BAB 1 - Direktori File UPI

Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
BAB 1
DERET TAKHINGGA
Barisan Takhingga
Barisan adalah susunan bilangan-bilangan riil secara berurutan. Perhatikan contoh berikut.
(a) 2, 4, 8, 16, …
(b)
1
2
, 14 , 18 , 161 ,...
(c) 1, 4, 7, 10, 13, …
Secara umum, barisan dapat ditulis
{an }n 1
a1 , a2 , a3 ,...
dengan an memenuhi persamaan tertentu. Pada contoh di atas, masing-masing dapat ditulis dalam
rumus sebagai berikut.
(a) an
2n
{an }n 1
2,4,8,16,...
(b) an
( 12 ) n
{an }n 1
1
2
(c) an
3n 2
{an }n 1 1,4,7,10,13
, 14 , 18 , 161 ,...
Konvergensi Barisan
Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L (bilangan berhingga) jika memenuhi
lim{an } L
n
Jika syarat di atas tidak dipenuhi, barisan dikatakan divergen.
Sifat-sifat Limit Barisan
Misalnya {an} dan {bn} adalah barisan konvergen dan k adalah konstanta.
(1) lim k
n
k
(2) lim kan
n
(3) lim(an
n
k lim an
n
bn ) lim an lim bn
n
(4) lim(an bn )
n
(5) lim
n
an
bn
Aip Saripudin
n
lim an lim bn
n
n
lim an
n
lim bn
n
Bab 1 Deret Takhingga - 1
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Cari lim
CONTOH 1
n
n2
.
4n 2 5
Penyelesaian
Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat terbesar dari n (dalam hal ini, n2) maka diperoleh
lim
n
CONTOH 2
n2
4n 2 5
lim
n
1
4 5 / n2
1
1
.
4
4 0
Diketahui sebuah barisan sebagai berikut.
1
2
, 23 , 34 , 54 ,...
(a) Nyatakan barisan tersebut dalam rumus eksplisit.
(b) Apakah barisan di atas konvergen?
Penyelesaian
(a) Pada barisan di atas, penyebut selalu lebih besar 1 daripada pembilang. Jika pembilang diberi
simbol n, penyebut menjadi n + 1. Dengan demikian, rumus eksplisit barisan di atas adalah
n
an
n 1
.
(b) Uji konvergensi
lim an
n
Karena lim an
n
n
n 1
lim
n
1
1 1/ n
1
1 0
1
1 (bilangan berhingga), maka {an} konvergen menuju 1.
n
CONTOH 3
lim
Apakah {a n } dengan an
e 2n
konvergen?
n 2 3n 1
Penyelesaian
Untuk menguji konvergensi barisan di atas, cari limit an untuk n
. Jika kita masukkan n =
pada soal ini, akan diperoleh bentuk taktentu / . Kita gunakan dalil L’Hopital:
lim an
n
Karena lim an
lim
n
e 2n
2e 2 n
lim
n 2 3n 1 n 2n 3
lim
n
4e 2 n
2
(takhingga), maka {an} divergen menuju .
n
LATIHAN 1.1
Untuk Soal 1 – 5, tuliskan lima suku
pertama barisan berikut. Tentukan apakah
barisan tersebut konvergen atau divergen.
1.
an
Aip Saripudin
n 1
3n 2
2.
an
3n 2 2
2n 1
3.
an
( 1) n
n
n 2
Bab 1 Deret Takhingga - 2
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
4.
5.
ln n
an
6.
1 2 3 4
, , , ,...
2 2 23 2 4 25
7.
1,
8.
1
4
n
e n sin n
an
Untuk Soal 6 – 10, cari rumus eksplisit an
untuk setiap barisan berikut. Tentukan
apakah barisan tersebut konvergen atau
divergen.
1
1
1
2
,
1
2
3
1
,
1
1
3
4
,...
1
, 161 , 811 , 256
,...
1, 12 , 16 , 121 ,...
9.
10.
1
3
, 94 ,
9 16
27 81
, ,...
Deret Takhingga: Deret Khusus dan Konvergensinya
Secara umum, deret takhingga ditulis sebagai berikut.
an
a1
a2
a3 ...
n 1
Konvergensi Deret
a n dikatakan konvergen dan memiliki jumlah S jika barisan jumlah parsial ke-
Deret takhingga
n 1
n {Sn} konvergen menuju S. Jika {Sn} divergen, deret tersebut divergen. Deret divergen tidak
memiliki jumlah.
