miAlgS4-TD17

Licence MIASHS, 2e année, 2016–2017.
MI-Algèbre S4, 3EME4267.
O. Collier, L. Miller.
Y Travaux dirigés d’algèbre : orthogonalité et diagonalisation Z
t Notations. Les exercices marqués du signe ] sont des exercices d’approfondissement.
à !
x1
x2
.. .
.
Dans ce document, un vecteur x de Rn est représenté par une colonne : x =
xn
Calcul matriciel et méthode du pivot, factorisation LU
f Exerciceµ1.¶
Soient X =
a
b
c
d
µ0 1 0 0¶
et J = 00 00 10 01 . Calculer X > X , X X > , (X X > )2 , (X X > )5 . Calculer J X , J 2 , J 3 , J 4 , J 5 .
0000
f Exerciceµ2.¶
Soient X =
a
b
c
d
Ãa
,M=
1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4 , D
d1 d2 d3 d4
> >
Ãα
!
=
0 0 0
0β 0 0
0 0γ 0
0 0 0δ
!
µ1
,E=
0 0 0¶
0 10 0
αβ1δ ,P
0 00 1
Ã
µ0 0 1 0¶
=
0100
1000
0001
et N =
0
0
0
0
a
0
0
0
b
d
0
0
2
c
e
f
0
!
.
1. Calculer D X , D M , M D . En déduire M D.
3. Calculer P X , P M , P , P −1 , P > , M P .
2. Calculer E X , E M , M > E > . En déduire M E > .
4. ] Calculer N 2 , N 3 , N 4 , N 5 .
f Exercice 3.
Ecrire la matrice élémentaire E telle que : pour toute matrice M de taille 4 × 3, la matrice E M s’obtient à partir de
M en ajoutant 9 fois la deuxième ligne à la quatrième ligne. Déterminer E −1 en utilisant cette définition de E .
f Exercice 4.
Ecrire la matrice élémentaire P telle que : pour toute matrice M de taille 4 × 3, la matrice P M s’obtient à partir de
M en échangeant la deuxième ligne et la quatrième ligne. Prouver que P n’est pas inversible ou écrire son inverse.
f Exercice
³ 2 5.
´
10
Soit A = 0 4 2 . Déterminer une matrice E triangulaire inférieure à diagonale unité telle que U = E A est une
635
matrice triangulaire supérieure. En déduire la matrice L triangulaire inférieure à diagonale unité telle que A = LU .
f Exercice³ 6. ´
³2 4 4´
³2´
100
Soient L = 1 1 0 , U = 0 1 2 , A = LU et b = 0 . Résoudre Lc = b, puis Ux = c. Justifier Ax = b sans calculer A −1 .
001
101
2
f Exercice 7. ³
´
01234
Factoriser A = 0 1 2 4 6 sous la forme A = LU avec L triangulaire inférieure à diagonale unité et U échelonnée.
00012
f Exercice 8.
¡ ¢
Montrer que la matrice symétrique inversible A = 01 10 ne peut pas s’écrire sous la forme A = LU avec des matrices
L triangulaire inférieure et U triangulaire supérieure.
f Exercice 9.
³0 1 1´
³1 2 1´
Factoriser les matrice A 1 = 1 0 1 et A 2 = 2 4 2 sous la forme P A = LDU avec des matrices P de permutation, D
111
234
diagonale, L triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure, et des 1 sur toute la diagonale de L et de U .
f Exercice 10 ].
Soit A une matrice inversible qui s’écrit A = L 1 D 1U1 = L 2 D 2U2 avec des matrices D 1 et D 2 diagonales, L 1 et L 2
triangulaires inférieures, U1 et U2 triangulaires supérieures, et des 1 sur toute la diagonale de L 1 , L 2 , U1 et U2 .
−1
Justifier l’égalité L −1
1 L 2 D 2 = D 1U1U2 et expliquer pourquoi un côté est triangulaire inférieur et l’autre triangulaire
supérieur. Comparer les termes diagonaux puis les autres termes pour en déduire D 1 = D 2 puis L 1 = L 2 et U1 = U2 .
f Exercice 11 ].
Soit A une matrice symétrique inversible qui se factorise sous la forme A = LDU avec des matrices D diagonale, L
triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure, et des 1 sur toute la diagonale de L et de U .
Déduire U = L > de l’unicité de cette factorisation (démontrée dans l’exercice précédent).
f Exercice 12.
³ 1 −1 0 ´
¡ ¢
¡ ¢
Soient A 1 = 13 32 , A 2 = b1 bc , A 3 = −1 2 −1 . Factoriser ces matrices sous la forme A = LDL > avec des matrices D
0 −1 2
diagonale et L triangulaire inférieure à diagonale unité (on peut utiliser l’exercice précédent).
Rang, bases du noyau et de l’image, matrices de rang 1
f Exercice 13.
Soit A une matrice à 4 lignes et 3 colonnes.
1. Justifier que le SEV engendré par les colonnes de A est l’ensemble des Ax tels que x ∈ R3 .
2. Montrer qu’il existe y ∈ R4 tel que le système linéaire Ax = y n’a pas de solution x ∈ R3 .
3. Montrer qu’il existe une solution y ∈ R4 non nulle de A > y = 0.
4. Existe-t-il une matrice M telle que AM = I 4 , la matrice identité à 4 lignes et 4 colonnes ?
f Exercice 14.
