Latihan Soal

Soal Latihan dan Pembahasan
Limit Fungsi
Di susun Oleh :
Yuyun Somantri1
http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap
menyertakan nama penulis、 tanpa ada tujuan komersial
1
Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu
meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di
SMA Negeri 3 Tasikmalaya
1
Limit Fungsi
1.
lim x 2 − 4
= .....
x → 2 x3 + 1
Jawab :
lim x 2 − 4 4 − 4
=
= 0
x → 2 x3 + 1 8 + 1
2.
lim x 2 + 3 x − 18
= ....
x → 3 x 2 − 3x
Jawab :
lim ( x + 6)( x − 3) 3 + 6
=
= 3
x → 3 x ( x − 3)
3
3.
lim
t− 2
= ....
t→ 4 t− 4
Jawab :
lim
t− 2
1
1
=
=
t → 4 ( t − 2)( t + 2) 2 + 2 4
4.
lim
9 − x2
= ....
x → 3 4 − x2 + 7
Jawab :
lim 16 − ( x 2 + 7)
lim (4 −
=
x → 3 4 − x2 + 7 x → 3
5.
lim x 2 − 4
= .....
x → ∞ x3 + 1
Jawab :
lim x 2
lim 1
=
= 0
x → ∞ x3 x → ∞ x
x 2 + 7 )(4 +
4−
x2 + 7
x2 + 7 )
= 4+ 4 = 8
2
6.
lim (4 + 5 x )(2 − x )
= ....
x → ∞ ( 2 + x)(1 − x)
Jawab :
lim − 5 x 2
= 5
x → ∞ − x2
7.
lim
x→ ∞
x2 + x + 5 −
x 2 − 2 x + 3 = .....
Jawab :
lim
x→ ∞
lim
x→ ∞
8.
ax 2 + bx + c −
x2 + x + 5 −
ax 2 + px + q =
x2 − 2x + 3 =
b− p
2 a
1+ 2 3
=
2 1 2
lim
1 − sin 2 x
= ......
x → π2 (sin 12 x − cos 12 x) 2
Jawab :
lim
lim (1 − sin x )(1 + sin x)
(1 − sin x)(1 + sin x)
=
= 1+ 1 = 2
π
2 1
2 1
1
1
x → 2 sin 2 x + cos 2 x − 2 sin 2 x cos 2 x x → π2
1 − sin x
9.
lim sin 6 x
= .....
x → 0 sin 2 x
Jawab :
lim sin 6 x 6
= = 3
x → 0 sin 2 x 2
10.
lim cos 2 x − 1
= ......
x→ 0
x2
Jawab :
lim 1 − 2 sin 2 x − 1
lim
sin x sin x
=
− 2.
.
= − 2.1.1 = − 2
2
x→ 0
x→ 0
x
x
x
3
11.
lim sin( x − 2)
= .......
x → 2 x2 − 4
Jawab :
lim
lim sin( x − 2) 1
sin( x − 2)
1
1
=
.
= 1.
=
x → 2 ( x − 2)( x + 2) x → 2 x − 2 x + 2
2+ 2 4
lim x 2 + x − 6
= ......
12.
x → 3 x2 + 5x + 6
Jawab :
lim x 2 + x − 6
9+ 3− 6 1
=
=
2
x → 3 x + 5 x + 6 9 + 15 + 6 5
13.
lim 2 x 2 − x − 1
= ......
x → 1 3x 2 − x − 2
Jawab :
lim 4 x − 1 3
=
(Menggunakan bantuan turunan)
x → 1 6x − 1 5
14.
lim 1 − x 2
= ......
x → 1 x− 1
Jawab :
lim − 2 x
= −2
x→ 1 1
15.
lim 2 x 2 − 2
= ......
x → 1 x− 1
Jawab :
lim 4 x
= 4
x→ 1 1
4
16.
lim
t3 − 8
= ......
t → 2 t2 + t − 6
Jawab :
lim 3t 2
12
=
t → 2 2t + 1 5
17.
lim (3x − 1) 2 − 4
= ......
x → 1 x2 + 4x − 5
Jawab :
lim 18 x − 6 12
=
= 2
x → 1 2x + 4
6
lim  2 x 2 − 8 x 2 − 2 x 

 = ......
