diferensial fungsi sederhana

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
Salah satu metode yang cukup penting dalam matematika adalah turunan (diferensial).
Sejalan dengan perkembangannya aplikasi turunan telah banyak digunakan untuk
bidang-bidang rekayasa dan sain. Oleh karena itu materi turunan cukup perlu untuk
dipelajari. Pada bab ini akan disjikan definisi dan konsep turunan, rumus dasar
turunan, contoh-contoh persoalan turunan beserta penyelesaiannya dengan berbagai
metode penyelesaian.
Notasi Turunan dan Rumus Dasar Turunan
Turunan dari sebuah fungsi f dengan variabel x atau f(x) adalah fungsi lain yang
dinotasikan dengan f ’(x). Jika kita menuliskan y = f(x),
dy
adalah koefisien turunan
dx
(diferensial) untuk fungsi f(x). Atau turunan dari fungsi f dapat juga dinyatakan
dengan menggunakan operator D dengan menuliskan D[f(x)] = f ’(x).
Tabel berikut ini memuat daftar turunan (diferensial) baku yang akan membantu kita
dalam menyelesaikan persoalan turunan fungsi sederhana.
Rumus Dasar Turunan
No
y = f(x)
dy
= f ’(x)
dx
1
k, k adalah konstanta
0
2
xn
nxn-1 , n  Riil
3
ex
ex
4
ekx
kekx
5
ax
ax ln(a)
6
ln(x)
1
x
7
loga x
1
x ln( a)
1
Sifat-sifat turunan.
Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f ’(x) dan g ’(x)
maka berlaku :
1. (k f) ‘(x) = k f ‘(x)
2. (f + g) ’(x) = f ’(x) + g ’(x)
3. (f – g) ‘(x) = f ‘(x) – g ‘(x)
4. (f . g) ‘(x) = f ‘(x) . g(x) + f (x) . g ‘(x)
'
f
f ' ( x).g ( x)  f ( x).g ' ( x)
5.   x  
, g(x) ≠ 0
g ( x)2
g
untuk dua sifat (rumus) terakhir dapat diringkaskan agar memudahkan kita untuk
menghafalnya, yaitu dengan cara memisalkan u = f(x) maka u’ = f ’(x) dan v = g(x)
maka v’ = g ‘(x). sehingga dua rumus terakhir dapat dituliskan sebagai berikut :
(u . v)‘ (x) = u’ . v + u . v’ dan
u ' .v  u.v '
u
, v ≠ 0.
  ( x) 
v2
v
'
Contoh 1.
Tentukan turunan dari fungsi y = x4 + 5x3 – 4x2 + 7x – 2.
Penyelesain
y = x4 + 5x3 – 4x2 + 7x – 2, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka
dy
= 4x4-1 + 5 (3x3-1) – 4 (2x2-1) + 7 (x1-1) – 0
dx
= 4x3 + 15x2 - 8x + 7.
Contoh 2.
Tentukan turunan dari fungsi y = 3x4 – 7x3 + 4x2 + 3x – 4 pada x = 2.
Penyelesaian.
y = 3x4 – 7x3 + 4x2 + 3x – 4, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka
dy
= 3 (4x3) – 7 (3x2) + 4 (2x) + 3 (1) – 0
dx
= 12x3 – 21x2 + 8x + 3 dan untuk x = 2, maka
dy
= 12 (2)3 – 21 (2)2 + 8 (2) + 3 = 31.
dx
2
Contoh 3.
Tentukan turunan dari fungsi f(x) = 3x2 + 5x –
1
2
+ 3 –1
x
x
Penyelesaian.
f(x) = 3x2 + 5x –
1
2
+ 3 – 1 = 3x2 + 5x – x -1 + 2x -3 - 1, maka
x
x
f ’(x) = 6x + 5 + x -2 – 6x -4 = 6x + 5 +
1
6
- 4.
2
x
x
Contoh 4.
Tentukan turunan dari fungsi g(x) = 2x2 - 3 x + 3
3
x2 -
3
4x 2
Penyelesaian.
g(x) = 2x2 - 3 x + 3
g ’(x) = 4x -
3
x2 -
3
3
= 2x2 – 3x1/2 + 3x2/3 - x -2, maka
2
4
4x
3
3 -1/2
6 -3
2
6
x
+ 2x -1/3 +
x = 4x + 1/ 3 +
.
2
4
x
4x3
2 x
Contoh 5.
Tentukan turunan dari fungsi h(x) =
1
4
3/ 4
5x
x
Penyelesaian.
h(x) =
