TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
TOPIK 9
PETA KENDALI KHUSUS
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 1
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
1. PETA KENDALI UNTUK PENGUKURAN INDIVIDUAL
n = 1.
Situasi:
Digunakannya inspeksi & pengukuran otomatis, setiap unit produk dianalisis;
Tingkat produksi sangat rendah, dan tidak memungkinkan dilakukan sampling dengan n>1;
Pengukuran berulang pada proses akan berbeda karena faktor kesalahan lab atau analisis,
seperti pada proses kimia.
Contoh:
Pengendalian viskositas cat, dengan data sampling sbb.
Batch
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Σ
LD, Semester II 2003/04
Viskositas
33,75
33,05
34,00
33,81
33,46
34,02
33,68
33,27
33,49
33,20
33,62
33,00
33,54
33,12
33,84
502,85
MR
0,70
0,95
0,19
0,35
0,56
0,34
0,41
0,22
0,29
0,42
0,62
0,54
0,42
0,72
6,73
∑i =1 X i
15
X =
n
=
502 ,85
15
= 33 ,52
∑
14
MRi
i =1
6 ,73
=
= 0 ,48
14
14
PETA KENDALI MR :
MR =
Untuk n = 2 :
D3 = 0
D 4 = 3,267
d 2 = 1,128
GT = MR = 0 ,48
BKAMR = D4 MR = ( 3,267 )( 0 ,48 ) = 1,57
BKBMR = D3 MR = ( 0 )( 0 ,48 ) = 0
PETA KENDALI X :
GT = X = 33 ,52
BKAX /BKB X = X ± 3
MR
0 ,48
= 33 ,52 ± 3
d2
1,128
BKAX = 34 ,80 dan BKB X = 32 ,24
Hlm. 2
1
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
a. Peta Kendali Moving Range
b. Peta Kendali untuk Pengukuran Individual
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 3
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Peta Kendali untuk Pengukuran Individual
Interpretasi harus hati-hati, karena terjadi korelasi antar data moving average.
a. Peta Kendali Moving Range
b. Peta Kendali untuk Pengukuran Individual
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 4
2
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
2. SHORT RUN PRODUCTION
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 5
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Peta Kendali p untuk shortshort-run production
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 6
3
TI 3221
PENGENDALIAN KUALITAS
STATISTIKCONTROL
3. CUMULATIVE
SUM (CUSUM)
CHART
Kelebihan :
Menggunakan informasi yang terkandung dalam observasi sebelumnya.
Dapat mendeteksi pergeseran kecil.
Jumlah kumulatif pada sampel ke-m :
m
(
S m = ∑ X i − µo
i =1
)
dimana X i = rata − 2 sampel ke - i & µo = target rata - 2 proses
Batas Kendali (V-Mask) :
Jika ∆X = besar pergeseran yang ingin dideteksi , pergeseran relatif rata - 2 proses : δ =
Jarak pemandu V - mask :
d=
∆X
σX
2 1− β
ln
δ 2 α
Jika probabilitas Error Tipe II , β , dipilih sangat kecil, maka :
d =−
2
ln(α )
δ2
∆X
, dimana
Sudut lengan V - mask : θ = tan-1
2k
k = faktor skala yang merepresentasikan unit skala vertikal pada peta
Rekomendasi : k antara σ X dan 2σ X
1
Average Run Length : ARL =
p
p = probabilitas bahwa satu titik akan jatuh di luar batas kendali
Untuk 3σ pada peta kendali Shewhart, di mana proses dalam kendali, p = 0,026.
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 7
TI 3221
PENGENDALIAN KUALITAS
STATISTIKCONTROL
3. CUMULATIVE
SUM (CUSUM)
CHART
Contoh:
Untuk pengendalian persentase kandungan kalsium dalam obat dilakukan pengecekan terhadap
15 subgrup dengan n=5. Target rata-rata yang diinginkan adalah 26,5% dengan deviasi standar
0,2%. Diinginkan peta kendali yang dapat memonitor pergeseran 0,1 dari rata-2 proses.
