Gejala Medan Tinggi 1

Gejala Medan Tinggi
ANALISA VEKTOR
BAMBANG SUGENG,MT
1
SKALAR DAN VEKTOR
Skalar


Hanya mempunyai besar
Massa, volume, temperatur, energi
Vektor


Mempunyai besar dan arah
Gaya, kecepatan, percepatan
Analisis Vektor
2
Medan skalar
 Besarnya tergantung pada
posisinya dalam ruang
 EP = m g h
Medan vektor
 Besar dan arahnya tergantung
pada posisinya dalam ruang
 F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az
Analisis Vektor
3
ALJABAR VEKTOR
Penjumlahan vektor

Metoda jajaran genjang
C=A+B
B
A
Analisis Vektor
4
Penjumlahan vektor

Metoda poligon
C=A+B
B
A
Analisis Vektor
5
Pengurangan vektor

D = A – B = A + (- B)
B
A
-B
C=A-B
Analisis Vektor
6
PERKALIAN VEKTOR
Perkalian titik (Dot Product)

Hasilnya skalar
A
Proyeksi B pada A
A  B  A B cos AB
B  A  B A cos AB
AB  BA
AB
B
Proyeksi A pada B
Analisis Vektor
7
Perkalian Silang

Hasilnya vektor
A  B  A B sin AB a N
A  B  B  A
BA
A
AB
AB
B
aN = vektor satuan yang
tegak lurus pada
bidang yang dibentuk
oleh vektor-vektor A
dan B (arahnya sesuai
dengan aturan ulir
tangan kanan)
Analisis Vektor
8
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
Titik



Dinyatakan
dengan 3 buah
koordinat x, y
dan z  P(x, y, z)
P(1, 2, 3)
Q(2, -2, 1)
Analisis Vektor
9
Vektor

Dinyatakan dengan
tiga buah vektor
satuan ax, ay dan az

r=x+y+z

r = x ax + y ay + z az

r = vektor posisi dari
sebuah titik dalam
ruang
Analisis Vektor
10
Vektor posisi
rP = ax + 2 ay + 3 az (vektor posisi titik P)
rQ = 2 ax - 2 ay + az (vektor posisi titik Q)
Analisis Vektor
11
Vektor antara 2 titik
RPQ = rQ – rP
= [2 - 1] ax + [- 2 - (2)] ay + [1 - 3] az
= ax - 4 ay – 2 az
Analisis Vektor
12
Titik asal  O(0, 0, 0)
Bidang

x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang ZOX),
z = 0 (bidang XOY)
Analisis Vektor
13
Elemen Luas (vektor)



 dy dz ax
 dx dz ay
 dx dy az
Analisis Vektor
14
Elemen Volume (skalar)

dx dy dz
Analisis Vektor
15
Perkalian titik dalam sistem
koordinat kartesian
A = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz az
A  B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A  B = ABcos AB
A  Ax  Ay  Az
2
2
B  B x  B y  Bz
2
aB 
B

B
2
A

AB
B
Proyeksi vektor A
pada vektor B
2
A cos AB a B  (A  a B ) a B
2
B
Bx  B y  Bz
2
2
2
Analisis Vektor
16
Contoh Soal 1.1
Diketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(2, 3, 1)
Tentukan :
a. RAB  RAC
b. Sudut antara RAB dan RAC
c. Proyeksi vektor RAB pada RAC
Jawab :
RAB = ax – 7 ay + 5 az
RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az
Analisis Vektor
17
RAB = ax – 7 ay + 5 az
RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az
a). RAB  RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20
b). RAB  1  49  25  8,660
RAC  16  4  4  4,899
R AB  R AC
20
cos  

 0,471    61,9o
R AB R AC (8,660)(4,899)
c). a AC  R AC   4 a x  2 a y  2 a z   0,816 a x  0,408 a y  0,408 a z
R AC
4,899
Proyeksi RAB pada RAC :
(RAB  aAC) aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC
= 4,08 (- 0,816 ax – 0,408 ay + 0,408 az)
= - 3,330 ax – 1,665 ay + 1,665 az
Analisis Vektor
18
A
Perkalian silang dalam
sistem koordinat
kartesian
A = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz az
A x B = ABsin AB aN
A  B = (AyBz – AzBy) ax +
(AzBx – AxBz) ay +
(AxBy – AyBx) az
Analisis Vektor
AB
B
AB
ax
ay
az
A  B  Ax Ay Az
B x B y Bz
19
Contoh Soal 1.2
Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1),
B(-3, 2, 4) dan C(0, 3, 1)
Tentukan :
a. RBC  RBA
b. Luas segitiga ABC
c. Vektor satuan yang tegak lurus pada
bidang segitiga
Jawab :
RBC = 3 ax + ay - 3 az
RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
Analisis Vektor
20
RBC = 3 ax + ay - 3 az
a).
ax
RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
ay
az
R BC  R BA  3
1
3
5
7
3
 [(1)( 3)  (3)( 7)] a x
 [(3)( 3)  (3)(5)] a y
 [(3)( 7)  (1)(5)] a z
 24a x  6 a y  26 a z
Analisis Vektor
21
A
R BC  R BA  24a x  6 a y  26 a z
b). R BC  R BA  R BC R BA sin 
 (BC )( BA sin )
B
 (BC )( AD )
AB
D
C
 2 Luas ABC
RBC  RBA
 ABC 

R BC  R BA
2
24 2  6 2  26 2
35,888

 17,944
2
2
Analisis Vektor
22
c). a  R BC  R BA
N
R BC  R BA

 24 a x  6 a y  16 a z
35,888
  0,669 a x  0,167 a y  0,725 a z
B
A
AB
D
C
RBC  RBA
Analisis Vektor
23
Analisis Vektor
24