Analisis Penentuan Koefisien Refleksi dan - HFI DIY

46
Andika Kusuma Wijaya / Analisis Penentuan Koefisien Refleksi dan Transmisi pada Potensial Delta Ganda Antisimetri
Analisis Penentuan Koefisien Refleksi dan Transmisi pada Potensial
Delta Ganda Antisimetri
Andika Kusuma Wijaya1*, Arief Hermanto2, M. Toifur3
1
Program Studi Pendidikan Fisika, STKIP Singkawang
Program Studi Fisika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
3
Program Magister Pendidikan Fisika, Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta
*email: [email protected]
2
Abstrak – Penelitian ini bertujuan untuk menentukan parameter mekanika kuantum pada potensial delta ganda
antisimetri dengan metode analitis dan komputasi. Software yang digunakan adalah Matlab 7.6. Parameter yang diteliti
yaitu koefisien refleksi dan transmisi. Potensial delta terdiri bentuk sumur yang dipasang pada x = −a dan potensial
tanggul yang berada pada x = a . Penentuan koefisien refleksi dan transmisi menggunakan fungsi gelombang energi
positif (keadaan terhambur). Dalam menganalisis data secara komputasi digunakan parameter-parameter tetap massa
elektron m = 9,1×10−31 kg , konstanta Planck h = 1, 054 × 10−34 J ⋅ s , kedalaman sumur dan ketinggian tanggul potensial
V 0 = 1,5 eV , lebar sumur a = 0,5 nm . Berdasarkan hasil analisis yang diperoleh dengan menggunakan Matlab 7.6,
diperoleh koefisien transmisi dan refleksi potensial delta ganda.
Kata kunci: mekanika kuantum, potensial delta ganda, koefisien refleksi dan transmisi
Abstract – This paper aims to determine the parameters of quantum mechanics on a double delta antisymmetric
potential with analytical and computational methods. Software used is Matlab 7.6. Parameters examined included
reflection and transmission coefficients. Delta potential wells consisted shape mounted at x = −a and potential dike
located at x = a . The determination of reflection and transmission coefficients using the positive energy wave function
(scattered state). In analyzing the data used in computing the parameters were fixed mass of the electron
m e = 9.1×10−31 kg , Planck's constant h = 1.054 × 10 −34 J ⋅ s , the depth of the potential well and embankment height
V 0 = 1.5 eV , the width of the well a = 0.5 nm , and the parameters wave number k = 5.23 × 10 9 . Based on the analysis
by using Matlab 7.6, we obtained wave functions, energy eigenvalues, reflection and transmission coefficients, as well as
potential superpartner in supersymmetric quantum mechanics on a double delta potential.
Keywords: quantum mechanics, double delta potential, reflection and transmission coefficients
I. PENDAHULUAN
Mekanika kuantum adalah cabang ilmu fisika yang
menggantikan mekanika klasik pada tataran atom dan
subatom. Ilmu ini memberikan kerangka matematika
untuk berbagai cabang fisika dan kimia. Mekanika
kuantum adalah bagian dari teori medan kuantum dan
fisika kuantum pada umumnya, yang bersama relativitas
umum merupakan salah satu pilar fisika modern. Dasar
dari mekanika kuantum adalah bahwa spektrum energi
itu tidak kontinu, tapi diskrit, berupa paket atau kuanta.
Konsep ini cukup revolusioner, karena bertentangan
dengan fisika klasik yang berasumsi bahwa spektrum
energi itu berkesinambungan.
Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan
perilaku atom dan partikel subatomik seperti proton,
neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukum-hukum
fisika klasik. Mekanika kuantum juga menghasilkan
kuantitas yang teramati seperti peluang (kemungkinan)
dalam mengamati dan memastikan dalam masalah
atomik, misalnya jari-jari orbit elektron dalam keadaan
dasar atom selalu tepat sama dengan 0,53 Å, maka
mekanika kuantum dapat memberikan jari-jari dengan
peluang terbesar. [1].
Pada tahun 1926 Erwin Schrödinger membuat suatu
persamaan yang dikenalkan sebagai
Persamaan
Schrödinger, yang mengaplikasikan persamaan dalam
mekanika klasik dan dihubungkan dengan fungsi
gelombang partikel [2].
Persamaan Schrödinger
merupakan pilar penting dalam sistem mekanika
kuantum. Persamaan Schrödinger hanya dapat
dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial
sederhana tertentu [3]. Yang paling sederhana adalah
potensial konstan dan potensial osilator harmonik.