1
4
4
= x -3/4 – x -1/2, maka
3/ 4
5
5x
x
h ’(x) = -
12 -7/4
12
1
x + x -3/2 = + 3/ 2 .
7/4
20
20 x
x
Contoh 6.
Diferensialkan fungsi y = 2x3 + 4x2 – 2x + 7 dan hitung nilai
Penyelesaian.
y = 2x3 + 4x2 – 2x + 7, maka
dy
= 6x2 + 8x – 2 dan untuk x = -2, maka
dx
dy
= 6(- 2)2 + 8(- 2) – 2 = 6.
dx
3
dy
pada nilai x = -2.
dx
Contoh 7.
Tentukan turunan dari fungsi y = x3 . ex.
Penyelesaian.
y = x3 . ex, dengan menggunakan sifat (rumus) turunan hasil kali dua buah fungsi,
maka
misalkan : u = x3  u ’ = 3x2 dan v = ex  v ’ = ex
sehingga
dy
= (u . v) ’(x) = u ’ . v + u . v ’
dx
= (3x2) ex + x3 . ex = x2 (3ex + x).
Contoh 8.
2 x 2  3x
Tentukan turunan dari fungsi y =
x5
Penyelesaian.
y=
2 x 2  3x
, dengan menggunakan sifat (rumus) turunan hasil bagi dua buah fungsi,
x5
misalkan : u = 2x2 – 3x  u ’ = 4x – 3 dan v = x + 5  v ’ = 1
u ' .v  u.v '
dy
u
sehingga
=   ( x) 
dx  v 
v2
'
=
(4 x  3)( x  5)  (2 x 2  3x).1
( x  5) 2
=
2 x 2  20 x  15
.
( x  5) 2
Koefisien Turunan (Diferensial) Kedua.
Turunan kedua dari fungsi y adalah turunan dari
koefisien turunan kedua adalah
dy
(turunan pertama). Dalam hal ini
dx
d2y
d dy
, dan dapat diteruskan untuk turunan
( ) =
dx dx
dx 2
ketiga dan selanjutnya.
Contoh 9.
Tentukan
d2y
dari fungsi y = 2x4 – 5x3 + 3x2 – 2x + 4.
2
dx
4
Penyelesaian.
y = 2x4 – 5x3 + 3x2 – 2x + 4 
sehingga
dy
= 8x3 – 15x2 + 6x - 2 + 0
dx
d2y
d
=
(8 x 3  15 x 2  6 x  2)
2
dx
dx
= 24x2 – 30x + 6.
Contoh 10.
Tentukan
d2y
dari fungsi y = 3x4 + 2x3 – 4x2 + 5x + 1
2
dx
Penyelesaian.
y = 3x4 + 2x3 – 4x2 + 5x + 1 
sehingga
dy
= 12x3 + 6x2 -8x + 5
dx
d2y
d
=
(12 x 3  6 x 2  8 x  5)
2
dx
dx
= 36x2 + 12x - 8.
Turunan Fungsi Trigonometri
Pada dasarnya turunan sinus dan kosinus mengacu pada definisi turunan, namun
hasilnya telah diringkaskan pada teorema berikut :
Teorema 1.
Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya mempunyai turunan
(dapat didiferensialkan), yaitu turunan sin x adalah f ’(x) = cos x dan turunan cos x
adalah g ’(x) = - sin x.
Dengan menggunakan teorema.1 diatas dan rumus turunan hasil kali serta turunan
hasil bagi, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang
dinyatakan pada teorema berikut.
Teorema 2.
Jika
1.
d
d
(sin x) = cos x dan
(cos x) = – sin x, maka :
dx
dx
d
(tan x) = sec2 x.
dx
5
2.
d
(cot anx) = - cosec2 x.
dx
3.
d
(sec x) = sec x . tan x.
dx
4.
d
(cos ecx ) = - cosec x . cotan x.
dx
Contoh 11.
Tentukan turunan dari fungsi y = 3 sin x – 2 cos x.
Penyelesaian.
y = 3 sin x – 2 cos x, maka
dy
d
d
=3
(sin x) - 2
(cos x)
dx
dx
dx
= 3 cos x - 2 (- sin x) = 3 cos x + 2 sin x.
Contoh 12.
Tentukan turunan dari fungsi y = 3 sin 2x.
Penyelesaian.
Untuk menentukan
dy
dx
terlebih dahulu kita uraikan fungsi sin 2x dengan
menggunakan kesamaan trigonometri yaitu sin 2x = 2 sin x . cos x. Dan dengan
menggunakan rumus turunan hasil kali, maka
dy
d
d
=
(3 sin 2 x) =
[3(2 sin x. cos x)]
dx
dx
dx
=
d
(6 sin x. cos x)
dx
d
d

