BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
Bentuk umum persamaan lingkaran diperoleh dengan menjabarkan bentuk baku persamaan
lingkaran.
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0 ...(1)
Misalkan :
A = −2a ...................................................(2)
B = −2b ...................................................(3)
C = a2 + b2 − r2 ........................................(4)
maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dari persamaan (2)
A = −2a
𝐴
⇔ a = − 2 .........................(5)
Dari persamaan (3)
B = −2b
𝐵
⇔ b = − 2 .........................(6)
Jadi, pusat lingkaran
𝐴
𝐵
P(a, b) ⇔ P(− 2 ,− 2 )
Substitusi persamaan (5) dan (6) ke (4)
C = a2 + b2 − r2
𝐴
𝐵
C = (− 2 ) 2 + (− 2 )2 − r2
r2 =
𝐴2
4
+
𝐵2
4
–C
Jika kedua ruas ditarik tanda akar akan diperoleh
r=√
𝐴2
4
+
𝐵2
4
–C
CONTOH
1.
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,−6) dan berjari-jari 5 satuan.
Penyelesaian :
Misalkan titik pusat A(4,−6) dan r = 5,
maka:
(x − a) 2 + (y − b)2 = r2
(x − 4) 2 + (y − (−6))2 = 52
(x − 4) 2 + (y + 6) 2 = 52
x2 − 8x + 16 + y2 + 12y + 36 = 25
x2 + y2 − 8x + 12y + 52 = 25
x2 + y2 − 8x + 12y + 27 = 0
Jadi, persamaan lingkaran dengan berpusat di (4,−6) dan berjari-jari 5 satuan adalah x2 + y2 −
8x + 12y + 27 = 0
2.
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan
𝑥 2 + 𝑦 2 + 4x – 6y – 12 = 0
penyelesaian :
Dari persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4x – 6y – 12 = 0
diperoleh A = 4, B = −6 dan C = −12.
Misalkan titik pusat lingkaran tersebut adalah P, maka:
P = (−12A,−12B)
P = (−12(4),−12(−6))
P = (−2,3)
Misalkan jari-jari lingkaran tersebut adalah r, maka:
r=√
r=√
𝐴2
4
42
4
+
+
𝐵2
4
–C
(−6)2
4
– (−12)
r = √4 + 9 + 12
r = √25
r=5
Jadi, titik pusat dan jari-jari lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4x – 6y – 12 = 0 berturut-turut
adalah (−2,3) dan 5 satuan.