Trigonometri - IPA

Trigonometri - IPA
Tahun 2005
1. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal melanjutkan
perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal
berangkat adalah ........
A . 10 37 mil
C . 30 (5 + 2 2 ) mil
B . 30 7 mil
D. 30 (5 + 2 3 ) mil
E. 30 (5 − 2 3 ) mil
Jawab:
U
B
T
C
S
α
A
30 0
60 mil
AC = ….?
B
30 mil
“ Patokan arah adalah dari utara ”
α = 90 0 + 30 0 = 120 0
Aturan cosinus
AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB . BC Cos α
= 30 2 + 60 2 - 2 . 30. 60 . cos 120 0
1
= 900 + 3600 – 3600 . (- )
2
= 4500 +1800 = 6300
AC =
6300 =
63.100 = 10 63 = 10 9.7 = 3. 10
7 = 30 7 mil
Jawabannya adalah B
2. Nilai dari tan 165° = ........
A.1B . -1 +
3
3
C . -2 + 3
D.2- 3
E.2+
www.belajar-matematika.com
3
1
Jawab:
rumus:
tan (180 0 - θ ) = -tan θ
tan 165° = tan(180 0 - 15 0 ) = - tan 15 0 = - tan (45 0
tan 45 0 − tan 30 0
=1 + tan 45 0 tan 30 0
1
1
1−
3
1−
3
3
3
== 1
1
1 + 1. 3
1+
3
3
3
2
1
4 2
1−
3+
−
3
3 =-3 3
=1
2
1−
3
3
=-2+ 3
Jawabannya adalah C
- 30 0 )
1
3
3
1
1−. 3
3
1−
3
=-
3 4 2
( −
3)
2 3 3
3. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 3 cos²x - 2 sin x . cos x - 1 - 3 = 0,
untuk 0° x 360° adalah ........
A . 45°, 105°, 225°, 285°
B . 45°, 135°, 225°, 315°
C . 15°, 105°, 195°, 285°
D . 15°, 135°, 195°, 315°
E . 15°, 225°, 295°, 315°
Jawab:
* cos 2A = cos 2 A - sin 2 A
cos 2A = cos 2 A –(1 - cos 2 A )
cos 2A = cos 2 A –1 + cos 2 A
cos 2A = 2 cos 2 A –1
2 cos 2 A = cos 2A + 1
* sin2A = 2 sin A cosA
2 3 cos²x - 2 sin x . cos x - 1 - 3 = 0
3 . 2cos²x - 2 sin x . cos x - 1 - 3 = 0
3 . ( cos2x + 1 ) – sin2x - 1 - 3 = 0
3 .cos2x +
3 – sin2x - 1 - 3 = 0
3 .cos2x – sin2x - 1 = 0
3 .cos2x – sin2x = 1
3 .cos2x – sin2x = k cos (2x - α )
; cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
www.belajar-matematika.com
2
= k cos 2x cos α + k sin 2x sin α
k cos α = 3
k sin α = - 1
tan α =
k sin α
−1
1
=
=3 (sin = - dan cos = + berada di kuadaran IV)
k cos α
3
3
α = 330 0
a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c
a2 + b2 :
b
tan α =
a
k=
k=
a2 + b2 =
( 3 ) 2 + (−1) 2 =
3 +1 = 2
dengan k = 2 dan α = 330 0
3 .cos2x – sin2x = k cos (2x - α )
3 .cos2x – sin2x = 2 cos (2x - 330 0 )
2 cos (2x - 330 0 ) = 1
1
cos (2x - 330 0 ) =
2
0
cos (2x - 330 ) = cos 60 0
atau cos (2x - 330 0 ) = cos 300 0
2x - 330 0 = 60 0
2x - 330 0 = 300 0
2x = 390 0 + k .360 0
2x = 630 + k . 360 0
jika k = 0 2x = 630 0
x = 315 0
jika k = -1 2x = 270 0
x = 135 0
jika k = 0 2x = 390 0
x = 195 0
jika k = -1 2x = 30 0
x = 15 0
Himpunan penyelesiannya adalah: {15 0 , 135 0 , 195 0 , 315 0 }
Jawabannya adalah D
Tahun 2006
4. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044 0 sejauh 50 km. Kemudian
berlayar lagi dengan arah 104 0 sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C
adalah…
A. 10 95 km
B. 10 91 km
C. 10 85 km
D. 10 71 km
E. 10 61 km
www.belajar-matematika.com
3
Jawab:
180 0 - 44 0 = 136 0
U
U
B
104 0
γ
044
0
C
A
γ = 360 0 - 104 0 - 136 0 = 120 0
B
40 km
50 km
120
0
A
C
Aturan cosinus
C
γ
b
a
α
β
A
c
B
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ
AC 2 = BC 2 + AB 2 - 2 BC. AB cos 120 0
= 40 2 + 50 2 - 2 . 40. 50 .( -
1
)
