KK Analisis dan Geometri - FMIPA Personal Blogs

KK Analisis dan Geometri
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
Tugas 1: Analisis Real A
Februari 2013
Bagian 1. Teori Himpunan
(1) Misalkan f fungsi dari X ke P(X) (power set of X). Buktikan
bahwa f tidak mungkin pada.
(2) Diketahui bahwa f : X −→ Y dan Bλ ⊂ Y . Buktikan bahwa
(a) f −1 (∪Bλ ) = ∪f −1 (Bλ ).
(b) f −1 (∩Bλ ) = ∩f −1 (Bλ ).
Bagian 2. Sistem Bilangan Real
(1) Misalkan p adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1, dan
x adalah bilangan real, 0 < x < 1. Tunjukkan bahwa terdapat
suatu barisan bilangan bulat {an }, dengan 0 ≤ an < p sehingga:
∞
X
an
.
x=
n
p
1
Untuk sebarang x tetap, apakah barisan di atas tunggal?
Apakah konvers dari pernyataan di atas benar?
Petunjuk: Coba lakukan untuk p = 10.
(2) Misalkan {Fn } adalah koleksi dari himpunan bagian tutup dari
R, dengan Fn+1 ⊂ Fn . Berikan sebuah contoh dimana:
∞
\
Fn = ∅.
n=1
Syarat apa yang harus ditambahkan agar:
∞
\
Fn 6= ∅.
n=1
Bagian 3. Lain-lain
Misalkan
a0 + a1 x + . . . an xn
F =
b0 + b1 x + . . . + bm x m
ak , bk ∈ R, m, n ∈ N ∪ {0}, bm 6= 0
(1) Dengan menggunakan perkalian dan penjumlahan yang biasa
(seperti kita kenal di Kalkulus), tunjukkan bahwa F membentuk suatu lapangan.
(2) f ∈ F dikatakan positif (f > 0) jika an bm > 0. Tunjukkan
bahwa relasi ini mendefinisikan suatu urutan pada F .
1
2
(3) Urutkan polinom berikut berdasarkan urutan di atas, dari kecil
ke besar: x2 , −x3 , 5, x + 2, dan 3 − x.
(4) Urutkan fungsi rasional berikut berdasarkan urutan di atas, dari
kecil ke besar:
x2 + 2 x 2 − 2 x + 1
x+2
,
, 2
, dan 2
.
x−1 x+1 x −2
x −1
(5) Tunjukkan bahwa F tidak memenuhi Properti Archimedes.
(6) Tunjukkan bahwa F tidak memenuhi aksioma kelengkapan.
(7) Tunjukkan bahwa N dan R adalah subset dari F .