RPP KD 3.1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
Sekolah
: SMAN 2 Makassar
Mata Pelajaran
: Matematika Wajib
Kelas/Semester
: XI/1
Alokasi Waktu
: 4 Minggu x 4 Jam Pelajaran @45 Menit
Pokok Bahasan
: Induksi Matematika
A. Kompetensi Inti (KI)
KI3: Memahami,menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan
rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena
dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah
KI4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan
metoda sesuai kaidah keilmuan
B. Kompetensi Dasar (KD) dan Indikator
Kompetensi Dasar
Indikator
3.1
Menjelaskan metode 3.1.1 Membandingkan penalaran induktif dan deduktif.
pembuktian Pernyataan 3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika
prinsip
induksi
matematika
dan
matematis berupa barisan, 3.1.3 Menggunakan
menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan
ketidaksamaan,
kubik.
keterbagiaan
dengan
3.1.4 Menggunakan prinsip induksi matematika kuat dan
induksi matematika
3.1.5
4.1
Menggunakan metode 4.1.1
pembuktian
induksi
matematika untuk menguji
pernyataan
matematis
berupa
barisan, 4.1.2
ketidaksamaan,
keterbagiaan
4.1.3
menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan
kubik.
Mengidentifikasi masalah induktif dan deduktif.
Menggunakan prosedur untuk menguji kesahihan
pernyataan matematis dengan metode pembuktian
langsung, tidak langsung, kontradiksi, dan induksi
matematis
Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan induksi matematika dalam pembuktian rumus
jumlah deret persegi dan kubik.
Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan induksi matematika kuat dalam pembuktian rumus
jumlah deret persegi dan kubik.
C. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari induksi matematika, peserta didik dapat:
3.1.1 Membandingkan penalaran induktif dan deduktif.
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika
3.1.3 Menggunakan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan
kubik.
3.1.4 Menggunakan prinsip induksi matematika kuat dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi
dan kubik.
3.1.5 Mengidentifikasi masalah induktif dan deduktif.
4.1.1 Mencontohkan prinsip induksi matematika.
4.1.2 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika dalam
pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
4.1.3 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika kuat dalam
pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
D. Materi Pembelajaran
Apakah Induksi Matematika itu ?
Induktif
khusus ke umum
Induksi matematika : suatu cara untuk membuktikan bahwa suatu fungsi persamaan bernilai benar untuk
himpunan bilangan bulat positif (yg jmlnya tak berhingga) dalam sejumlah langkah terbatas.
Contoh 1 :
Buktikan bahwa persamaan berikut adalah BENAR.
P(n) = 1 + 2 + 3 +…+ n = n . (n+1)/2.
Untuk n = 1, 2, 3,….
Jawab :
Sebagai contoh p(5) adalah jml bil bulat positif dari 1 s/d 5 yaitu 5.(5+1)/2.
Memang, 1+2+3+4+5 = 15 = 5. 6/2 . Sayangnya, ini belum dapat membuktikan bahwa p(n) adalah
TAUTOLOGI. Kebenaran yang ditunjukkan hanya pada n = 5 yaitu untuk himpunan p(5).
Harus diingat bahwa bil bulat positif jumlahnya tak hingga. Jadi kita tidak dapat menggunakan pendekatan
ini untuk membuktikan rumus tsb.
Analogi :
Induksi matematika sering berguna unt menyelesaikan masalah seperti di atas. Pembuktian dengan induksi
matematika dapat dianalogikan dgn usaha merobohkan sederetan kartu domino yg didirikan berdekatan.
Yang perlu dilakukan adalah mendorong kartu pertama kearah deretan. Kartu domino yg terdorong akan
mendorong kartu domino yg berikutnya.
Untuk meyakinkan bhw semua kartu roboh harus dilakukan pengecekan semua pasangan kartu yg
berdekatan dan membuktikan bhw jika kartu ke-n roboh maka kartu ke-(n+1) juga akan roboh.
Dilihat secara khusus kartu ke-99 dan 100. untuk membuktikan p(99) p(100), digunakan (99) sebagai
premis.
