Hukum Gravitasi Newton
advertisement
DND-2006 http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif Apakah astrofisika itu ? Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/bendabenda langit Informasi yang diterima Cahaya (gelombang elektromagnet) Pancaran gelombang elektromagnet dapat dibagi dalam beberapa jenis, bergantung pada panjang gelombangnya ( ) 1. Pancaran gelombang radio, dengan antara beberapa milimeter sampai 20 meter 2. Pancaran gelombang inframerah, dengan ≈ 7500 Å hingga sekitar 1 mm (1 Å = 1 Angstrom = 10-8 cm) DND-2006 3. Pancaran gelombang optik atau pancaran kasatmata dengan sekitar 3 800Å sampai 7 500 Å Panjang gelombang optik terbagi dlm beraneka warna: merah : 6 300 – 7 500 Å merah oranye : 6 000 – 6 300 Å oranye : 5 900 – 6 000 Å kuning : 5 700 – 5 900 Å kuning hijau : 5 500 – 5 700 Å hijau : 5 100 – 5 500 Å hijau biru : 4 800 – 5 100 Å biru : 4 500 – 4 800 Å biru ungu : 4 200 – 4 500 Å ungu : 3 800 – 4 200 Å DND-2006 4. Pancaran gelombang ultraviolet, sinar X dan sinar mempunyai < 3 500 Å Pancaran gelombang elektromagnet mulai dari sinar Gamma sampai dengan pancaran radio http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.html DND-2006 Radio Gel.Mikro Infra-merah Kasat Mata teleskopRadio radio Jendela teleskopOptik optik Jendela balon, satelit satelit UV balon, satelit Sinar-X Sinar Gamma ozon (O3) molekul ,atom, inti atom Ketinggian molekul (H2O, CO2) Permukaan Laut Pancaran gelombang yang dapat menembus atmosfer Bumi adalah panjang gelombang kasatmata dan panjang gelombang radio DND-2006 http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.html Dengan mengamati pancaran gelombang elektromagnet kita dapat mempelajari beberapa hal yaitu, Arah pancaran. Dari pengamatan kita dapat mengamati letak dan gerak benda yang memancarkannya Kuantitas pancaran. Kita bisa mengukur kuat atau ke- cerahan pancaran Kualitas pancaran. Dalam hal ini kita bisa mempe- lajari warna, spektrum maupun polarisasinya DND-2006 DND-2006 Buah durian jatuh ke bumi ? Bulan bergerak mengedari bumi Apakah ada kesamaan Antara durian dan bumi terjadi gaya tarik gravitasi ada ! Antara bumi dan bulan terjadi gaya tarik gravitasi Hukum Gravitasi Newton Sebagai hukum yang mengatur gerak dalam alam semesta DND-2006 Hukum Gravitasi Newton Menurut Newton, Antara dua benda yang massanya masingmasing m1 dan m2 dan jarak antara keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik gravitasi yang besarnya, Sir Isaac Newton (1643 – 1727) m1 G m1 m2 d2 . . . . . . . . . (1-1) bersifat tarik menarik F F d DND-2006 F= m2 gaya G = tetapan gravitasi = 6,67 x 10-8 dyne cm2/g2 Menentukan massa Bumi Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumi akan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s2 Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar, F = mg . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-2) gaya gravitasi Dari persamaan (1-1) : G m1 m2 F= d2 DND-2006 percepatan massa benda massa Bumi G M m . . . . . . . (1-3) F= R2 radius Bumi Dari pers. (1-2) : F = mg G M m dan pers. (1-3) : F = R2 g= Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km Radius bumi di kutub G M . . . (1-4) R2 b a : b = 6356,8 km 4 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-5) Volume bumi = (a b) 3 Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka R volume Bumi adalah, 4 3 V = R 3 DND-2006 . . . . . . . . . (1-6) 4 2 (a b) Dari pers. (1-5) : V = 3 4 3 Dari pers. (1-6) : V = R 3 R = (a2b)1/3 Radius bumi rata –rata : R = [(6378,2 )2 (6356,8)]1/3 = 6371,1 km = 6,37 x 108 cm G M Masukan harga g, G dan R ke pers (1-4) : g = R2 diperoleh, M = DND-2006 g R2 G (980,6)(6,37 x 108)2 = 5,98 x 1027 gr = (6,67 x 10-8) 4 3 R Dari pers. (1-6) : V = 3 diperoleh volume Bumi, 4 (6,37 x 108)3 = 1,08 x 1027 cm3 V = 3 dan massa jenis bumi rata-rata adalah, M 5,98 x 1027 3 = = = 5,52 gr/cm V 1,08 x 1027 DND-2006 Gerak Bulan Mengedari Bumi Bulan Bumi Mengikuti hukum Newton Karena M 1/100 M, maka massa bulan dapat diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah, d a v DND-2006 G M . . . . . . . . . . . . . (1-7) a= d2 jarak Bumi - Bulan Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d, dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, maka percepatan sentripetal Bulan adalah, a = v2/d . . . . . . . . . . . . . . . (1-8) Subtitusikan pers. (1-8), ke pers. (1-7) : a = diperoleh, G M d2 G M v2 . . . . . . . . . . . . . . . (1-9) = 2 d d Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P maka, 2 d . . . . . . . . . . . . . . . (1-10) v= P DND-2006 G M v2 Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) : = d d2 2 d ke pers. (1-10) : v = P d 3 G M . . . . . . . . . . . . . (1-11) diperoleh, = 2 P 4 2 Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulan mengelilingi Bumi adalah, P = 27,3 hari = 2,36 x 106 detik Jarak Bum1-Bulan adalah, d = 384 000 km = 3,84 x 1010 cm DND-2006 Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu, M 6,02 x 1027 gr Hasil ini sama dengan yang ditentukan berdasarkan benda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu M 5,98 x 1027 gr Kesimpulan : Buah durian jatuh ke bumi Bulan bergerak mengedari bumi Disebabkan oleh gaya yang sama yaitu gaya gravitasi DND-2006 Percepatan Bulan terhadap Bumi Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulan terhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu, a= G M d2 (6,67 x 10-8)(5,97 x 1027) 2 = = 0,27 cm/s (3,84 x 1010) jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 1010 cm DND-2006 Gaya gravitasi di permukaan Bulan Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan, maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat ditentukan yaitu, G M massa bulan g= R2 radius bulan (6,67 x 10-8)( 0,0123 x 5,98 x 1027) g= (0,27 x 6,37 x 108)2 = 165,72 cm/s2 = 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi DND-2006 Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit DND-2006 Objek Massa (Bumi = 1) Diameter (Bumi = 1) Gravitasi (Bumi = 1) Bulan 0,0123 0,27 0,17 Venus 0,81 0,95 0,91 Mars 0,11 0,53 0,38 Jupiter 317,9 11,20 2,54 Matahari 333 000 109,00 28,10 Berat benda di permukaan Bumi Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut, G M m W= R2 massa benda berat benda (gaya gravitasi yang dirasakan oleh benda) weight Contoh : Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N, berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000 km di atas permukaan bumi ? DND-2006 Jawab : Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W1 = 100 N, maka W1 = G M m . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) R2 Apabila W2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000 km (= 2,5 x 109 cm) di atas permukaan bumi, maka W2 = DND-2006 G M m (R + 2,5 x 109)2 . . . . . . . . . . . . () Dari pers () dan () diperoleh, W2 = W1 R2 . . . . . . . . . . . . . . () (R + 2,5 x 109)2 Jika harga R = 6,37 x 108 cm, dan harga W1 = 100 N dimasukan ke pers () maka akan diperoleh, W2 = DND-2006 (100)(6,37 x 108) 2 (6,37 x 108 + 2,5 x 109)2 4N Hukum Kuadrat Kebalikan Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempat dapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan Dari pers. (1-1) : F = GmM d 2 g= Dari pers. (1-2) : F = - mg Untuk g1 : g1 = Untuk g2 : g2 = DND-2006 GM d2 GM d 12 GM d 22 g2 = g1 d1 d2 2 . . . . . . . (1-12) Contoh : 1. Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permukaan laut) adalah 980 cm/s2. Tentukanlah percepatan di ketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi. Jawab : Misalkan g2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000 km, maka 2 d1 g2 = g1 d2 g1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2 d1 = radius bumi= R = 6,37 x 108 cm d2 = R + 25 000 km = 3,14 x 109 cm DND-2006 2 108 2 d1 6,37 x 2 = (980) = 40,41 cm/s Jadi, g2 = g1 d2 3,14 x 109 2. Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak 100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkan pesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300 000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalam percepatan gravitasi pengorbitnya. DND-2006 Jawab : Misalkan : g1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo d1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo = 100 000 km g2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit d2 = ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km maka DND-2006 g1 = g2 d2 2 300 000 2 = g2 = 9 g2 d1 100 000 Satuan Gaya Dari pers. (1-2) : F = mg Jika massa (m) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g) dinyatakan dalam m/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam, F = (kg)(m/s2) = kg m/s2 = Newton (N) Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g) dinyatakan dalam cm/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam, F = (gr)(cm/s2) = gr cm/s2 = dyne 1 Newton = 105 dyne DND-2006 Contoh : Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gaya yang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) di permukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ? Jawab : F = mg g di Bumi = 9,8 m/s2 g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2 g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2 Jadi : F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2 = 735 N F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2 = 125,25 N F di Jupiter = (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2 = 1 866,75 N DND-2006 Hukum Gerak Dua Benda Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalah m1 dan massa benda kedua adalah m2. Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) dan jarak kedua benda adalah r z m1(x1, y1, z1) r m2(x2, y2, z2) y x DND-2006 Berdasarkan Hukum Newton, pada benda ke-1 akan bekerja gaya : d 2r m1 m2 . . (1-13) m1 2 = G r 2 dt Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu x, y, dan z, yaitu : DND-2006 x1 x2 d 2x1 m1 2 = G m1 m2 r 3 dt . . . . . (1-14a) y1 y2 d 2y1 m1 2 = G m1 m2 r 3 dt . . . . . (1-14b) z1 z2 d 2z1 m1 2 = G m1 m2 r 3 dt . . . . . (1-14c) Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu dengan menguraikan gaya : d 2r m1 m2 . . . . . . . . . . (1-15) m2 2 = G r 2 dt dalam arah x, y, z, diperoleh : DND-2006 x2 x1 d 2x2 m2 2 = G m1 m 2 r 3 dt . . . . . . (1-16a) y2 y1 d 2y3 m2 2 = G m1 m 2 r 3 dt . . . . . . (1-16b) z2 z1 d 2z2 m2 2 = G m1 m 2 r 3 dt . . . . . . (1-16c) Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan gerak benda. Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapat dipecahkan, koordinat kedua benda (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan. kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan. Keenam persamaan gerak benda di atas adalah persamaan diferensial orde ke-2, terdapat 12 tetapan integrasi. DND-2006 Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu, 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x, y, z untuk masing-masing benda yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2) 6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2). DND-2006 Persoalan ini dapat disederhanakan dengan menganggap benda pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu tiga koordinat kedudukan awal tiga komponen kecepatan awal benda yang bergerak Sekarang dapat dituliskan : x = x2 – x1 . . . . . . . . . (1-17a) z m2(x, y, z) x DND-2006 m1 y y = y2 – y1 . . . . . . . . . (1-17b) z = z2 – z1 . . . . . . . . . (1-17c) dan definisikan, M = m1 + m2 . . . . . . . . . (1-18) Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh x d 2x = GM 3 2 r dt . . . . . . . . . . (1-19a) Dengan cara yang sama diperoleh komponen pada arah y dan z, yaitu DND-2006 y d 2y = GM 3 2 r dt . . . . . . . . . . (1-19b) z d 2z = GM 3 2 r dt . . . . . . . . . . (1-19c) Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers. (1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya. x d 2x = GM 3 x y Pers. (1-19a) : 2 r dt Pers. (1-19b) : y x x d 2y = GM 3 r dt2 xy d 2x y = GM 3 r dt2 xy d 2y x = GM 3 r dt2 d 2y d 2x x y = 0 . . . . . . (1-20) dt2 dt2 DND-2006 Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai, d dy dx x y = 0 . . . . . . . . . . (1-21) dt dt dt Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh, dy dx x y = a1 . . . . . . . . . . (1-22a) dt dt tetapan integrasi Dengan cara yang sama diperoleh, dz dy y z = a2 . . . . . . . . . . (1-22b) dt dt z DND-2006 dx dz x = a3 . . . . . . . . . . . (1-22c) dt dt Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan dy dx y = a1 x z Pers. (1-22a) : x dt dt dz dy y z = a2 x x Pers. (1-22b) : dt