29385056-22-Modul-Matematika-Fungsi-Hiperbolik

Matematika Dasar
FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut :
sinh x =
ex − e− x
e x + e− x
dan cosh x =
2
2
Untuk fungsi hiperbolik yang lain :
1. tanh x =
sinh x ex − e− x
=
cosh x e x + e− x
cosh x e x + e− x
2. coth x =
=
sinh x ex − e− x
3. sec h x =
1
2
= x
cosh x e − e− x
4. csc h x =
1
2
= x
sinh x e + e − x
Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik :
2
2
1. cosh x - sinh x = 1
2
2
2. 1 - tanh x = sech x
2
2
3. coth x - 1 = csch x
4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
x
6. cosh x + sinh x = e .
-x
7. cosh x - sinh x = e .
8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
2
2
2
2
9. cosh 2x = cosh x + sinh x = 2 sinh x + 1 = 2 cosh x - 1
10. cosh ( -x ) = cosh x
11. sinh ( -x ) = - sinh x
12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y
14. tanh( x + y) =
tanh x + tanh y
1 + tanh x tanh y
15. tanh( x − y) =
tanh x − tanh y
1 − tanh x tanh y
16. tanh 2 x =
1
17. cosh x =
2
18. sinh
2 tanh x
1 + tanh x
1
(cosh x + 1)
2
1
1
x=±
(cosh x − 1)
2
2
 x + y
 x − y
19. sinh x + sinh y = 2 sinh
 cosh

 2 
 2 
 x + y
 x−
20. cosh x + cosh y = 2 cosh
 cosh 
 2 
 2
y


Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik
 eu − e− u  e u + e− u
=
Misal y = sinh u. Maka y ' = Dx 
u' = cosh u u' .

2
2


Jadi : ∫ cosh u du = sinh u + C
Untuk fungsi hiperbolik yang lain:
1. y = cosh u ⇒ y ' = sinh u u' ⇔
∫ sinh u du = cosh u + C
2. y = tanh u ⇒ y ' = sec h2 u u' ⇔
∫ sec h2u
du = tanh u + C
3. y = coth u ⇒ y ' = − csc h2 u u' ⇔ ∫ csc h 2 u du = − coth u + C
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
4. y = sec h u ⇒ y ' = − sec h u tanh u u ' ⇔
∫ sec h u tanh u du = − sec h u + C
5. y = csc h u ⇒ y' = − csc h u coth u u' ⇔
∫ csc h u coth u du = − csc h u + C
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari :
4
1. y = cosh x .
2. y = ln ( tanh 2x )
3. y = cosh ( 1/x )
3
4. y = sinh ( 2x )
5. y =
4 x + cosh 2 ( 5x)
( Nomor 6 sd 10 ) Hitung integral berikut :
6.
∫ cosh( 2 x − 3) dx
7.
∫ csc h 2( 3x) dx
8.
∫ coth2 x csc h 2x dx
9.
∫ tanh x dx
10.
∫ sinh 6 x cosh x dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung