integral tak tentu dan tertentu

Integral Tak Tentu
dan
Integral Tertentu
Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang
bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau
integral dari f(x).
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x
dinotasikan sebagai berikut :

• 
f x dx  F x   c
notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz,
seorang matematikawan Jerman)
• f(x)
fungsi integran
• F(x)
fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)
• c
konstanta pengintegralan
1 n 1
f x  
x c
,n
n 1
• Jika f ‘(x) = xn, maka
≠ -1, dengan c sebagai konstanta
Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
didiferensialkan pada interval sedemikian
hingga maka antiturunan dari f(x) adalah
F(x) + c
• Secara matematis, ditulis

f x dx  F x   c
• di mana
•
Lambang integral yang
dx

menyatakan operasi antiturunan
• f(x)
Fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
• c
Konstanta
Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
1 n 1
n
x dx 
x  c , c adalah konstanta.

n 1
Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka




kf
x
dx

k
f
x
dx


Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka










f
x

g
x
dx

f
x
dx

g
x
dx



Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka










f
x

g
x
dx

f
x
dx

g
x
dx



Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tak nol maka
1
t 1
 ux u' xdx  r  1 ux  c
r
, dimana c adalah konstanta dan r
≠ -1.
Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
udv

uv

vdu


Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
cos
xdx

sin
x

c

 sin xdx   cos x  c
1
 cos 2 x  tan x  c
• dimana c adalah konstanta.
METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita
mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar
dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
1. 2 x ( x 2  4)5 dx  ...
Jawab :
u = x2 + 4


du
du = 2x dx  dx 
2x

du
1 6
1 2
5
u 2x
 u du  u  c  ( x  4) 6  c
2x
6
6
2.
5
2 x 2 dx
x3  1
...( buat latihan )
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
 u.dv   d (u.v)  v.du
 u.dv  u.v  v.du
yang
perlu diperhatikan pada metode ini adalah :
(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).

u.
dv
v
du
harus
lebih
mudah
dari

Contoh :
 ln x dx
=
 u.dv
Jawab :
u  ln x
dv = dx
1
du  dx
x
v=x
Jadi :
ln
x
dx

= xln x -
dx

= x ln x – x + c
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
a0 x  a1 x
n
n 1
 a2 x
n2
 ......  an1 x  an
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
P( x)
H ( x) 
Q( x)
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom
Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)
disebut “Rasional Sejati”
Contoh :
2x 2  x  2
H ( x)  3
x  2x 2  x  2
Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
x 4  10 x 2  3x  1
3x  23
2
H ( x) 
 x 6 2
2
x 4
x 4
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
P( x)
: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
Q( x)
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
Q( x)  ( x  a1 )( x  a2 ).....( x  an )
, maka
:
An
A1
A2
P( x)


 ..... 
Q( x) ( x  a1 ) ( x  a 2 )
( x  an )
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
Q( x)  ( x  a) n
, maka
:
An
A1
A2
P( x)



.....

Q( x ) ( x  a ) ( x  a ) 2
( x  a) n
3. Q(x) adalah kuadratis,
Q( x)  (ax 2  bx  c)(dx 2  ex  f )
, maka
:
P( x)
Ax  B
Cx  D


Q( x) (ax 2  bx  c) (dx 2  ex  f )
contoh :
( x  1)
1. 2
dx  ....
x x2
jawab :
x 1
A
B
A( x  1)  B( x  2)



( x  2)( x  1) x  2 x  1
( x  2)( x  1)

2 – 1 = A(2+1)
1 = 3A  A = 1/3
x = -1  -1 – 1 = B(-1-2)
=
-2= -3B  B = 2/3
Jadi,
1 dx
2 dx
( x  1)
 x 2  x  2 dx  3 x  2 + 3 x 1
x=2


1
2
 ln | x  2 |  ln | x  1 | c
3
3
( x  1)
2. 2
dx  ....
x  2x 1
x 1
A
B
A( x  1)  B



2
2
x  1 ( x  1)
( x  1)
( x  1) 2
x=1
mis, x = 0


1+1=B B=2
0 +1 = A(0 – 1) + B
1=-A+2 A=1
Jadi,
( x  1)
 x 2  2 x  1 dx 
dx
 x 1
dx
+ 2
( x  1) 2
2
 ln | x  1 | 
c
( x  1)
SUBTITUSI TRIGONOMETRI
,
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :
a 2  b2 x 2 ,
a 2  b 2 x 2 , atau
b2 x2  a2
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat
ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan
menggunakan variabel baru :
Bentuk
a b x
2
2
2
a2  b2 x2
b2 x2  a 2
Subtitusi
Memperoleh
a
sin z
b
a
x  tg z
b
a 2  b 2 x 2  a cos z
x
x
a
sec z
b
a 2  b 2 x 2  a sec z
b 2 x 2  a 2  a tg z
contoh :
1.
,
9  4x2
dx  ....
x
jawab :
3
x  sin z
2
Jadi,


3
dx  cos zdz
2
9  4 x 2  3 cos z
9  4x2
3 cos z 3
cos 2 z
dx  
( cos z dz )  3
dz
3
x
sin z
sin z 2
2
2
1  sin z
3
dz  3 cos ec z dz  3 sin z dz
sin z
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c


3  9  4x2
 3 ln |
|  9  4x2  c
2x
2.
dx
x2 4  x2
 ....
jawab :
,
x  2 tg z
 dx  2 sec2 zdz
4  x 2  2 sec z
Jadi,
x
dx
2
4 x
2

2 sec 2 z
cos z
dz

 (4tg 2 z)(2 sec z)  4 sin 2 z dz
2
1
1 d (sin z )
4

x
c  
 
c
2

4 sin z
4 sin z
4x
Integral TerTentu
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :
• Dimana :
b
f
(
x
)
dx

a
•
f(x)
a
b
: integran
: batas bawah
: batas atas
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
 f ( x)dx  F ( x)
a
 F (b)  F (a)
a
5
4

f ( x ) dx  0
a
b
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
b
2
 


x 
1 52 1 5
5


x
dx


x

2

2
2
 
2
5
 5 2 5
1
 32  32  0
5
2
a
5
x 
1 55 1 5
5
x
dx


x

5

2
2
 
2
5
5
5
 2
1
 3125  32  618,6
5
5
b
b
5
4
2
 
x 
1 52
1
  x dx       x 5   25  55 
5
5
 5 5
5
1
  32  3125  618,6
5
2
5
4
 
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
b
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
a
a
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
5
x 
1 55
2 5x dx  5  5   5. 5 x 2
2
 3125  32  3093
5
5
 
4
 x
5
4

5
5
2
2
 5 x 4 dx   x 4 dx   5 x 4 dx
2
 618,6  3093  3.7111,6
c

a
b
b
c
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
3
5
5
2
3
2
4
4
4
x
dx

x
dx

x


 dx  618,6