= 6  (sin x). cos x  sin x (cos x) 
dx
 dx

dy
= 6[cos x . cos x + sin x . (- sin x)]
dx
= 6 cos2 x – sin2 x = 6 cos 2x.
Contoh 13.
Tentukan turunan dari fungsi y = 4x2 . tan x.
6
Penyelesaian.
y = 4x2 . tan x, maka
d
dy
d

(tan x) 
=  (4 x 2 ). tan x  4 x 2
dx
dx
 dx

= (8x) tan x + (4x2) sec2 x = 4x (2 tan x + x . sec2 x).
Contoh 14.
Tentukan turunan dari fungsi y =
3x 2
.
cos x
Penyelesaian.
d
d
(3x 2 ). cos x  3x 2
(cos x)
dy
dx
dx
=
dx
(cos x) 2
=
(6 x) cos x  3x 2 . sin x
3x(2. cos x  x. sin x)
=
2
cos x
cos 2 x
Turunan Fungsi Komposit
Turunan dengan aturan rantai muncul dari fungsi yang merupakan komposit fungsi
lainnya. Rumus turunan aturan rantai dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 3.
Misalkan menentukan fungsi komposit y = f[g(x)] = (f o g)(x). Jika g punya turunan
di x dan f punya turunan di u, maka (f o g)(x) punya turunan di x
yaitu : (f o g) ’(x) = f ’[g(x)] . g ’(x), atau
dy
dy du
=
.
.
dx
du dx
Jika y = f(u) dan u = g(v) dan v = h(x), maka
dy
dy
du dv
=
.
.
disebut aturan
dx
du
dv dx
rantai bersusun dan dapat dilanjutkan untuk fungsi yang komposisinya lebih dari tiga.
Contoh 15.
Tentukan turunan dari fungsi y = (3x + 5) 4.
Penyelesaian.
Misalkan u = 3x + 5  y = u4
7
dy
du
= 4u3 dan
= 3,
du
dx
sehingga
dy
dy du
=
.
dx
du dx
= (4u3) (3)
= 12u3 = 12 (3x + 5)3
Contoh 16.
Tentukan turunan dari fungsi y = tan(4x + 1).
Penyelesaian.
Misalkan u = 4x + 1  y = tan u
dy
du
= sec2 u dan
= 4,
du
dx
sehingga
dy
dy du
=
.
dx
du dx
= sec2 u . (4) = 4 sec2(4x + 1)
Contoh 17.
Tentukan turunan dari fungsi y = sin[cos(x2)]
Penyelesaian.
Misalkan v = x2, u = cos v  y = sin u
dy
du
dv
= cos u,
= - sin v dan
= 2x,
du
dv
dx
sehingga
dy
dy du dv
=
.
.
dx
du dv dx
= (cos u) (- sin v) (2x)
= - 2x sin (x2) cos[cos(x2)].
Turunan Fungsi Implisit.
Secara umum fungsi implisit dapat dikatakan sebagai fungsi yang kedua variabel
(dalam hal ini x dan y) berada ada satu ruas dari sebuah persamaan.
Misalkan z = f(x, y) adalah fungsi dengan dua variabel, persamaan f(x, y) = 0
menyatakan y sebagai fungsi dari x, yang mana dalam hal ini y disebut fungsi implisit
dari x. Turunan dari fungsi implisit dinyatakan dalam teorema berikut.
8
Teorema 4.
Misalkan persamaan f(x, y) = 0 menyatakan y sebagai fungsi implisit dari x, turunan
fungsi
d
dy
diperoleh dari
 f ( x, y) , dengan menganggap y = y(x) kemudian
dx
dx
nyatakan f dalam y dan x.
Contoh 18.
Tentukan
dy
dari persamaan x2 + 5y3 = x + 9.
dx
Penyelesaian.
Untuk menentukan
dy
, lakukan pendiferensialan untuk kedua ruas pada persamaan.
dx
d 2
d
 x  9