P(100) : 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100 = 99 (99+1)/2 + 100
= 99. 100/2 + 2 . 100/2
= 100 (101)/2
= 100 (100+1)/2
p(n) p(n+1) untuk semua n 1 ?
p(n+1) : 1 + 2 + 3 + …+ n + (n+1) = (1 + 2 + 3 + …+ n ) + (n+1)
= n (n+1)/2
+ 2 (n +1) /2
= (n+1) (n+2)/2
= ( (n+1) ) ( (n+1) + 1)/2.
TERBUKTI.
Contoh 2 :
Untuk semua n 1, buktikan dengan Iduksi bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3.
Jawab :
1. Langkah dasar.
n = 1 ; 13 + 2.1 = 3, benar bahwa persamaan ini merupakan kelipatan 3.
2. Langkah induksi.
Diasumsikan bahwa n 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3 merupakan pernyataan bernilai benar.
Ingin dibuktikan bhw p(n+1) : (n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 3n2+3n+1) + (2n + 2)
= (n3 + 2n ) + 3n2 + 3n + 3
= (n3 + 2n ) + 3 (n2 + n + 1)
Benar, (n+1)3 + 2(n+1) adalah kelipatan 3 karena merupakan penjumlahan dari dua kelipatan 3.
Prinsip Induksi matematika secara umum.
Untuk k = {k0, k0 +1, k0+2,…} dengan k0 = sembarang bil bulat maka p(n) adalah TAUTOLOGI jika :
1. p(k0) benar
2. untuk semua k k0, p(k) p(k+1).
Langkah-langkah pembuktian dengan Induksi Matematika :
1. Langkah dasar
- Buktikan bahwa p(k0) benar.
2. Langkah Induksi
- Asumsikan bahwa p(k) benar untuk sejumlah bil bulat.
- Buktikan bahwa asumsi tersebut berimplikasi p(k+1) benar.
Contoh 3 :
n
Buktikan jumlah bilangan bulat ganjil adalah n2, atau P(n) :
2i 1 n
2
i 1
Jawab :
1. Langkah dasar
P(1) : 2.1 – 1 = 12 benar (fakta aritmetika).
2. Langkah Induksi P(n) P(n+1) benar ?
n
Asumsi : P(n) :
2i 1 n
2
benar.
i 1
P(n+1) :
n 1
n
i 1
i 1
2i 1 ( 2i 1) 2(n 1) 1
=
n2 + 2(n+1) -1
2
= n + 2n+2 -1
= n2 + 2n+1
= (n+1)2 BENAR.
Contoh 4 :
Buktikan P(n) : n 2 untuk n = 1, 2, 3, …
Jawab :
1. Langkah dasar.
P(1) : 1 < 21 benar (fakta aritmetika)
n
(merupakan definisi
(hipotesis)
)
2. Langkah Induksi P(n) P(n+1) benar ?
n
Asumsi P(n) : n 2 adalah benar.
Bagaimana dengan P(n+1) ?
Perhatikan 2n+1 = 2n x 2 (definisi pangkat)
> n x 2 (hipotesis)
n + n (aritmetika)
2n+1 > (n+1). Terbukti.
Atau P(n) : (n+1) < 2(n+1) bena
E. Model dan Pendekatan/metode Pembelajaran : Kooperatif, tanya jawab, penugasan dan diskusi
F. Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan Pertama (4x45 Menit):
Indikator:
3.1.1
3.1.2
3.1.3
Membandingkan penalaran induktif dan deduktif.
Menjelaskan prinsip induksi matematika
Menggunakan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan
kubik.
a. Kegiatan Pendahuluan
Jenis kegiatan
Fase 1
Menyampaikan
tujuan dan
memotivasi
peserta didik
Kegiatan Guru
Mengucap salam dan berdo’a.
Peserta didik menerima informasi kompetensi, materi, tujuan, manfaat, dan langkah
pembelajaran yang akan dilaksanakan.
Guru mengingatkan kembali tentang materi barisan dan deret aritmetika.