CONTOH 1
Tentukan konvergensi jumlah deret berikut.
4
3
4
9
4
27
4
81
...
Penyelesaian
Jumlah parsial ke-n deret tersebut adalah
S1
4
3
S2
4
3
4
9
16
9
S3
4
3
4
9
4
27
52
27
4
3
4
9
4
27
...

Sn
4
3n
2
2
3n
Maka
lim S n
n
Dengan demikian, jumlah deret
Aip Saripudin
4
3
4
9
4
27
lim 2
n
4
81
2
3n
2
... konvergen menuju 2.
Bab 1 Deret Takhingga - 3
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Deret Geometri
Deret geometri memiliki bentuk
ar n 1
a ar ar 2
ar 3 ...
n 1
an 1
.
an
0, r
dengan a
Deret geometri konvergen untuk -1 < r < 1 dan divergen untuk r < –1 atau r > 1. Untuk deret
geometri konvergen, jumlahnya memenuhi
S
a
lim S n
1 r
n
n
ar k
dengan S n
1
a ar ar 2
ar 3 ... ar n 1
k 1
CONTOH 2
Tentukan jumlah deret berikut.
1
2
1
4
1
8
1
16
...
Penyelesaian
1
4
Rasio deret r
1
2
1
2
1
2
dan a
maka jumlahnya adalah
S
1
2
a
1 r
1
1
2
1
Deret Harmonik
Deret harmonik memiliki bentuk sebagai berikut.
n 1
1
1
1
n
2
1
3
1
...
4
Deret harmonik merupakan deret divergen. Buktinya sebagai berikut.
Sn
1
1
2
1
3
1
1
2
1
1
2
2
4
4 8
1
...
8 16
n
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
4
1
4
Jelas bahwa lim S n
1
1
...
5
n
1
5
1
6
1
7
1
8
1
1
...
9
16
...
1
n
1
1
...
2
n
sehingga deret harmonik divergen menuju takhingga.
n
Aip Saripudin
Bab 1 Deret Takhingga - 4
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Deret Kolaps (Collapsing Series)
Deret kolaps memiki bentuk umum sebagai berikut.
(an
an 1 ) (a1 a2 ) (a2
a3 ) ( a3
a4 ) ... a1 an 1
n 1
CONTOH 3
1
konvergen. Tentukan jumlahnya.
k ( k 1)
Tunjukkan bahwa
k 1
Penyelesaian
Dengan dekomposisi parsial diperoleh
1
k (k 1)
1
k
1
k 1
maka
n
Sn
k 1
1
k
1
k 1
1
1
2
1
2
1
3
1
n
...
1
n 1
1
1
n 1
Selanjutnya,
lim S n
n
lim 1
n
1
n 1
1 0 1
Dengan demikian, deret tersebut konvergen dan jumlahnya 1.
Deret-p
Deret-p memiliki bentuk sebagai berikut.
n 1
1
np
1
1
2p
1
3p
1
4p
...
dengan p konstanta. Deret-p konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1 {Bukti konvergensi ini
ditunda dulu hingga Anda selesai mempelajari beberapa metode uji konvergensi).
Uji Suku ke-n untuk Konvergensi: Uji Pendahuluan
Jika lim an
n
0 atau tidak ada, deret tersebut divergen. Jika lim an
n
a n perlu diuji
0 , deret
n 1
lagi dengan metode lain apakah ia konvergen atau divergen.
CONTOH 4
Tunjukkan bahwa
n 1
Aip Saripudin
n2
divergen.
2n 2 n
Bab 1 Deret Takhingga - 5
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Penyelesaian
lim an
n
lim
n
n2
2n 2 n
1
lim
n
2
1
1
n
1
.
2
2 0
Dengan demikian, sesuai dengan uji suku ke-n, deret tersebut divergen.
LATIHAN 1.2
Untuk Soal 1 – 6, tentukan apakah deret
berikut konvergen atau divergen. Jika
konvergen, cari jumlahnya. Petunjuk: untuk
memudahkan, tulis beberapa suku awal deret
tersebut.
1 n
5
1.
deret tersebut divergen atau perlu uji
lanjutan. Ingat, uji pendahuluan tidak dapat
digunakan untuk menyimpulkan bahwa
deret konvergen.
7.
