PECAHAN A. Pengertian Pecahan Sebuah jeruk mula-mula dibagi menjadi dua bagian yang sama. Satu bagian jeruk dari dua bagian yang sama disebut “satu per dua” atau “seperdua” ditulis 1 c ” 2 ”.Kedua bagian tersebut masing-masing dibagi dua lagi sehingga menjadi empat bagian yang sama. Satu bagian yang sama itu disebut “satu per empat” atau “seperempat”, ditulis “ 14 ”. Bilangan 12 dan 14 disebut bilangan pecahan.Selanjutnya disepakati sebutan “bilangan pecahan” disingkat dengan “pecahan”. 1 pecahan 2 Pada , 1 disebut pembilang dan 2 disebut penyebut. 1 Pada pecahan 4 , 1 disebut pembilang dan 2 disebut penyebut. a Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk “ b ”, dengan a,b adalah bilangan bulat, b≠0 dan b bukan faktor dari a disebut bilangan pecahan. Bilangan “a” disebut pembilang, dan “b” disebut penyebut. Dengan kata lain pecahan adalah bilangan yang menggambarkan bagian dari keseluruhan. B. Pecahan Sederhana Pecahan , , , dan merupakan pecahanpecahan yang senilai. Dari empat pecahan tersebut, merupakan pecahan dengan bentuk paling sederhana. Suatu pecahan mempunyai bentuk paling sederhana (pecahan sederhana) jika faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan penyebutnya adalah 1. Menulis bentuk paling sederhana dari suatu pecahan itu dengan FPB dari pembilang dan penyebut tersebut. Contoh : Tulislah dalam bentuk paling sederhana. FPB dari 20 dan 28 adalah 4. 2 4 5 7 20 28 Bagilah pembilang dan penyebut dengan 4. Jadi, bentuk paling sederhana dari pecahan adalah C. Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan Biasa Bilangan-bilangan dan disebut pecahan campuran atau bilangan campuran. Pecahan campuran menunjukkan jumlah dari suatu bilangan cacah dan suatu pecahan. Contohnya: Pecahan campuran juga dapat ditulis sebagai pecahan biasa. D. Mengubah Pecahan Dengan Pembilang Lebih Dari Penyebutnya Menjadi Pecahan Campuran Jika diketahui terdapat 28 liter minyak. Isilah 8 kaleng dengan minyak itu dengan volume yang sama . Berapa liter harus diisikan pada tiap kaleng? Jawab: tulis dalam bentuk pecahan 3 sisa 4 8 Bagilah 28 dengan 8 Lalu menyatakan sisa pembagian sebagai suatu pecahan dan menyederhanakannya. Jadi, setiap kaleng harus diisi dengan liter minyak. E. Membandingkan Pecahan 1. Membandingkan Pecahan yang Penyebutnya Sama. Perhatikan kedua model pecahan berikut! 5/6 Dari model- model tersebut, dapatkah disimpulkan bahwa Seperenam dapat dipandang sebagai 4/6 satuan baru. berarti 5 seperenam, dan berarti 4 seperenam. Manakah yang lebih besar antara 5 seperenam dengan 4 seperenam? Dari uraian di atas jelas bahwa Jadi, untuk membandingkan beberapa pecahan yang penyebutnya sama, cukup dengan membandingkan pembilanganya. Jika pembilang lebih besar maka pecahannya juga lebih besar. 