Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel GC

Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
MATEMATIKA WAJIB KELAS 10
Mengingat
Kembali sistem
persamaan
linear dua
variabel
Pada sebuah tempat parkir untuk motor dan mobil terdapat 20 buah
kendaraan. Jumlah roda seluruhnya 56 buah. Jika banyak motor
dinyatakan dengan x dan banyak mobil dinyatakan dengan y. Berapa
banyaknya motor dan banyaknya mobil pada tempat parkir tersebut?
Subtitusikan 𝑦 = 8 ke salah satu persamaan
𝑥 + 𝑦 = 20
2𝑥 + 4𝑦 = 56
Cari nilai 𝑥 dan 𝑦 dengan
metode eliminasi dan subtitusi
𝑥 + 𝑦 = 20
×2
2𝑥 + 2𝑦 = 40
2𝑥 + 4𝑦 = 56
×1
2𝑥 + 4𝑦 = 56
−2𝑦 = −16
𝑦=8
𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥 + 8 = 20
𝑥 = 12
Jadi, pada tempat parkir tersebut terdapat
12 buah motor dan 8 buah mobil
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
2x – y = 7
x + 2y = 1
Cari nilai 𝑥 dan 𝑦 dengan
metode eliminasi dan subtitusi
2𝑥 − 𝑦 = 7
×2
4𝑥 − 2𝑦 = 14
𝑥 + 2𝑦 = 1
×1
𝑥 + 2𝑦 = 1
5𝑥 = 15
𝑥=3
Subtitusikan 𝑥 = 3 ke salah satu persamaan
𝑥 + 2𝑦 = 1
𝑥 + 2(3) = 1
𝑥 = −5
Jadi, penyelesaian sistem persamaan
tersebut adlah 𝑥 = −5 dan 𝑦 = 3
Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 20
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 15
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
Contoh sistem pertidaksamaan linear tiga variabel (SPLTV)
Metode Penyelesaian SPLTV
01
02
Subtitusi
Subtitusi dan
Eliminasi
Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV berikut
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 20
൝ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 15
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
01
Metode Subtitusi
SUBTITUSI
Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV
berikut
… (1)
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 20
൝ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 15
… (2)
… (3)
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
Jawab :
Dari pers. (3) diperoleh
𝑥 = −𝑦 + 3𝑧 + 1
… (4)
Subtitusi pers. (4) ke pers. (1)
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 20
3(−𝑦 + 3𝑧 + 1) + 2𝑦 + 𝑧 = 20
−𝑦 + 10𝑧 + 3 = 20
−𝑦 = −10𝑧 + 17
𝑦 = 10𝑧 − 17 … (5)
Subtitusi pers. (4) ke pers. (2)
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 15
2(−𝑦 + 3𝑧 + 1) + 3𝑦 − 𝑧 = 15
𝑦 + 5𝑧 + 2 = 15
𝑦 + 5𝑧 = 13
… (6)
Subtitusi pers. (5) ke pers. (6)
𝑦 + 5𝑧 = 13
(10𝑧 − 17) + 5𝑧 = 13
15𝑧 = 30
𝑧=2
Subtitusi 𝑧 = 2 ke pers. (5)
𝑦 = 10𝑧 − 17 ⟺ 𝑦 = 10 2 − 17 = 3
Subtitusi 𝑧 = 2 dan 𝑦 = 3 ke pers. (4)
𝑥 = −𝑦 + 3𝑧 + 1 ⟺ 𝑥 = −3 + 3 2 + 1 = 4
Jadi 𝑥 = 4, 𝑦 = 3 dan 𝑧 = 2
02
Metode Subtitusi dan Eliminasi
SUBTITUSI DAN ELIMINASI
Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV
berikut
… (1)
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 20
൝ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 15
… (2)
… (3)
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
Jawab :
Dari pers. (1) dan (2) eliminasi 𝑧
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 20
