Translated copy of A Generalization of the Frobenius Method for Ordinary Differential Equations
advertisement
Jurnal Matematika dan Statistik 1 (1): 3-7, 2005 ISSN 1549-3644 © Science Publications, 2005 Generalisasi Metode Frobenius untuk Persamaan Diferensial Biasa dengan Titik Tunggal Reguler Jung-Hua Chou dan Raylin Wu Departemen Ilmu Teknik, Universitas Nasional Cheng Kung Tainan, Taiwan 701 Abstrak: Metode konvensional Frobenius untuk persamaan diferensial orde dua dengan titik singular biasa diperluas ke persamaan diferensial orde tinggi dan orde rendah. Kondisi suatu titik yang menjadi tunggal biasa ditangani. Juga diperlihatkan bahwa persamaan diferensial Cauchy-Euler adalah kasus khusus persamaan diferensial biasa dengan titik-titik singular biasa. Kata kunci: Metode Frobenius, Persamaan Diferensial Biasa, Titik Singular Reguler + + qxy = PENDAHULUAN Solusi seri untuk titik singular biasa dari persamaan diferensial biasa dengan koefisien tidak konstan biasanya ditujukan untuk persamaan biasa linier orde dua sebagai: 2 dy(1) dy Deskripsi yang diberikan di atas dapat dilihat pada buku-buku tentang persamaan diferensial biasa, misalnya [1,2] atau matematika teknik lanjutan, seperti referensi [3-6]. Pertanyaan wajarnya adalah apa yang terjadi pada persamaan diferensial biasa dari ordo lain? Juga, apa kondisi x m enjadi singular biasa untuk linier biasa untuk0 persamaan diferensial dari pesanan selain 2? Studi ini membahas masalah ini dan memberikan solusi konkret. () () 0 2 dx px dx x adalah singular beraturan A Titik Awal Sederhana: jika keduanya A titik singular0 0 Pertama-tama, persamaan koefisien dianggap. Persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk berikut: 2 () () x - xpx dan () () x - xqx bersifat analitik pada = ( - ) 0 dy(4) + p(x) y = 0 dx x . Maka solusi deret dari persamaan (1) sekitar 0 x persamaan (4) dapat dianggap x d apat diasumsikan sebagai: 0 ∞ biasa linier orde pertama non-konstan yaxx+ 0 nr n Titik tunggal0 titik tunggal reguler if () x - xpx analitik di () 0 x . Yaitu, () () 0 x - xpx dapat diperluas sebagai: (2) 0 n = ∞ 0 r p ersamaan (2) (xx ) p(x) p ( xx ) 0 n = - - 0 n Persamaan indisial eksponen (5) = n adalah: 0 dxxpx [() ()] 1 0 (1) 0 rr - + p0r + q0 = (3) Dan koefisien muai adalah n = ; n = 0 ,1,2, p dx n n =- pxxpx Dimana lim () () 0 0 n xx xx = dan ! → 0 Kemudian dengan asumsinr ∞ 0 = ( - ) 2 0 yaxx qxxqx =lim () () + , n . 0 n = 00 xx → 0 persamaan (4) menjadi ∞ ∞ 3 J. Matematika. & Stat. 1 (1): 3-7, 2005 ∞ + - + - - = () () () [()] 0 n 0 m m = nr nr + + m n = n 0 0 nraxxpxxaxxsuku-suku yang (6) 0 0 n = 0 Atau dengan menyisirmirip, selanjutnya dapat dituliskan sebagai: ∞ ∞ ∞ nrj nr + ++ nrpaxxpaxx ( 7) [()] () ( 0) 0 + + 0 - + - = = 0 n n 0 n j = j 10 = n nr + Dari persamaan (7), dapat dilihat dengan (1) 0 n nrax mudah bahwa koefisienr ∞ x adalah: n ++= = 0 tidak menyetel a0 menjadi 0, Dengan kata lain persamaan indisialnya adalah r +1 = [r + p0]a0 = 0 (8) Jika a0dalam persamaan (8) diatur ke 0, maka solusi trivial y ≡ 0 adalah diperoleh. Oleh karena itu, dengan 0 , yaitu r = -1 dan koefisien lainnya sama dengan 0 identik; yaitu, solusinya adalah: "persamaan indisial" yang sejajar dengan orde kedua 1 persamaan diferensial biasa linier yang dilambangkan - y= ax ( 12) 0 dengan