Jika suatu bilangan cacah dipisahkan menjadi beberapa pecahan di mana setiap pecahan memiliki penyebut yang sama,
1
pembilang pecahan akan membentuk rasio. Sebagai contoh, Jika sejumlah air garam dalam tangki mengandung garam
2
3
3
dan air, garam dan air dikatakan memiliki rasio ‘satu berbanding dua’ yang ditulis 1 : 2.
Persentase
Persentase merupakan suatu pecahan yang penyebutnya sama dengan 100. Sebagai contoh, jika 5 di antara 100 orang
5
adalah kidal maka fraksi orang kidal ialah 100 yang ditulis sebagai 5%, dengan kata lain 5 persen(&).
Contoh:
1. Tentukan nilai soal-soal berikut:
5
3
13
2
a. 9 + 14
b. 25 ÷ 15
2. Tulislah proporsi berikut sebagai rasio
1
2
1
dari
A,
dari
B,
dan
dari C
2
5
10
3. Selesaikan soal-soal berikut:
2
a. 5 = %
b. 58% dari 25 =
Penyelesaian
5
3
5×14
3×9
70
27
70+27
97
1. a. 9 + 14 = 9×14 + 14×9 = 126 + 126 = 126 = 126
13
2
13
b. 25 ÷ 15 = 25 ×
2.
3.
15
2
=
13×15
25×2
=
13×3×5
5×5×2
1 2 1
5 4 1
,
,
=
, , maka rasionya
2 5 10
10 10 10
2
40
a. =
= 40 %
5
100
58
58
29
1
b. 100 × 25 = 4 = 2 = 14 2
39
= 10
adalah 5 : 4 : 1
LATIHAN SOAL