2. Membandingkan Pecahan yang Penyebutnya Berbeda. senilai dengan dan senilai dengan =1/2 =1/3 . =3/6 =2/6 Pecahan mana yang lebih besar? Tampak bahwa dan , sebab dan . Jadi, suatu cara membandingkan pecahan adalah dengan menyatakan pecahan-pecahan itu sebagai pecahan-pecahan yang penyebutnya sama kemudian membandingkan pembilangpembilangnya. Dalam proses ini digunakan kelipatan-kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut pecahan. Contoh 1: Mana yang lebih besar antara dan ? Tahap I: Menentukan KPK dari penyebutnya yaitu KPK dari 3 dan 7. Kelipatan dari 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,... Kelipatan dari 7: 7, 14, 21, 28,.. KPK dari 3 dan 7 adalah 21, sebab 21 adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 3 dan 7. Tahap II: Menentukan pecahan yang senilai dengan dan pecahan yang senilai dengan dengan menggunakan KPK pada tahap I sebagai berikut. ... 21 Sehingga 1/3=7/21 ... 21 Tahap III: Membandingkan pecahan yang penyebutnya sama pada tahap II. Membandingkan pembilang dari dan Karena 7 > 6 maka Sehingga dapat disimpulkan bahwa . F. Mengurutkan Pecahan-Pecahan Mengurutkan pecahan sama halnya dengan membandingkan tiga pecahan atau lebih. Jika kita akan mengurutkan pecahan yang penyebutnya sama, urutkanlah berdasarkan besar dari pembilangnya. , Tetapi, jika akan mengurutkan pecahan yang penyebutnya berbeda, terlebih dahulu tentukanlah pecahan senilai dari tiap pecahan semula yang penyebutnya adalah KPK dari penyebutnya pecahan semula. Contoh: Urutkanlah pecahan , , dan yang terbesar dari yang terkecil ke 6 2 x3 2 4 2 x2 2 20 2 x 2 x5 2 x5 Tentukan KPK dari 7, 4, dan 20 dengan cara menuliskan semua faktor prima tiap bilangan, kemudian 3 tandailah semua faktor berbeda yang paling sering muncul 2 Kalikan faktor-faktor yang telah ditulis lebih besar 50 > 15 > 9 Bandingkan pembilangnya dan urutkan. > > maka > > Jadi, jika yang diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar diperoleh , , G. Pecahan yang Nilainya di Antara Dua Pecahan Misalkan kita mempunyai 5/8 Dan 3/4 Adakah pecahan yang berada di antara bilanganbilangan tersebut ? Untuk mengujinya, dapat dilakukan tahap-tahap berikut: 1. Penyebut dua pecahan disamakan terlebih dahulu, kemudian kita tentukan pecahan yang nilainya terletak di antara kedua pecahan yang diketahui. Terlihat bahwa dan tidak memungkinkan adanya nilai di antara keduanya, maka kita harus melakukan tahap berikutnya. 2. Jika belum diperoleh pecahan yang dimaksud, ubah lagi penyebutnya menjadi dua kali lebih besar daripada penyebut semula, demikian seterusnya. Di antara 10/16 dan 12/16 terdapat pecahan 11/16 Jadi, di antara dua pecahan yang berbeda, selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua bilangan itu. H. Pecahan Desimal Pecahan biasa atau pecahan campuran dapat pula dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal. Demikian pula sebaliknya, pecahan desimal dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa atau pecahan campuran. Contoh: Tulislah 0,253 sebagai suatu pecahan dalam bentuk pecahan sederhana. 0,25 = Tulislah dalam bentuk pecahan Sederhankanlah dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPBnya. FPB dari 125 dan 200 adalah 25. Jadi, 0,25 = Jika suatu bilangan desimal lebih dari 1 maka bilangan desimal tersebut dapat ditulis sebagai pecahan campuran. Contoh: Bilangan cacah tetap ditulis terpisah dari pecahan. Sederhanakanlah pecahan tersebut. FPB dari 100 dan 45 adalah 5. Jadi, Selanjutnya, untuk menulis suatu pecahan dalam bentuk desimal, dapat menulisnya dengan cara membagi pembilang oleh penyebut. Ingat bahwa simbol pecahan tersebut juga berarti pembagian. 