Diasumsikan tingkat error tipe I = 0,05.
∆X
∆X
0 ,1
=
=
= 1,124
δ =
DATA HASIL SAMPLING
σ X σ / n 0 ,2 / 5
2
2
Sub- Rata-2 Deviasi dari Cumsum
d =−
ln(α ) = −
ln(0 ,05 ) = 5 ,742
grup Subgrup
Target
(Si)
δ2
(1,124 )2
1
25,5
-1,0
-1,0
Untuk k = 0,125 , maka
2
26,0
-0,5
-1,5
∆X
= tan -1 0 ,1 = tan − 1 (0 ,4 ) = 21,8 o
θ = tan -1
3
26,6
0,1
-1,4
2(0 ,125 )
2k
4
26,8
0,3
-1,1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
27,5
25,9
27,0
25,4
26,4
26,3
26,9
27,8
26,2
26,8
26,6
LD, Semester II 2003/04
1,0
-0,6
0,5
-1,1
-0,1
-0,2
0,4
1,3
-0,3
0,3
0,1
-0,1
-0,7
-0,2
-1,3
-1,4
-1,6
-1,2
0,1
-0,2
0,1
0,2
Hlm. 8
4
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
4. MOVING AVERAGE CONTROL CHART
•
•
•
Efektif untuk mendeteksi pergeseran proses
Untuk n=1
Untuk start-up period (t<w)
Formulasi Umum :
w
x t + x t −1 + x t − 2 + ..... + x t − w+1
w
w = lebar − MA
x = M t=
Var ( xt ) =
x = M t=
n
1
w2
t
∑ Var ( xi ) =
t − w +1
1 t σ2 σ2
∑ = nw
w2 t1
− w +1 n
424
3
w×
CL = x = M t
UCL / LCL = x ± 3
t =1
t
t
CL = x = M t
σ2
Var ( M t ) =
∑x
, t = 1,2,....., w − 1
UCL / LCL = x ± 3
σ
nt
, berubah _ sesuai _ t
σ2
n
σ
nw
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 9
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
20
• CONTOH SOAL (n=5, w = 6)
t
503
=
= 25,15
20
20
R(diketahui) = 0,40
R
0,40
σˆ =
=
= 0,172
d 2 2,326
t = 3(< w) :
CL =
Sam.
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Sample
Average
Moving
Average,
Mt
25.0
25.4
25.2
25.0
25.2
24.9
25.0
25.4
24.9
25.2
25.0
25.7
25.0
25.1
25.0
24.9
25.0
25.1
25.4
25.8
25.0
25.2
25.2
25.15
25.16
25.12
25.12
25.12
25.07
25.10
25.07
25.20
25.20
25.15
25.17
25.12
25.12
25.02
25.08
25.20
xt
LD, Semester II 2003/04
Control Limits
LCL
UCL
24.919
24.987
25.017
25.035
25.047
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.056
25.381
25.313
25.283
25.265
25.253
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
25.244
∑x
t =1
UCL / LCL = x ± 3
σ
nt
= 25,15 ± 3
0,172
(5)(3)
UCL = 25,283
LCL = 25,017
Hlm. 10
5
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
5. GEOMETRIC MOVING AVERAGE CONTROL CHART
Gt = r x t + (1 − r )Gt −1
Gt −1 = r x t −1 + (1 − r )Gt − 2
Gt = r x t + r (1 − r ) x t −1 + (1 − r ) 2 Gt − 2
Gt = r x t + r (1 − r ) x t −1 + r (1 − r ) 2 xt − 2 + ..... + G0
G0 = x = M t
Var (Gt ) =
σ2
n
∗
r
{1 − (1 − r ) 2t }
2−r
Untuk t yang besar, (1-r)2t Æ 0
σ ⋅ G = Var (Gt ) =
UCL / LCL = x ± 3σ
σ ← σˆ =
σ2
n
⋅
Catatan:
Untuk start-up period,
analog dengan
Moving Average
Control Chart
Untuk t kecil:
r
2−r
UCL / LCL = x ± 3σ
r
[1 − (1 − r ) 2t ]
n(2 − r )
r
(2 − r )n
R
d2
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 11
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
• CONTOH SOAL (n = 5, w = 6, r = 0,1)
503
= 25,15
20
R( diketahui) = 0,40
0,40
R
σˆ =
=
= 0,172
d 2 0,236
x=
G1 :
G1 = ( r )( x1 ) + (1 − r )G0
G0 = x = 25,15
G1 = (0,2)(25,0) + (1 − 0,2)(25,15) = 25,12
UCL / LCL = 25,15 ± 3(0,172)
0,2
[1 − (1 − 0,2) ( 2)(1) ]
(2 − 0,2)5
UCL = 25,196
LCL = 25,104
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 12
6
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
6. TREND CHART (REGRESSION CONTROL CHART)