Berbagai kasus sederhana tersebut cukup bermanfaat
dalam memberikan gambaran tentang teknik umum
pemecahan persamaan Schrödinger [4]. Adapun potensial
yang banyak dibahas dalam mekanika kuantum adalah
potensial sumur fungsi delta dan potensial tangga
(barrier).
Penelitian yang telah dilakukan diantaranya oleh
Pedram [5] yang dalam makalahnya yang berjudul Exact
Solutions of a Particle in a Box with a Delta Function
Potential: The Factorization Method yang menjelaskan
metode faktorisasi dapat menentukan secara eksak eigen
energi dan eigen fungsi pada sebuah partikel dalam kotak
dengan potensial fungsi delta.
Dalam penelitian ini, peneliti ingin mengembangkan
potensial fungsi delta tunggal yang dimodifikasi menjadi
dua fungsi delta berbentuk sumur (well) dan tanggul
(barrier) sehingga disebut potensial delta ganda
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014
ISSN : 0853-0823
Andika Kusuma Wijaya / Analisis Penentuan Koefisien Refleksi dan Transmisi pada Potensial Delta Ganda Antisimetri
antisimetri. Perbedaan antara potensial delta tunggal dan
delta ganda terletak pada perilaku partikel, fungsi
gelombang, dan spektrum energinya, maka diteliti
parameter mekanika kuantum yang meliputi koefisien
refleksi dan koefisien transmisi.
II. LANDASAN TEORI (JIKA DIPERLUKAN)
Dalam menganalisis kasus mekanika kuantum pada
potensial delta ganda, kasus itu dapat diilustrasikan
dengan membuat model seperti pada Gambar 1.
T =
IV
X=-a
I
II
JT
,
JI
(5)
sehingga
V
x
III
ε
Gambar 1. Ilustrasi potensial delta ganda antisimetri.
Potensial sumur delta ganda antisimetri diilustrasikan
pada Gambar 1 dengan kedalaman V0 dinyatakan dalam
bentuk persamaan (1).
− h2
V =−
V0 δ ( x + a )
2m
− h2
V =−
V0 δ ( x − a )
2m
menerobos dinding sumur potensial sedangkan refleksi
merupakan efek pantulannya. Dalam mekanika klasik,
sebuah partikel yang menumbuk dinding tegar tidak
berpeluang menembusnya. Hal yang sama juga berlaku
pada mekanika kuantum jika sebuah partikel berenergi
kinetik berhingga tidak dapat memasuki daerah yang
energi potensialnya [6], maka besarnya koefisien refleksi
adalah
J
(4)
R = R ,
JI
dan transmisi
ε
V
47
(6)
R + T = 1.
Dimana JT merupakan fluks berkas gelombang yang
diteruskan (transmisi), JR merupakan fluks berkas
gelombang yang dipantulkan
(refleksi), dan JI
merupakan fluks berkas gelombang yang datang.
Untuk koefisien transmisi dan refleksi pada potensial
delta ganda dengan memasukan syarat batas (boundary
condition) pada fungsi gelombang pada persamaan (3).
Selanjutnya dengan menggunakan prinsip kontinuitas
dan diskontinuitas maka persamaan gelombang pada (3)
dapat dibagi menjadi empat bagian, yaitu
a. Kontinu di titik x= –a
Dari persamaan (3) diperoleh hubungan
Ae − ika + Be ika = Ce − ika + De ika
(8)
Setiap ruas kiri dan kanan pada persamaan (8) dibagi
dengan e
untuk x = − a
ika
menjadi
βA + B = βC + D
(9)
dengan β = e
.
b. Diskontinu di titik x= –a
Karena diskontinu maka diperoleh
−2ika
untuk x = a
(1)
dan V = 0 untuk nilai x yang lain atau berada pada daerah
I, III, dan V) dan persamaan Schrödingernya adalah
persamaan (2) berikut.
h 2 d 2ψ
−
+V ψ (x ) = E ψ (x ),
(1)
2m dx 2
Jika energi partikel positif ( E > 0 ), dengan
menggunakan persamaan (2), maka solusi fungsi
gelombang pada daerah I, III, dan V adalah
⎧Ae ikx + Be − ikx untuk (x < −a )
⎫
⎪ − ikx
⎪
− ikx
untuk (−a < x < a ) ⎬ , (2)
ψ (x ) = ⎨Ce
+ De
⎪ ikx
⎪
untuk (x > a )
⎩Fe
⎭
sedangkan untuk daerah II dan IV, solusinya adalah
ψ 1 (−a ) =ψ 3 (−a ),
ψ 3 (a ) =ψ 5 (a ).