Soit A une matrice m × n de rang r . A quelle condition sur m, n, r , A est-elle inversible ? A quelle condition sur m,
n, r , Ax = b admet-elle une infinité de solutions x ∈ Rn quelque soit b ∈ Rm ? (Condition nécessaire et suffisante.)
f Exercice 15.
Soit A une matrice m × n de rang r . On suppose qu’il existe b ∈ Rm tel que Ax = b n’a pas de solution x ∈ Rn .
Quelles inégalités (strictes ou larges) sont nécessairement satisfaites entre m, n et r ?
Justifier qu’il existe une solution y ∈ Rm non nulle de A > y = 0.
f Exercice 16.
¡
¢
¡
¢
Soient A = 00 12 48 00 et U = 00 10 40 00 . Déterminer une base de Ker A, Im A, Ker A > , Im A > , KerU , ImU , KerU > , ImU > .
f Exercice³ 17. ´
³1 2 0 1´
1201
Soient A = 0 1 1 0 et U = 0 1 1 0 . Déterminer une base de Ker A, Im A, Ker A > , Im A > , KerU , ImU , KerU > , ImU > .
1201
0000
f Exercice³ 18. ´
010
Soient J = 0 0 1 et A = J + I . Déterminer une base de Ker J , Im J , Ker J > , Im J > , puis Ker A, Im A, Ker A > , Im A > .
000
f Exercice³19.
´ ³ 1 0 0 ´³ 0 1 2 3 4 ´
01234
Soient A = 0 1 2 4 6 = 1 1 0 0 0 0 1 2 . Déterminer une base de Ker A, Im A, Ker A > , Im A > .
00012
011
00000
f Exercice 20.
³1 0 0 3´
¡ −2 ¢
Soient A 1 = 0 0 0 0 et A 2 = 62 −6
. Pour chacune de ces deux matrices A, déterminer le rang de A puis l’écrire sous
2006
la forme A = uv > avec des vecteurs u et v (c’est-à-dire des matrices colonnes, avec les notations de ce document).
f Exercice 21.
Soit A une matrice de rang 1. Justifier que le SEV engendré par les colonnes de A est de dimension 1, le SEV
engendré par les lignes A est de dimension 1, il existe des vecteurs u et v tels que A = uv > .
f Exercice 22.
¡ ¢
Etant donnés trois réels a, b, c avec a 6= 0, déterminer un réel d et des vecteurs u et v tels que A = ac db = uv > .
f Exercice 23 ].
Soit A = uv > + w z > avec des vecteurs u, v, w, z. Déterminer une famille génératrice de Im A. Déterminer une
famille génératrice de Im A > . Quelles sont les deux conditions sur u, v, w, z pour que le rang de A ne vale pas 2 ?
f Exercice 24 ].
On note {e 1 , e 2 , . . . , e n } la base canonique de Rn et { f 1 , f 2 , . . . , f m } la base canonique de Rm .
1. Soit A une matrice de taille m × n dont on note les coefficients a i , j , 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n.
XX
>
Justifier que A =
ai , j f i e >
j (c’est-à-dire que les f i e j forment une base de l’espace des matrices m × n).
j
2.
i
Montrer que (e i e k> )(e i 0 e k>0 ) 6= 0 si et seulement si i 0
= k.
3. Montrer qu’une matrice L estX
triangulaire inférieure
à diagonale unité de taille n si et seulement si elle peut
X
s’écrire sous la forme L = I + Nk avec Nk =
λi ,k e i e k> (k varie entre 1 et n et i varie entre k + 1 et n).
k
i >k
4. Montrer que Nk Nk 0 = 0 si k 6 k 0 . En déduire L = I + N1 + N2 + · · · + Nn = (I + N1 )(I + N2 ) · · · (I + Nn ).
5. Quelle est la pertinence de cette propriété dans le calcul de la factorisation LU par la méthode du pivot ?
Vecteurs et espaces orthogonaux
f Exercice 25.
Calculer la longueur et le produit scalaire des vecteurs x = ( 1 4 0 2 )> et y = ( 2 −2 1 3 )> .
f Exercice 26.
Dans R2 , écrire un exemple de famille libre de vecteurs non orthogonaux. Ecrire des vecteurs liés et orthogonaux.
f Exercice 27.
Montrer que les normes des vecteurs x et y sont égales si et seulement si x − y est orthogonal à x + y.
f Exercice 28.
Soit A une matrice inversible. Justifier que la ligne i de A et la colonne j de A −1 sont orthogonales si i 6= j .
f Exercice 29.
Trouver les vecteurs orthogonaux à ( 1 1 1 )> et ( 1 −1 0 )> . Compléter ces vecteurs en une base orthogonale de R3 .
f Exercice 30.
Déterminer l’espace orthogonal au plan engendré par les transposées de ( 1 1 2 ) et de ( 1 2 3 ), en considérant la
matrice A formée de ces deux lignes et en résolvant Ax = 0. En déduire une équation linéaire homogène à trois
inconnues dont les solutions sont les combinaisons linéaires de ( 1 1 2 )> et ( 1 2 3 )> .
f Exercice 31.