persamaan (3) adalah: Sebagai perbandingan, solusi eksak dapat diperoleh r + p0 = 0 (9) dengan pemisahan variabel dan adalah: Sebagai tujuan demonstrasi, berikut sederhana urutan c pertama persamaan diselesaikan dengan metode seri. y= (13) x dy x (10) Di mana c a dalah konstanta integrasi. Dapat dilihat metode Frobenius dapat dx + y = 0 bahwa persamaan (12) dan (13) pada dasarnya sama. Perlu diketahui bahwa Dari argumen di atas, x0 = 0 adalah titik singular biasa dan solusinya dapat diasumsikan sebagai: = ∞ yax+ diterapkan dengan sama baiknya ke titik biasa juga seperti yang ditunjukkan oleh contoh berikut. 0 (11) Karena nr 1 0 n = n d xp x [()] 1 pxx 0 = = = = l im () lim dy(14) + y = 0 dx Dimana x0 = 0 a dalah titik biasa. Dengan asumsi 0! dx xp xx 1 0 x 00 0 persamaan(10) menjadi x = →→ = ∞ yax+ n nr , persamaan (14) menjadi = n 0 4 J. Matematika. & Stat. 1 (1): 3-7, 2005 ∞ - nr r + 1 ra xrnaax . (15) 0 + + + + = [(1)] 0 n + n 1 n = 0 = - na n, n = 0,1,2, sebuahn + Persamaan: Untuk persamaan diferensial linier orde tinggi, persamaan orde ketiga dianggap pertama sebagai titik Diferensial Biasa Linear Orde Tinggi Untuk solusi non-trivial, nilai r s ama dengan awal generalisasi solusi Frobenius sebagai 0 identik dan hubungan pengulangan untuk berikut: koefisien adalah + 1 1 2 3 dy Dan solusi non-adalah dx dy px qx () () () 0 2 3 dx dx (1 23 xx x trivialnyayax- ae + + + R xy = x a dalah singular beraturan jika A titik singular0 2 x - xpx , () () = - + - + = 0 0) 2! 3! () () 0 3 () () Yang merupakan solusi eksak dari persamaan (14). Dalam 0 x - xqx dan 0 x - x R x a nalitik pada0 n x lainnya . Yaitu, kata-kata, solusi deret titik biasa adalah kasus khusus dari solusi Frobenius dengan r = dy(16) 0 . mereka dapat diperluas oleh deret Taylor sebagai berikut: ∞ 1 dxxpx [ () ()] - ∞ (17a) 0 n () () ()0 xxpxpxx ( ) - = - = n xx n 0 n = n 0 0 ∞ 0 n ! n = 0 dx n xx = - dxxqx [ () ()] - 1 ∞ (17b) 2 0 n () () ()0 xxqxqxx ( ) - = - = n xx n 0 n = n 0 0 0 n ! n = 0 ∞ dx n xx = - dxx R x [() ()] - 1 ∞ (17c) 3 0 n () () ()0 xx R x R xx () - = - = n xx 0 n = n 0 ∞ 0 0 n ! n = 0 n xx = - yaxx+ n = ( - ) dx 0 Dengan mengasumsikan solusi deret berbentuknr n dan mensubstitusikan persamaan (17a) - (17c) ke dalam = 0 persamaan (16), diperoleh persamaan berikut. ∞ nrnrnrpnrnrqnr R axx [ () (1) (2) () (1) ()] () + + - + - + + + - + + + 0 + nr 000 n n = 0 ∞ ∞ ∞ ∞ pnrnraxxqnraxx + + + - - + + ++ nrj nrj + + () (1) () () () j (18) n j n 0 0 jn = = ∞ = j 1 0 ∞ = n 10 nrj + + R axx +-= n jn 0 () 0 j = = 10 Persamaan indisial dapat diperoleh dari persamaan (18) dan adalah 5 J. Matematika. & Stat. 1 (1): 3-7, 2005 y= cx seperti yang biasa dilakukan dalam menyelesaikan persamaan Cauchy-Euler. Dengan kata lain, persamaan Cauchy-Euler adalah kasus khusus dari linear r( r - 1 ) (r - 2) + p0 r( r -1 ) + q0r + R0 = 0 (19) Dan p0 , q0 dan R0 adalah lim [() ()] xxpx diperoleh dengan asumsir xx 2 → lim [() ()] - dan lim xx → 0 0 Rx xxqx , 0 persamaan diferensial biasa dengan titik singular biasa. 