Nama : Dya Ayu Safitri NIM : 160210102095 Kelas : A Tugas Buktikan bahwa gamma 1⁄2 = 𝜋 Jawab; Kita subtitusikan u dan v ke dalam persamaan (3), sehingga menjadi: 1 ~ ~ (Γ((2))2 = ∫0 ∫0 (𝑥 2 )− 1 ~ 1⁄ 2 2 2 𝑒 −𝑥 (𝑦 2 )−1/2 𝑒 −𝑦 2x dx 2y dy ~ 2 2 (Γ((2))2 = 4 ∫0 ∫0 𝑥 −1 𝑒 −𝑥 𝑦 −1 𝑒 −𝑦 dx dy ….(4) Untuk menyelesaikan persamaan (4), kita harus menggunakan integral polar kuadran pertama. Sehingga langkah selanjutnya kita harus mengubah bentuk integral kartesian menjadi integral polar, kemudian mengubah x, y, dx, dan dy menjadi: x = r cos θ y = r sin θ dx dy = r dr dθ Subtitusikan 3 persamaan diatas ke persamaan ke (4) dan gunakan kuadran pertama dengan limit θ = 0 = π⁄2 1 ~ ~ 1 π⁄ ~ 2 1 π⁄ ~ 2 𝑐𝑜𝑠2 1 π⁄ ~ (Γ((2))2 = 4 ∫0 ∫0 𝑥 −(𝑥 2 +𝑦 2 ) dx dy (Γ((2))2 = 4 ∫θ=02 ∫𝑟=0 𝑒 (r cos θ) (Γ((2))2 = 4 ∫θ=02 ∫𝑟=0 𝑒 −(𝑟 2 − (r sin θ)2 r dr dθ θ + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 θ)2 (Γ((2))2 = 4 ∫θ=02 ∫𝑟=0 𝑒 −𝑟 r dr dθ r dr dθ Kita kerjakan satu persatu, untuk: ~ ~ 2 2 ∫0 4 𝑒 −𝑟 dr dθ = 4∫0 𝑟 𝑒 −𝑟 dr dθ ~ 1 2 = 4. − 2 ∫0 𝑑( 𝑒 −𝑟 ) ~ 2 = - 2 ∫0 𝑑( 𝑒 −𝑟 ) = 2 [0-1] =2 Subtitusikan ke persamaan (5) π⁄ 1 ~ 2 (Γ((2))2 = 4 ∫θ=02 ∫𝑟=0 𝑒 −𝑟 r dr dθ π⁄ 22 = 4 ∫0 dθ = 2 ( π⁄2) − 2(0) =π–0 =π 1 (Γ((2))2 = π 1 (Γ((2))2 = √𝜋 ( terbukti )