distribusi kontinu - FMIPA Personal Blogs

DISTRIBUSI KONTINU
•
• Uniform
• Normal
N
l
Gamma & Eksponensial
MA 2081 Statistika
St ti tik Dasar
D
Utriweni Mukhaiyar
Maret 2012
By NN 2008
Distribusi Uniform
 Distribusi kontinu yang paling sederhana
 Notasi: X ~ U (a,b)
 f.k.p:
f k p:
f( )
f(x)
 1
, a xb

f(x) =  b  a
0
, x llainnya
i
Rataan :
a
2
Variansi :
b
ba
2
(b - a ) 2
Var ( X ) 
12
E[ X ] =
Distribusi Normal (Gauss)
Karl Friedrich Gauss
1777-1855
 Penting
P i di
dipelajari
l j i
- Banyak digunakan
- Aproksimasi Binomial
- Teorema limit pusat
 Notasi: X ~ N ( , 2)
rataan
 f.k.p:
f k p:
1
f ( x) 
e
 2
 = 3.14159…
1  x 
 2   
2
, - < x < 
Simpangan baku
/ t d deviasi
/standar
d i i
e = 2.71828…
• N(0,1) disebut normal standar (baku)
3
Kurva Normal
Modus tunggal
Titik belok
Titik belok
Total luas
daerah di
bawah kurva =1
1
Simetri
terhadap
x=
http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif
4
Peluang
g X di
sekitar 1, 2,
dan 3
Pengaruh  dan 
Kurva normal
dengan 
yang sama
1 < 2 < 3

2
Kurva normal
dengan  yang
sama
3
 parameter
skala

1 < 2 < 3
 parameter
lokasi

5


Luas di bawah kurva Normal
P(  X  )  1
X ~ N((,2)

P (z1 < Z < z2)
P(a
( < X < b)
X ~ N((,2)
Z ~ N(0,1)
N(0 1)
a-m
z1 =
s
6
0
z2 =
b-m
s
Menghitung Peluang Normal
Sulit !!!
Harus dihitung
secara numerik
2.
1.. Cara langsung
g g
b
1
P ( a  X  b)  
e
2
a 
Dengan tabel normal standar P (Z  z)
1  x 
 2   
2
dx
Z
X 

N(0 1)
N(0,1)
7
Arti Tabel Normal
 Misal Z ~ N(0,1) dan z  R, -3,4  z  3,4
z
P( Z  z ) 



P(Z  z )
8
1
2
e
 x2 / 2
dx
P(Z  z) DITABELKAN
untuk -3.4  z  3.4
Membaca Tabel Normal
P(Z  1,24
1 24 )
9
Hit
Hitung
P (0  Z  1,24
1 24 )
P(0
(  Z  1,24
, ) = P(Z
(  1,24
, ) - P(Z
( <0)
= 0,8925 – 0,5 = 0,3925
P(Z
( 0)
10
P(Z  1,24 )
Contoh 1
Suatu perusahaan listrik
menghasilkan bola lampu yang
umurnya berdistribusi normal
dengan rataan 800 jam dan
standar deviasi 40 jam.
http://ismailfahmi.org/wp/wpcontent/uploads/2007/07/light-bulb.jpg
Hitunglah
Hit
l h peluang
l
suatu
t bola
b l lampu
l
dapat menyala antara 778 dan 834 jam
http://www.nataliedee.com/101906/nightshift at
http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-atthe-factory-factory.jpg
11
Jawab
Misal X : umur bola lampu
X ~ N (800,402)
X -m
Dengan transformasi Z =
:
s
834  800 
 778  800
P(778  X  834)  P 
Z

40
40


 P (0,55  Z  0,85)
 P ( Z  0,85)  P ( Z  0,55)
 0,8023  0, 2912
 0,5111
12
Contoh 2
Suatu pabrik dapat memproduksi
voltmeter dengan kemampuan
pengukuran tegangan, rataan 40 volt
d standar
dan
t d deviasi
d i i 2 volt.
lt Misalkan
Mi lk
tegangan tersebut berdistribusi normal.
Dari 1000 voltmeter yang
diproduksi berapa voltmeter
diproduksi,
yang tegangannya melebihi
43 volt?
13
Jawab
Misal X : tegangan voltmeter
X ~ N (40, 4)
X -m
Dengan transformasi Z =
s
43  40 