(3)
Untuk daerah II dan IV syarat kontinuitas hanya berlaku
untuk fungsi gelombangnya saja tetapi tidak berlaku
untuk turunannya.
Transmisi merupakan efek terobosan yang terjadi akibat
sebuah partikel yang tidak memiliki energi yang cukup
(
)
2mV
d(Ceikx + De−ikx) d Aeikx + Be−ikx
−
= − 2 o Ae−ika + Beika
dx
dx
h
(
)
Dengan mensubtitusikan x= –a maka diperoleh
{(Ce
−ika
) (
)}
− Deika − Ae−ika − Beika =
(
2imVo −ika
Ae + Beika
2
hk
)
(10)
Jika
γ=
2imVo
dan kedua ruas persamaan (10) dibagi
h2k
e ika diperoleh
β C − D = β A(γ + 1) + B (γ − 1)
(11)
c.
Kontinu di titik x=a
Dari persamaan (3) diperoleh hubungan
Fe ika = Ce ika + De − ika .
(12)
Dengan menggunakan cara pemecahan yang sama pada
butir (a), didapat
F = C + Dβ
(13)
d. Diskontinu di titik x=a
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014
ISSN : 0853-0823
48
Andika Kusuma Wijaya / Analisis Penentuan Koefisien Refleksi dan Transmisi pada Potensial Delta Ganda Antisimetri
Karena diskontinu maka diperoleh
{(Fe ) −(Ce
ika
ika
)}
− Deika =
Untuk penyebut pada persamaan (24) dikuadratkan
menjadi
( )
2imVo ika
Fe
h2k
(14)
(4g 2 +1− eiφ )2 = 16g 4 + 8g 2 +1+ e2iφ − 2eiφ (4g 2 +1)
maka koefisien transmisinya adalah
Dengan mensubtitusikan x=a maka diperoleh
2
F (1 + γ ) = C − Dβ
(15)
Dari hasil yang diperoleh dari butir (a,b,c,d) di atas maka
untuk memperoleh koefisien transmisi dan refleksi yang
terjadi pada potensial delta ganda yaitu dengan
1) Menjumlahkan dan mengurangkan persamaan (9)
dan (11)
• Untuk hasil penjumlahan diperoleh
⎛γ ⎞
2 C = ( γ + 2 ) A + ⎜⎜ ⎟⎟ B
⎝β ⎠
F
16g 4
T=
=
A
(16g 4 + 8g 2 + 1) − (4g 2 +1)2eiφ + e2iφ
Karena R + T = 1 , koefisien refleksinya adalah
R = 1− T =
(26)
dengan g ≡ i / γ =
2 D = − βγ A + B ( 2 − γ )
(17)
2) Jumlah dan kurangkan persamaan (13) dan (15)
• Untuk hasil penjumlahan
2C = F (2 + γ )
(18)
• Untuk hasil pengurangan
2 D
⎛ γ
= − F ⎜⎜
⎝ β
⎞
⎟⎟
⎠
(19)
3) Subtitusi persamaan (16) ke persamaan (18) dan
persamaan (17) ke persamaan (19) maka diperoleh
⎛γ
F (2 + γ ) = (γ + 2) A + ⎜⎜
⎝β
⎞
⎟⎟ B
⎠
(20)
⎛γ ⎞
− F ⎜⎜ ⎟⎟ = − βγA + B(2 − γ )
⎝β ⎠
Dengan mengalikan persamaan (20) dengan
dan persamaan (21) dengan γ maka
⎛γ
− F ⎜⎜
⎝β
(21)
β (2 − γ ) ,
F (4 − γ 2 ) β = β (4 − γ 2 ) A + γ (2 − γ )B
2
(22)
⎞
⎟⎟ = −βγ 2 A + γ (2 − γ ) B
⎠
(23)
Kemudian persamaan (22) dikurangi dengan (23),
diperoleh
γ2
F (4 β − βγ + ) = 4 Aβ
β
2
sehingga diperoleh
F
=
A
4
.