Si E et F sont des espaces orthogonaux, montrer que leur seul vecteur commun est le vecteur nul : E ∩ F = {0}.
f Exercice 32.
Justifier que deux plans de R3 ne peuvent pas être des espaces
³ ´ vectoriels
³ ´ orthogonaux.
Déterminer un vecteur non nul de Im A ∩Im B avec A =
12
13
12
et B =
54
63
51
, en résolvant le système 3×4 : ( A B )x = 0.
f Exercice
³ 1 233.
´
1
Soit A = 2 4 6 . Déterminer des vecteurs x orthogonal à Im A > , y orthogonal à Im A et z orthogonal à Ker A.
364
f Exercice 34.
Soient F un SEV de Rn . A partir d’une base B de E = F ⊥ , former une matrice A telle que E = Im A T et F = Ker A.
f Exercice 35 ].
Lesquelles de ces affirmations valent pour tous SEV E , F et G de Rn ? Si E est orthogonal à F alors E ⊥ est orthogonal
à F ⊥ . Si E est orthogonal à F et F est orthogonal à G, alors E est orthogonal à G. Si F = E ⊥ et G = F ⊥ , alors E = G ⊥ .
f Exercice 36 ].
Soient A 1 et A 2 des matrices telles que A 1 A 2 = 0. Quelles sont les deux inclusions impliquées entre leurs huit
espaces Ker A, Im A, Ker A > , Im A > ? Pourquoi A 1 et A 2 ne peuvent-elle pas êtres des matrices 3 × 3 de rang 2 ?
Cosinus et projection orthogonale sur une droite
f Exercice 37.
³1´
³2´
Quel point multiple de a = 1 est le plus proche du point b = 4 ? Trouver aussi le point le plus proche du point
1
4
a sur la droite vectorielle de direction b.
f Exercice 38.
Dans Rn , quel angle fait le vecteur x = ( 1 1 ··· 1 )T avec les axes de coordonnées ? Quelle est la matrice de la projection orthogonale sur la droite vectorielle dirigée par ce vecteur ?
f Exercice 39.
¡
¢
Déduire de l’inégalité de Cauchy-Schwarz-Buniakowsky : pour tout a ∈ Rn , (a 1 + · · · + a n )2 6 n a 12 + · · · + a n2 .
A quelle condition sur a y-a-t-il égalité ?
f Exercice 40.
³1´
³1´
³ −1 ´
³1´
Soient a 1 = 1 , b 1 = 2 , et a 2 = −3 , b 2 = 3 . Dans ces deux cas, déterminer la projection p du vecteur b sur la
1
2
−1
1
droite vectorielle de direction a. Vérifier que l’erreur e = b − p est orthogonale à a.
Calculer la matrice de projection P = aa T /a T a. Vérifier P 2 = P . Vérifier p = P b.
f Exercice ³41 ].
´
³
−1
Soient a 1 = 2 , a 2 =
2
2
−1
´
³
2
−1
2
´
. Calculer les matrices P 1 , P 2 et P 3 de projection orthogonale sur les droites
³1´
correspondantes. Calculer les projections p 1 , p 2 et p 3 de b = 0 correspondantes. Calculer p 1 + p 2 + p 3 . Quelle
0
propriété de la famille {a 1 , a 2 , a 3 } implique la valeur de P 1 + P 2 + P 3 ?
2
et a 3 =
Projection orthogonale et moindres carrés
f Exercice 42.
Déterminer la meilleure solution x̂, au sens des moindres carrés, du système : 3x = 10 et 4x = 5. Quelle est la
¡
¢
¡3¢
x̂
fonction d’erreur de x qui est minimisée ? Vérifier que le vecteur d’erreur 10−3
5−4x̂ est orthogonal à 4 .
f Exercice 43.
On veut ajuster les valeurs b 1 = 1 et b 2 = 7 mesurées aux temps t 1 = 1 et t 2 = 2 sur une droite passant par l’origine
b = D t . Tracer la meilleure droite en résolvant aux moindres carrés le système : D = 1 et 2D = 7.
f Exercice³44.´
³1´
10
Soient A = 0 1 et b = 1 . Déterminer la solution aux moindres carrés x̂ de Ax = b. Calculer p = A x̂. Vérifier que
0
11
l’erreur e = b − p est orthogonale aux colonnes de A. Calculer la matrice P de projection orthogonale sur Im A.
f Exercice³45. ´
³1´
1 1
Soient A = 2 −1 et b = 2 . Déterminer la projection orthogonale p de b sur Im A.
−2
4
7
Lequel des quatres espaces Ker A, Im A, Ker A > , Im A > contient q = b − p ?
f Exercice 46.
Soit P la matrice de projection orthogonale sur un SEV E de Rn de dimension k. Déterminer Im P et le rang de P .
f Exercice 47 ].
Si P est la matrice de projection orthogonale sur Im A, quelle est la matrice de projection orthogonale sur Ker A > ?
Bases orthonormées et Gram-Schmidt
f Exercice 48.
