TUGAS MATA KULIAH STRUKTUR ALJABAR
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
Nama : Romada Rumahorbo
NPM
1.
: 1309818015
Jika 𝜑 adalah homomorfisma dari G ke G’ maka kernel dari 𝜑 didefinisikan dengan Ker 𝜑 = {𝑎 ∈ 𝐺|𝜑(𝑎) = 𝑒 ′ }.
Buktikan bahwa Ker 𝜑 adalah subgroup dari G.
Bukti :
Ambil 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝜑. Akibatnya X = {𝑥 ∈ 𝐺|𝜑(𝑥) = 𝑒 ′ } dan Y = {𝑦 ∈ 𝐺|𝜑(𝑦) = 𝑒 ′ }.
Akan ditunjukkan 𝐾𝑒𝑟 𝜑 tertutup artinya XY = {𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺|𝜑(𝑥𝑦) = 𝑒 ′ }.
Karena 𝜑 homomorfisma maka 𝜑(𝑥𝑦) = 𝜑(𝑥)𝜑(𝑦) = 𝑒 ′ 𝑒 ′ = 𝑒 ′ .
Jadi (𝑥𝑦) = 𝑒 ′ , kx ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝜑.
Jadi 𝐾𝑒𝑟 𝜑 tertutup.
Ambil sebarang X ∈ Ker 𝜑. Akibatnya X = {𝑥 ∈ 𝐺|𝜑(𝑥) = 𝑒 ′ }.
Adt terdapat X-1 = {𝑥 −1 ∈ 𝐺|𝜑(𝑥 −1 ) = 𝑒 ′ }.
Karena x ∈ 𝐺 dan G group maka terdapat x-1 ∈ 𝐺 sehingga x . x-1 = 𝑒 ∈ 𝐺.
Karena 𝜑 adalah homomorfisma maka 𝜑(𝑥 𝑥 −1 ) ∈ 𝐺 ′ .
Menurut definisi homomorfisma 𝜑(𝑥 𝑥 −1 ) = 𝜑(𝑥) 𝜑(𝑥)−1 ↔ 𝜑(𝑒) = 𝑒 ′ . 𝜑(𝑥)−1 .
Menurut lemma 2.5.2 𝜑(𝑥)−1 = 𝜑(𝑥 −1 ) dan 𝜑(𝑒) = 𝑒 ′ .
Sehingga 𝜑(𝑒) = 𝑒 ′ . 𝜑(𝑥)−1 ↔ 𝑒 ′ = 𝑒 ′ . 𝜑(𝑥 −1 ) ↔ 𝑒 ′ = 𝜑(𝑥 −1 ) .
Jadi 𝜑(𝑥 −1 ) = 𝑒 ′ .
Artinya 𝑋 −1 ∈ Ker .
Jadi Ker 𝜑 adalah subgroup dari G.
2. Diketahui : G = (Z, +) adalah grup dan G’ = Zn. 𝜑 : G Zn dan
H = {𝑇𝑎,𝑏 ∈ 𝐺|𝑎 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙}. Jika Tx,y ∈ 𝐺, buktikan :
a. H subgroup dari G
−1
b. 𝑇𝑥,𝑦
𝐻 𝑇𝑥,𝑦 ∁ 𝐻 sehingga 𝐻 ⊲ 𝐺
Bukti.
a. Akan dibuktikan H tertutup .
Ambil sebarang V, W ∈ H akibatnya V = {𝑇𝑥,𝑦 ∈ 𝐺|𝑥 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} dan W = {𝑇𝑐,𝑑 ∈ 𝐺|𝑐 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} .
Jelas VW = 𝑇𝑥,𝑦 𝑇𝑐,𝑑 = 𝑇𝑐𝑥,𝑑𝑥+𝑦 .
Karena 𝑥 dan c rasional maka 𝑐𝑥 rasional.
Akibatnya VW ∈ 𝐻.
Jadi 𝐻 tertutup.
Ambil sebarang H1 ∈ 𝐻 sehingga H1 = {𝑇𝑥,𝑦 ∈ 𝐺|𝑥 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} .
1
Pilih H2 = {𝑇1,−𝑦 ∈ 𝐺 | 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} .
𝑥
𝑥
𝑥
H1H2 = 𝑇𝑥,𝑦 𝑇1,− 𝑦 = 𝑇1,0 = identitas.
𝑥
𝑥
Jadi ∀ 𝐻1 ∈ 𝐻 ∃ 𝐻2 ∈ 𝐻 ∋ 𝐻1 𝐻2 = 𝑒 ′
Jadi 𝐻 subgroup G .
b. Ambil sebarang Tx, y ∈ 𝐺
−1
Akan ditunjukkan 𝑇𝑥,𝑦
𝐻 𝑇𝑥,𝑦 ∁ 𝐻.