2
(4 − γ ) − γ 2
β
γ = i / g dan β 2 = e −iφ
Jika
dapat ditulis sebagai
F
4g 2
=
A 4 g 2 + 1 − e iφ
8g 2 + 1 − (4g 2 + 1)e2iφ − 2eiφ
(16g 4 + 8g 2 +1) − (4g 2 +1)2eiφ + e2iφ
(16)
• Untuk hasil pengurangan
(24)
2
, maka persamaan (24)
(25)
2
h k
; φ ≡ 4ka
2mVo
III. METODE PENELITIAN/EKSPERIMEN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah
kajian teoritis dan komputasi yaitu pada koefisien
refleksi dan koefisien transmisi, yang ditinjau dalam
mekanika kuantum khususnya pada potensial delta
ganda. metode komputasional dengan menggunakan
software Matlab (matrix laboratory) 7.6. Peralatan yang
diperlukan adalah komputer. Program-program yang
disusun dapat dijalankan dengan komputer pribadi PC
(personal computer)
berupa netbook yang berisi
software Matlab 7.6.
Penggunaan Matlab dapat
digunakan secara khusus dalam menyampaikan konsep
kepada pembaca (siswa atau mahasiswa) karena
merupakan pondasi yang tepat dan dapat digunakan
untuk memanipulasi matriks pada masalah pengantar
fisika kuantum [7].
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Transmisi terjadi ketika energi partikel yang lebih
besar dari kedalaman dan ketinggian potensial melewati
sumur dan tanggul (barrier) potensial delta ganda
antisimetri yang diteliti. Sesuai dengan persamaan (3)
dapat dilihat bahwa partikel akan terhambur, sehingga
besarnya koefisien transmisi dan refleksi akibat
hamburan partikel tersebut dapat dilihat pada persamaan
(25) dan (26). Dari hasil yang diperoleh ternyata dapat
mengilustrasikan bahwa ada perbedaan antara mekanika
klasik dan mekanika kuantum, bahwa menurut mekanika
kuantum partikel teridentifikasi melewati dua buah
potensial tersebut, sedangkan menurut mekanika klasik
tidak mungkin partikel melewati potensial yang lebih
tinggi daripada energinya. Koefisien transmisi pada
potensial delta ganda antisimetri ini dapat ditentukan
dengan menggunakan software Matlab 7.6 dengan
memasukkan parameter yang digunakan antara lain jika
partikel yang digunakan adalah elektron dengan massa
m= 6,67×10-31 kg dan energi elektron E divariasi dari 0
sampai 1,4 eV, sementara h =1,054×10 , V0 = 1,5eV ,
maka diperoleh koefisien
ditampilkan pada Gambar 2.
transmisi
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014
ISSN : 0853-0823
sebagaimana
Andika Ku
usuma Wijaya / Analisis Penentuan Koefisien Refleksi
R
dan Tran
nsmisi pada Poteensial Delta Gan
nda Antisimetri
49
[4] R Eisberrg, , Fundameental University Physics, John
J
Gambar 2.
2 Koefisien trransmisi potennsial delta gannda
antisimetri..
Untuk desain
d
sumur dan barrier pada potensiaal delta
ganda, dibbuat sumur daan barrier benntuk kotak lebbar 0,5
nm, dan kedalaman
k
pottensial 1,5 eV. Koefisien traansmisi
T minimuum terjadi ketiika energi masih di bawah 0,2 eV,
sedangkann koefisien trransmisi T maksimum (hampir
(
sama denggan satu) terjaadi ketika enerrgi mendekatii 0,4 eV
dan lebih besar dari 1,,2 eV. Hal inni dapat dilihat pada
Gambar 2. Koefisiien transmiisi yang didapat
menunjukkkan bahwa terjadi pennjalaran geloombang
melalui potensial
p
deltta ganda. Trransmisi ini terjadi
karena ressonansi gelom
mbang akibat efek terobosaan pada
saat energginya sama denngan nol [8]. Efek terobosaan pada
saat energgi nol terjadi jika dua funggsi delta indeependen
terhadap waktu sumuur dan tanggga potensiall yang
antisimetrri [9].
MPULAN
V. KESIM
Adapunn kesimpulan dalam
d
penelitiian ini adalah fungsi
gelombangg pada potennsial delta ganda
g
berupa fungsi
positif
gelombangg
penyelessaian
padaa
energi
menyebabbkan partikel terhambur seehingga terjadi efek
terobosan berupa transm
misi dan refleeksi. Dari hassil yang
diperoleh bahwa koefisien transm
misi potensiaal delta
ganda menndekati satu.
N TERIMA KASIH
K
UCAPAN
Penulis mengucapkann terima kasihh kepada bapak Drs.