+
18.
x → 2  x − 2
2 x − 4 
Jawab :
lim  ( x − 2)(2 x + 4) x( x − 2) 
2

 = 4 + 4 + = 9
+
x→ 2
x− 2
2( x − 2) 
2
19.
lim  6 − x
1 
−
 2
 = ......
x → 2  x − 4 x − 2
Jawab :
lim
− 2 ( x − 2)
− 2
1
=
= −
x → 2 ( x − 2)( x + 2)
4
2
20.
lim 6 x 2 − 4 x
= .....
x → 0 2x2 + x
Jawab :
lim 12 x − 4 − 4
=
= −4
x → 0 4x + 1
1
5
21.
lim
x− 1
= .......
x → 1 1− x
Jawab :
lim
1
1
= − 1 = −2
1
x→ 1 − 2 x
2
22.
lim x 2 − 16
= ......
x → 4 x− 4
Jawab :
lim ( x − 4 ) 2 ( x + 4)
lim
=
x→ 4
x→ 4
x− 4
23.
lim 3 −
x→ 0
x − 4 ( x + 4) = 0.8 = 0
2x + 9
= .....
x
Jawab :
lim 3 −
x→ 0
24.
lim
x→ 3
x2 − 9
x 2 + 16 − 5
2x + 9 3 +
.
x
3+
lim
2x + 9
9 − 2x − 9
− 2
1
=
=
= −
3
2 x + 9 x → 0 x(3 + 2 x + 9 ) 3 + 3
= ......
Jawab :
lim ( x 2 + 16 − 5)( x 2 + 16 + 5)
= 5 + 5 = 10
x→ 3
x 2 + 16 − 5
25.
lim
x→ 0
x− x
= .......
x+ x
Jawab :
lim
x→ 0
x (1 −
x (1 +
x) 1− 0
=
=1
x) 1+ 0
6
26.
lim
6 x − 2 − 3x + 7
= ......
x→ 3
x− 3
Jawab :
lim
6 x − 2 − 3 x + 7 6 x − 2 + 3x + 7
.
x→ 3
x− 3
6 x − 2 + 3x + 7
lim
3( x − 3)
3
=
=
x → 3 ( x − 3)( 6 x − 2 + 3 x + 7 ) 8
27.
lim 2 x 2 − 5 x
= ......
x → 0 3− 9+ x
Jawab :
lim 2 x 2 − 5 x 3 +
.
x → 0 3− 9+ x 3+
28.
9 + x x (2 x − 5)(3 +
=
− x
9+ x
9 + x)
=
− 5 (3 + 3)
= 30
−1
lim
x2 + 3 − x − 1
= .......
x→ 1
1 − x2
Jawab :
lim
lim
x 2 + 3 − ( x + 1) x 2 + 3 + ( x + 1)
2 (1 − x)
1
.
=
=
2
x→ 1
1− x
x 2 + 3 + ( x + 1) x → 1 (1 − x )(1 + x)( x 2 + 3 + x + 1) 4
29.
lim 3 x 2 − 23 x + 1
= ......
x→ 1
( x − 1) 2
Jawab :
lim
(3 x − 1) 2
1
1
=
=
2
3
2
2
x → 1 (3 x − 1)( x + 3 x + 1)
(1 + 1 + 1)
9
30.
lim x − 27
= ......
x → 27 3 x − 3
Jawab :
lim (3 x − 3) (3 x 2 + 33 x + 9)
= 9 + 9 + 9 = 27
3
x → 27
x− 3
7
31.
lim a a − b b
= .......
a→ b
a− b
Jawab :
lim ( a −
a→ b
32. Jika
b )(a + ab + b)
= b+
a− b
b.b + b = 3b
lim ax + b − x 3
maka tentukan a + b
=
x→ 4
x− 4
4
Jawab :
Bentuk di atas jika x = 4 maka harus berbentuk
Jadi 4a + b – 2 = 0 atau 4a + b = 2 ………….. (1)
Dengan menggunakan bantuan turunan maka :
lim a − 2 x 3
=
⇒
x→ 4 1
4
4.1 + b = 2 ⇔ b = − 2
a + b = 1− 2 = − 1
1
33.
a−
0
.
0
1 3
= ⇔ a= 1
4 4
lim (2 x − 3 x + 1)( x − 1)
= .......
x→ 1
( x − 1) 2
Jawab :
lim ( x − 1) 2 (2 x − 1)
2− 1
1
=
=
2
2
x → 1 ( x − 1) ( x + 1)
(1 + 1)
4
34.
lim
1+ x − 1
= ......