Guru memberikan motivasi tentang pengertian penalaran induktif dan penalaran
deduktif dalam kehidupan nyata.
b. Kegiatan Inti
Jenis Kegiatan
Kegiatan Guru
Fase 2
Meminta peserta didik mencari/ mengumpulkan informasi tentang induksi
Mendemonstrasikan
matematika, yaitu : Jumlah n pertama bilangan asli
adalah
keterampilan atau
mempresentasikan
Bertanya kepada peserta didik mengenai informasi induksi matematika yang
informasi
telah diberikan
Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya atau
mengemukakan pendapatnya mengenai informasi yang diberikan
Fase 3
Peserta didik dibagi ke dalam beberapa kelompok yang terdiri dari 5 – 6 orang.
Mengorganisasikan
peserta didik ke
dalam kelompok
Fase 4
Membimbing
kelompok bekerja
dan belajar
Fase 5
Evaluasi
Fase 6
Memberikan
penghargaan
c. Penutup
Jenis kegiatan
Refleksi dan tindak
lanjut
(pemberian tugas)
Setiap kelompok diberikan kesempatan untuk mengamati, berpikir, dan
bertanya berkaitan dengan materi yang diberikan
Setiap kelompok membahas contoh dan menuliskan hasil diskusinya pada buku
tulis masing – masing peserta didik.
Peserta didik secara berkelompok membahas pertanyaan – pertanyaan yang
ada di buku peserta didik
Perwakilan kelompok diminta melakukan presentasi untuk mengkomunikasikan
hasil kerjanya secara klasikal.
Peserta didik diberi kesempatan untuk melakukan tanya jawab berkaitan
dengan presentasi tersebut.
membahas semua pertanyaan dengan cara menunjuk salah satu kelompok
untuk menyampaikan jawaban yang telah mereka jawab
Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan pertanyaan.
Membimbing peserta didik untuk menyimpulkan materi pelajaran dari hasil
diskusi
Kelompok pemenang diberikan penghargaan.
Kegiatan Guru
Mengingatkan peserta didik agar mempelajari materi yang akan dipelajari pada
pertemuan berikutnya
Guru melakukan umpan balik untuk mengetahui sejauh mana pembelajaran
terjadi pada peserta didik
Memberikan tugas rumah.
Mengakhiri dengan mengucapkan salam
Pertemuan Kedua (4x45 menit)
Indikator:
3.1.4 Menggunakan prinsip induksi matematika kuat dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi
dan kubik.
3.1.5 Mengidentifikasi masalah induktif dan deduktif.
4.1.1 Mencontohkan prinsip induksi matematika.
a. Kegiatan Pendahuluan
Jenis kegiatan
Fase 1
Menyampaikan
tujuan dan
memotivasi peserta
didik
Kegiatan Guru
Guru Mengucap salam dan berdo’a
Apersepsi : Mengingatkan kembali materi pembelajaran pada pertemuan
sebelumnya.
b. Kegiatan Inti
Jenis Kegiatan
Kegiatan Guru
Fase 2
Guru dan peserta didik mempersiapkan sumber belajar, yaitu buku pegangan
Mendemonstrasikan
peserta didik kelas XI mata pelajaran matematika.
keterampilan atau
Guru memberikan contoh dari buku yaitu : Buktikan bahwa “untuk semua
mempresentasikan
bilangan asli n, jumlah n bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan n2.
informasi
Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya atau mengemukakan
pendapatnya mengenai informasi yang diberikan
Fase 3
Peserta didik duduk berkelompok sesuai dengan kelompoknya pada kegiatan
Mengorganisasikan
terdahulu.
peserta didik ke
dalam kelompok
Fase 4
Membimbing
kelompok bekerja
dan belajar
Fase 5
Evaluasi
Fase 6
Memberikan
penghargaan
Peserta didik dalam kelompoknya, saling bertanya berkaitan dengan materi yang
telah ditayangkan dan diamatinya dari buku peserta didik
Peserta didik diberi kesempatan menggali informasi melalui kegiatan mencoba
mengerjakan soal yang diberikan guru
Peserta didik mengasosiasikan secara berkelompok melalui jawaban soal yang
diberikan guru dan telah diselesaikan, dan menuliskannya pada buku tulis masing
– masing.
Perwakilan kelompok diminta melakukan presentasi untuk mengkomunikasikan
hasil kerjanya secara klasikal.