0 - [() ()] xx xx → 0 0 - linear persamaan Metodologi solusi bahkan, dapat diperpanjang biasa rangka m untuk urutanlebih tinggi cukup masing-masing. lurus ke depan sebagai berikut: Sangat menarik untuk dicatat bahwa jika x0 = 0 dipilih dan m m 1 m 2 dy dy dy (21) + + + + = - px persamaa ditulis n (16) ulang menjadi: dx dx m m qx 1 () () () 0 2 zxy dx m 2 dy dy dy 3 + + + x R xy = 3 2 23 (20) x xp xx () () () 0 dx xqxx dx dx 3 2 x biasa jika () Kemudian titik tunggal0 2 xp(x) = p ,0 Dan selanjutnya () membiarkan 0 xq(x) = q dan 2 x - xpx , 0 m () () x - xqx , … dan () () xxzx 0 ∞ = ( - ) 3 x R( x) = R , maka persamaan (20) menjadi sepertiga - bersifat analitik 0 0 0 yaxx + adalah persamaan yang pada0 n = 0 n orde persamaan Cauchy-Euler. Dapat dilihat dengan mudah bahwa persamaan indisial, persamaan (19), mengubah persamaan (21) menjadi dan bentuk berikut: m 1 m m xx dy () () () () - + - - + xxpxxx m 000 2 dx m --++-= m m 2 m () () () () () 0 xxqxxx dx 2 dy 1 1 (22) m dy x . Dengan asumsinr 0 m 0 2 0 - xxzxy dx Persamaan yang mirip dengan persamaan (18) diperoleh seperti yang diberikan dalam persamaan (23). ∞ [() (1) (1) () (1) (2) nrnrnrmpnrnrnrm + + - + - + + + + - + - + + 0 0 n = nr + + + - + - + + + - qnrnrnrmzaxx ( ) (1) (3)] () + 0 0 0 n ∞ ∞ pnrnrnrmaxx () (1) (1) () +++-+-+- nrj + + 0 jn j (23) n ∞ =∞ 1 0 = qnrnrnrmaxx () (1) (2) () +++-+-+- nrj + + j n 0 jn ∞ ∞ = 1 0 = nrj + + ++-= () 0 zaxx 0 j n 10 jn = = 6 J. Matematika. & Stat. 1 (1): 3-7, 2005 (23) sebagai: Persamaan indisial dapat disimpulkan dari persamaan (1) (1) (1) (2) 0 rr - r - m + + p0rr - r - m + + z0 = ( 24) Dalam kedua persamaan (23) dan (24), p0 , q0 ,… dan 0 z a dalah KESIMPULAN memesan persamaan diferensial biasa linier dengan koefisien variabel yang memiliki titik singular biasa dikembangkan. Metode Frobenius dan kondisi Dalam penelitian ini, metodologi solusi umum untukth M lim () () xxpx 2 , lim - untuk titik tunggal reguler dari diferensial orde kedua () () xxqx 0 xx → 0 dengan teknik solusi persamaan dapat mengatur m = untuk disimpulkan 2 . Selanjutnya Cauchy-Euler - xx → m ,… dan 0 0 lim () () xxzx xx → - 0 kasus khusus dari persamaan dapat diperlakukan sebagai metode Frobenius berturut-turut. 0 Dapat dilihat bahwa persamaan (24) memberikan m DAFTAR PUSTAKA akaruntuk r d an persamaan indisial untuk persamaan diferensial biasa linier orde rendah juga dapat 1. Braun, M., 1975. Persamaan Diferensial dan Aplikasinya. Pengantar matematika terapan, Springer-Verlag, Inc. disimpulkan dari persamaan tersebut. Sebagai contoh, untuk persamaan orde satu, m = 1, dan persamaan (24) 2. Hollis, S., 2002. Persamaan diferensial dengan masalah nilai batas. Prentice Hall, Inc. 3. Riley, KF, MP Hobson dan SJ Bence, 1998. Metode Matematika untuk Fisika dan Teknik. Panduan komprehensif, Cambridge University Press. menjadi r+ z0 = 0 (25) Perbandingan antara persamaan (25) dan persamaan (9) menunjukkan bahwa persamaan tersebut pada dasarnya sama, kecuali pada simbol . 4. Kreyszig, E., 1999. Matematika Teknik Lanjutan.8 Edisi, John Wiley and Sons, Inc. 5. O'Neil, PV, 1991. Advanced Engineering rd Mathematics, 3 Edn., Wadsworth Publishing Co. 6. Greenberg, MD, 1998. Advanced Engineering Dengan cara yang sama, persamaan (3) dan (19) adalah kasus khusus untuk m = ke- 2 dan m = 3 dari persamaan (24). Selanjutnya dapat diamati juga bahwa Persamaan Cauchy-Euler m dy - 1 m - Matematika. m dy 2ndedition, dy m m - zy xm + 0 + + + = px dx 1 m m - dx m hanyalah kasus khusus dari persamaan (22). qx umum ini. - 10 2 dx 0 2 0 Prentice-Hall Int., Inc 2 7