x  5y 3  =
dx
dx

d 2
d 3
d
x  + d 9


x +5
y =
dx
dx
dx
dx
 2x + 5
 
d 3 dy
y .
=1+0
dy
dx
 2x + 15y2
1  2x
dy
dy
= 1, maka
=
.
dx
dx
15 y 2
Contoh 19.
Tentukan
dy
jika diberikan persamaan x2 + 2xy + 3y2 = 4
dx
Penyelesaian.
d 2
d
4

x  2 xy  3 y 2  =
dx
dx

d 2
d
xy  +3 d y 2  = 0

x +2
dx
dx
dx
 
d 2 dy
d
d

y .
 2x + 2  ( x). y  x ( y) + 3
=0
dy
dx
dx 
 dx
 2x + 2 (y + x
dy
dy
) + 6y
=0
dx
dx
9
 2x + 2y + 2x
dy
dy
+ 6y
=0
dx
dx

dy
(2x + 6y) = - 2x -2y
dx

 2x  2 y
dy
=
.
2x  6 y
dx
Contoh 20.
Jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukanlah
d2y
dy
dan
di titik x = 3 dan y = 2.
dx
dx 2
Penyelesaian.
d 2
d
0

x  y 2  2 x  6 y  5 =
dx
dx

d 2
d 2
d
x  - 6 d  y  + d 5 = 0


x +
y -2
dx
dx
dx
dx
dx
 2x +
 
d
d 2 dy
 y  . dy = 0
y .
-2–6
dy
dx
dy
dx
 2x + 2y
 2y2

dy
dy
-2–6
= 0, maka
dx
dx
dy
dy
-6
= 2 – 2x
dx
dx
dy
(2y – 6) = 2 – 2x , maka
dx
2  2x
1 x
dy
=
=
untuk x = 3 dan y = 2, maka
2y  6
y 3
dx
1 3
dy
=
= 2.
dx
23
Dengan rumus turunan hasil bagi maka diperoleh
d
d
(1  x).( y  3)  (1  x) ( y  3)
d2y
dx
= dx
2
2
dx
 y  3
 ( y  3)  (1  x)
=
 y  32
dy
dx , dan untuk x = 3 dan y = 2 dengan dy = 2, maka nilai
dx
10
d2y
 (2  3)  (1  3)2
=
= 5.
2
dx
2  32
LATIHAN
1. Tentukan turunan dari fungsi y = 5x6 – 3x5 + 11x – 9.
2. Tentukan turunan dari fungsi g(x) = 4x5 + 2x4 – 3x3 + 7x2 – 2x + 3, pada x = 1.
3. Tentukan turunan dari fungsi y = 2.ex . ln x.
4. Tentukakn turunan dari fungsi y = (3x2 + 2x) (x4 – 3x + 1)
5. Tentukan turunan dari fungsi y = 5x2 . sin x.
6. Tentukan turunan dari fungsi y =
x 2  2x  5
x 2  2x  3
7. Tentukan turunan dari fungsi y =
ln x
x3
8. Tentukan
d2y
2
1
dari fungsi f(x) = 6 +
2
x
x
dx
9. Tentukan turunan dari fungsi y = 4 cos (3x + 1)
 x2 1 
dy
 , tentukanlah
10. Jika y = cos 
dx
 2x  5 
11. Jika y = (3x2 + 5)4 (x3 – 11)2 , tentukanlah
12. Jika y = ln (x2 + 4) , tentukanlah
dy
dx
dy
dx
13. Tentukan
dy
dari persamaan y3 + 7y – x3 = 0
dx
14. Tentukan
dy
dari persamaan 6x dx
2 xy + x2 y3 – y2 = 0
d2y
dy
15. Jika x – xy + y = 7, tentukanlah
dan
di titik x = 3 dan y = 2.
dx
dx 2
2
2
11
PENGGUNAAN TURUNAN
Maksimum dan Minimum.
Definisi 1. (maksimum dan minimum).
Misalkan S daerah asal f dan S memuat titik c, kita katakan bahwa :
1. f (c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) > f (x), untuk setiap x  S.
2. f (c) adalah nilai minimum f pada S jika f (c) < f (x), untuk setiap x  S.
3. f (c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f (c) adalah nilai maksimum atau nilai
minimum.
Tidak semua fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum, fungsi yang tidak
mempunyai nilai maksimum atau minimum dapat mempunyai maksimum atau
minimum dengan membatasi daerah asalnya.
Teorema 5. (eksistensi ekstrim)
Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f mempunyai maksimum dan
minimum.
Biasanya fungsi yang ingin kita maksimum dan minimumkan akan mempunyai suatu
interval I sebagai daerah aslnya. Beberapa dari interval ini mempunyai titik ujung.
Jika sebuah titik dimana f ’(c) = 0, maka c disebut titik stasioner. Jika c adalah titik
dalam dari I dimana f ’(c) tidak ada, maka c disebut titik singular. Sebarang titik
dalam daerah asal f yang termasuk salah satu dari ketiga titik yang dikemukakan
diatas disebut tittik kritis dari f.
Definisi 2. (titik kritis)
Misalkan fungsi f kontinu pada interval terbuka I yang memuat c, titik (c, f (c))
dinamakan titik kritis dari f jika f ’(c) = 0 atau f ’(c) tidak ada.
Catatan : titik kritis tidak selalu merupakan tittik ekstrim.
Teorema 6. (titik kritis terhadap nilai ekstrim)
Misalkan f punya tururnan pada interval I yang memuat titik c . Jika f (c) adalah nilai
ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis yaitu c berupa salah satu dari :
1. Titik ujung dari I
12
2. Titik stasioner dari f atau titik c dimana f ’(c) = 0.
3. Titik singular dari f atau titik c dimana f ’(c) tidak ada.
Contoh 21.
Carilah nilai ekstrim dari fungsi f (x) = - 2x3 + 3x2, pada I = [- ½ , 2]
Penyelesaian.
f (x) = - 2x3 + 3x2, pada [- ½ , 2]. Sebelum mencari nilai ekstrim maka akan di cari
titik-titik kritis yaitu :
1. Titik ujung : karena I merupakan interval tertutup maka x = - ½ dan x = 2