1
2
8.
n 1
k 1
9.
k 1
2
k (k 2)
10.
k 1
k 5
k 2
2.
3.
5.
6.
k 1
1
4
16
17
25
26
36
37
...
n 3
n 10n
2
n 1
2
k
9
10
4
5
n!
n 1 ( n 1)!
( 1) n n 2
( n 1) 2
Catatan:
k 2
n! n(n 1)(n 2)3 2 1
0! = 1! = 1
Untuk Soal 7 – 10, gunakan uji pendahuluan
(uji suku ke-n) untuk menyatakan bahwa
Tanda seru “!” dibaca faktorial.
Uji Konvergensi Deret Positif
Uji Perbandingan
Misalnya 0
an
bn untuk n N.
(1)
bn konvergen
(2)
a n divergen
a n konvergen.
bn divergen.
Untuk uji perbandingan, kita dapat melakukan perbandingan suatu deret dengan deret yang
konvergensi atau divergensinya sudah kita ketahui. Dalam hal ini, telah diketahui konvergensi atau
divergensi beberapa deret sebagai berikut.
Aip Saripudin
Bab 1 Deret Takhingga - 6
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
(1) Deret Geometri
ar n konvergen jika –1 < r < 1 dan divergen jika r < –1 atau r > 1.
n 1
(2) Deret-p
n 1
1
konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1.
np
(3) Deret Harmonik
1
divergen.
n 1 n
CONTOH 1
n
Apakah
n 1
3n
2
1
konvergen atau divergen?
Penyelesaian
1
. Sementara itu,
3n
Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai
n
3n
2
1
n
3n 2
1 1
3 n
1
divergen (sepertiga kali deret harmonik). Dengan demikian, sesuai uji
n 1 3n
n
perbandingan,
divergen.
2
1
n 1 3n
Kita tahu bahwa
CONTOH 2
Tentukan konvergensi
3n 1
.
3
2
n 1 3n
Penyelesaian
Untuk n besar, suku ke-n deret di atas menyerupai
1
. Deret
n2
1
1
adalah deret-p dengan p = 2
n2
> 1. Kita tahu bahwa deret-p konvergen untuk p > 1. Selanjutnya diketahui
3n 1
3n 3 2
Dengan demikian, sesuai dengan uji perbandingan,
1
n2
3n 1
konvergen.
3
2
n 1 3n
Uji Limit Perbandingan
Misalnya an
Aip Saripudin
0 , bn
0 , dan lim
n
an
bn
L.
Bab 1 Deret Takhingga - 7
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
a n dan
(1) 0 < L <
bn divergen
(2) L = 0 dan
CONTOH 3
bn sama-sama konvergen atau sama-sama divergen.
Tentukan apakah
a n konvergen.
n
konvergen atau divergen.
2n 3
n2
1
Penyelesaian
Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai 1/n. Oleh karena itu, pilih
bn
1
maka
n
lim
n
bn
Karena
1
1
CONTOH 4
an
bn
lim
n2
n
n
2n 3
1
n
lim
n
1
divergen (deret harmonik), maka
n
1
n2
n
2
n2
1
2n 3
n
divergen.
2n 3
2n 1
konvergen atau divergen.
n 2n 2 5
Tentukan apakah
3
1
Penyelesaian
Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut mirip 1/n2. Oleh karena itu, pilih bn
lim
n
bn
Karena
1
CONTOH 5
1
an
bn
lim
n
2n 1
3
n 2n 2 5
1
n2
lim
n
2n 3 n 2
1
n 3 2n 2 5
1
konvergen (deret-p dengan p = 2 > 1), maka
n2
Tentukan konvergensi
1
maka
n2
2n 1
konvergen.
n 2n 2 5
3
1
ln n
.
n 1 n
Penyelesaian
Mirip bentuk rumus eksplisit suku ke-n seperti apakah
membandingkannya dengan
1
. Karena itu, pilih bn
n
lim
n
Aip Saripudin
an
bn
lim
n
ln n
n
1
n
ln n
? Kita coba dengan
n
1
maka
n
lim ln n
n
Bab 1 Deret Takhingga - 8
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Ternyata uji di atas gagal karena tidak sesuai dengan syarat uji perbandingan limit. Kita coba lagi
1
dengan memilih b
lim
n
maka
n
an
bn
ln n
n
lim
n
1
lim
ln n
n
n
lim
n
n
1/ n
lim
n
1/ 2 n
2
n
0
{Limit di atas diperoleh dengan dalil L’Hopital}
1
1
divergen (deret-p dengan p = ½ < 1) maka, sesuai syarat uji
1/ 2
n n1n
n 1
ln n
perbandingan limit,
konvergen.