•
Untuk proses yang menggunakan tool wear atau die wear;
•
Rata-rata proses awal & akhir ditentukan dengan batas spesifikasi;
•
Asumsi: range batas spesifikasi > range variabilitas proses (Indeks
Kapabilitas Proses >1)
C = a + b(i )
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 13
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Formula:
• C = fitted value of the sample average for sample number i;
• a = titik interseksi pada C dengan garis sumbu vertikal;
• b = slope dari C;
• i = nomor subgrup atau sampel;
• g = jumlah subgrup.
a=
b=
∑ x∑ i − (∑ x ⋅ i)(∑ i)
g ∑ i − (∑ i )
2
2
2
g ∑ x i − ∑ x∑ i)
g ∑ i 2 − (∑ i ) 2
UCL / LCL = (a ± A2 R) + b(i )
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 14
7
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Sample
No.
(i)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
325
CONTOH SOAL:
Over the course of
machining the di ameter of
steel hubs, tool wear takes
place on a gradual basis.
Samples of size 4 were
randomly selected, and the
mean and range of the hub
diameters were found. The
following table shows the
sample mean X and the
range R for 25 such
samples.
Find the center line and
control limits of a trend chart
for the sample average. If
the specification limits state
that the hub diameter must
be from 34 mm to 78 mm,
when should the tool be
changed?
LD, Semester II 2003/04
∑i
Rata-2
x
36.2
42.4
38.6
45.5
53.1
46.7
55.4
42.8
57.3
52.6
50.4
59.5
60.5
53.8
54.5
61.2
60.4
63.8
64.2
61.4
66.7
63.2
62.1
64.5
69.6
1,386.4
∑x
(i)2
( x)(i )
36.2
84.8
115.8
182.0
265.5
280.2
387.8
342.4
515.7
526.0
554.4
714.0
786.5
753.2
817.5
979.2
1026.8
1148.4
1219.8
1228.0
1400.7
1390.4
1428.3
1548.0
1740.0
19,471.6
∑ ( x)(i)
R
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
441
484
529
576
625
5,525
∑i
8.0
11.8
6.2
14.3
16.2
9.5
10.2
12.0
13.9
7.2
11.3
15.1
11.7
8.8
12.8
14.5
12.0
10.4
13.5
9.4
16.6
12.2
10.5
12.6
14.7
295
∑R
Hlm. 15
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
a=
(1.386,4)(5.525) − (19.471,6)(325)
= 40,972
25(5.525) − (325) 2
b=
25(1.947,6) − (1.386,4)(325)
= 1,114
25(5.525) − (325) 2
C = 40,972 + 1,114(i )
R = 296 / 25 = 11,84
n = 4, A2 = 0,729
BATAS-BATAS KENDALI
UCL/ LCL= (a + A2 R) + b(i)
UCL/ LCL= [40,972± (0,729)(11,84)] + (1,114)(i)
UCL= 49,6035+ (1,114)(i)
UCL= 32,341− (1,114)(i)
PETA KENDALI
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 16
8
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
7. MULTIVARIATE CONTROL CHART
Korelasi : −
Independen
Korelasi : −
A. Area kendali segiempat (joint control),
Peta kendali dibangun secara
independen
B. Area kendali elips,
Peta kendali dibangun secara simultan;
untuk variabel yang berkorelasi
Prob. (error tipe I) :
Prob. rata-2 sampel dalam area elips
(dalam kendali) = 1 - α
α’ = 1 – (1 - α)p
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 17
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Hotelling’s T2 Control Chart
T2 =
[
n
s22 ( x1 − x1 ) 2 + s12 ( x 2 − x 2 ) 2 − 2 s12 ( x1 − x1 )( x 2 − x 2 )
( s s − s122 )
2 2
1 2
]
• dof = 2 (jumlah karakteristik kualitas), dan n-1 (dof variansi sampel).
