BAB 2 : DETERMINAN

BAB 2 : DETERMINAN
PERMUTASI
Kita sudah cukup mengenal fungsi-fungsi sinus, fungsi kuadrat,
juga fungsi konstant yang memetakan suatu bilangan riil ke bilangan riil.
Pada bagian ini akan dipelajari mengenai suatu fungsi yang memetakan
suatu matriks ke bilangan riil yang disebut dengan fungsi determinan.
Untuk itu sebelumnya akan dibahas tentang konsep permutasi yang
menjadi dasar perhitungan determinan.
Definisi Permutasi
(i) Suatu permutasi himpunan bilangan bilat {1,2,3,……,n}
merupakan suatu penyusuan bilangan-bilangan bulat tersebut
dalam sutu urutan tertentu tanpa penghilangan (Omission)
ataupun perulangan (repetition).
(ii) Barisan bilangan-bilangan (j1, j2, j3, …….jn) dimana berlaku ji≠jk
untuk i≠k (i=1,2,3………,n dan k=1, 2, 3, …………m) serta ji adalah
salah satu bilangan asli (1,2,3, ……..,n).
Contoh :
1. Terdapat 6 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat
{1, 2, 3} yaitu (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3,
2, 1). Suatu metode yang sistematis untuk menampilkan semua
permutasi adalah dengan pohon permutasi.
1
2
3
2
3
1
3
1
2
3
2
3
1
2
1
2. Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan bilangan bulat {1, 2,
3, 4}
Catatan
Apabila kita mempunyai n buah bilangan asli 1, 2, 3, ……, n maka
banyaknya permutasi yang dapat kita bentuk ada n!. misal n=3, maka
banyaknya permutasi = 3! = 3*2*1 = 6. jadi ada 6 buah permutasi
(seperti tampak pada contoh 1).
Definisi Inversi Permutasi
(i) Yang dimaksud inversi pada suatu permutasi (j1, j2, …….,jn) ialah
adanya jk<ji (jk mendahului ji) padahal ji<jk (i dan k=1, 2, …..n).
(ii) Suatu inversi dikatakan terjadi di dalam permutasi ((j1, j2, …….,jn)
apabila ditemukan bilangan bulat yang lebih besar berada di depan
bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi tersebut.
(iii) Sebuah permutasi dikatakan genap jika jumlah total inversi yang
terjadi genap dan dikatakan ganjil jika jumlah total inversi yang
terjadi ganjil.
(iv) Jika sebuah permutasi adalah permutasi genap maka tanda (sign)
dari permutasi tersebut adalah (+) dan jika suatu permutasi adalah
permutasi ganjil maka tanda dari permutasi tersebut adalah (-).
Contoh :
1. Misalkan ada permutasi (2,1,4,3), berapa banyaknya inversi pada
permutasi tersebut?
Penyelesaian
Misalkan
2
1
4
3
j2
j3
j4
j1
Terlihat bahwa : j1=2 mendahului j2=1, padahal 1<2
j3=4 mendahului j4=3, padahal 3<4
Total inversi adalah 2 dan termasuk inversi genap.
2. Diketahui permutasi
permutasi tersebut!.
(4,3,1,2).
Tentukan
banyaknya
inversi
Penyelesaian
Misalkan
4
3
1
2
j1
j2
j3
j4
Terlihat bahwa : j1=4 mendahului j2=3, padahal 3<4
j1=4 mendahului j3=1, padahal 1<4
j1=4 mendahului j4=2, padahal 2<4
j2=3 mendahului j3=1, padahal 1<3
j2=3 mendahului j4=2, padahal 2<3
Total inversi adalah 5 dan termasuk permutasi ganjil.
3. Tentukan inversi dari permutasi (1,2,3,4)!.
Penyelesaian
Karena urutannya sudah benar (terurut dari nilai terkecil ke nilai
terbesar) maka total inversinya adalah 0 dan termasuk permutasi
genap.
DETERMINAN
Konsep inversi permutasi yang sudah dijabarkan diatas akan
digunakan untuk menghitung determinan dari suatu matriks. Sekarang
pandang matriks bujursangkar A berorde (berukuran) n
A=
a11
a12 ……….a1n
a21
a22 ……….a2n
an1
an2 ….……ann
Definisi Determinan
Determinan dari matriks bujursangkar A berorde n adalah jumlah dari
semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks
tersebut.
