geometri hiperbolik

GEOMETRI HIPERBOLIK
(Jurnal 5)
Memen Permata Azmi
Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika
Universitas Pendidikan Indonesia
Geometri hiperbolik tergolong materi yang masih baru menurut pengetahuan saya.
Materi ini disampaikan oleh Prof. Jozua pada hari rabu 9 oktober 2013. Pada geometri
hiperbolik kita akan bermain pada bidang Poincare dan kita tidak akan mengenal garis yang
lurus. Pada pertemuan kami diajarkan tentang garis paralel, garis sense paralel, jarak dua titik
hiperbolik, cross ratio dan sudut-sudut kesejajaran
Berikut rangkuman materi pembelajaran mengenai geometri hiperbolik. Tidak mudah
memang untuk memahaminya bagi kita yang baru mengenal geometri hiperbolik. Mudahmudahan apa yang saya rangkumkan ini memberikan gambaran dan pemahaman tentang
geometri hiperbolik.
A. Sense Paralel
Perhatikan gambar berikut:
Keterangan:
1. AP sense paralel terhadap AB, karena AP dan AB bertemu di titik Ω dan AP disebut
left sense paralel terhadap AB.
2. BP sense paralel terhadap AB, karena BP dan AB bertemu di titik Ω dan BP disebut
right sense paralel terhadap AB.
3. AF paralel terhadap BE, karena AF dan BE memotong di titik P.
4. AF paralel terhadap CD, karena AF dan CD memotong di titik P.
5. BE paralel terhadap CD, karena BE dan CD memotong di titik P.
6. CD paralel terhadap AB, karena CD dan AB memotong di titik Q.
7. Segmen PQ tegak lurus AB.
8. Sudut APQ dan sudut BPQ disebut sudut-sudut kesejajaran.
Jadi sense paralel adalah garis hiperbolik yang tidak akan pernah berpotongan dengan
garis hiperbolik lainnya.
B. Sudut-Sudut Kesejajaran
Perhatikan gambar berikut:
Teorema:
Sudut-sudut kesejajaran terhadap suatu garis AB adalah kongruen.
Buktikan ∠APQ = ∠BPQ
Bukti:
1. Misalkan ∠APQ tidak sama dengan ∠BPQ
Kemungkinan:
∠APQ < ∠BPQ
∠APQ > ∠BPQ
Secara khusus misalkan ∠APQ < ∠BPQ
2. Maka ada suatu titik R di interior ∠BPQ, sedemikian sehingga ∠QPR = ∠APQ
3. Garis PR memotong AB di T, karena garis BP right sense paralel pada AB
4. Jika titik S terletak antara A dan Q sedemikian sehingga QS = QT, maka ∆SPQ
kongruen ∆TPQ. Akibatnya ∠SPQ = ∠TPQ. Tapi ∠SPQ = ∠TPQ = ∠APQ, sehingga
AP akan memotong AB dititik S.Tapi diawal dikatakan AP adalah sense paralel AB.
5. Jadi tidak mungkin ∠APQ < ∠BPQ.
6. Analog juga tidak mungkin pada kemungkinan ∠BPQ < ∠APQ
7. Ini merupakan suatu kontradiksi, jadi haruslah ∠APQ = ∠BPQ
C. Jarak 2 Titik Hiperbolik dan Cross Ratio
Perhatikan gambar berikut:
B
C
D

A
Keterangan:
1. Jarak hiperbolik memerlukan 4 titik
2. Diketahui 2 titik hiperbolik A dan B
3. Terdapat 1garis yaitu yang melalui C dan D
4. Panjang ruas garis CD adalah jarak dari C ke D
5. Ruas garis CD selalu terletak pada garis yang melalui C dan D yaitu garis AB
Definisi:
𝐶𝐴
Panjang ruas garis CD atau jarak C ke D adalah d(C,D) = log
𝐷𝐴
𝐶𝐵
𝐷𝐵
𝐷𝐵
Bisa juga Panjang ruas garis CD atau jarak C ke D adalah d(C,D) = log
𝐶𝐴
𝐷𝐴
𝐶𝐵
𝐷𝐵
disebut cross ratio dari C ke D terhadap A dan B.
CA, CB, DA, dan DB diukur dengan panjang busur euclid.
Soal:
1. Perhatikan gambar berikut
A
P
O

B
Keterangan:
a. Setiap garis yang melalui pusat digambarkan sebagai diameter
b. Jari-jari = OA = OB = 1 satuan
c. OP = r
d. PA = 1 - r
Titik P adalah berjarak r dari O. Tentukan jarak titik O ke P!
Penyelesaian:
𝑃𝐵
d(O,P)
= log
𝑃𝐴
𝑂𝐵
𝑂𝐴
1+ 𝑟
= log
= log
1
1− 𝑟
1
1+𝑟
1−𝑟
Jadi jarak titik O ke P adalah log
1+𝑟
1−𝑟
.
𝐶𝐵
𝐷𝐴
𝐶𝐴
.
2. Perhatikan gambar berikut
A
P
O

B
Keterangan:
a. Setiap garis yang melalui pusat digambarkan sebagai diameter
b. Jari-jari = OA = OB = 1 satuan
c. OP = r
d. PA = 1 - r
Tentukan jarak hiperbolik dari P ke A!
Penyelesaian:
𝐴𝐵
d(P,A)
= log
𝑃𝐵
𝐴𝐴
𝑃𝐴
2
= log
1+𝑟
0
1−𝑟
= log ~
=~
Dapat disimpulkan jarak suatu titik ke titik  adalah tak hingga.