−1
−1
−1
Jelas 𝑇𝑥,𝑦
𝐻 𝑇𝑥,𝑦 = 𝑇𝑥,𝑦
𝑇𝑎,𝑏 𝑇𝑥,𝑦 ↔ 𝑇𝑥,𝑦
𝐻 𝑇𝑥,𝑦 = 𝑇1,−𝑦 𝑇𝑎,𝑏 𝑇𝑥,𝑦 = 𝑇𝑎,
𝑥
−1
Jadi 𝑇𝑥,𝑦
𝐻 𝑇𝑥,𝑦 = 𝑇𝑎,
𝑎𝑦+𝑏−𝑦
𝑥
, 𝑎 rasional . Jelas 𝑇𝑎,
𝑥
𝑎𝑦+𝑏−𝑦
𝑥
𝑥
𝑏−𝑦
𝑥
𝑇𝑥,𝑦 = 𝑇𝑎,
𝑎𝑦+𝑏−𝑦
𝑥
∈ 𝐻.
−1
Jadi 𝑇𝑥,𝑦
𝐻 𝑇𝑥,𝑦 ∁ 𝐻.
−1
Akan ditunjukkan 𝑇𝑥,𝑦 𝐻 𝑇𝑥,𝑦
∁𝐻
−1
−1
−1
Jelas 𝑇𝑥,𝑦 𝐻 𝑇𝑥,𝑦
= 𝑇𝑥,𝑦 𝑇𝑎,𝑏 𝑇𝑥,𝑦
= 𝑇𝑎𝑥,𝑏𝑥+𝑦 𝑇𝑥,𝑦
= 𝑇𝑎𝑥,𝑏𝑥+𝑦 𝑇1,−𝑦 = 𝑇𝑎,−𝑎𝑦+𝑏𝑥+𝑦
𝑥
Jadi 𝑇𝑥,𝑦 𝐻
−1
𝑇𝑥,𝑦
𝑥
= 𝑇𝑎,−𝑎𝑦+𝑏𝑥+𝑦 dengan 𝑎 rasional. Jelas 𝑇𝑎,−𝑎𝑦+𝑏𝑥+𝑦 ∈ 𝐻.
−1
Jadi 𝑇𝑥,𝑦 𝐻 𝑇𝑥,𝑦
∁𝐻
−1
−1
Karena ∀ 𝑇𝑥,𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑇𝑥,𝑦
𝐻 𝑇𝑥,𝑦 ∁ 𝐻 dan 𝑇𝑥,𝑦 𝐻 𝑇𝑥,𝑦
∁ 𝐻 maka 𝐻 ⊲ 𝐺.
3. Jika G adalah group dan Z(G) = {𝑧 ∈ 𝐺|𝑧𝑥 = 𝑥𝑧 , ∀𝑥 ∈ 𝐺} adalah center dari G maka buktikan bahwa :
a. Z(G) adalah subgroup dari G
b. Z(G) ⊲ G
Bukti :
a. Akan dibuktikan Z(G) tertutup.
Ambil sebarang M, N ∈ Z(G).
M = {𝑚 ∈ 𝐺|𝑚𝑥 = 𝑥𝑚 , ∀𝑥 ∈ 𝐺} dan N = {𝑛 ∈ 𝐺|𝑛𝑥 = 𝑥𝑛 , ∀𝑥 ∈ 𝐺}
Jelas m.n ∈ 𝐺 karena m,n ∈ 𝐺 dan G adalah group sehingga mempunyai sifat tertutup.
mn : m. x. n. x = x. m. x. n ↔ m. n. x. x = x. x. m. n
Jelas x. x ∈ 𝐺. Misalkan x. x = t maka t ∈ 𝐺.
Artinya dapat ditulis mn. t = t. mn
Jadi ∀ M, N ∈ Z(G) terdapat MN = {𝑚, 𝑛 ∈ 𝐺|(𝑚𝑛) 𝑡 = 𝑡 (𝑚𝑛) , ∀𝑡 ∈ 𝐺}.
Sehingga Z(G) terbukti tertutup.
Adb ∀ Z ∈ Z(G) ∃ Z-1 ∈ Z(G) ∋ Z. Z-1 = Z-1. Z = e
Ambil sebarang Z ∈ Z(G). Jelas z ∈ G.
Karena G adalah group maka ∃ z-1 ∈ G ∋ z. z-1 = z-1. z = e.
Bangun Z-1 = {𝑧 −1 ∈ 𝐺|𝑧. 𝑧 −1 = 𝑧 −1 . 𝑧 , ∀𝑧 ∈ 𝐺}
Jelas Z-1 ∈ Z(G).
Jelas e ∈ Z(G) karena e ∈ G, e adalah unsur identitas pada G dan berlaku e.x = x.e, ∀𝑥 ∈ 𝐺
Jadi ∀ Z ∈ Z(G) ∃ Z-1 ∈ Z(G) ∋ Z. Z-1 = Z-1. Z = e dengan e ∈ Z(G).
Jadi Z(G) adalah subgroup dari G.
b. Adb Z(G) ⊲ G.
Ambil sebarang m ∈ G. Jelas terdapat m-1 ∈ 𝐺 sehingga m m-1 = e
Adt m-1Z(G)m ∁ Z(G).
m-1Z(G)m : m-1 zx m = m-1 xz m ↔ = m m-1 zx m = m m-1 xz m
↔ zx m = xz m ↔ m zx m = m xz m ↔ m zx m m-1 . m-1 = m xz m m-1 . m-1
↔ m zx m-1 = m xz m-1
Jadi m-1Z(G)m = m zx m-1 = m xz m-1
Z(G) subgroup normal dari G