vektor - Vidyagata

MODUL
MATEMATIKA SMA
vektor
( MAT 12.1.4 )
Disusun Oleh :
Drs. Pundjul Prijono
Nip. 19580117.198101.1.003
PEMERINTAH KOTA MALANG
DINAS PENDIDIKAN
SMA NEGERI 6
Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036 Malang
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 1
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :

Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah
tentang panjang (besar) vektor, operasi pada vektor serta rumus perbandingan
vektor.

Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dan vektor dalam pemecahan
masalah tentang hasil kali skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, panjang
proyeksi (proyeksi skalar) serta vektor proyeksi.
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari notasi vektor, panjang vektor, operasi aljabar pada
vektor, vektor posisi, vektor satuan, perbandingan vektor di bidang dan di ruang, perkalian
skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, proyeksi skalar dan proyeksi vektor pada vektor
lain.
B. Prasyarat
Agar dapat mempelajari modul ini, anda harus mempelajari operasi bilangan real dan dasar
trigonometri, dan matriks.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului
merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika
dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan
soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 2
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain
yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga
akan mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah
2. Mengenal vektor satuan
3. Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan
lawan suatu vektor
4. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri
5. Menggunakan rumus perbandingan vektor
6. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks
7. Menentukan hasilkali skalar dua vektor di bidang dan ruang
8. Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor
BAB II. PEMBELAJARAN
Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalah
Vektor sangat dikenal dalam pelajaran Fisika karena merupakan salah satu besaran selain besaran
skalar. Perbedaan keduanya adalah:
 Skalar merupakan besaran yang hanya mempunyai nilai saja, yang dapat dinyatakan
dengan bilangan real tertentu. Contoh besaran ini adalah suhu, massa, dan lain-lain;
 Vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai serta memiliki arah. Contoh besaran
vektor adalah jarak, kecepatan, dan lain-lain.
Banyak manfaat yang diperoleh dari penerapan konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari.
Vektor dapat digunakan untuk menghitung jarak, kecepatan, medan listrik dan sebagainya. Uraian
materi berikut akan memperjelas pemahaman Anda mengenai konsep vektor dan penerapannya.
A. Notasi Vektor
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 3
Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang panjang dan arahnya
tertentu. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah.
u
B
Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor dengan A sebagai titik pangkal, B
sebagai titik ujung, arah anak menunjukkan arah vektor, dan panjang anak
A
panah sebagai panjang atau besar vektor. Vektor biasanya dituliskan dengan

huruf kecil tebal atau miring, misalnya u, u, atau u .
Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real. Vektor di bidang
(R2) dinyatakan sesuai pasangan bilangan pada koordinat sumbu X dan Y, yaitu vektor
u  (x, y) atau u   x  . Vektor di ruang (R3) dinyatakan menurut koordinat sumbu X, Y,
y
x
dan Z. Jadi u  (x, y, z) atau u   y  .
(x2 ,y2 )
z
u
Andaikan vektor u dengan titik pangkal di (x 1,y1) dan titik
ujungnya pada (x 2,y2) maka sesuai dengan teorema Pythagoras
y2 - y1
(x1 ,y1 )
x 2 - x1
panjang dari vektor u ditentukan dengan rumus:
u  ( x  x )2  ( y  y )2
2 1
2 1
B. Aljabar Vektor
Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami ketentuan berikut:
u

Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya.

Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v = 0.
= v
u
(0 adalah vektor nol dimana arahnya tak tentu). Dua vektor
v= - u
dikatakan saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah.
 Penjumlahan Vektor
Secara geometris penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan
dua cara, yaitu:
v
u
u+v
a) Aturan segitiga, langkah-langkahnya:
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 4
 Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung
vektor u;
 Vektor (u+v) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor u
dengan titik ujung vektor v.
b) Aturan jajargenjang, langkah-langkahnya:
 Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit
u
dengan titik pangkal vektor u;
u+v
 Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang sejajar
v
dengan u dan v;
 Vektor (u+v) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u.
Secara analitis penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen
yang seletak. Jika u
a 
  
b 
dan v
c 
  
d 
maka u  v
a  c   a  c 
 .
       
 b  d   b  d 
Besar atau panjang vektor hasil penjumlahan: u  v
 (a  c )2  (b  d )2
Contoh : Diketahui u   3  , tentukan panjang vektor u.
  6
Jawab:
u  32  ( 6 )2  3 5
Contoh :
Jika p  sebuah gaya yang besarnya 40 N dan berarah ke Timur
Dan q  sebuah gaya yang besarnya 30 N dan berarah ke Utara, maka besar vektor jumlah
kedua gaya tersebut, yaitu r adalah 50 N, karena :
r 2 = p2 + q2
r
q
= 1600 + 900 = 2500
r = 2500 = 50 N
p
Penjumlahan beberapa vektor , misalnya a + b + c + d adalah hasil jumlah keseluruhan
vektor, a , b, c, d, merupakan sebuah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama
dengan ujung vektor terakhir dalam hal ini AE. Hasil ini diperoleh langsung berdasarkan
E
d
definisi kita tentang penjumlahan dua vektor.
a
D
c
A
C
b
Modul 12.1.4 VEKTOR
B
Halaman 5
Serupa dengan itu, PQ + QR + RS + ST = PT
Misalkan dalam suatu persoalan kita harus mencari jumlah vektor a, b, c, d, e. Setelah kita
gambarkan diagram vektornya, kita dapatkan bahwa diagram yang diperoleh membentuk
gambar tertutup, maka jumlah vektor a + b + c + d + e = 0.
D
d
c
E
e
C
b
A
a
B
Karena, jumlah vektor diberikan oleh sebuah vektor setara yang menghubungkan pangkal
vektor pertama dengan ujung vektor terakhir. Jika diagram vektor itu membentuk gambar
tertutup, ujung vektor terakhir berimpit dengan pangkal vektor pertama, sehingga vektor
resultannya merupakan sebuah vektor yang tidak mempunyai besar.
Contoh 1. AB + BC + CD + DE + EF = AF
Tanpa menggambarkan diagramnyapun dapat kita lihat bahwa vektor vektor tersebut telah
tersusun berantai, masing-masing vektor berpangkal di ujung vektor sebelumnya. Karena itu
jumlah vektornya langsung diberikan oleh vektor yang menghubungkan pangkal vektor ya ng
pertama dengan ujung vektor yang terakhir.
Dengan penalaran serupa, maka : AK + KL + LP + PQ = AQ.
Contoh 2. AB – CB + CD – ED = AE
Ingat - CB = BC, yaitu besarnya sama, arahnya sejajar tetapi berlawanan. Demikian juga
– ED = DE. Jadi AB – CB + CD – ED = AB + BC + CD + DE = AE.
Contoh 3. AB + BC – DC – AD = 0
Karena AB + BC – DC – AD = AB + BC + CD + DA = AA = 0 dan ujung penulisan
hurufnya menunjukkan bahwa ujung vektor yang terakhir berimpit dengan pangkal vektor
yang pertama. Jadi diagram vektornya membentuk gambar tertutup, karena itu jumlah
vektornya sama dengan 0.
Seperti halnya AB + BC + CD + DE dapat digantikan oleh AE, maka sembarang vektor PT
dapat digantikan dengan sejumlah vektor komponen asalkan komponen-komponen tersebut
membentuk rantai diagram vektor yang berpangkal di P dan berakhir di T, yaitu
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 6
b
c
PT = a + b + c + d
a
d
P
T
Contoh.
ABCD adalah sebuah segi empat. Titik G terletak di tengah-tengah AD dan titik H di tengahtengah BC. Tunjukkanlah bahwa AB + DC = 2 GH.
A
G
B
H
C
D
Vektor AB dapat diganti dengan rangkaian vektor apa saja asalkan dimulai di A dan berakhir
di B. Jadi dapat kita katakan AB = AG + GH + HB.
Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga DC = DG + GH + HC, sehingga kita peroleh :
AB = AG + GH + HB
DC = DG + GH + HC
Jadi AB + DC = AG + GH + HB + DG + GH + HC
= 2 GH + (AG + DG) + (HB + HC)
G adalah titik tengah AD, karena itu vektor AG dan DG sama panjang, tetapi berlawanan arah.
Jadi DG = - AG. Serupa dengan itu, HC = - HB
Jadi AB + DC = 2 GH + (AG - AG) + (HB - HB) = 2 GH
 Pengurangan Vektor
Secara geometris pengurangan vektor u dengan vektor v
v
adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v, yang
u
dapat dilakukan dengan salah satu aturan penjmlahan
-v
u-v
vektor di atas.
Pengurangan vektor secara analitis dilakukan dengan meng-operasikan komponenkomponen
yang
letaknya
sama.
Jika
a 
u   
b 
dan
c 
v   
d 
maka
a    c   a  c 
  