Membahas semua pertanyaan dengan cara menunjuk salah satu kelompok
untuk menyampaikan jawaban yang telah mereka jawab
Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan pertanyaan.
Membimbing peserta didik untuk menyimpulkan materi pelajaran dari hasil
diskusi
Kelompok pemenang diberikan penghargaan.
c. Kegiatan Penutup
Jenis kegiatan
Refleksi dan tindak
lanjut
(pemberian tugas)
Kegiatan Guru
Peserta didik diminta menyimpulkan tentang penerapan induksi matematika
Guru melakukan umpan balik untuk mengetahui sejauh mana pembelajaran
terjadi pada peserta didik
Guru memberikan tugas PR beberapa soal tentang induksi matematika.
Pertemuan Ketiga-keempat (8 x 45 Menit)
Indikator:
4.1.2
4.1.3
Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika dalam pembuktian
rumus jumlah deret persegi dan kubik.
Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika kuat dalam
pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
a. Kegiatan Pendahuluan
Jenis kegiatan
Kegiatan Guru
Fase 1
Guru Mengucap salam dan berdo’a
Menyampaikan
Apersepsi : Mengingatkan kembali materi pembelajaran pada pertemuan
tujuan dan
sebelumnya.
memotivasi peserta
didik
b. Kegiatan Inti
Jenis Kegiatan
Kegiatan Guru
Fase 2
Guru dan peserta didik mempersiapkan sumber belajar, yaitu buku pegangan
Mendemonstrasikan
peserta didik kelas XI mata pelajaran matematika.
keterampilan atau
Guru memberikan contoh dari buku guru yaitu : Perhatikan barisan bilangan xn
mempresentasikan
yang didefinisikan dengan x1 = 1, x2 = 2, xn = ½ (xn+1 + xn) untuk semua bilangan
informasi
asli n. Akan dituliskan 1 xn 2 untuk semua bilangan asli n.
Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya atau mengemukakan
pendapatnya mengenai informasi yang diberikan
Fase 3
Peserta didik duduk berkelompok sesuai dengan kelompoknya pada kegiatan
Mengorganisasikan
terdahulu.
peserta didik ke
dalam kelompok
Fase 4
Peserta didik dalam kelompoknya, saling bertanya berkaitan dengan materi yang
Membimbing
telah ditayangkan dan diamatinya dari buku peserta didik
kelompok bekerja
Peserta didik diberi kesempatan menggali informasi melalui kegiatan mencoba
dan belajar
mengerjakan soal yang diberikan guru
Peserta didik mengasosiasikan secara berkelompok melalui jawaban soal yang
diberikan guru dan telah diselesaikan, dan menuliskannya pada buku tulis masing
– masing.
Perwakilan kelompok diminta melakukan presentasi untuk mengkomunikasikan
hasil kerjanya secara klasikal.
Fase 5
Membahas semua pertanyaan dengan cara menunjuk salah satu kelompok
Evaluasi
untuk menyampaikan jawaban yang telah mereka jawab
Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan pertanyaan.
Membimbing peserta didik untuk menyimpulkan materi pelajaran dari hasil
diskusi
Fase 6
Memberikan
penghargaan
Kelompok pemenang diberikan penghargaan.
c. Kegiatan Penutup
Jenis kegiatan
Refleksi dan tindak
lanjut
(pemberian tugas)
Kegiatan Guru
Peserta didik diminta menyimpulkan tentang penerapan induksi matematika
kuat.
Guru melakukan umpan balik untuk mengetahui sejauh mana pembelajaran
terjadi pada peserta didik
Guru memberikan tugas PR beberapa soal tentang induksi matematika.
Guru mengakhiri kegiatan pembelajaran dengan memberikan pesan untuk
tetap belajar dan mengucap salam
B. Teknik penilaian
1. Teknik Penilaian:
a) Penilaian Sikap
: Observasi/pengamatan
b) Penilaian Pengetahuan : Tes Tertulis
c) Penilaian Keterampilan : Unjuk Kerja/ Praktik dan Proyek
2. Bentuk Penilaian
:
1. Observasi
: lembar pengamatan aktivitas peserta didik
2. Tes tertulis
: uraian dan lembar kerja
3. Unjuk kerja
: lembar penilaian presentasi
3. Instrumen Penilaian (terlampir)
4. Remedial
Pembelajaran remedial dilakukan bagi siswa yang capaian KD nya belum tuntas
Tahapan pembelajaran remedial dilaksanakan melalui remidial teaching (klasikal), atau tutor
sebaya, atau tugas dan diakhiri dengan tes.