Determinan dari suatu matriks A dituliskan
det(A) atau |A| = ∑ σ (j1, j2, …….,jn). a1j1, a2j2,……amjn
Contoh :
A=
a11
a12
a21
a22
Maka n=2, terdapat 2! = 2*1=2
Hasil kalinya sebagai berikut :
1. a11 a22 permutasi (1,2), banyaknya inversi=0 (permutasi genap).
Maka σ (1,2)= +1 jadi +a11 a22 .
2. a21 a12 permutasi (2,1), banyaknya inversi=1 (permutasi ganjil).
Maka σ (2,1)= -1 jadi -a21 a12
3. Maka det(A)=|A|=+a11 a22 -a21 a12
NILAI DETERMINAN
Nilai atau harga suatu determinan dapat diperoleh dengan berbagai
cara antara lain :
Langsung dengan aturan SARRUS (inversi permutasi)
Metode ekspansi dengan MINOR dan KOFAKTOR.
A. METODE SARRUS
Metode Sarrus pada dasrnya menggunakan inversi permutasi, tetapi
metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai atau harga determinan
yang berorde sampai dengan 3. sedangkan untuk determinan matriks
berorde lebih dari 3 digunakan metode ekspansi.
Misalkan diketahui matriks berorde 3
A=
a11
a12 a13
a21
a22 a23
a31
a32 a33
n=3 berarti hasil kalinya 3!=3.2.1=6, yaitu
a11a22 a33, permutasi (1,2,3). Banyaknya inversi=0
a12a23 a31 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=2
a13a21 a32 permutasi (3,1,2). Banyaknya inversi=2
a13a22 a31 permutasi (3,2,1). Banyaknya inversi=3
a11a23 a32 permutasi (1,3,2). Banyaknya inversi=1
a12a21 a33 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=1
Untuk lebih mudahnya dapat digambarkan
(+)
(+)
(+)
(-)
(-)
(-)
a11
a12 a13
a11
a12
a21
a22 a23
a21
a22
a31
a32 a33
a31
a32
(-)
= a11a22 a33 +a12a23 a31+a13a21a32-a13a22a31
-a11a23 a32 -a12a21 a33
(+)
Contoh :
1
1. Diketahui matriks A = 4
2
3
1
5
3
2
4
hitunglah |A|
Penyelesaian
A=
1
2
3
1
2
4
1
5
4
1
4
3
2
3
2
= 1.1.4+2.5.3+3.4.2-3.1.3-1.5.2-2.4.4
= 4+30+24-9-10-32
=7
2. Hitunglah |A| jika A=
0
6
0
8
6
8
3
2
2
Penyelesaian
A=
0
6
0
0
6
8
6
8
8
6
3
2
2
3
2
= 0.6.2+6.8.3+0.3.2-0.6.3-0.8.2-6.3.2
= 0+144+0-0-0-96
= 48
B. METODE EKSPANSI MINOR dan KOFAKTOR
Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka yang
dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari
determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-I dan kolom ke-j.
D=
a11
a12 a13
a14
a21
a22 a23
a24
a31
a32 a33
a34
a41
a42 a43
a44
Maka MINOR unsur a33 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2
M32=
a11
a13
a14
a21
a23
a24
a41
a43
a44
Sedangkan yang dimaksud dengan
determinan aij adalah Cij = (-1)i+j Mij.
KOFAKTOR
Maka KOFAKTOR unsur a32 = C32 = (-1)3+2
suatu
unsur
M32
Contoh :
A=
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Minor a32 =M32 =
2
4
5
7
= 2.7-4.5 = 14-20 = -6
Kofaktor a32 = C32 = (-1)3+2.(-6) = 6
Untuk mencari harga suatu determinan dengan orde ke-n (n>2)
yang pad ahakekatnya melukiskan polinomial homogen dengan orde ke-n
dapat dilakukan dengan ekspansi menurut ekspansi baris atau kolom.
Menurut Teorema LAPLACE
“Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemenelemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya”.
Dengan kata lain
n
|A|= ∑ aijcij = ai1ci1+ai2ci2+…………..+ aincin , dengan i sembarang. Disebut
j=1
uraian baris ke-i (Ekspansi Baris).
n
|A|= ∑ aijcij = a1jc1j+a2jc2j+…………..+ anjcnj , dengan j sembarang. Disebut
j=1
uraian kolom ke-i (Ekspansi Kolom).