A.,M.Si selaaku ketua STKIP
Andi Mursidi, MPA
Singkawanng yang telahh mendukungg penulis baikk secara
materiil dan
d
moril. Tidak lupa juuga penulis ucapkan
u
terima kassih kepada baapak Dr. Arieef Hermanto, M. Sc
(UGM) daan bapak Dr. M. Toifur, M.Si
M (UAD) sebagai
pembimbiing tesis yang telahh membantuu dan
membimbbing penulis dalam
d
menyelesaikan tugaas akhir
tesis sehinngga tesis teersebut dapatt digunakan sebagai
makalah dalam
d
seminarr nasional HFII ini.
PUSTAK
KA
[1] A.. Beiser,
B
Konsepp Fisika Modeern (penerjem
mah The
Houw
w Liong). Jakaarta: Erlanggaa, 1987.
[2] R.R Siregar, , Fisika Kuantum:Teor
K
ri dan
Aplikkasinya. Banddung: Widya, Padjajaran,
P
20010.
[3] K Krrane., Fisika Modern,
M
UI Prress, Jakarta, 1992.
1
Wiley annd Sons. USA
A, 1963.
[5] N Zettilii,. 2009. Quanntum Mechan
nics Concept And
A
Applicattion Second E
Edition, Wileey, Jacksonville,
USA.
[6] P Pedram
m, Exact Solutions of a Particle
P
In a Box
B
With a Delta Functioon Potential: The
T Factorizattion
Method””. Am. J. Physs.78(8), Augusst 2010, pp……
…
[7] R Garciia., A Zozullya., J Stick
kney., MATL
LAB
Codes for
f
Teachingg Quantum Physics:
P
partt 1.
arXiv:07704.1622v1[phhysics.ed-ph] 12 Apr 20007,
pp.
[8] C.D.E Oliveira.,
O
Jr. J Vaz ., Tunnelling in Fractioonal
Quantum
m Mechanics.
arXiv:1011.1948v2[maathph] 15 mar
m 2011, pp.
[9] K. W. Andika, A
Analisis Param
meter Mekannika
Kuantum
m pada Potennsial Delta Gaanda Antisimeetri,
Tesis S-22, Universitass Ahmad Dah
hlan, Yogyakaarta,
2014.
TANYA
T
JAW
WAB
Juliasih
J
Partini, UGM,? Telah dipeeroleh grafikk koefisien trransmisi denngan
menggunakan
m
n matlab, bagaaimana dengaan nilai koefissien
refleksinya?
r
Andika
A
Kusu
uma, STKIP S
Singkawang
@ Nilai refleksi dengan menggunakan
n matlab sanngat
kecil
k
dan mem
miliki garis – garis putus setelah dieksekkusi
dengan
d
mengggunakan matlaab.
Tjipto
T
Prastoowo, UNESA
? Apakah moodel potensiall kotak gandaa asimetri suudah
pernah
p
dicobaa?
Andika
A
Kusu
uma, STKIP S
Singkawang
@ Potensiall kotak suddah diteliti didalam jurrnal
internasional,
i
tetapi untuk ppeneliti belum
m.
Pramudita
P
A BATAN
A,
? Apa antifisiis atau contohh keadaan fissis yang diwaakili
oleh
o potensiall delta ganda aantisimetri.
Andika
A
Kusu
uma, STKIP S
Singkawang
@ Pada dasaarnya potensial delta gan
nda (diral) tiidak
karena
k
luas dan
d bentuk deelta diral san
ngat kecil karrena
area
a atau luas dari delta diraal sama dengaan 1.
Dewi
D
Aysiah,, UNS
? Dari visualiisasi yang telaah dilakukan koefisien
k
refleeksi
hampir
h
tidak terlihat. Baggaimana hal ini dapat terjaadi?
Sedangkan
S
baagaimana denggan potensial tanggulnya?
t
Andika
A
Kusu
uma, STKIP S
Singkawang
@ Karena geelombang yanng terpantulk
kan nilainya atau
a
intensitasnya
i
sangat keccil karena probabilitas
p
a
atau
memungkinka
m
an fungsi ggelombang un
ntuk menem
mbus
partikel
p
telah ditransmisi ddimana energii potensial sum
mur
lebih
l
kecil darri pada energii partikel.
Prosiding Perrtemuan Ilmiah XXVIII
X
HFI Jatteng & DIY, Yoggyakarta, 26 Aprril 2014
ISSN : 0853
3-0823