 .
u  v  u  (v )     
b    d  b  d 
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 7
Besar atau panjang vektor hasil pengurangan: u  v
 (a  c ) 2  (b  d ) 2
Contoh : Diketahui p   1  dan q    4  , tentukan p  q dan q  p .
  8
 2 
Jawab:
1  ( 4 )    3 
pq


  8  2    6
q  p    4  1     5 
 2  ( 8 )   10 
 Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika m adalah bilangan real (skalar), maka mu adalah
penggandaan atau perbanyakan vektor u sebanyak m. Arah mu
mu
-mu
u
sama dengan arah vektor u dan besarnya m u .
Sedangkan (-mu) merupakan vektor yang panjangnya sama dengan m u tetapi
berlawanan arah dengan vektor u.
Secara analitis perkalian skalar m dengan vektor u
a 
  
b 
a    ma  .
adalah m b
  mb 
 


Contoh:
6
 2 
4
Diketahui : a = 
, b    dan c  

 3 
 1
 2 
Tentukan:
a.
2a - b + 3c
b.
–a + 2b - 2 c
Jawab:
  6   2    4    12    2    12    26 
a. 2
     3
= 




 3    1   2   6   1   6   13 
  6   2    4   6   4   8   18 
b.  
  2   2
 =




 3   1  2    3    2    4    9 
Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar
1. Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum
anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai
panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 8
Kegiatan 12.1.4.1 :
Carilah hasilnya :
1. PQ + QR + RS + ST = …….
2. AC + CL – ML = ………
3. GH + HJ + JK + KL + LG = …….
4. AB + BC + CD + DB = ……….
5. Dalam suatu segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC,
CA. Tunjukkanlah bahwa :
a. AB + BC + CA = 0
b. 2 AB + 3 BC + CA = 2 LC
c. AM + BN + CL = 0
6. Perhatikan gambar. Diantara pernyataan berikut manakah yang tidak benar.
D
a)
AB  BE  AC  CE
b)
BE  BC  CD  DE
c)
AE  AC  CD  DE
d)
AC  CE  BE
e)
AB  BC  CE  AE
E
C
A
B
7. Dalam segi empat ABCD, P dan Q berturut-turut adalah titik tengah diagonal AC dan BD.
Tunjukkanlah bahwa AB + AD + CB + CD = 4 PQ.
C
B
P
Q
D
A
8. Buktikanlah dengan cara vektor bahwa garis yang menghubungkan dua titik tengah sisi suatu
segi tiga sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya hanya setengahnya.
A
D
B
Modul 12.1.4 VEKTOR
E
C
Halaman 9
9. Jika titik A(-3,5), B(1,-7), C(x,1) dan D(2,y). Jika vektor yang diwakili oleh AB berlawanan
dengan DC , maka nilai x + y adalah….
10. Diketahui 2 vektor p = 3i – (2x1)j dan q = 6i = 2j, jika vektor p sejajar dengan vektor q
maka panjang vektor P = …..
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci
jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai
kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.1
 Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang aljabar vektor,
maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep
tentang pengertian aljabar vektor.
 Jika nilai perolehan ≥ 𝟕𝟓 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
berikut ini.
C. Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama dengan 1 satuan panjang. Vektor basis
dalam sistem koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j. Vektor i merupakan
vektor basis searah sumbu X positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu Y
positif. Sedangkan vektor basis dalam ruang dinyatakan dalam vektor i, j, dan k berturutturut sejajar dengan sumbu X, Y, dan Z positif.
Y
j
X
O
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam bidang (R 2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
i
Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam ruang (R 3)
Z
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
k
Y
Contoh : vektor u  (2, 3, 4) bila dinyatakan dalam
bentuk vektor basis menjadi u  2i  3 j  4k
Contoh :Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2)
Modul 12.1.4 VEKTOR
O
j
i
X
Halaman 10
a) Nyatakan komponen dari PQ .
b) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basis.
c) Hitung panjang PQ .
Jawab:
Z
a) PQ  PO  OQ
 p  q  q  p
P(2,3,5)
1 2   1
 5  3   2 
2  5    3
    

p
q
b) PQ  i  2 j  3k
PQ  (1  2)2  (5  3)2  (2  5)2  14
c)
Q(1,5,2)
O
Y
X
D. Vektor Posisi
Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat. Komponen
sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis.
Y
yj
•R(x,y)
Pada R2 Vektor OR diwakili oleh vektor r yaitu vektor posisi dengan
r
titik R(x,y) atau dinyatakan dalam kombinasi linear maka r  xi  y j .
X
xi
O
Panjang dari r : r  x 2  y 2
Z
Dalam ruang dimensi tiga (R 3) titik R(x,y,z) adalah
vektor posisi dari OR yang dinyatakan sebagai
r  xi  y j  zk .
r
Berlaku panjang dari r adalah: r  x 2  y 2  z 2
r
U(u 1,u2,u3)
O
Y
yj
xi
Vektor satuannya: e  r
Z
R(x,y,z)
zk
X
OU  u dan OV  v adalah vektor-vektor posisi.
u
UV  UO  OV
v
O
V(v1,v2,v3)
Y
UV  OV  OU
UV  v  u
X
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 11
 v1   u1   v1  u1 
    

UV   v 2    u2    v2  u2 
v   u  v  u 
3
 3  3  3
Secara umum komponen vektor dari dua titik dalam sistem koordinat dapat ditentukan
dengan cara komponen titik ujung dikurangi komponen titik pangkal.
Contoh : Ditentukan vektor p   6  dan q   2  . Nyatakan vektor-vektor p  2q dan
1
3
1 ( p  q) .
Jawab :
2
p  2q   6   2 2    6  4   10
1
3  1  6   7 
1
2
 6  2 
  1   3  
   
1 4   2 
2
  2    1

  
( p  q) 
1
2
1
2
 6  2
1  3 


Contoh : Jika P    5  dan Q   3  tentukan komponen vektor PQ dan QP .
 3 
  9
Jawab:
 3  ( 5)   8 
PQ  