0, 4 5 2 20 0 Pada pecahan, jika kamu membagi pembilang oleh penyebut dan sisanya nol, maka hasil baginya merupakan bilangan desimal tak berulang. Tetapi, jka hasil baginya mengulang sebuah angka atau sekelompok angka tertentu tanpa berakhir, maka bilangan desimal itu disebut bilangan desimal berulang. 0,22222 . . . . . = Garis datar yang ada di atas angak 2 menandakan bahwa angka 2 berulang = Contoh lain: = Angka 63 berulang. H. Persen Jika membandingkan sebuah bilangan dengan 100 maka akan menemukan prosen. Prosen artinya “perseratus”. , , I. Permil Permil artinya per seribu. Jadi, pecahan permil adalah suatu pecahan yang penyebutnya seribu atau per seribu. Permil dilambangkan oleh . Sebagai ilustrasi OPERASI PADA PECAHAN Operasi dalam pecahan meliputi: 1)Penjumlahan pecahan 2)Pengurangan pecahan 3)Perkalian pecahan 4) Pembagian pecahan A. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Menjumlahkan Pecahan yang Penyebutnya Sama Untuk Menjumlahkan Pecahan – Pecahan dengan penyebut yang sama, jumlahkanlah pembilang – pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap. Contoh : Tentukan jumlah dari 3/5 dan 4/5 Penyelesaian : 3/5 4/5 7/5 3 4 3 4 5 5 5 7 5 2 1 5 B. Pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Sama Mengurangkan Pecahan yang Penyebutnya Sama Untuk Mengurangkan Pecahan – Pecahan dengan penyebut yang sama, kurangkanlah pembilang – pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap. Contoh 1 : Tini menemukan kue tar di meja makan. Dia makan kue tar. Berapa kue tar yang belum dimakan? Penyelesaian : atau Jadi, kue tar yang belum dimakan adalah Contoh 2 : Pak Slamet mempunyai minyak tanah sebanyak kaleng minyak. Tetangga Pak Slamet membeli minyak tanah itu sehinggga minyak tanah Pak Slamet sekarang sebanyak kaleng minyak. Berapa banyak minyak tanah dalam satuan kaleng yang telah dibeli oleh tetangga Pak Slamet itu ? Penyelesaian : Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara berikut : pikirkan : berapa ditambah untuk memperoleh ? , sehingga diperoleh bahwa tetangga Pak Slamet telah membeli minyak tanahnya sebesar kaleng minyak. C. Penjumlahan dan pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Berbeda Ani membaca sebuah buku cerita. Dua hari yang lalu, Ani membaca dari isi buku itu. Hari ini Ani melanjutkan membaca buku cerita itu. Dia membaca dari isi buku itu. Berapa bagian dari isi buku cerita yang telah dibaca oleh Ani ? •Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita perlu menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda. Kita dapat menggunakan model pecahan untuk penjumlahan berikut. Pertanyaan 1 : Berapa bagian dari isi buku yang telah dibaca oleh Ani? Penyelesaian : Jumlahkan dan Gunakan model pecahn untuk 1/4 Gunakan model pecahn untuk 2/3 tentukan model pecahan untuk menyatakan jumlah jadi ani telah membaca 11/12 bagian isi dari buku tersebut contoh 1: Modelkan pengurangan Gunakan model pecahan 3/6 atau 1/2 Gunakan model pecahan 2/6 atau 1/3 Kurangkan 3/6 - 2/6 Dari pertanyaan 1 dan contoh 1 di atas, tampak bahwa untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pertama- tama menyamakan penyebutnya dahulu, yaitu dengan menggunakan KPK. Contoh 2 : Tentukan hasil dari Tentukan KPK dari 