2
= 1600 + 2500 + 2000
= 6100
AC =
6100 =
61 . 100 = 10 61 km
Jawabannya adalah E
www.belajar-matematika.com
4
5. Nilai sin 105 0 + cos 15 0 =….
A.
1
(− 6 − 2 )
2
C.
1
( 6 − 2)
2
B.
1
( 3 − 2)
2
D.
1
( 3 + 2)
2
E.
1
( 6 + 2)
2
Jawab:
Sin (90 0 + θ ) = cos θ
sin 105 0 + cos 15 0 = sin (90 0 + 15 0 ) + cos 15 0
= cos 15 0 + cos 15 0
= 2 cos 15 0
= 2 cos (45 0 - 30 0 )
= 2 { cos 45 0 cos 30 0 + sin 45 0 Sin 30 0 }
1
1
1
1
=2.{
2 ,
3 +
2 .
}
2
2
2
2
1
1
= 2.{
6 +
2 }
4
4
1
1
1
=
6 +
2 = { 6 + 2 }
2
2
2
Jawabannya adalah E
Tahun 2007
6. Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan
sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p 2 meter, maka panjang
terowongan itu adalah … meter.
A. p √5
C. 3√2
B. p √17
D. 4p
www.belajar-matematika.com
E. 5p
5
Jawab:
C
pakai aturan cosinus:
AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 AC. BC. Cos α
45 0
2p 2
p
= (2p 2 ) 2 + p 2 - 2 (2p 2 ). p Cos 45 0
= 8p 2 + p 2 - 4p 2
A
?
B
2 .
1
2
2
= 9 p 2 - 4p 2 . 1
= 5p 2
AB =
5p2 = p 5
Jawabannya adalah A
7. Nilai dari cos 40° + cos 80° + cos 160° = ….
A. –½√2
C. 0
B. –½
D. ½
E. ½√2
Jawab:
cos A + cos B = 2 cos
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
cos 40° + cos 80° + cos 160° = (cos 40° + cos 80°) + cos 160°
= 2 cos
1
1
( 40° + 80°) cos ( 40° - 80°) + cos 160°
2
2
= 2 cos 60° cos -20° + cos 160° ; cos -20° = cos 20°
=2.
1
cos 20° + cos 160°
2
= cos 20° + cos 160°
= 2 cos
1
1
( 20° + 160°) cos ( 20° - 160°)
2
2
= 2 cos 90 0 cos -70 0 = 2 cos 90 0 cos 70 0
= 2 . 0 . cos 70 0 = 0
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com
6
Tahun 2008
8. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x 0 + 7 sin x 0 – 4 = 0, 0 ≤ x ≤ 360 adalah ….