n 1 n
Karena
Uji Integral
Misalnya f merupakan fungsi kontinu, positif, dan tidak naik pada interval [1, ) dan anggap
an f (n) untuk semua bilangan positif n. Deret takhingga
f (n)dn konvergen.
a n konvergen jika dan hanya jika integral improper
n 1
CONTOH 6
1
1
Gunakan uji integral untuk menentukan apakah
n 1
n 1
konvergen atau divergen.
Penyelesaian
t
lim
t
1
n 1
1
Dengan demikian,
n 1
CONTOH 7
1
dn
t
lim ln( n 1) 1
t
lim ln( t 1) ln 2
t
divergen.
n 1
Tunjukan bahwa deret-p (a) konvergen jika p > 1 dan (b) divergen jika p
1.
Penyelesaian
Seperti telah dituliskan pada subbab 1.2, deret-p berbentuk
n 1
1
np
1
1
2p
dengan p konstanta. Untuk p > 0, fungsi f ( x)
t
(a) Untuk p > 1,
1
Aip Saripudin
1
dn
np
t
p
n dn
1
1
3p
1
4p
...
1
kontinu, positif, dan tidak naik pada [1, ).
xp
n1 p
1 p
t
1
t1 p 1
1 p
Bab 1 Deret Takhingga - 9
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Selanjutnya, lim t 1
p
t
0 . Dengan demikian
n 1
t
(b) Untuk p = 1:
1
Selanjutnya, lim ln t
t
1
dn
np
Untuk 0 < p < 1:
1
ln n 1
ln t
1
1
divergen.
np
n 1
t
t
n 1 dn
maka
t
1
konvergen untuk p > 1.
np
t
1
dn
np
t
n1 p
1 p
p
n dn
1
t1 p 1
1 p
1
Karena 0 < p < 1 maka u = 1 – p > 0. Selanjutnya, lim t 1
p
lim t u
t
maka
t
n 1
1
np
divergen.
p < 0 maka –p = u > 0 sehingga an
Untuk p < 0,:
pendahuluan (uji suku ke-n): lim nu
maka
n
n 1
1
np
n
p
n u . Dengan uji
1
divergen.
np
Dari ketiga kondisi di atas diperoleh simpulan bahwa
n 1
1
divergen untuk p 1.
np
Uji Rasio
a n merupakan deret suku-suku positif dan lim
Misalnya
n
(1) Jika
< 1, deret tersebut konvergen.
(2) Jika
> 1 atau
(3) Jika
= 1, gunakan uji konvergensi lain.
CONTOH 8
an 1
an
.
= , deret tersebut divergen.
Uji konvergensi deret berikut.
1 1 1
1
...
...
2! 3! 4!
n!
1
Penyelesaian
Deret tersebut memiliki suku ke-n: an
lim
n
Karena
an 1
an
lim
n
1
dan suku ke-(n+1): an 1
n!
1
1
(n 1)! n!
lim
n
1
(n 1)!
n!
1
lim
n
(n 1)!
n 1
maka
0.
< 1 maka deret tersebut konvergen.
Catatan:
Aip Saripudin
Bab 1 Deret Takhingga - 10
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
n!
(n 1)!
CONTOH 9
n(n 1)(n 2)3 2 1
(n 1)(n)(n 1)(n 2)3 2 1
1
.
n 1
Uji konvergensi deret berikut.
n 1
2n
.
n2
Penyelesaian
2n 1
maka, dengan
(n 1) 2
2n
dan a n
n2
Suku ke-n dan ke-(n+1) deret tersebut masing-masing a n
uji rasio,
an 1
an
lim
n
lim
n
2n 1
(n 1) 2
2n
n2
lim
n
2n 2
(n 1) 2
lim
8.
n2e
n
2
(1
2
(1 0) 2
1 2
n
)
2.
= 2 > 1 maka deret tersebut divergen.
LATIHAN 1.3
Untuk Soal 1 – 4, gunakan uji perbandingan
atau perbandingan limit untuk menentukan
konvergensi deret.
n 1
2.
n n 1
n 1
n 1
n 1
en
n2
10.
