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Newton vs Lagrange vs Hamilton(1)

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Newton vs Lagrange vs Hamilton
NEWTON
1.
2.
3.
Uraikan gaya-gaya yang bekerja pada benda
Tuliskan arah-arah gaya yang serah dan berlawanan
arah dengan gerak benda
Selesaikan dengan menggunakan persamaam:
Σ𝐹 = π‘šπ‘Ž π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘ π‘™π‘Žπ‘ π‘–
Σ𝜏 = 𝐼𝛼 == 𝑓𝑅 =
π‘Ž
𝐼
𝑅
rotasi
Σ𝐹 = π‘š π‘Ž
π‘šπ‘” sin πœƒ − 𝑓 = π‘š π‘Ž … 1)
Σ𝜏 = 𝐼𝛼
𝑓𝑅=𝐼
𝑓=𝐼
π‘Ž
𝑅2
π‘Ž
𝑅
…2)
π‘Ž
=π‘šπ‘Ž
2
𝑅
π‘Ž
π‘šπ‘” sin πœƒ = π‘š π‘Ž + 𝐼 2
𝑅
𝐼
π‘šπ‘” sin πœƒ = π‘š + 2 π‘Ž
𝑅
π‘šπ‘” sin πœƒ
π‘Ž=
𝐼
π‘š+ 2
𝑅
π‘šπ‘” sin πœƒ
π‘₯=
𝐼
π‘š+ 2
𝑅
π‘šπ‘” sin πœƒ − 𝐼
Lagrange
Tentukan:
1. Koordinat umum qi = x,y,z
2. Energi potensial V
3. Energi kinetik T
4. Lagrange L = T-V
5. Solusinya:
𝑑
πœ•πΏ
𝑑𝑑 πœ•π‘žπ‘–
=
πœ•πΏ
πœ•π‘žπ‘–
1. Qi = x
2. V = -mgx sinπœƒ
3.
4.
5.
2
1
1
π‘₯
T = Tt + Tr = mπ‘₯ 2 + 𝐼 2
2
2 𝑅
2
1
1
π‘₯
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 2mπ‘₯ 2 + 2 𝐼 𝑅2
𝑑 πœ•πΏ
πœ•πΏ
𝑑 πœ•πΏ πœ•πΏ
=
=
𝑑𝑑 πœ•π‘žπ‘– πœ•π‘žπ‘–
𝑑𝑑 πœ•π‘₯ πœ•π‘₯
𝑑
𝐼
π‘šπ‘₯
+
π‘₯
=π‘šπ‘”
sin
πœƒ
2
𝑑𝑑
𝑅
𝑑π‘₯
𝐼
π‘š
+
=π‘šπ‘”
sin
πœƒ
2
𝑑𝑑
𝑅
𝐼
π‘₯ π‘š + 𝑅2 =π‘šπ‘” sin πœƒ
π‘šπ‘” sin πœƒ
π‘₯=
𝐼
π‘š+ 2
𝑅
+mgx sinπœƒ
Hamilton
Tentukan:
1. Koordinat umum qi = x,y,z
2. Energi potensial V
3. Energi kinetik T
4. Lagrange L = T-V
5. Hamilton H = T+V
6. Solusinya:
𝑑
πœ•πΏ
𝑑𝑑 πœ•π‘žπ‘–
=-
πœ•π»
πœ•π‘žπ‘–
1. Qi = x
2. V = -mgx sinπœƒ
1
2
1
3. T = Tt + Tr = mπ‘₯ + 𝐼
𝑅2
1
1 π‘₯2
2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 2mπ‘₯ + 2 𝐼 𝑅2 +mgx sinπœƒ
2
1
1
π‘₯
H= 𝑇 + 𝑉 = 2mπ‘₯ 2 + 2 𝐼 𝑅2 −mgx sinπœƒ
𝑑 πœ•πΏ
πœ•π»
𝑑 πœ•πΏ
πœ•π»
2
4.
5.
6.
π‘₯2
𝑑𝑑 πœ•π‘žπ‘–
𝑑
𝑑𝑑
𝑑π‘₯
𝑑𝑑
=-
π‘šπ‘₯ +
π‘š+
π‘₯ π‘š+
π‘₯=
πœ•π‘žπ‘–
𝐼
𝑅2
𝐼
𝑅2
𝐼
𝑅2
π‘šπ‘” sin πœƒ
𝐼
π‘š+ 2
𝑅
2
𝑑𝑑 πœ•π‘₯
=-
πœ•π‘₯
π‘₯ =π‘šπ‘” sin πœƒ
=π‘šπ‘” sin πœƒ
=π‘šπ‘” sin πœƒ
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