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 15
5𝑥 + 5𝑦 = 35
𝑥+𝑦 =7
… (4)
Dari pers. (1) dan (3) eliminasi 𝑧
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 20 × 3 9𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 60
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
×1
(5) …
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
10𝑥 + 7𝑦 = 61
Dari pers. (4) dan (5) eliminasi 𝑥
𝑥+𝑦=7
10𝑥 + 7𝑦 = 61
× 10
10𝑥 + 10𝑦 = 70
×1
10𝑥 + 7𝑦 = 61
3𝑦 = 9
𝑦=3
Subtitusi 𝑦 = 3 ke pers. (4)
𝑥+𝑦=7 ⇔ 𝑥+3=7 ⇔ 𝑥 =4
Subtitusi 𝑥 = 4 dan 𝑦 = 3 ke pers. (3)
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
⇔ 4 + 3 − 3𝑧 = 1
−3𝑧 = −6
𝑧=2
Jadi 𝑥 = 4, 𝑦 = 3 dan 𝑧 = 2
CONTOH SOAL
Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV
berikut
… (1)
3𝑥 + 2𝑦 = 9
൝
… (2)
4𝑥 − 𝑧 = 2
… (3)
𝑦 + 3𝑧 = 9
Subtitusi 𝑦 = 3 ke pers. (3)
𝑦 + 3𝑧 = 9 ⇔ 3 + 3𝑧 = 9 ⇔ 𝑧 = 2
Subtitusi z= 2 ke pers. (2)
4𝑥 − 𝑧 = 2 ⇔ 4𝑥 − 2 = 2 ⇔ 𝑥 = 1
Jawab :
Dari pers. (1) dan (2) eliminasi 𝑥
×4
3𝑥 + 2𝑦 = 9
12𝑥 + 8𝑦 = 36
4𝑥 − 𝑧 = 2
×3
(4) …
12𝑥 − 3𝑧 = 6
8𝑦 + 3𝑧 = 30
Dari pers. (3) dan (4) eliminasi 𝑧
𝑦 + 3𝑧 = 9
8𝑦 + 3𝑧 = 30
−7𝑦 = −21 ⇔ 𝑦 = 3
Jadi 𝑥 = 1, 𝑦 = 3 dan 𝑧 = 2
LATIHAN
Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV
berikut
… (1)
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 8
… (2)
൞ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
… (3)
3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 7
Subtitusi x= 3 ke pers. (4)
13𝑥 − 8𝑧 = 23
⟺ 13 3 − 8𝑧 = 23 ⟺ −8𝑧 = −16 ⟺ 𝑧 = 2
Jawab :
Subtitusi 𝑥 = 3 dan 𝑧 = 2 ke pers. (1)
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 8
3 − 3𝑦 + 2 = 8 ⟺ −3𝑦 = 3 ⟺ 𝑦 = −1
Dari pers. (1) dan (2) eliminasi 𝑧
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 8
Jadi 𝑥 = 3, 𝑦 = −1 dan 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
3𝑥 = 9 ⟺ 𝑥 = 3
Dari pers. (2) dan (3) eliminasi 𝑦
×2
4𝑥 + 6𝑦 − 2𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 7
×3
(4)…
9𝑥 − 6𝑦 − 6𝑧 = 21
13𝑥 − 8𝑧 = 23
CONTOH SOAL
Tentukan himpunan penyelesaian
Diketahui SPLTV berikut
Dari pers. (1) dan (2) eliminasi 𝑟
1 1 1
+ + = −3
𝑥 𝑦 𝑧
2 2 1
Tentukan nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
+ − =6
𝑥 𝑦 𝑧
yang memenuhi SPLTV
1 1
− =7
𝑥 𝑦
Jawab :
Buat permisalan
1
1
1
𝑝=
𝑞=
𝑟=
𝑥
𝑦
𝑧
Sistem persamaannya menjadi:
𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = −3
൝ 2𝑝 + 2𝑞 − 𝑟 = 6
𝑝−𝑞 =7
𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = −3
2𝑝 + 2𝑞 − 𝑟 = 6
3𝑝 + 3𝑞 = 3 ⇔ 𝑝 + 𝑞 = 1 … (4)
Subtitusi pers. (4) : 𝑝 + 𝑞 = 1 ke pers. (1)
𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = −3 ⟺ 1 + 𝑟 = −3 ⟺ 𝑟 = −4
Dari pers. (3) dan (4) eliminasi 𝑞
𝑝−𝑞 =7
𝑝+𝑞 =1
2𝑝 = 8 ⇔ 𝑝 = 4
… (1)
… (2)
… (3)
Subtitusi 𝑝 = 4 ke pers. (4)
𝑝 + 𝑞 = 1 ⟺ 4 + 𝑞 = 1 ⟺ 𝑞 = −3
CONTOH SOAL
Diketahui SPLTV berikut
1 1 1
+ + = −3
𝑥 𝑦 𝑧
2 2 1
Tentukan nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
+ − =6
𝑥 𝑦 𝑧
yang memenuhi SPLTV
1 1
− =7
𝑥 𝑦
Jawab :
Diperoleh 𝑝 = 4, 𝑞 = −3 dan 𝑟 = −4.