3
x → 0 1+ x − 1
Jawab :
lim (6 1 + x − 1)(6 (1 + x) 2 + 6 1 + x + 1) 1 + 1 + 1 3
=
=
x→ 0
1+ 1
2
(6 1 + x − 1)(6 1 + x + 1)
8
35.
lim
x→ 0
2+
x−
2−
x
= ........
x
Jawab :
lim
x→ 0
=
36.
2+
x−
2−
x
x
lim
x→ 0
.
2+
x+
2−
x
2+
x+
2−
x
2 x
x( 2 +
x+
2−
x)
=
2
1
=
2
2+ 2 2
lim  2
3

− 2
 2
 = .......
x → 2  x − 4 x + 2x − 8 
Jawab :
lim 2 ( x + 4) − 3 ( x + 2)
lim
− ( x − 2)
1
=
= −
x → 2 ( x − 2)( x + 2)( x + 4) x → 2 ( x − 2)( x + 2)( x + 4)
24
37.
lim
x→ ∞
(2 x − 5)(2 x + 1) − (2 x − 5) = .......
Jawab :
lim
x→ ∞
38.
4 x2 − 8x − 5 −
4 x 2 − 20 x + 25 =
− 8 − (− 20)
= 3
2 4
lim 2 x 2 + 3 x
= ......
x → ∞ x2 − x
Jawab :
lim 2 x 2
lim
=
2x = ∞
2
x→ ∞ x
x→ ∞
39.
lim
x(4 x + 5) −
x→ 5
4 x 2 + 3 = .......
Jawab :
lim
4 x2 + 5x −
x→ 5
4 x2 + 0x + 3 =
5− 0 5
=
2 4 4
9
40.
lim
x→ ∞
( x + a)( x + b) − x = .......
Jawab :
lim
x→ ∞
41.
x 2 + (a + b) x + ab −
x2 + 0x =
a+ b− 0 a+ b
=
2
2 1
lim
cos 2 x
= .........
π
x → 4 sin x − cos x
Jawab :
lim (cos x − sin x)(cos x + sin x )
=
x → π4
− (cos x − sin x)
42.
1
2
2 + 12 2
= − 2
−1
lim sin ax
= .......
x → 0 sin bx
Jawab :
lim sin ax bx a
lim sin ax bx a
a a
. . =
.
. = 1.1. =
x → 0 sin bx ax b x → 0 ax sin bx b
b b
43.
lim
sin 2 x
= .......
x → 0 3 − 2x + 9
Jawab :
lim 2 sin x cos x 3 +
.
x → 0 3 − 2x + 9 3 +
=
44.
2x + 9
2x + 9
lim sin x cos x.(3 + 2 x + 9 )
1.(3 + 3)
.
= 1.
= −6
x→ 0 x
−1
−1
lim 1 − cos x
= ........
x → 0 x sin 2 x
Jawab :
1
lim 2 sin 2 12 x
lim sin 12 x sin 12 x
1
2
=
.
=
1
.
=
1
x → 0 x sin 2 x x → 0 2 x sin 2 x
2 4
10
45.
lim
x tan x
= ........
x → 0 1 − cos 2 x
Jawab :
lim x tan x
lim 1 x tan x 1
=
.
.
=
2
x → 0 2 sin x x → 0 2 sin x sin x 2
46.
lim tan x
= .......
x → 0 x2 + 2x
Jawab :
lim tan x 1
1 1
.
= 1. =
x → 0 x x+ 2
2 2
47.
lim 1 − cos x
= ......
x → 0 5x 2
Jawab :
lim 2 sin 2 12 x 2 1 1 1
= . . =
x → 0 5x2
5 2 2 10
48.
lim
sin x
= ......
x → 0 1− x − 1
Jawab :
lim
lim sin x 1 − x + 1
sin x
1− x + 1
1+ 1
.
=
.
= 1.
= −2
x → 0 1− x − 1 1− x + 1 x → 0 x
−1
−1
49.
lim cot x
= ......
x → 0 cot 2 x
Jawab :
lim
x→ 0
1
tan x
1
tan 2 x
=
lim tan 2 x
= 2
x → 0 tan x
11
50.
lim sin 4 x + sin 2 x
= ......
x→ 0
3 x cos x
Jawab :
lim 2 sin 3x cos x
= 2.1 = 2
x → 0 3 x cos x
51.
lim
x sin x
= .......
x → 0 1 − cos 4 x
Jawab :
lim x sin x
lim 1 x
sin x
1 1 1 1
=
.