A. { 240,300 }
C. { 120,240 }
B. { 210,330 }
D. { 60,120 }
E. { 30,150 }
Jawab:
cos 2x 0 = cos 2 x 0 - sin 2 x 0 = (1 - sin 2 x 0 ) - sin 2 x 0
= 1 – 2 sin 2 x 0
cos 2x 0 + 7 sin x 0 – 4 = 1 – 2 sin 2 x 0 + 7 sin x 0 – 4 = 0
= – 2 sin 2 x 0 + 7 sin x 0 - 3 = 0
= (-2sin x 0 + 1)(sin x 0 - 3 ) = 0
-2sin x 0 + 1 = 0
; sin x 0 - 3 = 0
- 2sin x 0 = -1
sin x 0 = 3 ; tidak berlaku karena maksimum nilai sin x 0
adalah 1
sin x 0 =
1
2
Nilai sin x 0 berada di kuadran I dan II (nilai positif untuk sin x 0 )
Nilai sin x 0 adalah 30 0 dan 180 0 - 30 0 = 150 0 ( Sin (180 0 - θ ) = sin θ )
Himpunan penyelesaian { 30,150 }
Jawabannya adalah E
9. Nilai dari
cos 50° + cos 40°
adalah ….
sin 50° + sin 40°
A. 1
C. 0
B.
D.
1
2
2
−
E. - 1
1
3
2
Jawab:
cos A + cos B = 2 cos
Sin A + sin B = 2 sin
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
www.belajar-matematika.com
7
1
1
2 cos (50 0 + 40 0 ) cos (50 0 − 40 0 )
cos 50° + cos 40°
2
2
=
1
1
sin 50° + sin 40°
0
0
2 sin (50 + 40 ) cos (50 0 − 40 0 )
2
2
1
2
2 cos 45 cos 5
2 cos 45
2
=
=
=
=1
1
2 sin 45 0 cos 5 0
2 sin 45 0
2. . 2
2
0
0
2.
0
Jawabannya adalah A
10. Jika tan α = 1 dan tan β =
1
dengan α dan β sudut lancip, maka sin ( α + β ) = ….
3
A.
2
5
3
C. ½
B.
1
5
3
D.
E.
1
5
2
5
Jawab:
tan α = 1 sin α = cos α =
tan β =
1
y
3
x
1
2
2
1
10
3
sin β =
y
r
cos β =
x
=
r
; r = 12 + 3 2 = 10 sin β =
3
10
=
1
10
=
1
10
10
10
=
1
10
10
3
10
10
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α Sin β
=
1
3
1
1
2.
10 +
2.
10
2
10
2
10
=
3
20
20 +
1
20
20 =
4
20
20 =
1
2
.2 5 =
5
5
5
Jawabannya adalah A
www.belajar-matematika.com
8
11. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 600 dan sudut ABM = 750.
maka AM = … cm.
A.150 ( 1 +
B. 150 ( 2 +
3 )
C. 150 ( 3 +
3 )
D. 150 (
3 )
2 +
E. 150 ( 3 +
6 )
6 )
Jawab:
M
45 0
600
A
750
300 cm
B
∠M = 180 0 - (60 0 +75 0 ) = 45 0
Aturan sinus:
AM
AB
MB
=
=
0
0
sin 75
sin 45
sin 60 0
AM
AB
AB
300
=
AM =
. Sin 75 0 =
. Sin 75 0
0
0
0
1
sin 75
sin 45
sin 45
2
2
sin 75 0 = sin (45 0 + 30 0 )
= sin 45 0 cos 30 0 + cos 45 0 sin 30 0
=
1
2
2 .
1
2
3 +
1
2
2 .
1
2
=
300
300
1
1
. Sin 75 0 =
.
2(
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
= 300 . (
3 + ) = 150. ( 3 +1)
2
2
Jawabannya adalah A
AM =
1
3+ )
2
www.belajar-matematika.com
9
Tahun 2009
12. Himpunan penyelesaian persamaan sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah ….
A. { 45,135 }
C. { 45,225 }
B. { 135,180 }
D. { 135,225 }
E. { 135,315 }
Jawab:
sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0
(sin 2x- 2) (sin 2x + 1) = 0
sin 2x- 2 = 0
atau sin 2x + 1 = 0
sin 2x = 2 tidak ada
sin 2x = -1
sin 2x = sin 270 0
2x = 270 0 + k . 360 0
x = 135 0 + k . 180 0
untuk k = 0 x = 135 0
k = 1 x = 315 0
Jadi himpunan penyelesaiannya { 135,315 }
Jawabannya adalah E
13. Dalam suatu segitiga ABC diketahui cos A =
A.