1
2n
2
4.
n 1
4n
n!
9.
ln n
2
n 1 n
3.
n 1
Gunakan uji rasio untuk menentukan
konvergensi deret pada Soal 8 – 12 berikut.
1
1.
n3
2n 1
n3
11.
n
32 n
3n
0 2
12.
n 1
en
n!
Gunakan uji integral untuk menentukan
konvergensi deret pada Soal 5 – 8 berikut.
5.
n 1
Tentukan konvergensi deret pada Soal 13 –
20 berikut. Tuliskan uji yang digunakan.
1
n ln n
13.
n
6.
n 1
2
n3 1
n
7.
n 1
(n
2
Aip Saripudin
1)
2
1
22
2
32
3
42
14. 1
1
2 2
15.
n 1
n2 1
n 1
1
3 3
4
52
1
4 4
...
...
Bab 1 Deret Takhingga - 11
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
16.
nn
n 1 ( 2n)!
ln n
17.
n 1
18.
n
n 1
n2 1
3n
n 1
3n 1
n3 4
19.
20.
n
n
n
1 3
Deret Berganti Tanda; Konvergensi Mutlak dan Konvergensi
Bersyarat
Deret berganti tanda memiliki bentuk umum sebagai berikut.
( 1) n 1 an
a1 a2
a3
a4 ...
n 1
dengan an
an 1
0.
Jika lim an
0 , deret tersebut konvergen.
CONTOH 1
Tunjukkan bahwa
n
( 1) n
n 1
1
1
konvergen.
n
Penyelesaian
lim
n
1
n
0
Jelas bahwa deret tersebut konvergen.
Konvergensi Mutlak
Jika
| an | konvergen,
a n konvergen. Uji konvergensi mutlak (uji rasio mutlak) sebagai
berikut. Misalnya
lim
n
| an 1 |
| an |
(1) Jika
< 1, deret tersebut konvergen mutlak.
(2) Jika
> 1 atau
(3) Jika
= 1, gunakan uji konvergensi lain.
CONTOH 2
= , deret tersebut divergen.
( 1) n
Tentukan konvergensi
n 1
Aip Saripudin
1
2n
.
n2
Bab 1 Deret Takhingga - 12
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Penyelesaian
lim
n
an 1
an
lim
n
2n 1
(n 1) 2
2n
n2
lim
n
2n 2
(n 1) 2
lim
n
2
2
(1 0) 2
1 2
n
(1
)
2
> 1 maka, sesuai uji konvergensi mutlak, deret tersebut divergen.
Konvergensi Bersyarat
a n disebut konvergen bersyarat jika
Deret
CONTOH 3
( 1) n
Tunjukkan bahwa
1
n 1
a n konvergen tetapi
| an | divergen.
1
konvergen bersyarat.
n
Penyelesaian
Pada CONTOH 1 telah dibuktikan bahwa deret tersebut konvergen. Akan tetapi,
n 1
1
divergen (deret harmonik). Jadi, jelas bahwa
n
( 1) n
n 1
1
1
konvergen bersyarat
n
LATIHAN 1.4
Tunjukkan bahwa deret pada Soal 1 – 4
berikut konvergen mutlak.
( 1) n
6.
1
n 1
( 1)
1.
1
n
n 1
n n 1
( 1) n 1
7.
n 1
3 n
4
2.
( 1) n
8.
n 1
1
3n
n
5n 1
1
1
n2 1
n 1
n
( 1) n
3.
n 1
1
2
n!
( 1) n
9.
n 1
4.
n
n2
( 1) n 1 n
e
1
Tentukan apakah deret pada Soal 6 – 10
berikut konvergen mutlak, konvergen
bersyarat, atau divergen.
Aip Saripudin
( 1) n
10.
n 1
sin n
n n
1
n4
2n
Bab 1 Deret Takhingga - 13
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Deret Pangkat; Himpunan Konvergensi
Deret pangkat memiliki bentuk sebagai berikut.
an x n
a1 x a2 x 2
a0
a3 x 3 ...
n 0
Konvergensi deret pangkat bergantung pada nilai x yang dipilih. Uji konvergensi yang digunakan
adalah uji rasio mutlak. Himpunan konvergensi deret pangkat selalu berada dalam interval dari
salah satu kemungkinan berikut.
(1) Titik tunggal x = 0.
(2) Interval (-R, R), ditambah salah satu atau kedua titik ujung.
