Newton vs Lagrange vs Hamilton(1)

Newton vs Lagrange vs Hamilton
NEWTON
1.
2.
3.
Uraikan gaya-gaya yang bekerja pada benda
Tuliskan arah-arah gaya yang serah dan berlawanan
arah dengan gerak benda
Selesaikan dengan menggunakan persamaam:
Σ𝐹 = 𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑠𝑖
Σ𝜏 = 𝐼𝛼 == 𝑓𝑅 =
𝑎
𝐼
𝑅
rotasi
Σ𝐹 = 𝑚 𝑎
𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝑓 = 𝑚 𝑎 … 1)
Σ𝜏 = 𝐼𝛼
𝑓𝑅=𝐼
𝑓=𝐼
𝑎
𝑅2
𝑎
𝑅
…2)
𝑎
=𝑚𝑎
2
𝑅
𝑎
𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚 𝑎 + 𝐼 2
𝑅
𝐼
𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚 + 2 𝑎
𝑅
𝑚𝑔 sin 𝜃
𝑎=
𝐼
𝑚+ 2
𝑅
𝑚𝑔 sin 𝜃
𝑥=
𝐼
𝑚+ 2
𝑅
𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝐼
Lagrange
Tentukan:
1. Koordinat umum qi = x,y,z
2. Energi potensial V
3. Energi kinetik T
4. Lagrange L = T-V
5. Solusinya:
𝑑
𝜕𝐿
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
=
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
1. Qi = x
2. V = -mgx sin𝜃
3.
4.
5.
2
1
1
𝑥
T = Tt + Tr = m𝑥 2 + 𝐼 2
2
2 𝑅
2
1
1
𝑥
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 2m𝑥 2 + 2 𝐼 𝑅2
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿
=
=
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑖
𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝑑
𝐼
𝑚𝑥
+
𝑥
=𝑚𝑔
sin
𝜃
2
𝑑𝑡
𝑅
𝑑𝑥
𝐼
𝑚
+
=𝑚𝑔
sin
𝜃
2
𝑑𝑡
𝑅
𝐼
𝑥 𝑚 + 𝑅2 =𝑚𝑔 sin 𝜃
𝑚𝑔 sin 𝜃
𝑥=
𝐼
𝑚+ 2
𝑅
+mgx sin𝜃
Hamilton
Tentukan:
1. Koordinat umum qi = x,y,z
2. Energi potensial V
3. Energi kinetik T
4. Lagrange L = T-V
5. Hamilton H = T+V
6. Solusinya:
𝑑
𝜕𝐿
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
=-
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖
1. Qi = x
2. V = -mgx sin𝜃
1
2
1
3. T = Tt + Tr = m𝑥 + 𝐼
𝑅2
1
1 𝑥2
2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 2m𝑥 + 2 𝐼 𝑅2 +mgx sin𝜃
2
1
1
𝑥
H= 𝑇 + 𝑉 = 2m𝑥 2 + 2 𝐼 𝑅2 −mgx sin𝜃
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐻
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐻
2
4.
5.
6.
𝑥2
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=-
𝑚𝑥 +
𝑚+
𝑥 𝑚+
𝑥=
𝜕𝑞𝑖
𝐼
𝑅2
𝐼
𝑅2
𝐼
𝑅2
𝑚𝑔 sin 𝜃
𝐼
𝑚+ 2
𝑅
2
𝑑𝑡 𝜕𝑥
=-
𝜕𝑥
𝑥 =𝑚𝑔 sin 𝜃
=𝑚𝑔 sin 𝜃
=𝑚𝑔 sin 𝜃