merupakan titik-titik ujung dari f pada I.
2. Titik stasioner : f (x) = - 2x3 + 3x2  f ’(x) = - 6x2 + 6x, untuk menentukan
titik stasioner, misalkan f ’(x) = 0 sehingga – 6x2 + 6x = 0 atau -6x (x – 1) = 0
sehingga x = 0 atau x = 1 merupakan titik stasioner dari f pada I.
3. Titik singular : karena f ’(x) terdefinisi pada seluruh bilangan riil maka titik
singular tidak ada.
Jadi titik kritis dari funsi f adalah : x = - ½ , x = 0, x = 1 dan x = 2.
Untuk menentukan nilai ekstrim dari f, gantilah nilai x pada f (x) = - 2x3 + 3x2 dengan
titik-titik kritis, maka
f (- ½ ) = - 2 (- ½ )3 + 3 (- ½ )2 = 1,
f ( 0 ) = - 2 ( 0 )3 + 3 ( 0 )2 = 0,
f ( 1 ) = -2 ( 1 )3 + 3 ( 1 )2 = 1, dan
f ( 2 ) = - 2 ( 2 )3 + 3 ( 2 )2 = - 4.
Dari nilai-nilai tersebut maka nilai ekstrim dari f adalah : nilai maksimum (fmaks) = 1
dicapai pada x = - ½ dan x = 1, dan nilai minimum (fmin) = - 4 dicapai pada x = 2.
Grafik fungsinya dapat dilihat pada gambar berikut.
13
gambar 4.1. grafik f(x) = -2x 3 + 3x 2
5
4
3
2
sumbu y
maks
1
maks
0
-1
-2
-3
min
-4
-1
-0.5
0
0.5
sumbu x
1
1.5
2
Uji Turunan Pertama.
Definisi 2.(kemonotonan)
Misalkan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun), kita katakan
bahwa :
1. f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I dimana
x1 < x2, maka f (x1) < f (x2).
2. f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I dimana
x1 < x2, maka f (x1) > f (x2).
3. f monoton pada I jika ia naik atau turun pada I.
Teorema 7. (uji turunan pertama untuk kemonotonan)
Misalkan f kontinu pada I dan punya turunan pada setiap titik dalam dari I,
1. Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x  I, maka f naik pada I.
2. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x  I, maka f turun pada I.
Contoh. 22.
Jika f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7, tentukanlah dimana grafik f (x) naik dan dimana
grafik f (x) tururn.
Penyelesaian.
14
berdasarkan teorema 4.2, maka kita perlu mencari f ’(x) untuk menentukan
kemonotonan.
Jika f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7  f ’(x) = 6x2 – 6x – 12. untuk menentukan dimana
f ’(x) > 0 dan dimana f ’(x) < 0, misalkan f ’(x) = 0  6x2 – 6x – 12 = 0 atau
6 (x + 1) (x – 2) = 0 dengan demikian diperoleh titik pemecah x = -1 dan x = 2 yang
akan membagi garis bilangan riil menjadi tiga bagian yaitu x < -1, -1 < x < 2 dan x >
2. Dan dengan mengambil titik-titik uji : -2, 0, dan 3, maka kita dapatkan kesimpulan
seperti yang dinyatakan dalam tabel berikut :
Interval
(- , -1)
(- 1, 2)
( 2,  )
Hasil uji f ’(x) = 6x2 – 6x – 12
24
- 12
24
Titik uji
-2
0
3
Tanda
+
+
atau dengan garis bilangan riil :
(+)
(-)
-1
(+)
uji terhadap f ’(x)
2
jadi dapat di simpulkan bahwa grafik fungsi f (x) naik pada I = (- , -1) dan
I = ( 2,  ), dan grafik fungsi f (x) turun pada I = (- 1, 2)
Grafik fungsinya dapat dilihat pada gambar berikut
3
2
grafik f(x) =2x + 3x -12x+7
20
f naik
f turun
10
f naik
0
sumbu y
-10
-20
-30
-40
-3
-2
-1
0
sumbu x
15
1
2
3
Uji Turunan Kedua
Definisi 3.
Misalkan f (x) punya turunan pada interval terbuka, I = (a, b), jika f ’(x) naik pada I
maka f dan grafiknya cekung keatas disana, dan jika f ’(x) turun pada I maka f dan
grafiknya cekung kebawah pada I.
Teorema 8. (uji turunan kedua untuk kecekungan)
Misalkan f terdiferensialkan dua kali (punya turunan kedua) pada interval terbuka
I = (a, b), oleh karenanya :
1. Jika f ’’(x) > 0 untuk semua x  I, maka grafik f (x) cekung ke atas pada I
2. Jika f ’’(x) < 0 untuk semua x  I, maka grafik f (x) cekung ke bawah pada I
Definisi 4. (titik belok / titik balik)
Andaikan fungsi f (x) kontinu di titik c, kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik
fungsi f (x) jika f (x) cekung keatas pada suatu sisi dan cekung ke bawah pada sisi
lainnya dari titik c.
Dalam pencarian titik-titik balik, kita mulai dengan mengenali titik-titik x dimana
f ’’(x) = 0 dan dimana f ’’(x) tidak ada, kemudian kita periksa apakah ianya benarbenar merupakan titik balik.
Contoh 23.
Jika diberikan fungsi f (x) =
1 3
x – x2 – 3x + 4, tentukan lah dimana kah grafik fungsi
3
f (x) naik, tururn, cekung keatas dan cekung ke bawah.
Penyelesaian.