Tes remedial, dilakukan sebanyak 3 kali dan apabila setelah 3 kali terus remedial belum mencapai
ketuntasan, maka remedial dilakukan dalam bentuk tugas tanpa tes tertulis kembali. (ini hanya
contoh perlakuan)
5. Pengayaan
Bagi siswa yang sudah mencapai nilai ketuntasan diberikan pembelajaran pengayaan sebagai
berikut:
Siwa yang mencapai nilai n(ketuntasan) n n(maksimum) diberikan materi masih
dalam cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan
Siwa yang mencapai nilai n n(maksimum) diberikan materi melebihi cakupan KD
dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan.
C. Media/alat, Bahan, dan Sumber Belajar
1. Media/alat
: Notebook, Projector
2. Bahan
: Slide presentasi PPT, LKPD
3. Sumber Belajar : - Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Kemdikbud 2017
INSTRUMEN TES TERTULIS
Satuan Pendidikan
Mata Pelajaran
Kelas/ Semester
Kompetensi Dasar
:
:
:
:
SMAN 2 Makassar
Matematika Wajib
XI/ 1
3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa
barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi
matematika
IPK
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
:
Membandingkan penalaran induktif dan deduktif.
Menjelaskan prinsip induksi matematika
Menggunakan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret
persegi dan kubik.
Menggunakan prinsip induksi matematika kuat dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret
persegi dan kubik.
Mengidentifikasi masalah induktif dan deduktif.
Materi Pokok
:
persamaan, keterbagian dan ketaksamaan pada Induksi matematika
KISI-KISI PENULISAN SOAL TES TERTULIS
TAHUN PELAJARAN 2018/2019
Satuan Pendidikan
: SMAN 2 Makassar
Jumlah Soal
:5
Mata Pelajaran
: Matematika Wajib
Penyusun
: Dra. Mesrawaty
No.
Kompetensi Dasar
Materi
Urut
1.
3.1 Menjelaskan persamaan,
keterbagian
metode
pembuktian dan
Pernyataan ketaksamaan
pada Induksi
matematis
matematika
berupa
barisan,
ketidaksama
an,
keterbagiaa
n dengan
induksi
matematika
Kelas/
Smt
XI/1
Indikator Soal
No.
Soal
Disajikan sebuah pola 1
bilangan ganjil, peserta
didik dapat membuktikan
dengan persamaan induksi
matematika
Disajikan sebuah pola
bilangan, peserta didik
dapat
membuktikan 2,3
dengan persamaan induksi
matematika
Disajikan
sebuah
persamaan
keterbagian
yang habis dibagi 5,
peserta
didik
dapat 4
membuktikan
dengan
pembagian
induksi
matematika
Disajikan
sebuah
ketaksamaan, peserta didik
dapat
membuktikan
persamaan
tersebut 5
kelipatan 3 dengan induksi
matematika
Lembar Instrumen:
1. Tunjukan: 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2, untuk n bilangan positif.
2. Buktikan bahwa
positif n,
3. Buktikan bahwa
untuk setiap bilangan bulat
untuk semua bilangan bulat positif n.
4. Buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar.
“Semua bilangan yang berbentuk 7n - 2n dapat dibagi oleh 5 untuk setiap n bilangan
asli
5. Buktikan Untuk n ≥ 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3
Pedoman Penskoran
No.
Kunci Jawaban
1
Akan ditunjukkan bahwa 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2, untuk n bilangan positif
Basis Induksi
Untuk n = 1
(2n – 1) = n2
(2.(1) – 1) = (1)2
2–1 =1
1 = 1
Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
Langkah induksi:
Andaikan p(n = k) benar, yaitu pernyataan
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
adalah benar (hipotesis induksi)
Akan diperlihatkan bahwa p(k +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)] + (2k + 1)
= k2 + (2k + 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1) ( k + 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
2.