4 dan 7 KPK dari 4 dan 7 adalah 28. Tentukan KPK dari 4 dan 7 KPK adalah 28. Tulis pecahan dengan penyebut sama. + D. Penjumlahan Pecahan Campuran Satu cara untuk menjumlahkan pecahan campuran adalah menghitung bagian bilangan cacah dan pecahannya secara terpisah.kadang- kadang jumlah dari bagian pecahan adalah suatu pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebutnya. Jika demikian, ubahlah dahulu pecahan tersebut sebagai pecahan campuran. Contoh 1 : Tentukan hasil dari Penyelesaian: KPK adalah 4. Tulislah pecahan – pecahan itu dengan penyevut yang sama + Jumlahkan bagian bilangan cacah dan pecahannya Ubahlah bentuk pecahannya Jumlahkan bilangan cacahnya E. Pengurangan Pecahan Campuran Untuk menyelesaikan masalah pengurangan pecahan campuran, rubahlah dahulu menjadi pecahan biasa. Contoh: 1 1 selesaikanlah 6 4 3 2 1 1 2 3 6 4 6 4 3 2 6 6 8 3 5 4 6 6 5 1 6 tulislah dalam pecahan senama ubahlah bentuk pecahannya kurangilah bilangan cacah dan kemudian pecahanya. Jadi 1 1 5 6 4 1 3 2 6 F. Perkalian dan Pembagian Pecahan Sebelum melangkah dalam pembahasan perkalian dan pembagian pecahan, berikut adalah sifat-sifat operasi perkalian dan pembagian dalam bilangan bulat: Untuk a, b, dan c anggota bilangan bulat, berlaku: a. a x b = b x a (komutatif) b. (a x b) x c = a x (b x c) (asosiatif) c. a x 1 = 1 x a = a (1 adalah unsur identitas perkalian) d. a x (-b) = -(a x b); (-a) x b = -(a x b); (-a) x (-b) = a x b e. a : b : c sama artinya dengan a = b x c Sifat-sifat tersebut juga berlaku dalam bilangan pecahan. 1. Mengalikan Pecahan dengan Pecahan Kita dapat menggunakan model luas untuk mengalihkan pecahan dengan pecahan. Kata dari bila digunakan dalam matematika, dapat berarti perkalian. Contoh: Pak arif mempunyai sebidang tanah untuk lahan perkebunan. Dia merencanakan menanami separuh lahanya dengan tanaman apotik hidup. Dia ingin sepertiga dari lahan yang akan ditanami tanaman apotik hidup itu ditanami temulawak. Berapakah dari lahan itu yang akan ditanami temulawak ? Lahan yang ditanami tanaman apotik hidup = ½ dari lahan perkebunan Bagilah lahan perkebunan untuk tanaman apoti hidup ke dalam tiga bagian yang sama. Arsirlah 1/3 dari bagian yang telah diwarnai itu. Bagian yang diwarnai sekaligus diarsir adalah 1/6 dari lahan semula. Bagian ini menunjukkan bagian dari lahan yang ditanami temulawak. Luas dari bagian tersebut adalah panjang x lebar, yaitu ½ x 1/3. jadi, bagian yang ditanami temulawak menyatakan ½ x 1/3 = 1/6. Dari contoh tersebut tampak berlaku pernyataan sebagai berikut: Perkalian Pecahan Untuk mengalihkan pecahan dengan pecahan, kalikanlah pembilang-pembilangnya. Kemudian kalikanlah penyebut-penyebutnya. Contoh : Tentukanlah 2/3 dari ½ 2/3 dari ½ 2 1 = x 3 2 kalikan pecahan-pecahan tersebut 2 x1 3x2 kalikan pecahan-pecahan tersebut 1 2 3 6 sederhanakanlah Jika pembilang dari pecahan yang pertama dan penyebut dari pecahan yang lain mempunyai factor persekutuan, maka kamu dapat menyederhanakan sebelum mengalikanya. Contoh: 3 4 x Tentukan hasil dari 8 5 Sederhanakanlah sebelum mengalikan. 