(3) Semua bilangan riil.
Ketiga kemungkinan interval di atas disebut radius konvergensi.
CONTOH 1
Tentukan x sehingga
n 0
xn
konvergen.
n!
Penyelesaian
Uji rasio mutlak,
lim
n
Karena
an 1
an
lim
n
xn 1
xn
(n 1)! n!
lim
| x|
0.
n 1
lim
x
2
n
= 0 < 1, deret tersebut konvergen untuk semua x.
CONTOH 2
Tentukan himpunan konvergensi
n
( x) n
.
2n
0
Penyelesaian
Uji rasio mutlak,
lim
n
an 1
an
Deret tersebut konvergen untuk
lim
n
( x) n
2n 1
< 1, yakni,
1
( x) n
2n
n
| x|
.
2
| x|
1 atau | x | 2 dan, sebaliknya, divergen pada
2
| x | 2 . Selanjutnya, cek titik-titik ujung, yakni x = –2 dan x = 2.
Pada x = –2
an
(2) n
2n
1 dan lim an
n
1
1 divergen.
sehingga sesuai dengan uji pendahuluan (uji suku ke-n),
n 0
Pada x = 2
an
Aip Saripudin
( 2) n
2n
( 1) n dan lim an tidak ada
n
Bab 1 Deret Takhingga - 14
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
( 1) n divergen.
sehingga sesuai dengan teorema uji deret berganti tanda,
n 0
Dengan demikian, deret di atas konvergen pada interval: –2 < x < 2.
LATIHAN 1.5
Tentukan himpunan konvergensi
pangkat pada Soal 1 – 5 berikut.
1.
x
1 2
2.
1 2x
x2
2 3
x3
3 4
22 x 2
2!
deret
x4
...
4 5
23 x 3
3!
24 x 4
4!
...
x2
2
x3
3
3.
1 x
4.
xn
n 1 ln( n 1)
5.
n2 xn
n
2
1)
n 1 5 (n
x4
4
x5
5
...
Turunan dan Integral Deret Pangkat
Misalnya S(x) adalah jumlah deret pangkat pada interval I,
an x n .
S ( x)
n 0
Jika x di dalam interval I,
(1) S ' ( x)
d
dx
x
an x n
n 0
x
0
0
CONTOH 1
na n x n 1
n 1
x
an t n dt
S (t )dt
(2)
n 0
d
an x n
dx
n 0
an t n dt
n 0
n
0
an x n 1
0 n 1
Pada deret geometri, untuk –1 < x < 1,
S ( x)
1
1 x
1 x x2
x3
x 4 ...
Tentukan dua fungsi baru melalui pendiferensialan dan pengintegralan.
Penyelesaian
(1)
d
1
dx 1 x
1
(1 x) 2
Aip Saripudin
d
1 x x2
dx
1 2 x 3x 2
x3
x 4 ...
4 x 3 ... ,
–1 < x < 1
Bab 1 Deret Takhingga - 15
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
x
(2)
1
1 t
0
x
1 t t2
dt
t3
t 4 ... dt
0
ln(1 x)
x3
3
x
2
x
x4
4
x5
5
...
Ganti x oleh –x dan kalikan kedua ruas dengan –1 maka diperoleh
ln(1 x)
CONTOH 2
x
x
2
x3
3
x4
4
... ,
ex
1 x
–1 < x < 1
Tunjukkan bahwa
x2
2!
x3
3!
x4
...
4!
Penyelesaian
Misalnya
S ( x) 1 x
x2
2!
x3
3!
x4
...
4!
S ' ( x) 1 x
x2
2!
x3
...
3!
maka
Dari kedua fungsi deret di atas, diperoleh S ( x) S ' ( x) , yang tidak lain adalah persamaan
diferensial. Solusi umum persamaan diferensial ini adaah S(x) = Aex, dengan A konstanta. Karena
S(0) = 1 maka A = 1 sehingga solusi khususnya adalah S(x) = ex. Jadi, jelas bahwa
ex
1 x
x2
2!
x3
3!
...
LATIHAN 1.6
Tentukan ungkapan deret pangkat dari f(x)
dan radius konvergensinya. f(x) berkaitan
dengan dere geometri.
1.
f ( x)
2.
f ( x)
x2
1 x4
3.
f ( x)
1
4.
f ( x) ln[(1 x) /(1 x)]
1 x
5.