  9  3    12
QP    5  3     8 
 3  ( 9)   12 
E. Rumus pembagian ruas garis
a. Titik P menjadi di dalam ruas garis AB
Perbandingannya = AP = PB = m : n
n
m
A
P
B
b. Titik P membagi di luar garis AB
 AP : PB = m : - n
m
A
B
-n
P
c. Rumus pembagian ruas garis AB
n
m
A
P
p
a
B
b
O
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 12
-
Jika diketahui vektor a dan b maka vektor p adalah:
p
-
ma  nb
mn
Jika diketahui koordinat titik A dan B maka koordinat titik P (x p,yp,zp) adalah:
xp 
mxB  nx A
myB  ny A
mz B  nz A
; yp 
;zp 
mn
mn
mn
2. Tiga titik yang segaris (kolinier)
a. Tiga titik A, B, dan C dikatakan segaris (kolinier) jika dipenuhi:
AB = k AC atau AB = k BC atau AC = k BC dengan k bilangan real
b. Dua vektor a dan b dikatakan segaris atau sejajar jika dipenuhi
A = kb atau b = ka, elemen bilangan real
3. Tiga titik yang sebidang (koplanar)
Tiga titik A(x 1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan (x3, y3, z3), dikatakan sebidang atau coplanar jika
dipenuhi:
x1 y1 z1
Jika dipenuhi: x 2 y 2 z 2 = 0 (diterminan matrik ordo tiga)
x3 y 3 z 3
4. Titik berat dari sebuah segitiga
Jika diketahui segitiga ABC dengan A(x 1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan C(x 3, y3, z3) maka
koordinat titik berat segitiga tersebut adalah Z(x z, yz, zz)
1
x z  ( x1  x2  x3 )
3
1
y z  ( y1  y 2  y3 )
3
1
z z  ( z1  z 2  z 3 )
3
Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar .
Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba
mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda
mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.
Kegiatan 12.1.4.2 :
1. Diketahui titik P (x+1, 1,-2), Q (2,y-2, 2) dan R (5, -3, -10)
Jika P, Q dan R kolinier tentukan nilai x + y !
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 13
2. Segitiga PQR, titik P(1,2,3). Q(2,8,3) dan R (2,-1,3) jika titik A pada QR sehingga QA :
QR = 1 : 3 tentukan vektor PA.
3. Koordinat titik P (2,-3,1), vektor posisi PQ = -3i + 5j + 4k dan OR = I +4j + 4k maka
panjang vektor QR adalah….
4. Diketahui ruas garis AB dengan A(-3,1,-3) dan B(3,-2,6) jika titik c diperpanjangan AB
dan AB 
3
AC maka koordinat titik c adalah….
4
5. Segitiga ABC dengan A(-2,1,-3), B(x, y, z) dan C(3, 1, 3) jika titik berat ABC adalah
Z(2, -1, 2) maka nilai x + y + z = …..
6. Diketahui P(1, -2, -1), Q(6, 3, 4) dan R(a, b, 2) jika R membagi PQ di dalam dengan
perbandingan m : n, maka nilai a dan b adalah …..
7. Diketahui jajaran genjang ABCD, titik P dan DC sehingga DP = DC = 1 : 2 dan Q titik
tengah BC. Jika a , b , c dan d berturut-turut merupakan vektor posisi titik A, B, C dan D
maka tentukan:
a. Vektor AP
b. Vektor D,Q dalam a , b , c dan d
8. Segitiga PQR, koordinat titik P(-5,1), vektor PQ = 7i – 4j dan QR  i  5 j tentukan:
c. Koordinat titik Q dan R
d. Vektor posisi PR
9. Koordinat titik P(5,-7), Q(-1,2) jika 3PR = 2PQ, tentukan
a. PR.PQ
b. QR.PQ
10. Segitiga ABC, AB  P , AC  q , jika titik D pada BC dimana BD : DC = 3 : 2 maka
tentukan vektor AD dalam P dan q
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 14
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci
jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai
kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.2
 Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang vektor basis,
vektor posisi dan pembagian ruas garis, maka anda harus mengulang kembali
membaca dan memahami konsep tentang konsep vektor diatas.
 Jika nilai perolehan ≥ 𝟕𝟓 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
berikut ini.
E. Perkalian Skalar Vektor ( Perkalian Titik / Dot )
U
u
Hasil kali skalar dua vektor u dan v didefinisikan sebagai:
v