Soient a 1 = ( 32 23 − 13 )> et a 2 = ( − 31 23 23 )> une famille orthonormée. Projeter orthogonalement b = ( 0 3 0 )> sur a 1 ,
puis sur a 2 . En déduire la projection orthogonale p de b sur le plan vectoriel de directions a 1 et a 2 (il est instructif
d’envisager ce calcul en coordonnées dans une base orthonormée {a 1 , a 2 , a 3 } de R3 ).
f Exercice 49.
Si Q 1 et Q 2 sont des matrices orthogonales, montrer que Q 1Q 2 est aussi orthogonale. Si Q 1 et Q 2 sont des rotations
vectorielle de R2 d’angles θ et ϕ, quelle transformation géométrique est Q 1Q 2 ? En déduire les identités trigonométriques pour sin(θ + ϕ) et cos(θ + ϕ).
f Exercice 50.
Soient {q 1 , q 2 , . . . , q n } une famille orthonormée de Rm et b = x 1 q 1 + x 2 q 2 + · · · + x n q n une combinaison linéaire. En
calculant directement b > b, montrer kbk2 = x 12 + x 22 +· · ·+ x n2 . En déduire que le produit d’un vecteur par la matrice
Q de colonnes q 1 , q 2 , . . .,q n , conserve la norme (c’est une alternative à calculer les q >
b ou utiliser Q T Q = I ).
j
f Exercice 51.
¡ ¢
¡ ¢
Quel multiple de a 1 = 11 doit-on retrancher à a 2 = 40 pour que le résultat soit orthogonal à a 1 ?
¡1 4¢
Factoriser A = 1 0 sous la forme A = QR avec Q de colonnes orthonormées et R triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs.
f Exercice 52.
³0´
³0´
³1´
Appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à la famille de vecteurs a = 0 , b = 1 , c = 1 et
1
1
1
écrire le résulat sous la forme A = QR décrite précédemment.
f Exercice
³ 1 53.
´
1
Soit A = 2 −1 . Déterminer une famille orthonormée {q 1 , q 2 , q 3 } telle que l’espace engendré par {q 1 , q 2 } est Im A.
−2
4
Le vecteur q 3 appartient-il à Ker A, Im A, Ker A > ou Im A > ?
Quelle est la solution aux moindres carrés de Ax = b si b = ( 1 2 7 )> ?
f Exercice 54.
³1´
³1´
Exprimer le résultat de l’application de Gram-Schmidt aux vecteurs a 1 = 2 et a 2 = 3 sous la forme A = QR dé2
1
crite précédemment. Utiliser cette forme pour résoudre aux moindres carrés le système Ax = b avec b = ( 1 1 1 )> .
f Exercice 55.
Si on applique Gram-Schmidt à n vecteurs de Rm , quelle est la taille de chaque matrice dans la factorisation A =
QR obtenue ? Quelle simplification en résulte dans l’expression de la projection orthogonale sur Im A ?
f Exercice 56 ].
Il est instructif de constater au moins sur un exemple
Gram-Schmidt à la matrice A correspond à
¶
µ 1 qu’appliquer
³ 2 −1 0 ´
0 0
appliquer la méthode du pivot à A > A. Pour A = −10 −11 10 , on obtient A > A = −1 2 −1 , qui se factorise sous
0
0 −1
0 −1
2
la forme LU par les opérations élémentaires : ajouter un demi de la première ligne de A > A à la deuxième, puis
ajouter deux tiers de la deuxième ligne à la troisième. Expliquer pourquoi on obtient une base orthogonale de
Im A en effectuant les opérations : ajouter un demi de la première colonne de A à la deuxième, puis ajouter deux
tiers de la deuxième colonne à la troisième. Expliquer pourquoi les carrés des normes des vecteurs de cette base
orthogonale sont les pivots de la factorisation A > A = LU , c’est-à-dire les valeurs 2, 32 et 43 sur la diagonale de U .
Propriétés et caractérisations du déterminant
f Exercice³57. ´
³1 1 3´
³1 1 3´
113
Soient A = 0 4 6 , B = 0 4 6 et U = 0 4 6 . Utiliser la méthode du pivot pour calculer les déterminants de A et de
158
159
001
B . En déduire les déterminants de U , AU , A > A, B > .
f Exercice 58.
µ4 4 8 8¶
µ0 0 0 2¶
³1´
Soient A = 4 ( 2 −1 2 ), U = 00 10 22 26 et M = 00 01 22 62 . Calculer les déterminants de A, U , U > , U −1 , M .
2
0002
4488
f Exercice 59.
Lesquelles de ces formules sont vraies pour toutes les matrices carrées A et B de même taille ?
1. det(A + B ) = det(A) + det(B ).
5. det(2A) = 2 det(A).
2. det(AB ) = det(B A) = det(A) det(B ).
6. det(−A) = − det(A).
3. det(A)B = det(B )A.
7. (det(−A))2 = (− det(A))2 .
4. det((AB )2 ) = (det(B ))2 (det(A))2 .
8. Si det(A) 6= 0, alors det(AB A −1 ) = det(B ).
f Exercice 60.
a2
b2
1 c c2
µ
1a
Utiliser des opérations élémentaires sur les lignes pour vérifier : det 1 b
f Exercice 61.