Skor
20
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka
jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Kita akan menunjukkan
bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.
1. Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1)
menyatakan
dan pernyataan ini dengan jelas bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk
memperoleh bentuk pada ruas kanan.
20
Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita telah melakukan
langkah induksi.
3
[𝑛(𝑛+ 1)(𝑛 + 2)]
Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) =
3
1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1)
menyatakan
yang bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.
Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar.
PernyataanP(k +
1)
menyatakan
20
Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi
untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan
Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah
membuktikan langkah induksi.
Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi
matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
4
Akan dibuktikan bahwa : “Semua bilangan yang berbentuk 7n - 2n dapat dibagi
oleh 5 untuk setiap n bilangan asli
Basis Induksi
Untuk n = 1
71 - 21 = 7 – 2
=5
Selanjutnya, kita asumsikan bahwa P (n)adalah benar
Langkah induksi:
Andaikan p(n = k) benar, yaitu pernyataan
“7k – 2k dapat dibagi oleh 5 untuk setiap k bilangan asli”
adalah benar (hipotesis induksi)
Akan diperlihatkan bahwa C juga benar, yaitu
7 k + 1 – 2k + 1 = 7 . 7k - 7.2k + 7.2k – 2 . 2k
= 7 (7k – 2k) + 5 . 2k
= 7 (5m) + 5 . 2k
,
(asumsi P (n) benar)
k
= 5 (7m + 2 )
Karena (7m + 2k) bilangan asli maka dari persamaan terakhir dapat kita simpulkan
bahwa 7 k + 1 – 2k + 1 habis dibagi 5. Dengan kata lain untuk P(k+1) juga benar.
20
Dapat disimpulkan bahwa “Semua bilangan yang berbentuk 7n - 2n dapat dibagi oleh 5
untuk setiap n bilangan asli
5
Untuk
, akan ditunjukkan bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3
Basis Induksi
Untuk n = 1
13+ 2.1 = 1 + 2 = 3 adalah kelipatan 3 (benar).
Langkah Induksi:
Andaikan benar bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3.
Akan dibuktikan:
Untuk p(k+1): (k+1)3 + 2(k+1) adalah kelipatan 3
Bukti:
(k+1)3+ 2(k+1) = (k3 + 3k2+ 3k + 1) + (2k + 2)
= (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
= (k3+ 2k) + 3 (k2 + k + 1)
Karena (k3 + 2k) adalah kelipatan 3 (hipotesa Induksi) dan 3 (k2 + k + 1) adalah juga
merupakan kelipatan 3, maka (k3+ 2k) + 3 (k2 + k + 1) adalah kelipatan 3.
Terbukti.
Untuk
, n3 + 2n adalah kelipatan 3
Jumlah Skor
20
100
Satuan Pendidikan
Mata Pelajaran
Kelas/ Semester
Kompetensi dasar
INSTRUMEN TES PRAKTEK
SMAN 2 Makassar
Matematika Wajib
XI/ 1
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk
:
:
:
:
menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan,
keterbagiaan
IPK
4.1.1
4.1.2
4.1.3
Materi Pokok
:
Mencontohkan prinsip induksi matematika.
Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika dalam
pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika kuat
dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
:
persamaan, keterbagian dan ketaksamaan pada Induksi matematika
KISI-KISI PENULISAN SOAL TES PRAKTEK
TAHUN PELAJARAN 2018/2019
Satuan Pendidikan
: SMAN 2 Makassar
Jumlah Soal
:5
Mata Pelajaran
: Matematika Wajib
Penyusun
: Dra. Mesrawaty
No.
Kompetensi Dasar
Materi
Urut
1.
persamaan,
4.1 Menggunakan
keterbagian
metode
dan
pembuktian
ketaksamaan
induksi
matematika untuk pada Induksi
matematika
menguji
pernyataan
matematis berupa
barisan,
ketidaksamaan,
keterbagiaan
Kelas/
Smt
XI/ 1
Indikator Soal
No.