u  v  u v cos  ; dengan  adalah sudut yang diapit oleh vektor u dan v.
V
u v cos 
Perkalian skalar antar vektor menghasilkan sebuah skalar.
Z
i  i  i i cos 0o  1
k (0,0,1)
j  j  j j cos 0o  1
karena sejajar
Y
O
k  k  k k cos 0o  1
j (0,1,0)
i (1,0,0)
X
i  j  i j cos 90o  0
j  k  j k cos 90o  0
karena tegak lurus
k  i  k i cos 90o  0
Perkalian skalar dua vektor dalam bentuk komponen:
Misalkan vektor u  u1i  u2 j  u3k dan v  v1i  v2 j  v3k , maka:
u  v  (u1i  u2 j  u3k )  (v1i  v2 j  v3k )
u  v  u1v1  u2v2  u3v3
Sifat-sifat perkalian skalar vektor:
 Sifat komutatif: u  v  v  u
 Sifat distributif: u  (v  w )  u  v  u  w
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 15
 Dua vektor yang saling sejajar, sudut antara keduanya sama dengan 0o.
Jadi: u  v  u v cos 0  u v
 Dua vektor yang saling tegak lurus, sudut antara keduanya sama dengan 90 o.
Jadi: u  v  u v cos 90  0
 Dua vektor yang berlawanan arah, sudut antara keduanya sama dengan 180 o.
Jadi: u  v  u v cos 180   u v
Tanda dari hasil kali skalar:
Jika
0    90
maka
u v  0
  90
maka u  v  0
90    180
maka u  v  0
F. Perkalian Silang Vektor (Cross Product)
uxv
Jika diketahui vektor u dan v,
sudut yang dibentuk oleh keduanya sama dengan  ,
maka: u x v  u v sin
v
Perkalian silang vektor menghasilkan sebuah vektor.

Arah vektor hasil perkalian silang adalah tegak lurus pada kedua vektor dan
memenuhi aturan tangan kanan.
u
Z
i  i  i i sin 0o  0
j  j  j j sin 0o  0
karena sejajar
k  k  k k sin 0o  0
k (0,0,1)
Y
O
j (0,1,0)
i (1,0,0)
X
i  j  i j sin 90o  1 (karena i  j)
menurut aturan tangan kanan maka:
i j k
jk  i
k i  j
j  i  k
k  j  i
i  k  j
Hasil perkalian silang ini memiliki sifat urutan berputar dan dapat diingat
dengan berpedoman pada gambar lingkaran di samping.
Perkalian skalar dua vektor dalam bentuk komponen:
Salah satu cara untuk menentukan perkalian silang vektor dalam bentuk
komponen adalah dengan berpedoman pada penentuan nilai determinan
matriks ordo 3 dengan cara Sarrus.
Modul 12.1.4 VEKTOR
j
i
k
Halaman 16
Misalkan vektor u  u1i  u2 j  u3k dan
v  v1i  v2 j  v3k
Maka:
u x v  (u1i  u2 j  u3k ) x (v1i  v2 j  v3k )
Sifat-sifat perkalian silang vektor:
 uxv v xu
 u x v  (v x u )
i
j
k
i
j
k
i
j
u x v  u1 u2 u3  u1 u2 u3 u1 u2
v1 v 2 v3
v1 v2 v 3 v1 v2
-
-
-
+
+
+