Soit M la matrice dont les quatres lignes sont égales à ( a
¶
= (b − a)(c − a)(c − b).
b c d ). Calculer le déterminant de la matrice
I + M.
f Exercice 62.
Soit P la matrice de passage de la base B à la base B 0 d’un espace vectoriel E de dimension n. Quelle est la relation
entre det A et det A 0 (utilisant det P si besoin) lorsque ces matrices représentent la même application linéaire de E
dans lui même, A dans la base B et A 0 dans la base B 0 ? Même question lorsque les colonnes de ces matrices sont
les coordonnées de la même famille de n vecteurs de E , A dans la base B et A 0 dans la base B 0 ?
f Exercice 63 ].
On note A = ( a1 a2 ... an ) une matrice de colonnes a j ∈ Rn , 1 6 j 6 n. Soit M une matrice carrée de taille n et f
l’application définie pour toute A par f (A) = det( M a1 a2 ... an )+det( a1 M a2 ... an )+· · ·+det( a1 a2 ... M an ). Justifier que
f est multilinéaire alternée. En déduire qu’il existe un réel t tel que f (A) = t det A. Vérifier que t est la trace de M .
Formules de développement et applications du déterminant
f Exercice 64.
µ0 0 1 2¶
µ0 1 0 0¶
Calculer le déterminant des matrices A =
1010
0101
0010
et B =
0345
6789
0001
. On peut développer successivement suivant des
lignes, ou bien appliquer le développement du déterminant par permutations en remarquant qu’il n’y a qu’une
manière de choisir quatre coefficients non nuls appartenant à des lignes différentes et à des colonnes différentes.
f Exercice 65.


... 0

.. 
−1 2 −1 . . .
. 




.

.. 0 
On définit une suite (u n )n >1 par u n = det M n avec la matrice de taille n : M n =  0 −1 2
.
 .

..
..
..
 .

.
.
. −1
 .
0 . . . 0 −1 2
Calculer u 1 , u 2 et u 3 . Justifier u n+2 = 2u n+1 − u n pour n > 2. En déduire u n = n + 1 pour tout n.
2
−1
0
f Exercice 66 ].
Soit A = LDU une matrice inversible de taille n factorisée avec des matrices D diagonale de coefficients d 1 , . . .,
d n , L triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure, et des 1 sur toute la diagonale de L et de U . On note A k la
matrice carrée de taille k dans le coin supérieur gauche de A, de même pour L k , D k et Uk . Justifier A k = L k D k Uk .
En déduire que le k-ième pivot de A est d k = det A k / det A k−1 pour 2 6 k 6 n, et d 1 = det A 1 .
En déduire que la matrice de l’exercice précédent se factorise sous la forme M n = L n D n Un et calculer D n .
f Exercice 67.
³1 2 3´
Trouver le déterminant et les neuf cofacteurs c i j de la matrice triangulaire A = 0 4 0 . Vérifier que la matrice des
005
cofacteurs C = (c i j ) vérifie AC > = (det A)I . En déduire A −1 .
f Exercice 68.
³1 2 0´
³ 2 −1 0 ´
³1 1 1´
Utiliser les cofacteurs pour inverser M = 0 3 0 , A = −1 2 −1 et B = 1 2 2 . Comment exploiter la symétrie ?
041
0 −1
2
123
f Exercice 69.
Soient A = ( a1 a2 ... an ) la matrice de colonnes a j ∈ Rn , 1 6 j 6 n, b ∈ Rn et x ∈ Rn une solution du système linéaire
Ax = b. Justifier det( b a2 ... an ) = x 1 det A. Si A est inversible, en déduire les formules de Cramer pour les x j .
f Exercice 70.
Utiliser les formules de Cramer pour résoudre les systèmes

½
 x + 4y − z
ax + b y = 1
x + y + z
(S 1 )
, (S 2 )

cx + d y = 0
2x
+ 3z

= 1
 2x
x
= 0 , (S 3 )

= 0.
+ y
+ 2y
y
+ z
+ 2z
f Exercice 71.
Déterminer une équation du plan de directions u = ( 1 1 2 )> et v = ( 1 2 3 )> en calculant det( u
= 1
= 70 .
= 0.
v x ) pour tout
x ∈ R3 .
f Exercice
³ 0 72.
´
2 −1
Soit A = 3 −2 0 . Développer son polynôme caractéristique det(A − λI ) suivant les puissances croissantes de λ.
−2
2
1
Vérifier que les termes de degré zéro, de plus haut degré et le précédent sont det A, (−λ)3 et (−λ)2 trace A.
f Exercice 73.
Soient A et B des matrices carrées de même taille. Si B est inversible, montrer que det(AB −λI ) = det(B A −λI ). En
déduire que l’égalité vaut même si B n’est pas inversible, en utilisant B ε = B − εI avec des réels ε tendant vers 0.
Valeurs, vecteurs et espaces propres
f Exercice 74.
³3 4 2´
³0 0 2´
Déterminer les valeurs et vecteurs propres des matrices A = 0 1 2 et B = 0 2 0 par la méthode du pivot. Vérifier
000
200
les formules qui relient les valeurs propres au déterminant et à la trace. Ces matrices sont-elles diagonalisables ?
f Exercice 75.