P( X  43)  P  Z 

2


 P( Z  1,5)
 1  P ( Z  1,5)
 1  0,9332
0 9332
 0, 0668
14
Banyaknya
y
y voltmeter y
yang
g
tegangannya lebih dari 43
volt adalah
1000 unit x 0,0668
0 0668
 66 unit
A k i
Aproksimasi
i Bi
Binomial
i ld
dengan
g N
Normall
JJika n   maka B(n,p)
( ,p)  N (,2)
dimana  = np dan  2=np(1-p)
np (1  p )
B (6;0,2)
B (15;0,2)
Semakin besar n
n, binomial semakin dekat
ke normal
15
Contoh 3
Misal peluang seorang pasien
sembuh dari suatu penyakit
demam berdarah adalah 0,4.
http://www.bratachem.com/abate/imag
es/demam jpg
es/demam.jpg
Bila diketahui ada 100 pasien demam
berdarah, berapa peluangnya bahwa yang
sembuh
b h
a. tepat 30 orang
b kurang dari 30 orang
b.
16
Jawab
Misal X : banyaknya pasien yang
sembuh
X ~ B(n,p)
B(n p) , n = 100 ; p = 0,4
04
Rataan:  = np = 100 x 0,4 = 40
,
St.Dev:
St.
e :   npp((1  p)  40  0,, 6  4,899
a. Peluang bahwa
banyaknya
y
y pasien
yang sembuh tepat
30 orang adalah:
P( X  30)  P(29,5  X  30,5)
,  40
30,5
,  40 
 29,5
 P
Z 
4,899 
 4,899
 P (2,14  Z  1,94)
 P ( Z  1,94)  P( Z  2,14)
 0, 0262  0, 0162
 0,
0 01
17
Jawaban lanjutan
b Peluang bahwa banyaknya
b.
pasien yang sembuh akan
kurang dari 30 adalah:
29,5  40 

P( X  30)  P  Z 

4,899


 P ( Z  2,14)
 0, 0162
18
Distribusi Gamma
 Notasi X ~ Gamma(,)
 f.k.p
p
 1
 1  x / 
x
e


f ( x)   ( ) 
0

,0  x  
, x lainnya
  0 dan   0
 () disebut fungsi gamma

( )   y  1e  y dy
dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika  > 1
 E[X] =  dan Var(X) = 2
 Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu
 Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat, Weibull, dan
Erlang
0
19
Distribusi Eksponensial
 Keluarga distribusi
gamma (1, 1/)
 Notasi: X ~ Exp
p (())
 f.k.p
 e   x
f ( x)  
0
,0  x  
, x lainnya
• E[X] = 1/ 
• Var(X) = 1/ 2
• Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan
20
Contoh 4
Misalkan lama pembicaraan telepon
dapat dimodelkan oleh distribusi
eksponensial, dengan rataan 10
menit/orang.
http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-muraha.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/
21
Bila seseorang tiba-tiba
mendahului anda di suatu
telepon umum, carilah
peluangnya bahwa anda harus
menunggu:
a. lebih dari 10 menit
p 20 menit
b. antara 10 sampai
Jawab
Misalkan X : lama pembicaraan telepon
Dik X ~ exp(1/10)
Dik.
(1/10) sehingga
hi
f ( x)  101 e  x /10
Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu
menunggu .
Jadi,
a. P ( X  10)  1  P ( X  10)
10
 1   101 e  x /10 dx  1  0,
0 368  0,
0 632
0
20
b
b.
P (10  X  20) 

10
22
1
10
e  x /10 dx  0, 233
Referensi
 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu
Peluang
l
dan
d Statistika
k untukk Insinyur dan
d Ilmuwan,
l
Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
 Walpole,
Walpole Ronald E
E., et.al,
et al 2007,
2007 Statistitic for
Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey:
Prentice Hall.
 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
23