3 4 3.4 x 8 5 8.5 3 x1 2 x5 3 10 bagilah pembilang dan penyebut dengan 4 karena 4 merupakan FPB dari 4 dan 8 kalikanlah pembilang dan penyebutnya 2. Perkalian Bilangan Cacah dengan Pecahan Masih ingatkah kamu arti dari 4x2 ? arti 4x2 adalah 2+2+2+2. hal ini berlaku pula untuk perkalian bilangan pecahan oleh bilangan cacah. 1 1x 4x 1 2/3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 8 2 3 3 1x 1 2/3 1x 1 2/3 1x 2/3 Pada perkalian bilangan cacah dengan bilangan pecahan, kita dapat mengubah bilangan cacah ke dalam bentuk pecahan dengan penyebut 1 kemudian melakukan perkalian pecahan. Misalnya 4x 2 4 2 4 x2 8 2 x 2 3 1 3 1x3 3 3 3. Perkalian Pecahan Campuran Dony mempunyai album foto besar. Sebanyak 8 1/3 halam dari album itu masih kosong. Dony bermaksud mengisi separuh dari halam kosong itu dengan foto-foto artis secara berurutan. Berapa halaman dari album itu yang akan diisi dengan foto-foto artis? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kamu perlu menentukan ½ dari 8 1/3 atau ½ X 8 1/3.Untuk mengalikan pecahan campuran, nyatakanlah terlebih dahulu pecahan campuran itu sebagai pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebutnya. Kemudian kalikanlah pecahan pecahan tersebut. ½ x 25/3 = 25/6 = 4 1/6 kalikan pembilang-pembilangnya dan kalikan penyebut-penyebutnya sederhanakan. Jadi, sebanyak 4 1/6 halaman dari album foto itu yang akan di isi dengan foto-foto artis. Kita juga dapat menunjukan permasalahan di atas dengan menggunakan model seperi berikut. 1 8 3 dari 8 adalah 4, dan dari adalah . Sehingga, Kita juga dapat menggunakan model luasan untuk mengalikan pecahan campuran seperti berikut. Misal, 1 luas dari suatu segiempat dengan panjang 1 cm dan 2 1 lebar 2 cm ditunjukan pada gambar di bawah ini. 4 1 2 4 1 1 2 1 1 Tentukan hasil perkalian 2 tulislah setiap pecahan campuran sebagai pecahan tak murni. 2 = menyederhanakan dengan cara membagi angka 8 dan 4 dengan keduanya oleh FPB-nya yaitu 4 = kalikan = sederhanakan 4. Pembagian Pecahan Untuk memahami arti dari pembagian pecahan, kita lakukan kegiatan berikut seolah-olah kita membagi permen kepada beberapa teman. i. Kita mempunyai 6 biji permen yang akan dibagi kepada beberapa teman. Masing-masing teman memperoleh 2 biji permen. Berapakah orang yang akan menerima permen? Jawab : 3 Di tulis 6 : 2 = 3 ii. Jika 6 biji permen itu dibagi sehingga masingmasing temanmu menerima 1 biji permen, berapakah orang yang menerima permen? Jawab: 6 Ditulis 6 : 1 = 6 iii. Jika 6 biji permen itu dibagai sehingga masingmasing temanmu menerima ½ biji permen, berapakah orang yang menerima permen? Jawab : 12 Ditulis 6 : Perhatikan: 6: Bagaimana hubungan dengan bentuk 6 x Bilangan dan 2 mempunyai hubungan khusus, yaitu hasil kalinya 1. disebut kebalikan 2. Catat bahwa, sebarang dua bilangan yang hasil kalinya adalah 1 di sebut berkebalikan. 5. Pembagian Pecahan Campuran Untuk membagi pecahan campuran, terlebih dahulu tulislah setiap pecahan campuran sebagai yang pembilangnya lebih dari penyebutnya, kemudian kalikan. Contoh 1: Tentukan hasil dari ubahlah pecahan campuran = bagilah pembilang dan penyebut dengan FPB dari 9 dan 18 yaitu 9 = tentukan hasil kalinya Contoh 2: Tentukan ubahlah pecahan campuran = kalikan dengan kebalikan dari 3 yaitu 1/3 = kalikan pembilang dan kalikan penyebutnya tulislah hasil kalinya = Tulislah sebagai pecahan campuran