.
= . . =
2
x → 0 2 sin 2 x x → 0 2 sin 2 x sin 2 x 2 2 2 8
52.
lim cos 4 x − 1
= .......
x → 0 x tan 2 x
Jawab :
lim − 2 sin 2 2 x
lim
sin 2 x sin 2 x
2 2
=
− 2.
.
= − 2. . = − 4
x → 0 x tan 2 x
x→ 0
x tan 2 x
1 2
53.
lim sin 2 2 x
= ........
x → 0 x 2 cos 2 x
Jawab :
lim sin 2 x sin 2 x
1
2 2 1
.
.
= . . = 4
x→ 0 x
x cos 2 x 1 1 1
54.
lim 7 x 2 + sin( 2 x 2 )
= ........
x→ 0
tan 2 3x
Jawab :
lim ( 7 x) 2 sin( 2 x) 2 7 2
+
= + =1
x → 0 (tan 3 x) 2 (tan 3 x) 2
9 9
12
55.
lim
cos 4 x − 1
= ........
x → 0 cos 5 x − cos 3x
Jawab :
lim
lim sin 2 x sin 2 x 2 2
− 2 sin 2 2 x
=
.
= . =1
x → 0 − 2 sin 4 x sin x x → 0 sin 4 x sin x
4 1
56.
lim
4x
= ........
x → 0 x + sin 3 x
Jawab :
lim
x→ 0
57.
1
x + sin 3 x
4x
=
lim
x→ 0
1
1
4
+
sin 3 x
4x
=
1
1
+
4
3
4
=1
lim
sin(2 x 2 )
= ........
x → 0 x 2 + sin 2 3x
Jawab :
lim
x→ 0
58.
1
x2
sin 2 x 2
+
sin 2 3 x
sin( 2 x ) 2
=
1
2
1
+
9
2
=
1
5
lim sin 4 x. tan 2 3 x + 6 x 3
= ..........
x → 0 2 x 2 .sin 3x. cos 2 x
Jawab :
lim sin 4 x tan 2 3 x
1
6 x2
x
1
.
.
+
.
.
.
2
x → 0 sin 3 x ( 2 x) 2 cos 2 x 2 x sin 3x cos 2 x
=
59.
4 9
1
. .1 + 3.1. .1 = 7
3 2
3
lim 1 − cos 2 x − cos x sin 2 x
= ........
x→ 0
x4
Jawab :
lim sin 2 x (1 − cos x )
lim
sin 2 x sin 2 12 x
1
=
2. 2 .
= 2.12.( 12 ) 2 =
4
2
x→ 0
x→ 0
x
x
x
2
13
60.
lim sin (1 − 1x ) cos (1 − 1x )
= ........
x→ 1
x− 1
Jawab :
lim sin (1 − 1x ) cos (1 − 1x )
lim sin (1 − 1x ) cos (1 − 1x )
=
.
= 1.1 = 1
x→ 1
x → 1 1 − 1x
x(1 − 1x )
x
61.
lim
sin (π x − π )
= ........
x → 1 ( x − 1) cos (π x − π )
Jawab :
lim sin π ( x − 1)
1
.
= π .1 = π
x→ 1
x− 1
cos (π x − π )
62.
lim
x− k
= ........
x → k sin ( x − k ) + 2k − 2 x
Jawab :
lim
x→ k
63.
sin( x − k )
x− k
1
−
2( x − k )
x− k
=
1
= −1
1− 2
lim 1 − cos 2 ( x − 2)
= ........
x → 2 3x 2 − 12 x + 12
Jawab :
lim
lim sin( x − 2) sin( x − 2) 1 1
sin 2 ( x − 2)
=
.
. =
x → 2 ( x − 2)(3 x − 6) x → 2 x − 2
x− 2 3 3
64.
lim ( x + 6) sin ( x + 2)
= .......
x → − 2 x 2 − 3 x − 10
Jawab :
lim x + 6 sin ( x + 2)
4
.
= −
x → −2 x− 5
x+ 2
7
65.
lim x 2 sin 2 x
= .......
x → π x− π
Jawab :
lim 2 x sin 2 x + 2 x 2 cos 2 x
= 0 + 2π
x→ π
1
2
= 2π
2