Contoh :
Hitung determinan matriks A=
1
2
3
2
3
4
1
5
7
dengan minor dan kofaktor
Misalkan minor dan kofaktornya dicari dengan melakukan ekspansi kolom
ke-1 dari matriks A.
Maka minor a11=M11=
Minor a21=M21=
Minor a31=M31=
3
4
5
7
2
3
5
7
2
3
3
4
= 3.7-4.5=1
= 2.7-3.5=-1
= 2.4-3.3=-1
Mencari kofaktor dengan rumus Cij = (-1)i+j Mij.
Kofaktor a11 = C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2.1 = 1
Kofaktor a21 = C21 = (-1)2+1 M21 = (-1)3.(-1) = 1
Kofaktor a31 = C31 = (-1)3+1 M31 = (-1)4.(-1) =-1
n
Maka |A|= ∑ aijcij = a11C11+ a21 C21+ a31 C31 = 1.1+2.1+1.(-1)=1
j=1
Catatan
Dalam pemilihan kolom atau baris mana yang diekspansi , tidak menjadi
persoalan karena hasilnya akan sama saja.
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
Diberikan beberapa sifat penting dalam determinan
1. Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka
harga determinan = 0.
Contoh : A=
0
0
4
5
=0.5-0.4=0-0=0
2. Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi
kolom atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain
|A|=|A|T .
Contoh : A =
AT=
2
1
5
7
2
5
1
7
maka |A|=2.7-1.5=9
maka |A|=2.7-5.1=9
3. Pertukaran tempat antara baris dengan baris atau kolom dengan kolom
pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan.
Contoh : A=
1
2
3
4
maka |A|=1.4-2.3=-2
Jika baris 1 ditukar dengan baris 2 menjadi
A=
3
4
1
2
maka |A|=3.2-4.1=2
Jika kolom 1 ditukar dengan kolom 2 menjadi
A=
2
1
4
3
maka |A|=2.3-4.1=2
4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik,
maha harga determinan itu = 0.
Contoh : B=
1
2
0
1
2
0
3
-1
1
maka |A|= 0
5. Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan
dengan sebuah faktor (yang bukan 0), maka harga determinannya
dikalikan dengan faktor tersebut.
1
2
3
4
Contoh : A=
maka |A|=1.4-2.3=-2
Misalkan baris 1 dikalikan dengan 2 maka
1*2
A1=
2*2
2
4
3
4
=
3
= 2.4-4.3=-4
4
Terlihat bahwa | A1|=2|A|
Misalkan kolom 1 dikalikan dengan 3 maka
1 *3
A2=
2
3
2
9
4
=
3*3
4
= 3.4-2.9=-6
Terlihat bahwa | A2|=3|A|
6. Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang pada
baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (bukan 0) dan
menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang baris atau
kolom yang lain.
1
2
3
4
1
2
Contoh : A=
maka |A|=1.4-2.3=-2
A=
3
H12(3)
A1=
4
H1+3.H2
10
14
3
4
maka |A1|=-2
Terlihat bahwa |A1|=|A|
7. Bila A dan B bujursangkar maka |A.B|=|A|.|B|. Buktikan!
8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga
bawah, maka hasil determinanya merupakan hasil kali dari elemenelemen yang terletak pada diagonal utamanya.
Contoh : A=
B=
2
1
3
0
4
1
0
0
1
2
0
0
1
3
0
4
1
2
maka |A|=2.4.1=8
maka |B|=2.3.2=12
SOAL LATIHAN
1. Carilah banyaknya inversi pada permutasi-permutasi
a. (4,1,2,3), (4,3,2,1), (1,3,2,4)
b. (5,3,2,1,4), (1,3,5,4,2), (2,3,5,4,1)
2. Hitunglah determinan matriks
2
-2
3
a.
-
-√ 2
b.
1
3
c.
1
4
2
2√ 2
3. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut
t-2
t-5
2
a.
7
b.
-4
-1
t-1
t+3
4. Carilah
determinan
dari
matriks-matriks
menggunakan metode sarrus.
a.
2
1
1
0
5
-2
1
-3
4
b.
3
-2
-4
2
5
-1
0
6
1
c.
berikut
2
-4
1
1
-2
3
5
1
-1
dengan
5. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut dengan metode
ekspansi.
a.
5
4
2
1
2
1
3
2
2
3
1
-2
3
0
1
-2
-5
-7
-3
9
1
-1
4
3
1
-2
-1
4
2
2
-1
1
b.