Kelas X – Persamaan Linear - Blog ini dipindah ke www.MasBied.com

Muhammad Zainal Abidin Personal Blog
SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel
http://meetabied.wordpress.com
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DAN PERTIDAKSAMAAN
SATU VARIABEL
Standar Kompetensi :
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan
pertidaksamaan satu variabel.
Kompetensi Dasar :

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan
campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
sisitem persamaan linear

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.

Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan
bentuk pecahan aljabar.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
pertidaksamaan satu variabel.

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linear-linear dua
variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat, Sistem persamaan
kuadrat-kuadrat, dan merancang model matematika yang berkaitan dengan
sistem persamaan linear, kuadrat..
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasardasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah
sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan sistem persamaan linear-linear dua variabel,
2. Menentukan sistem persamaan linear-linear tiga variabel,
3. Menentukan sistem persamaan linear-kuadrat
4. Menentukan sistem persamaan kuadrat-kuadrat
5. Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan
linear,kuadrat.
BAB II PEMBELAJARAN
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEAR
Bentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear
1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel
a1 x  b1 y  c1
a 2 x  b2 y  c 2
x dan y adalah variabel
a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2  R
Cara menyelesaikannya dengan :
a. Metode Eliminasi
b. Metode Substitusi
c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
d. Metode Grafik
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
x y 2
3 x  7 y  2
1. Eliminasi
x y 2
x3
3x  3 y  6
3 x  7 y  2
x1
3 x  7 y  2
4y = 8
y =2
x y 2
x7
7 x  7 y  14
3 x  7 y  2
x1
3 x  7 y  2
4x = 16
x= 4
2. Substitusi
Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2)
diperoleh
3x – 7(x – 2) = -2
3x – 7x + 14 = -2
-4x = -16
x=4
Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)
4–y=2
y =4–2
=2
3. Campuran Eliminasi dan Substitusi
x y 2
x3
3x  3 y  6
3 x  7 y  2
x1
3 x  7 y  2
4y = 8
y =2
y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)
x–2=2
x
= 4
4. Grafik
3x – 7y = -2
(4,2)
2
x–y=2
-2
Dengan grafik dapat dilihat :
a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan
penyelesainnya tepat satu anggota)
b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan
penyelesaian
c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya
mampunyai anggota tak terhingga)
2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabel
a1 x  b1 y  c1 z  d1
a 2 x  b2 y  c 2 y  d 2
a3 x  b3 y  c3 z  d 3
x, y, z adalah variabel
a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 , d1 , d 2 , d 3  R
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
x yz 3
2x  y  z  5
x  2y  z  7
Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :
Misal dimulai dengan mengeliminasi z
(1) dan (2)
x yz 3
2x  y  z  5
3x + 2y = 8 ..............................(4)
(1) dan (3)
2x  y  z  5
x  2y  z  7
x -y
= -2............................(5)
(4) dan (5)
3x + 2y = 8
x1
x -y
x 3 3x - 3y = -6
= -2
3x + 2y = 8
5y = 14
y = 14/5
3x + 2y = 8
x1
x -y
x 2 2x - 2y = -4
= -2
3x + 2y = 8
+
5x = 4
x = 4/5
x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) :
x+y–z=3
4/5 + 14/5 – z = 3
18/5 – z = 3
z = 18/5 – 3
z = 3/5
Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}
Tugas I
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
a. 2p + 3q = 1
3p + 4q = 1
b. -5m + 3n = 4
6m – 5n = 5
1 1
 5
x y
c.
1 1
 1
x y
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
a. 7x = 21
x + 2y = 11
2x – y + z = 7
b. a + b + 2c = 3
4a + 2b + c = 13
2a + b – 2c = 19
c. x + 2y = -7
3y – z = -11
5x + 2z = -25
B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Bentuk Umum :
y = px + q
y = ax2 + bx + c
p, q, a, b dan c  R
Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Substitusikan y = px + q
ke
y = ax2 + bx + c
Diperoleh :
px + q = ax2 + bx + c
ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0
dengan D = (b-p)2 – 4.a.(c-q)
ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :
a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)
b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)
c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)
2. Grafik
Ada 3 kemungkinan :
D>0
D=0
D<0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesian dari :
y = 2 –x
y = x2
jawab :
Substitusika y = 2 – x ke y = x2 diperoleh :
x2 = 2 – x
x2 + x – 2 = 0
(x – 1)(x + 2) = 0
D = b2 – 4ac
D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9
D > 0 (ada 2 penyelesaian)
x = 1 atau x = -2
x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1
x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}
Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :
y = x2
(-2,4)
(1,1)
y=2-x
C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT
Bentuk Umum :
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :
(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0 dengan
D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
Kemungkinan penyelesaiannya :
a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)
b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)
c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)
2. Grafik
Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
y = x2
y = 8 – x2
Jawab :
Substitusikan (1) ke (2)
x2 = 8 – x2
2x2 – 8 = 0
x2 – 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
x = 2 diperoleh y = 22 = 4
x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4
Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}
8
y = x2
(2,4)
(-2,4)
y = 8 - x2
0
Tugas II
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. y = x – 3
y = x2 – 4x + 3
b. y = x + 3
2y = x2 – 2x + 1
c. y – 2x – 3 = 0
y – 2x2 + 4x – 7 = 0
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. y = x2 – 3x – 1
y = 3x2 + 5x + 7
b y = x2 + 1
y = 9 – x2
c. y = 2x2 – 6x
y = x2 – 2x + 6
D.
MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN
DENGAN SPL
Contoh :
Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun
yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun.
Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek
sekarang.
Jawab :
Misal umur kakek sekarang adalah x
Umur adikku sekarang adalah y
Diperoleh persamaan :
a. x – 10 = 6(y – 10)
x – 6y = -50 .............. (1)
b. (x + 5)+(y + 5) = 93
x + y + 10 = 93
x + y = 83...................(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x – 6y = -50
x + y = 83
- 7y = -133
y = 19
x + y = 83
x
= 83 – 19
= 64
Contoh :
Diketahui y = px – 14 dan y = 2x2 + 5x – 12, tentukan batas-batas p
supaya
a. Berpotongan di 2 titik
b. Bersinggungan
c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan
Jawab :
y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12
diperoleh :
2x2 + 5x – 12 = px – 14
2x2 + (5 – p)x + 2 = 0
D = (5 – p)2 – 4.2.2
= 25 – 10p + p2 – 16
= p2 – 10p + 9
a. Berpotongan di dua titik (D > 0)
p2 – 10p + 9 > 0
(p – 1)(p – 9) > 0
p < 1 atau p > 9
b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)
p2 – 10p + 9 = 0
(p – 1)(p – 9) = 0
p = 1 atau p = 9
c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0)
p2 – 10p + 9 < 0
(p - 1)(p – 9) < 0
1<p<9
Tugas III
1. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45. Tentukan
bilangan-bilangan tersebut
2. Parabola y = ax2 + bc + c melalui titik-titik (1,1), (-1,-5), dan (3, 23)
Tentukan nilai a, b, c
3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan
tersebut adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah
bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sam dengan jumlah bilangan
yang lain dikurangi 4. Tentukan bilangan-bilangan itu.
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan
memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta :
Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA,
Semarang : CV. Jabbaar Setia.