Graf Bipartite-Komplemen Graf-Subgraf-Derajat

MATEMATIKA DISKRIT
 Graf Bipartite
 Komplemen Graf
 Subgraf
 Derajat
Graf Bipartite (Bipartite Graph)
Definisi 8.2
Graf Sederhana (Simple Graph) adalah graf yang tidak
memiliki loop ataupun garis paralel.
Contoh 8.5
Gambarlah semua graf sederhana yang dapat dibent
uk dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis
Penyelesaian :
Sebuah garis dalam graf sederhana selalu berhubung
an dengan 2 buah titik. Oleh karena ada 4 titik, maka
4!
4
ada
=
= 6 garis yang mungkin dibuat, yaitu g
2!
2!
2
aris-garis yang titik-titik ujungnya adalah {a, b}, {a, c},
{a, d}, {b, c}, {b,d}, dan {c, d}.
Dari keenam garis yang mungkin tersebut, selanjutnya dipilih 2 diantara
6!
6
nya. Jadi, ada
=
= 15 buah graf yang mungkin dibentuk. Graf4!2!
2
graf tersebut dapat dilihat pada gambar
6!
6 × 5 × 4!
=
= 15
4! 2!
4! 2!
Definisi 8.3
Graf lengkap (Complete Graph) dengan n titik (simbo
l 𝐾𝑛 ) adalah graf sederhana dengan n titik, di mana s
etiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis
.
Teorema 8.1
Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n t
𝑛(𝑛−1)
itik adalah
buah.
2
Contoh 8.6
Gambarlah K2, K3, K4, K5, K6
Penyelesaian :
Definisi 8.4
Suatu graf G disebut Graf Bipartite apabila V(G) mer
upakan gabungan dari 2 himpunan tak kosong V1 d
an V2 dn setiap garis dalam G menghubungkan sua
tu titik dalam V1 dengan titik dalam V2.
Apabila dalam Graf Bipartite setiap titik dalam V1 be
rhubungan dengan setiap titik dalam V2, maka graf
nya disebut Graf Bipartite Lengkap.
Jika V1 terdiri dari m titik dan V2 terdiri dari n titik,
maka graf Bipartite Lengkapnya sering diberi simbol
𝐾𝑚,𝑛 .
Contoh 8.7
Tentukan mana di antara graf-graf berikut yang merup
akan graf bipartite dan bipartite lengkap.
V1 terhubung dgn v2 & v6
V3 terhubung dgn v2 & v4
V5 terhubung dgn v4 & v6
Kelompok/himpunan pertama: v1, v3, v5 (dalam satu klmpk/himp.
Tdk boleh ada yg saling terhubung)
Kelompok/himpunan kedua: v2, v4, v6 (dalam satu klmpk/himp. Td
k boleh ada yg saling terhubung)
Graf bipartite
Penyelesaian
a)
Jelas bahwa titik-titik grafnya terbagi menjadi 2 bagian, yaitu V1= {v1, v2, v3}
dan V2 = {v4, v5}. Setiap titik dalam V1 dihubungkan dengan setiap titik dalam
V2 sehingga grafnya merupakan 𝐾3,2 .
b)
Hanya merupakan graf bipartite saja karena titik-titik dalam graf terbagi menj
adi 2 bagian, yaitu V1= {v1, v3} dan V2 = {v2, v4}. Akan tetapi tidak semua titik
dalam V1 dihubungkan dengan semua titik dalam V2 (v1 dihubungkan denga
n v4).
Dengan pengaturan letak titik-titiknya, maka graf Gambar 8.10 (c) dapat dig
ambarkan sebagai graf pada Gambar 8.11.
Gambar 8.11
c)
d)
Tampak bahwa titik-titiknya terbagi menjadi 2 bagian, yaitu V1 = {v1, v3, v5} d
an V2={v2, v4, v6}. Setiap garis menghubungkan sebuah titik dalam V1 denga
n sebuah titik dalam V2 sehingga grafnya merupakn graf bipartite.
Perhatikan bahwa meskipun tampak berbeda, sebenarnya graf pada Gamba
r 8.10 (d) sama dengan graf Gambar 8.10 (a) sehingga graf Gambar 8.10 (d
) adalah 𝐾3,2 .
Komplemen Graf
Definisi 8.5
Komplemen suatu graf G (simbol 𝐺) dengan n titik adal
ah suatu graf sederhana dengan Titik-titik 𝐺 sama deng
an titik-titik G. Jadi V(𝐺) = V(G).
Garis-garis 𝐺 adalah komplemen garis-garis G terhadap
Graf Lengkapnya (Kn).
𝐸 𝐺 = 𝐸 𝐾𝑛 − 𝐸 𝐺
Titik-titik yang dihubungkan dengan garis dalam G tida
k terhubung dalam 𝐺. Sebaliknya, titik-titik yang terhub
ung dalam G menjadi tidak terhubung dalam 𝐺.