dt dx dz x = a3 x y Pers. (1-22c) : z dt dt dy dx xz yz = a1z dt dt dz dy xy xz = a2x dt dt DND-2006 dx dz yz xy = a3y dt dt dy dx xz yz = a1z dt dt dz dy xy xz = a2x dt dt dx dz yz xy = a3y dt dt + a1z + a2x + a3y = 0 . . . . . . . . . . . (1-23) Ini adalah persamaan sebuah bidang datar Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar. DND-2006 Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan hasilnya x dx d 2x = GM 3 x 2 Pers. (1-19a) : r dt dt2 y d 2y dy = GM 3 x 2 Pers. (1-19b) : 2 r dt dt z d 2z dz x = G M Pers. (1-19c) : 2 3 2 r dt dt x dx dx d 2x = GM 3 2 2 r dt dt dt2 DND-2006 dy d 2y = GM 2 2 dt dt dz d 2z = GM 2 2 dt dt y dy 2 r3 dt z dz 2 r3 dt x dx dx d 2x = GM 3 2 2 r dt dt dt2 y dy dy d 2y = GM 3 2 2 r dt dt dt2 z dz dz d 2z = GM 3 2 2 r dt dt dt2 dy dz 2GM dx dx d 2x dy d 2y dz d 2z x +y +z 2 + + = 2 2 2 3 dt dt dt dt dt dt dt dt dt r DND-2006 + atau d dx 2 dy 2 dx + + dt dt dt dt 2 dy dz 2GM dx x +y +z = 3 dt dt dt r . . . . . (1-24) Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh, r2 = x2 + y2 + z2 . . . . . . . . . . . . . (1-25) Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh, dr dy dx dz r =x +y +z dt dt dt dt DND-2006 . . . . . . . . . . (1-26) Kecepatan benda dinyatakan oleh, 2 dy 2 dx dx v2 = + + dt dt dt 2 . . . . . . . . . (1-27) dr dy dx dz Subtitusikan pers. (1-26) : r =x +y +z dt dt dt dt dan (1-27) ke pers. (1-24) : d dx 2 dy 2 dx + + dt dt dt dt diperoleh, DND-2006 2 dy dz 2GM dx x +y +z = 3 dt dt dt r dv2 2GM dr = dt r2 d t . . . . . . . . . . . (1-28) Integrasikan pers. (1-28), v r dv2 = dt 0 diperoleh, 2GM dr r2 d t 0 v2 = 2GM +h r . . . . . . . . . . . . (1-29) tetapan integrasi Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah G m2 M V= r DND-2006 . . . . . . . . . . . . (1-30) dan energi kinetiknya adalah, 1 T = 2 m2 v2 Subtitusikan pers. (1-29) : v2 = . . . . . . . . . . . . (1-31) 2GM +h r ke pers. (1-31), diperoleh T= DND-2006 1 m 2 2 2GM G m2 M +h = + r r 1 mh 2 2 . . (1-32) Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32), Pers. (1-30) : Pers. (1-32) : G m2 M V= r G m2 M 1 T= + 2 m2h r G m2 M T +V = + r = 1 2 = h’ 1 m h 2 2 G m2 M r + m2 h . . . . . . . . . . . . . . . . (1-33) Persamaan ini mengatakan bahwa energi total benda kedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama. DND-2006 Hukum Kepler I. Orbit planet mengelilingi matahari tidak berbentuk lingkaran tetapi berbentuk elips dengan matahari di titik fokusnya Matahari Johannes Kepler (1571 – 1630) DND-2006 aphelion Planet perihelion II. Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalam selang waktu yang sama akan menyapu luas daerah yang sama. Hukum Luas dt r Planet Matahari d dt r2 d = c (konstan) dt DND-2006 III. Kuadrat periode planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips A Planet Matahari a b Setengah sumbu panjang DND-2006 1 Periode = peredaran planet mulai dari titik A sampai kembali lagi ke titik A P2 a3 Bukti Hukum Kepler Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisa dibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton. Bukti : Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang orbit) dalam bidang (x, y). Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persamaan yang mengandung variabel x dan y, yaitu, DND-2006 Pers. (1-19a) : x d 2x = GM 3 2 r dt Pers. (1-19b) : y d 2y = GM 3 2 r dt dan Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a) dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x, kemudian kurangkan, Hasilnya adalah, d dy dx x y =0 Pers. (1-21) : dt dt dt Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh : dy dx Per. (1-22a) : x y =c dt dt tetapan integrasi Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut, DND-2006 d 2x = GM Pers. (1-19a) : 2 dt d 2y = GM Pers. (1-19b) : 2 dt x r3 y r3 dx 2 dt 2 dy dt x dx dx d 2x 2 = GM 3 2 2 r dt dt dt y dy dy d 2y = GM 3 2 2 r dt dt dt2 dx d 2x dy d 2y 2 + 2 dt dt dt dt 2 DND-2006 dy 2GM dx x +y = 3 dt dt r d dx 2 dy atau + dt dt dt 2 = dy 2GM dx x +y dt dt r3 . . (1-34) Jarak antara kedua benda adalah, r2 = x2 + y2 . . . . . . . . . . . . (1-35) Turunkan persamaan (1.35) diperoleh, dr dy . . . . . . . . . . . (1-36) dx