¡ ¢
Déterminer les valeurs propres de A = 20 32 . Caractériser l’espace propre E λ = {x ∈ R2 tel que Ax = λx}, pour
chaque valeur propre λ. Existe-t-il une base de R2 constituée de vecteurs propres de A ? A est-elle diagonalisable ?
f Exercice 76.
Soit A une matrice carrée qui n’est pas diagonale et qui n’a qu’une seule valeur propre λ. S’il existe une matrice
inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P DP −1 , montrer qu’alors D = λI . Par contradiction, en
déduire que A n’est pas diagonalisable. Retrouver ainsi le résultat final de l’exercice précédent.
f Exercice 77.
¡ ¢
¡ ¢
Soient A = 11 01 et B = 10 11 . Déterminer les valeurs propres de A, B , A + B , AB et B A. Sont-elles diagonalisables ?
f Exercice 78.
Soient B une matrice inversible et A une matrice de même taille. Montrer que AB et B A représentent la même application linéaire dans des bases différentes. Montrer que AB diagonalisable équivaut à B A diagonalisable. Comparer les valeurs propres de AB à celles de B A. Comparer la dimension des espaces propres associés.
f Exercice³79.
Soient A =
1 −1 1
−1 1 −1
1 −1 1
´
µ
et T =
1 −1
1−λ
0 λ
λ
0 0 (3−λ)λ
¶
.
1. Pour tout paramètre réel λ, montrer que le système (A − λI )x = 0 est équivalent à T x = 0 par la méthode du
pivot de Gauss en commençant par échanger la première équation et la dernière équation. En déduire les
valeurs propres de A. Déterminer une base de l’espace propre associé à chaque valeur propre.
2. Trouver une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P DP −1 . Montrer que D 5 est un
multiple de D. En déduire un calcul de A 5 sans effectuer de produit matriciel.
f Exercice 80.
Soient v un vecteur non nul et M = v v > . Montrer que q(M )M = q(kvk2 )M pour tout polynôme q. Retrouver ainsi
la conclusion finale de l’exercice précédent. Déterminer M v et Ker M . En déduire les valeurs propres de M .
f Exercice
³ 0 81.
´
2 −1
Soit A = 3 −2 0 . Factoriser le polynôme caractéristique de A. Déterminer une base de l’espace propre associé à
−2
2
1
chaque valeur propre. Trouver P inversible et D diagonale telles que A = P DP −1 . Calculer D 3 − 12D + 16I
³ . Trouver
´
un vecteur e tel que D 3 − 12D + 16I = 5ee > . Résoudre P > x = 5e. En déduire A 3 − 12A + 16I = (Pe)x > =
f Exercice 82.
On considère le vecteur u =
Ã1!
1
1
1
1
et les matrices J =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
Ã0 1 1 1 1!
Ã1 1 1 1 1!
1
1
1
1
023
023
023
et K =
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
.
1. Calculer Ju.
2. Déterminer une base de l’espace vectoriel des solutions x ∈ R5 du système linéaire homogène J x = 0.
3. En déduire les valeurs propres de J et une base de chaque espace propre de J .
4. Soit µ un réel et A une matrice n × n. Quelle relation existe-t-il entre le polynôme caractéristique de A et
celui de A − µI ? Quelles relations existe-t-il entre les espaces propres de A et ceux de A − µI ?
5. En déduire une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que K = P DP −1 .
f Exercice 83.
Soit M une matrice carrée. Justifier que (M − λI )(M − µI ) = (M − µI )(M − λI ) pour tous réels λ et µ. Soit D une
matrice diagonale de coefficients d 1 , . . ., d n . En déduire que le produit (D − d 1 I ) · · · (D − d n I ) est nul. Soit A une
matrice diagonalisable de polynôme caractéristique det(A − λI ) = (λ1 − λ) · · · (λn − λ). En déduire que le produit
(λ1 I − A) · · · (λn I − A) est nul (le théorème de Cayley-Hamilton du cours généralisera ceci à toute matrice carrée).
f Exercice 84 ].
Soit A une matrice 3×3 dont les valeurs propres sont 0, 1 et 2. Quel est le seul des quatre points suivants qui ne s’en
déduit pas : le rang de A ? le déterminant de A > A ? les valeurs propres de A > A ? les valeurs propres de (A + I )−1 ?
f Exercice 85 ].
Soient p un entiers strictement positifs, µ un réel et A une matrice diagonalisable. Montrer que A − µI est diagonalisable. Montrer que A p est diagonalisable. Si A p = 0, montrer qu’alors P −1 AP = D implique D p = 0, puis que
A = 0. Si (A − µI )p = 0, montrer qu’alors A = µI .
f Exercice 86 ].
Soient u et v dans Rn , A = uv > , B = I + A et C = I − A . Si u et v sont orthogonaux, montrer que A 2 = 0 et B −1 = C .
Si u > v = −2, montrer que B −1 = B . Montrer que det(A − λI ) = (−λ)n−1 (u > v − λ) ; en déduire det B = 1 + u > v.
Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques et matrices symétriques
f Exercice 87.