1
(1 x) 2
Aip Saripudin
Gunakan hasil pada Contoh 2 untuk
mendapatkan fungsi berikut.
f ( x)
ex
e
x
Bab 1 Deret Takhingga - 16
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Deret Taylor dan Maclaurin
Tinjau fungsi deret berikut.
f ( x)
ko
k1 ( x a) k 2 ( x a) 2
k 3 ( x a) 3
k 4 ( x a) 4 ...
pada interval sekitar a. Turunan ke-n fungsi tersebut adalah
2k 2 ( x a) 3k3 ( x a) 2
f ' ( x)
k1
f ' ' ( x)
2!k 2
4k 4 ( x a) 3 ...
3!k 2 ( x a) 4 3k3 ( x a) 2 ...
f ' ' ' ( x) 3!k3
4!k 4 ( x a) ...

Masukkan x = a maka akan diperoleh
k0
f (a)
k1
f ' (a)
k2
f ' ' (a)
2!
k3
f ' ' ' ( x)
3!
atau secara umum
kn
f ( n ) ( a)
n!
Jika konstanta kn dimasukkan ke fungsi deret, diperoleh
f ( x)
f ( a)
f ' (a)( x a)
f ' ' ( a)
( x a) 2
2!
f ' ' ' (a)
( x a) 3
3!
f ( 4)
( x a) 4 ...
4!
Deret ini dikenal sebagai deret Taylor. Untuk a = 0, deret di atas disebut deret Maclaurin, yakni
f ( x)
f (0)
f ' (0) x
Ekspansikan f ( x)
CONTOH 1
f ' ' (0) 2
x
2!
f ' ' ' (0) 3
x
3!
f ( 4) 4
x ...
4!
sin x ke dalam deret Maclaurin.
Penyelesaian
f ( x) sin x
f (0) 0
f ' ( x) cos x
f ' (0) 1
f ' ' ( x)
sin x
f ' ' (0) 0
f ' ' ' ( x)
cos x
f ' ' ' (0)
1

Sesuai dengan rumus deret Maclaurin diperoleh
Aip Saripudin
Bab 1 Deret Takhingga - 17
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
sin x
x
x3
3!
x5
5!
x7
...
7!
e x ke dalam deret Maclaurin.
Ekspansikan f ( x)
CONTOH 2
Penyelesaian
ex
f (0) 1
f ' ( x) e x
f ' (0) 1
f ' ' ( x) e x
f ' ' (0) 1
f ( x)

Sesuai dengan rumus deret Maclaurin diperoleh
ex
1 x
x2
2!
x3
3!
x4
...
4!
{Hasil ini sama dengan CONTOH 2 Subbab 1.6)
Nyatakan e
CONTOH 3
x2
sebagai fungsi deret pangkat.
Penyelesaian
Pada Contoh 2 telah diperoleh
ex
1 x
x2
2!
x3
3!
x4
...
4!
Ganti x oleh –x2 maka diperoleh
e
x2
1 x2
x4
2!
x6
3!
x8
...
4!
Beberapa deret Maclaurin penting dan interval konvergensinya.
1.
1
1 x
1 x x2
x 3 ... ,
x2
2
x3
3
x4
4
ln(1 x)
3.
ex
4.
sin x
x
x3
3!
x5
5!
x7
... ,
7!
semua x
5.
cos x 1
x2
2!
x4
4!
x6
...,
6!
semua x
Aip Saripudin
x2
2!
x3
3!
... ,
–1 < x
2.
1 x
x
–1 < x < 1
x4
... ,
4!
1
semua x
Bab 1 Deret Takhingga - 18
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
6.
(1 x) p
1 px
p( p 1) 2
x
2!
p( p 1)( p 2) 3
x ... ,
3!
–1 < x < 1
(Deret binomial, p bilangan riil).
LATIHAN 1.7
Nyatakan fungsi berikut ke dalam bentuk
deret Maclaurin.
1.
f ( x) cos x
Gunakan substitusi pada deret yang sudah
ada untuk mendapatkan representasi deret
dari fungsi berikut.
3. f ( x)
ln x ,
0<x
1
x
2.
tan 1 x
Aip Saripudin
1
du
1 u2
0
2
ex .
4.
f ( x)
5.
f ( x) (1 x) 4 ,
–1 < x < 1.
Bab 1 Deret Takhingga - 19