KOORDINAT BOLA
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜌
𝜕𝜃
𝜕𝑦
𝜕∅
𝜕𝑦 |
𝜕𝑧
𝜕𝜃
𝜕𝑧
sin ∅ cos 𝜃
= | sin ∅ sin 𝜃
𝜕∅|
cos 𝜃
𝜕𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕∅
|𝜕𝑦
J (𝜌, 𝜃, ∅ ) = 𝜕𝜌
|
𝜃2
𝜌
−𝜌 sin 𝜃
𝜌 sin ∅ cos 𝜃
0
𝜌 cos ∅ cos 𝜃
𝜌 cos ∅ sin 𝜃 | = 𝜌2 sin ∅
−𝜌 sin ∅
𝑉
∭ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) dV = ∫𝜃 ∫𝜌 2 (𝜃) ∫𝑉 2(𝜌,𝜃) 𝐹 (𝜌, 𝜃, ∅ )𝜌2 sin ∅ d∅ d𝜌 d𝜃
1
1 (𝜃)
1(𝜌,𝜃)
Dalampenerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis ) maka
digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun ruang G
simetris terhadap suatu titik.
Contoh 10.
√9−𝑥 2
3
Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral ∫0 ∫0
2
∫0 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Jawab:
Misal G = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) |0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥 2 , 0 ≤ 𝑧 ≤
8−𝑦
4
|}
𝜋
Maka G = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) |0 ≤ 𝑟 ≤ 3, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 2|}
3
√9−𝑥 2
Jadi, ∫0 ∫0
2
𝜋
3
2
3
𝜋
2
∫0 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫0 ∫02 ∫0 𝑟 2 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑟 = ∫0 𝑟 2 [∫02 (∫0 𝑑𝑧) 𝑑𝜃] dr
= 9𝜋
Contoh 11.
2
√4−𝑥 2
Gunakan koordinat bola untuk menghitung ∫0 ∫0
√4−𝑥 2 −𝑦 2
∫0
𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Jawab:
Maka G = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ √4 − 𝑥 2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 |}
Maka G = {(𝜌, 𝜃, ∅) |0 ≤ 𝜌 ≤ 2, 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
𝜋
, 0 ≤ ∅ ≤ 2 |}
Jadi,
2
√4−𝑥 2
∫0 ∫0
√4−𝑥 2 −𝑦 2
∫0
2
𝜋
𝜋
𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫0 ∫02 ∫02 𝜌 cos ∅ 𝜌2 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝑑∅ 𝑑𝜃 𝑑𝜌
2
𝜋
𝜋
= ∫0 𝜌3 [∫02 (∫02 cos ∅ sin ∅ 𝑑∅) 𝑑𝜃]d𝜌
=𝜋