Ecrire les matrices associées aux formes quadratiques q 1 et q 2 définies par q 1 (x) = 2(x 12 + x 22 + x 32 − x 1 x 2 − x 2 x 3 ) et
q 2 (x) = 2(x 12 + x 22 + x 32 − x 1 x 2 − x 1 x 3 − x 2 x 3 ). Pourquoi q 1 est-elle définie positive et pas q 2 ?
f Exercice 88.
Si A = B > B et les colonnes de B sont libres, alors prouver que b(x, y) = x > Ay définit un produit scalaire b et
satisfait l’inégalité de Cauchy-Schwarz-Buniakowsky |b(x, y)|2 6 b(x, x)b(y, y).
f Exercice 89.
Lesquelles des applications de Rn × Rn dans R suivantes sont bilinéaires symétriques ? des produits scalaires ?
f 1 (x, y) = x 1 y 2 + x 2 y 1 , f 2 (x, y) = x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + · · · + nx n y n , f 3 (x, y) = x 1 y 2 − x 2 y 1 + x n−1 y n − x n y n−1 , f 4 (x, y) = x 1 y 2 ,
f 5 (x, y) = x 12 + y 12 , f 6 (x, y) = x 1 y 1 + x 2 + y 2 , f 7 (x, y) = (x 1 − 1)(y 1 − 1) + x 2 y 2 , f 8 (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x n−1 y n−1 .
f Exercice 90.
Lesquelles des applications de Rn dans R suivantes sont des formes quadratiques ? Préciser la forme bilinéaire
symétrique associée : f 1 (x) = x 12 + x 22 + · · · + x n2 , f 2 (x) = 2x 1 x 2 + x 32 , f 3 (x) = 2x 1 + x 2 + x 32 , f 4 (x) = (2x 1 + x 2 )2 + x 32 ,
f 5 (x) = (2x 1 + x 2 )x 3 + x 32 , f 6 (x) = 2x 12 x 3 + x 22 , f 7 (x) = 2(x 1 − 1)2 + x 22 , f 8 (x) = (x 1 − x 2 )2 + (x 1 − x 3 )2 + · · · + (x 1 − x n )2 .
f Exercice 91.
Soient B = {e 1 , e 2 , e 3 } une base d’un espace vectoriel E et q l’application de E dans R définie dans cette base
par q(v) = x 12 + 3x 22 + 5x 32 + 4x 1 x 2 + 6x 1 x 3 + 8x 2 x 3 , pour tout v = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 . Montrer que q est une forme
quadratique sur E , écrire la matrice A associée à q dans la base B par q(v) = x > Ax, et l’expression dans la base B
de la forme bilinéaire symétrique b associée à q. Montrer que les vecteurs e 10 = e 1 , e 20 = 2e 1 −e 2 et e 30 = e 1 −2e 2 +e 3 ,
définissent une base B 0 = {e 10 , e 20 , e 30 } de E . Ecrire la matrice de passage P de B à B 0 , la matrice A 0 associée à q dans
la base B 0 par q(v) = x 0> A 0 x 0 pour tout v = x 10 e 10 + x 20 e 20 + x 30 e 30 , et l’expression de q en coordonnés dans la base B 0 .
Caractérisation des matrices définies positives
f Exercice 92.
³a 2 2´
³1 2 4´
Pour quelles valeurs des paramètres a et b les matrices A = 2 a 2 et B = 2 b 8 sont-elles définies positives ?
2 2a
4 87
f Exercice 93. ³
´
³ 2 −1 −1 ´
³ 0 1 2 ´2
2 −1 −1
Les matrices A = −1 2 −1 , B = −1 2 1 et C = 1 0 1 sont-elles définies positives ?
−1 −1
2
−1
1
2
210
f Exercice 94.
¡ ¢
Factoriser A = 54 45 sous la forme A = LDL > avec D diagonale et L triangulaire inférieure à diagonale unité. Diagonaliser A sous la forme A = QΛQ > avec Λ diagonale et Q orthogonale.
1
1
Calculer le facteur de Cholesky B 1 = D 2 L > et la racine carrée symétrique B 2 = QΛ 2 Q > . Factoriser A sous la forme
A = B > B avec B inversible d’une troisième manière différente.
f Exercice 95.
Déterminer les directions et les longueurs des axes de l’ellipse d’équation 13x 2 + 10x y + 13y 2 = 72, et la matrice
d’une bijection linéaire du plan dans lui-même telle que l’image de cette ellipse est le cercle d’équation x 2 +y 2 = 1.
f Exercice 96.
³2 2 0´
Prouver que 2 5 3 est définie positive en calculant des déterminants. Vérifier les pivots donnés par leurs rapports.
038
f Exercice 97.
Lesquelles des matrices A + B , AB et A −1 sont nécessairement définies positives si les matrices A et B le sont ?
Réduction des formes quadratiques et loi d’inertie de Sylvester
f Exercice 98.
³ 2 −1 −1 ´
³1 1 1´
Réduire les formes quadratiques associées aux matrices A = −1 2 −1 (somme de deux carrés) et B = 1 1 1 .
−1 −1
2
111
f Exercice 99.