Menentukan kemonotonan (dengan uji turunan pertama)
f (x) =
1 3
x – x2 – 3x + 4  f ’(x) = x2 – 2x – 3 = (x + 1) (x – 3), misalkan f ’(x) = 0
3
 (x + 1) (x – 3) = 0  diperoleh titik pemecah x = - 1 atau x = 3 yang membagi
grais bilangan riil menjadi tiga bagian, sehingga dengan mengambil titik uji di dapat
kesimpulan yang dinyatakan dalam tabel berikut :
16
Interval
(- , -1)
(- 1, 3)
( 3,  )
Hasil uji f ’(x) = x2 – 2x – 3
5
-3
5
Titik uji
-2
0
4
Tanda
+
+
dengan garis bilangan riil
(+)
(-)
(+)
uji terhadap f ’(x)
-1
3
 f naik pada (-  , - 1) dan (3, ), turun pada (- 1, 3).

Menentukan kecekungan
f ’(x) = x2 – 2x – 3, maka f ’’(x) = 2x – 2. berdasarkan teorema 4.3, maka
kita menguji turunan kedua. misal f ’’(x) = 0  2x – 2 = 0  x = 1, sehingga
(-)
(+)
uji terhadap f ’’(x)
1
maka f cekung kebawah pada (-  , 1) dan cekung keatas pada (1, ).
Grafik fungsinya dapat dilihat pada gambar berikut:
17