56
65
C.
−
16
65
B.
33
65
D.
−
33
65
3
5
dan cos B =
. Nilai sin C = ….
5
13
E. −
56
65
Jawab:
Sin C = sin (180 0 -( A + B ))
= sin ( A + B )
= sin A cos B + cos A sin B
sin 2 A + cos 2 A = 1
sin 2 A = 1 - cos 2 A
www.belajar-matematika.com
10
3
9
16
= 1 - ( )2 = 1 =
5
25
25
16
4
=
25
5
Sin A =
sin 2 B + cos 2 B = 1
sin 2 B = 1 - cos 2 B
=1- (
5 2
25
144
) =1=
13
169 169
144
12
=
169
13
Sin B =
Sin C = sin A cos B + cos A sin B
=
4 5
3 12
20 + 36
56
.
+ .
=
=
5 13
5 13
65
65
Jawabannya adalah A
14. Diketahui sin α =
1
13 , α sudut lancip. Nilai dari cos 2 α = ….
5
1
5
A. – 1
C. −
B. – ½
D. −
E. 1
1
25
Jawab:
cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α = 1 - 2 sin 2 α
= 1–2 (
=1–2.
1
13 ) 2
5
13
25 − 26
1
=
=25
25
25
Jawabannya adalah D
www.belajar-matematika.com
11
Tahun 2010
15. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2 x – 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah
….
π 5π 
A.  , 
6 6 
π 2π 
C.  , 
3 3 
π 11π 
B.  ,

6 6 
π 5π 
D.  , 
3 3 
 2π 4π 
E.  , 
 3 3 
Jawab:
2cos2 x – 3 cos x + 1 = 0 ; misal cos x = y
2 y2 - 3 y + 1 = 0
(2y -1) (y -1) = 0
2y-1 = 0
y=
1
1
cos x =
2
2
x = 60 0 (
π
3
) dan 300 0 (
5π
)
3
y-1 = 0
y = 1 cos x = 1
x = 00
dan 360 0 (2 π ) tidak memenuhi 0 < x < 2π
π 5π 
Himpunan penyelesaiannya adalah  , 
3 3 
Jawabannya adalah D
16. Hasil dari
A. - 3
B. -
1
3
sin(60 − α ) 0 + sin(60 + α ) 0
= .…
cos(30 + α ) 0 + cos(30 − α ) 0
C.
3
1
3
3
E.
3
D. 1
www.belajar-matematika.com
12
Jawab:
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)
sin(60 − α ) 0 + sin(60 + α ) 0
sin(60 + α ) 0 + sin(60 − α ) 0
=
cos(30 + α ) 0 + cos(30 − α ) 0 cos(30 + α ) 0 + cos(30 − α ) 0
=
2 sin 60 0 cos α 0
sin 60 0
=
2 cos 30 0 cos α 0
cos 30 0
1
3
2
=
=1
1
3
2
Jawabannya adalah D
17. Diketahui (A+B) =
π
3
dan sin A sin B =
C.
1
2
D.
3
4
A. –1
B. -
1
2
1
. Nilai dari cos (A – B) = ….
4
E. 1
Jawab:
-2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) sin A sin B = -
1
1
{ cos (A+B) – cos(A-B)} =
2
4
-
1
π
1
{ cos ( ) – cos(A-B)} =
2
3
4
-
1 1
1
{
– cos(A-B)} =
2 2
4
1
{ cos (A+B) – cos(A-B)}
2
1
2
1
– cos(A-B) = =2
4
2
1 1
+
= cos(A-B)
2 2
cos(A-B) = 1
Jawabannya adalah E
www.belajar-matematika.com
13