Sub-Grab
Definisi 8.6
Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan Sub
graf G bila dan hanya bila:
V(H) ⊆ V(G)
E(H) ⊆ E(G)
Setiap garis dalam H memiliki titik ujung yang sama
dengan garis tersebut dalam G
Dari definisi 8.6, ada beberapa hal yang dapat ditur
unkan:
Sebuah titik dalam G merupakan subgraf G
Sebuah garis dalam G bersama-sama dengan titik-ti
tik ujungnya merupakan subgraf G
Setiap graf merupakan subgraf dari dirinya sendiri
Dalam subgraf berlaku sifat transitif: jika H adalah
subgraf G dan G adalah subgraf K, maka H ad
alah subgraf K.
Contoh 8.10
Apakah dalam Gambar 8.14 (a) –(b) di bawah ini, apaka
h H merupakan subgraf G?
,
Derajat (Degree)
Definisi
Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat titik
v (simbol d(v)) adalah jumlah garis yang berhubungan
dengantitik v dan garis suatu loop dihitung dua kali. De
rajat total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G.
Tentukan derajat tiap-tiap titik dalam graf pada gambar berapa
derajat totalnya?
Gambar 8.17
Penyelesaian:
1. 𝑑 𝑣1 = 4 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑢𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣1 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑒2 , 𝑒3
dan loop 𝑒1 yang dihitung dua kali.
2. 𝑑 𝑣2 = 2 karena garis yang berhubungan dengan 𝑣2 adalah 𝑒2
𝑑𝑎𝑛 𝑒3
3. 𝑑 𝑣3 = 𝑑 𝑣5 1 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑢𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣3 𝑑𝑎𝑛 𝑒3
4. 𝑑 𝑣4 = 2 karena garis yang berhubungan dengan 𝑣4 adalah loop
𝑒5 yang
dihitung 2 kali.
𝐷𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6𝑖=1 𝑑 𝑣𝑖 = 4 + 2 + 1 + 2 + 1 + 0 = 10
Teorema
Derajat total suatu graf selalu genap
Soal Latihan
1. Berapa jumlah titik yang dimiliki oleh suatu graf G jika G memiliki
a. 16 garis dan semuanya berderajat 2
b. 21 garis, 3 titik berderajat 4, dansisanya berderajat 3
c. 24 garis dan semuanya berderajat sama
Penyelesaian
1. a. Setiap garis memberikan 2 derajat, jadi
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 × 16 = 32
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑛𝑖=1 𝑑(𝑣𝑖 )
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2+2+2+...+2
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 2n
32 = 2𝑛
𝑛 = 16
Jadi banyak titiknya ada 16
b. 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 × 21 = 42
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑛𝑖=1 𝑑(𝑣𝑖 )
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 + 4 + 4 + (3 + 3 + … +3(n-3)
42 = 12 + 3(n-3)
42 − 12 = 3 𝑛 − 3
30 = 3𝑛 − 9
39 = 3𝑛
𝑛 = 13
Jadi banyak titik nya ada 13
c. 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 × 48 = 42
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑛𝑖=1 𝑑(𝑣𝑖 )
misal k = derajat-derajat titik
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 + … + 𝑘𝑛
48 = 𝑘𝑛
𝑛=
48
𝑘
Jadi banyak titik nya ada 𝑛 =
48
𝑘
2. Tentukan apakah ada graf sederhana dengan 5 titik yang masing-masin
g berderajat berikut ini
a. 3,3,3,3,2
b. 1,2,3,4,5
c. 1,2,3,4,4
d. 3,4,3,4,3
e. 0,1,2,2,3
f. 1,1,1,1,1
Penyelesaian
a. Tidak dapat dibentuk dengan graf sederhana ( karena memiliki garis p
aralel, yaitu garis-garis yang dihubungkan dengan titik yang berderaja
t 2 di atas)
b. Tidak dapat dibentuk graf ( karena total derajatnya bernilai ganjil dan
memiliki garis paralel)
c. Tidak dapat dibentuk graf (karena memiliki garis paralel)
d. Tidak dapat dibentuk graf (karena memiliki garis paralel)
e. Tidak dapat dibentuk graf (karena memiliki garis paralel)
f. Tidak dapat dibentuk graf (karena total derajatnya bernilai ganjil)
3. Apakah ada graf sederhana yang terdiri dari 15 titik dan masin
g-masing berderajat 5?
4. Graf G yang terdiri dari 21 garis memiliki 7 titik berderajat 1, 3
titik berderajat 2, 7 titik berderajat 3, dan sisanya berderajat 4, b
erapa banyak titik dalam G? Berapa jumlah titik dalam G jika sela
in titik-titik tersebut. G jyga memiliki 6 titik berderajat 0
Sekian dan Terima kasih