Soal
Disajikan
sebuah
pola 1,5
bilangan, peserta didik
dapat membuktikan pola
bilangan itu dengan induksi
matematika
Disajikan
sebuah
persamaan, peserta didik
membuktikan
dengan 2
induksi matematika bahwa
persamaan itu faktor dari 3
Disajikan
sebuah
persamaan kuadrat, peserta
didik membuktikan dengan 3
induksi matematika bahwa
persamaan kuadrat itu
merupakan bilangan ganjil
untuk setiap bilangan
3
Disajikan
sebuah
persamaan
keterbagian
yang habis dibagi 4, peserta
didik dapat membuktikan
dengan pembagian induksi 4
matematika
Instrumen Penilaian
:
1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n,
2. Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4n – 1 untuk semua bilangan bulat positif n.
3. Buktikan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan
bulat positif n.
4. Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa 5n – 1 habis dibagi 4
untuk semua bilangan bulat positif n.
5. 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 = [
𝑛(𝑛+1) 2
2
]
Rubrik Penilaian
Nama siswa/kelompok : …………………………………………………
Kelas
: ………………………………………………….
No
Kategori
Skor
1. 3. Apakah terdapat uraian tentang prosedur
penyelesaian yang dikerjakan?
2.
Apakah langkah penyelesaian dibuat
dengan tepat dan sesuai dengan konsep?
3.
Apakah bahasa yang digunakan untuk
menginterpretasikan lugas, sederhana,
runtut dan sesuai dengan kaidah EYD?
4.
Apakah penyelesaian yang dikerjakan
sesuai dengan konsep yang telah
dipelajari?
5.
Apakah dibuat kesimpulan?
Jumlah
Nilai Perolehan =
SkorPerolehan
× 100
skor maksimal
Alasan
KISI-KISI PENULISAN SOAL HOTS
TAHUN PELAJARAN 2018/2019
Satuan Pendidikan
Jumlah Soal
Mata Pelajaran
Penyusun
No.
Urut
1.
2.
: SMAN Makassar
:2
: Matematika Wajib
: Dra. Mesrawaty
Kompetensi Dasar
3.1 Menjelaskan
metode
pembuktian
Pernyataan
matematis
berupa
barisan,
ketidaksamaan
, keterbagiaan
dengan induksi
matematika
4.1 Menggunakan
metode
pembuktian
induksi
matematika
untuk menguji
pernyataan
matematis
berupa
barisan,
ketidaksamaan
, keterbagiaan
Materi
Persamaan,
keterbagian,
ketaksamaan
pada induksi
matematika
Kelas/
Smt
XI/ 1
Indikator Soal
Disajikan sebuah pola
bilangan, peserta didik
dapat membuktikan
pola bilangan tersebut
dengan induksi
matematika
Disajikan sebuah
ketaksamaan, peserta
didik dapat
membuktikan
ketaksamaan tersebut
dengan induksi
matematika
No.
Soal
1
2
KARTU SOAL HOTS
Mata Pelajaran : Matematika Wajib
Kelas/Semester : XI/1
Kurikulum
: KURIKULUM 2013
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk
menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan,
keterbagiaan
Materi
Indikator Soal
:
:
Persamaan, keterbagian, ketaksamaan pada induksi matematika
Soal 1 - Disajikan sebuah fpola bilangan, peserta didik dapat membuktikan
pola bilangan tersebut dengan induksi matematika
Soal 2 – Disajikan sebuah ketaksamaan, peserta didik dapat membuktikan
ketaksamaan tersebut dengan induksi matematika
Level Kognitif
:
Penerapan (C3) dan Analisis (C4)
1
1
1
1
𝑛(𝑛+3)
1. Dengan induksi matematika buktikan 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ⋯ + 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2) = 4(𝑛+1)(𝑛+2)
2. Dengan induksi matematika buktikan 2n + 1 ≤ 2n, untuk n = 3,4,…
Makassar, 23 Juli 2018
Mengetahui
Kepala Sekolah
Guru Mata Pelajaran
Drs. Muh. Asrar, M.Pd.I.
NIP. 196706171994121003
Dra. Mesrawaty
NIP. 19590524 198601 2 001