Sehingga
1
1
1
𝑝=
𝑞=
𝑟=
𝑥
𝑦
𝑧
1
1
1
𝑥=
𝑧=
𝑦
=
𝑝
𝑟
𝑞
1
1
1
𝑧
=
−
𝑥=
𝑦=−
4
4
3
Jadi,
𝑥+𝑦+𝑧=
1
1
1
1
+ −
+ −
=−
4
3
4
3
LATIHAN
Tentukan himpunan penyelesaian
Diketahui SPLTV berikut
Dari pers. (1) dan (2) eliminasi 𝑞
2 2 4
+ − =2
𝑥 𝑦 𝑧
3 2 5
− + = 10 Tentukan nilai 𝑥 + 𝑦 − 𝑧
𝑥 𝑦 𝑧
yang memenuhi SPLTV
4 5 3
+ − = 17
𝑥 𝑦 𝑧
Jawab :
Buat permisalan
1
1
1
𝑝=
𝑞=
𝑟=
𝑥
𝑦
𝑧
Sistem persamaannya menjadi:
2𝑝 + 2𝑞 − 4𝑟 = 2
൝ 3𝑝 − 2𝑞 + 5𝑟 = 10
4𝑝 + 5𝑞 − 3𝑟 = 17
2𝑝 + 2𝑞 − 4𝑟 = 2
3𝑝 − 2𝑞 + 5𝑟 = 10
5𝑝 + 𝑟 = 12
Dari pers. (1) dan (3) eliminasi 𝑞
2𝑝 + 2𝑞 − 4𝑟 = 2 × 5 10𝑝 + 10𝑞 − 20𝑟 = 10
4𝑝 + 5𝑞 − 3𝑟 = 17 × 2
(5) …
… (1)
… (2)
… (3)
… (4)
8𝑝 + 10𝑞 − 6𝑟 = 34
2𝑝 − 14𝑟 = −24
⟺ 𝑝 − 7𝑟 = −12
Dari pers. (4) dan (5) eliminasi 𝑝
5𝑝 + 𝑟 = 12
5𝑝 + 𝑟 = 12 × 1
𝑝 − 7𝑟 = −12 × 5 5𝑝 − 35𝑟 = −60
36𝑟 = 72 ⟺ 𝑟 = 2
LATIHAN
Jawab :
Subtitusi 𝑟 = 2 ke pers. (4)
5𝑝 + 𝑟 = 12 ⟺ 5𝑝 + 2 = 12 ⟺ 𝑝 = 2
𝑥+𝑦−𝑧 =
Subtitusi p = 2 dan 𝑟 = 2 ke pers. (1)
2𝑝 + 2𝑞 − 4𝑟 = 2
⟺ 2 2 + 2𝑞 − 4 2 = 2
⟺ 2q − 4 = 2 ⟺ 𝑞 = 3
Diperoleh 𝑝 = 2, 𝑞 = 3 dan 𝑟 = 2.
Sehingga
1
1
𝑝=
𝑞=
𝑥
𝑦
1
1
𝑥=
𝑦
=
𝑝
𝑞
1
1
𝑥=
𝑦
=
2
3
Jadi,
1
𝑧
1
𝑧=
𝑟
1
𝑧=
2
𝑟=
1 1 1 1
+ − =
2 3 2 3
2
TUGAS
1
#tetapsemangat
#tetapdirumah
#jagakesehatan