• Jika T2 > T2α, 2, (n-1) , maka paling tidak ada satu karakteristik kualitas
yang berada di luar batas kendali.
• Hubungan distribusi T2 dan F:
Tα2, p ,( n −1) = p
(n − 1)
Fα , p ,n − p
(n − p )
• n = dof numerator, n-p = dof denominator distribusi F.
• Untuk lebih dari 2 karakteristik:
T 2 = n( X − X )' S −1 ( X − X )
mnp − mp − np + p
Fα , p ,( mn − m − p +1)
UCL =
mn − m − p + 1
LD, Semester II 2003/04
m = jumlah subgrup (sampel)
n = ukuran subgrup
p = jumlah karakteristik yang
dikendalikan
Hlm. 18
9
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Vektor rata-rata sampel dari i karakteristik :
X 1j
X j = X 2 j , j = 1,2 ,..., m( no.sampel )
M
X pj
Nilai rata-rata observasi untuk karakteristik ke-i dari sampel ke-j:
∑ xijk
= k =1
n
X ij
n
i = 1,2 ,..., p
,
j = 1,2 ,..., m
k = no. observasi, k = 1, 2, …, n
Variansi sampel dari karakteristik ke-i dari sampel ke-j:
n
1
i = 1,2 ,..., p
( X ijk − X ij )2 ,
∑
( n − 1 ) k =1
j = 1,2 ,..., m
sij2 =
Kovariansi antara karakteristik ke-i & ke-h dari sampel ke-j:
n
1
( X ijk − X ij )( X hjk − X hj
∑
( n − 1 ) k =1
sihj =
LD, Semester II 2003/04
j = 1,2 ,..., m
),
i≠h
Hlm. 19
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Vektor rata-rata nominal dari setiap
karakteristik untuk m sampel:
m
Xi =
∑X
ij
j =1
, i = 1,2,..., p
m
Elemen matriks variansi-kovariansi S:
Contoh Peta Kendali Hotelling’s T2
m
si2 =
∑ s ij
j =1
m
, i = 1,2,..., p
m
sih =
∑s
ihj
j =1
m
Matriks
variansikovariansi S:
,i ≠ h
s12
S=
LD, Semester II 2003/04
s12
s22
s13 K s1 p
s23 K s1 p
s32 K s3 p
M
s 2p
Hlm. 20
10
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Data for the bivariate process characteristics of single-strand
break factor and weight of textile fibers
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 21
TIPerhitungan
3221 PENGENDALIAN
KUALITAS
STATISTIK
batas-batas
kendali
bivariat
T2 =
LD, Semester II 2003/04
[
n
s22 ( x1 − x1 ) 2 + s12 ( x 2 − x 2 ) 2 − 2s12 ( x1 − x1 )( x 2 − x 2 )
( s s − s122 )
2 2
1 2
]
Hlm. 22
11
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Peta Kendali Hotelling’s T2
LD, Semester II 2003/04
T 2 = n( X − X )' S −1 ( X − X )
mnp − mp − np + p
Fα , p ,( mn − m − p +1)
UCL =
mn − m − p + 1
Hlm. 23
12