Réduire et déterminer la signature des formes quadratiques sur R3 : q 1 (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 − 2x y − 4xz − 2y z,
q 2 (x, y, z) = x 2 + 5y 2 + 3z 2 + 4x y + 2xz, q 3 (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 2x y + 2y z, q 4 (x, y, z) = y 2 + 2z 2 + 2y z + 2zx.
f Exercice 100.
Soit q la forme quadratique définie sur R4 par q(x) = x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 1 x 4 +x 2 x 3 +x 2 x 4 +x 3 x 4 . Déterminer son rang, sa
signature, et une base dans laquelle elle s’exprime comme une combinaison linéaire de carrés des coordonnées.
f Exercice 101 ].
Réduction simultanée de formes quadratiques. Soient A définie positive et B symétrique. Montrer que C = A −1 B
est une matrice symétrique pour le produit scalaire associé à A. En déduire qu’il existe une base dans laquelle la
matrice de l’application linéaire associée à C est diagonale, la forme quadratique associée à B est la combinaison
linéaire des carrés des coordonnées dont les coefficients sont les valeurs propres de C dans l’ordre de cette diagonale, la forme quadratique associée à A est la somme des carrés des coordonnées. En déduire qu’il suffit que le
produit matriciel de deux matrices définies positives soit symétrique pour qu’il soit une matrice définie positive.
Factorisation en valeurs singulières
f Exercice 102.
¡ ¢
Soit A = 12 48 . Calculer A > A et des vecteurs propres v 1 et v 2 de norme 1 associés à ses valeurs propres σ21 (avec
σ1 > 0) et 0. Calculer A A > et des vecteurs propres u 1 et u 2 de norme 1 associés à ses valeurs propres σ21 et 0.
Montrer qu’en choisissant bien le signe de u 1 , on a Av 1 = σ1 u 1 et vérifier la factorisation en valeurs singulières
¡ ¢
¡
¢
A = 12 48 = ( u1 u2 ) σ01 00 ( v 1 v 2 )> . En déduire des bases orthonormées de Ker A, Im A, Ker A > , Im A > .
f Exercice 103.
¡
¢
Soit A = 10 11 01 . Diagonaliser A > A et A A > dans des bases orthonormées. Factoriser A sous la forme A = U ΣV >
avec des matrices U et V orthogonales et une matrice rectangulaire diagonale Σ de même taille que A dont les
coefficients diagonaux sont positifs et décroissants.
f Exercice 104.
Soient {u 1 , . . . , u n } et {v 1 , . . . , v n } deux bases orthonormées de Rn . Former un produit A de deux matrices tel que
Av 1 = u 1 , . . ., Av n = u n .
f Exercice 105.
Soient u = 13 ( 2 2 1 )> et v = 12 ( 1 1 1 1 )> . Donner l’expression d’une matrice A de rang 1 telle que Av = 12u. Quelle
est sa seule valeur singulière ?
f Exercice 106.
Soit {a 1 , . . . , a n } une famille orthogonale de vecteurs de Rn de normes ka 1 k = σ1 , . . ., ka n k = σn . Factoriser en
valeurs singulières la matrice A formée des colonnes a 1 , . . ., a n .
f Exercice 107.
Soit A = U ΣV > une factorisation en valeurs singulières d’une matrice A de rang r . Exprimer A comme une somme
de r matrices de rang 1 à l’aide des coefficients de Σ et des colonnes de U et de V .
f Exercice 108.
Soient A une matrice inversible et f la fonction définie sur les vecteurs non nuls par f (x) = kAxk
kxk . Montrer que f
atteint son maximum et son minimum, et les exprimer à l’aide des valeurs singulières σ1 > σ2 > · · · > σn de A.
f Exercice 109 ].
³1 0 0´
³0´
Déterminer la solution aux moindres carrées de norme euclidienne minimale x̂ de Ax = b avec A = 1 0 0 , b = 2 .
111
Vérifier que x̂ est l’unique x dans Im A > tel que A > Ax = A > b. Vérifier x̂ = A † b en appliquant l’exercice suivant.
2
f Exercice 110 ].
Le pseudo-inverse d’une matrice m ×n diagonale Σ dont les coefficients diagonaux sont σ1 > 0, . . ., σr > 0 puis des
zéros, est la matrice n × m diagonale notée Σ† dont les coefficients diagonaux sont σ11 , . . ., σ1r . Plus généralement,
le pseudo-inverse d’une matrice de factorisation en valeurs singulières A = U ΣV > est A † = V Σ†U > . Montrer que
la solution aux moindres carrées de norme euclidienne minimale du système linéaire Ax = b est x = A † b. Montrer
que A † = A −1 si A est inversible. Montrer que (A † )† = A et (A † )> = (A > )† , mais en général (AB )† 6= B † A † . Montrer
que P = A A † est la matrice de projection orthogonale sur Im A et vaut U1U1> avec U1 formée des r premières
colonnes de U . Montrer que A † = A > (A A > )† = (A A > )† A > , Im A † = Im A > = Im(A † A) et Ker A † = Ker A > = Ker(A A † ).
¡
¢
¡ ¢
Déterminer la factorisation en valeurs singulières et le pseudo-inverse de A = ( 1 1 1 1 ), B = 01 10 00 et C = 10 10 .