r =x +y dt dt dt Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34), d dx 2 dy + dt dt dt 2 dx dy GM x +y = 2 dt dt r3 r DND-2006 dr dt diperoleh, dx 2 dy 2 GM + 2 =h dt dt r . . . . . . . . . . (1-37) tetapan integrasi Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar dengan mendefinisikan x = r cos θ dx dr dθ = cos θ r sin θ dt dt dt y = r sin θ dy dr dθ = sin θ + r cos θ dt dt dt Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a), DND-2006 Per. (1-22a) : x r cos θ dr dθ sin θ + r cos θ = dt dt diperoleh atau DND-2006 dy dx y =c dt dt r sin θ r 2 dθ = c dt 1 c 1 = 2 dt r d = cos θ dr dθ - r sin θ dt dt . . . . . . . . . . . . . (1-38) . . . . . . . . . . . (1-39) Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37), dan hasilnya, 2 d dr 2 2 2 +r = + h . . . . . . . (1-40) dt dt r =GM dengan, Masukan pers. (1-39) : . . . . . . . . . . . . (1-41) 1 c 1 = 2 dt r d ke pers. (1-40), diperoleh 1 dr r 4 d DND-2006 2 + 1 r2 2 c2 r h c2 =0 . . . . . (1-42) 1 u = Jika kita definisikan : r c2 Kemudian dimasukkan ke 1 dr 2 1 2 h + 2 2 2=0 Pers. (1-42) : 4 r d r c r c dr 2 + u 2= H 2 d maka diperoleh, . . . . . . . . . . . (1-43) 2 h = 4 + 2 =tetapan . . . . . . . (1-44) dengan c c Pemecahan persamaan (1-43) adalah : H2 u = H cos ( - ) .. . . . . . . . . . . (1-45) tetapan integrasi DND-2006 Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) ke pers. (1-43), dr 2 Pers. (1-43) : + u 2= H 2 d 2 h Pers. (1-44) : H 2 = 4 + 2 = tetapan c c Pers. (1-45) : u = H cos ( - ) diperoleh, 1 hc2 = 2 1 + 1 + 2 cos ( ) . . (1-46) r c c2/ atau r= 1+ 1+ DND-2006 hc2 2 cos ( ) . . . . . (1-47) Kita didefinisikan : c2 . . . . . . . . . . . . . (1-48) p= e= 1+ hc 1/2 . . . . . . . . . . . (1-49) = ( ) . . . . . . . . . . . . . (1-50) Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke c2/ Pers. (1-47) : r = hc2 1 + 1 + 2 cos ( ) p akan diperoleh, r= 1 + e cos Persamaan irisan kerucut DND-2006 . . . . . . . (1-51) Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips, parabola atau hiperbola. Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasil ini merupakan pembuktian Hukum Kepler I Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaan irisan kerucut. p r= 1 + e cos DND-2006 Parameter p disebut parameter kerucut Parameter e disebut eksentrisitas Parameter disebut anomali benar Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan pada gambar berikut m2 B (Perifokus) ω m1 Garis potong bidang orbit dan bidang langit a (Apfokus) A Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar, dituliskan a yang harganya diberikan oleh : p = a (1 – e 2) . . . . . . . . . . . (1-52) DND-2006 m2 B (Perifokus) ω m1 Garis potong bidang orbit dan bidang langit a (Apfokus) A Perhatikan : Benda pusat terletak pada titik fokus orbit Sudut menunjukkan kedudukan titik perifokus terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal ini garis potong bidang orbit dengan bidang langit) DND-2006 p Dari pers. (1-51) : r= 1 + e cos jika e < 1 orbit berupa elips jika e = 1 orbit berupa parabola jika e > 1 orbit berupa hiperbola karena (pers. 1-52) : p = a (1 – e 2) maka, Titik perifokus dicapai apabila Titik apfokus dicapai apabila DND-2006 = 0o r = a (1 – e) = 180o r = a (I + e) m2 Perihelion B ω m1 Garis potong bidang orbit dan bidang langit a A Aphelion Apabila m1 adalah Matahari dan m2 adalah planet, maka DND-2006 titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion titik terdekat disebut Perihelion m2 Periastron B ω m1 Garis potong bidang orbit dan bidang langit a A Apastron Apabila sistem ini adalah sistem bintang ganda dengan m1 adalah bintang ke-1 dan m2 adalah bintang ke-2, maka titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron titik terdekat disebut Periastron DND-2006 Dari persamaan (1-38) : r 2 dθ =c dt Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh : 1 2 dθ 1 r = c 2 dt 2 . . . . . . . . . . . . (1-53) luas segitiga yg disapu oleh vektor radius r dlm waktu dt Bukti Hukum Kepler II DND-2006 1 2 dθ 1 = c Integrasikan persamaan (1-53) : r 2 dt 2 P A= a2 (1 – 1 2 1 r d = c dt 2 2 e2)1/2 0 Luas elips Dengan demikian : atau a2 (1 – e2)1/2 1 = cP 2 c P = a2 (1 – e2)1/2 = 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2 DND-2006 Periode Orbit . . . . . . . (1-54) Masukkan p = a (1 – e2) ke pers. (1-54) : c P = 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2 diperoleh, c P = 2 a3/2 p1/2 . . . . . . . . . . (1-55) Selanjutnya masukan pers. p = c2/ ke pers. (1-55), diperoleh, c 1 3/2 3/2 c P = 2 a P = 2 a 1/2 1/2 Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh, P2 = 4 2 DND-2006 a3 a3 = P2 4 2 . . . (1-56) Masukkan pers. (1-18) : M = m1 + m2 dan pers. (1-41) : = G M a3 ke pers. (1-56) : 2 = P 4 2 a3 G diperoleh, = (m1 + m2) 2 2 P 4 . . . . . . . . (1-57) Dalam kasus planet mengelilingi Matahari, m1 adalah massa matahari (M) m2 adalah massa planet Karena m2 << m1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter, hanya 0,001 M), maka persamaan (1-57) menjadi : DND-2006 a3 G = 2 M . . . . . . . . . . . . . . (1-58) 2 P 4 Bukti Hukum Kepler III Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalam mengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk : Bumi dengan satelit-satelit buatan Planet dengan satelit-satelitnya Sistem bintang ganda dan lainnya DND-2006 Contoh : 1. Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbit yang hampir berupa lingkaran. Apabila radius orbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbit satelit tersebut. Jawab : Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massa satelit maka menurut Hk Kepler III a 3 G M = 2 P 4 2 4 P= G M 2 a3 0,5 Diketahui, M = 5,98 x 1027 gr, a = 9,6 x 109 cm dan G = 6,67 x 10-8 dyne cm2/gr2 DND-2006 Jadi 4 (9,6 2 P= x109)3 (6,67 x 10-8) (5,98 x 1027) = 295 919,24 det = 3,42 hari DND-2006 0,5 2. Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari 8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radius orbit Bumi dua kali daripada radius sekarang (andaikan orbit Bumi berupa lingkaran) Jawab : Misalkan : M1 = massa matahari sekarang M2 = 8 M1 a1 = radius orbit bumi sekarang a2 = 2 a1 a3 G M Karena M>> M maka = 2 P 4 2 DND-2006 a13 G M1 = 2 P1 4 2 M 1 P2 = P1 M 2 a23 G M2 = 2 P2 4 2 M 1 P2 =P1 8M1 0,5 2a1 a1 0,5 a2 a1 1,5 0,5 1,5 1,5 =2 1 P1 8 = (2,83)(0,3535) P1 = P1 Jadi periodenya sama dengan periode sekarang DND-2006 Soal Latihan : 1. Statsiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumi setiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km. Statsiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal 20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruang angkasa, statsiun ruang angkasa ini ditinggalkan dan secara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal 10 Maret 2001. a. Berapakalikah statsiun ruang angkasa ini mengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi? b. Berapakah jarak yang ditempuh statsiun ruang angkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatif terhadap radius Bumi) DND-2006 2. Berapakalikah gaya gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulysses yang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkan dengan percepatan gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2 AU dari Matahari? 3. Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumi setiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jika kamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruang angkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedari Bumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam ini disebut satelit Geosyncronous karena satelit selalu berada di suatu titik yang tetap di atas Bumi) DND-2006 4. Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyai massa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi), dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yang sama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapi Io mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya 1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini? 5. Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupiter memerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktu yang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yang lain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter? DND-2006 Lanjut ke Bab II Kembali ke Daftar Materi DND-2006