( ku ) x v  k(u x v )  u( kv )

u x (v  w )  (u x v )  (u x w)

u  (v x w )  (u x v )  w
u x v  (u2v3i  u3v1 j  u1v2k )  (u2v1k  u3v2i  u1v3 j )
u x v  (u2v3  u3v2 )i  (u3v1  u1v3 ) j  (u1v2  u2v1 )k
 u2v 3  u3v 2 


u x v   u3v1  u1v 3 
u v  u v 
2 1
 1 2
Contoh : Ditentukan vektor a  3i  2 j  2k dan b  i  4 j  3k . Hitunglah a x b .
Jawab:
i
j
k
i
j
k
i
j
a x b  3
2 2  3
2 2 3
2
1 4
3
1 4
3
1 4
i
j
k
i
j
k
i
j
a x b  3
2 2  3
2 2 3
2
1 4
3
1 4
3
1 4
-
-
-
+
+
+
a x b  ( 2(3)i  ( 2)1 j  ( 3)(4)k )  ( 2(1)k  ( 2)(4)i  ( 3)3 j )
a x b  (6 - 8)i  ( 2  9) j  (12  2)k
a x b  2i  7 j  10k
G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R3)
Z
Dari rumus: u  v  u v cos   cos  
u3k
u


Y

u1i
X
Modul 12.1.4 VEKTOR
u 2j
u v
uv
Misalkan:  sudut antara vektor satuan i dengan vektor u
 sudut antara vektor satuan j dengan vektor u
 sudut antara vektor satuan k dengan vektor u
Sudut-sudut , ,  disebut sudut-sudut arah vektor u dan
cosinus dari sudut-sudut tersebut dinamakan cosinus arah.
Jika u  u1i  u2 j  u3k diperoleh:
Halaman 17
cos  
Z
u

v
Y
O
u  i u1

ui
u
cos  
u  j u2

u j
u
cos  
u  k u3

uk
u
Vektor u  u1i  u2 j  u3k dan v  v1i  v2 j  v3k
Sudut antara kedua vektor:
u1v1  u2v2  u3v3
u v
cos  

2
uv
u u 2 u 2  v 2 v 2 v 2
1
2
3
1
2
3
X
Contoh : Tentukan besar sudut antara vektor u  3i  2 j  k dengan sumbu-sumbu koordinat.
Jawab :
Misalkan:  sudut antara vektor u dengan sumbu X
 sudut antara vektor u dengan sumbu Y
 sudut antara vektor u dengan sumbu Z
u  32  ( 2)2  12  14
 3 14 
3 14
  36,7o
   arc cos 


14
14
14


 2 14 
u
2
2 14
  122,3o
cos   2  

   arc cos  


14
14
u
14


 14 
u
1
14
  74,5o
cos   3 

   arc cos 
 14 
14
u
14


u
cos   1 
u
3

Contoh : Diketahui vektor a  ( 1, 0, 2) dan b  ( 3, 0, 1) . Tentukan besar sudut antara vektor
a dan b.
Jawab:
Misalkan  adalah sudut antara vektor a dan b
cos  
cos  
ab

ab
1( 3)  0( 0 )  2(1)
( 1)2  02  22  ( 3)2  02  12
5
5  10

5
5 2

1
1

2    arc cos 
2   45o
2
2


Jadi besar sudut antara vektor a dan b adalah 45o
Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar .
Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba
mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda
mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.
Kegiatan 12.1.4.3 :
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 18
1. Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk
vektor a dan b sama dengan …












2. Diketahui vektor a  6 i  3 j  3 k , b  2 i  j  3 k dan c  5 i  2 j  3 k . Besar sudut
 

antara vektor a dan b  c adalah ....



 


 
3. Diketahui vektor a  i  2 j  2 k dan b   i  j . Besar sudut antara vektor a dan b
adalah ....
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika
AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah …
5. Diketahui a 
2, b 
9 , a  b  5 . Besar sudut antara vektor
a dan vektor b
adalah ….
6. Diketahui a  6 , ( a – b ).( a + b ) =0, dan a . ( a – b ) = 3. Besar sudut antara vektor a
dan b adalah ….
7. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB
dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v adalah …
8. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut , maka nilai
sin  = ....
9. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut , maka tan 
= ... .
10. Diberikan vektor a =
 2 


 p  dengan p  Real dan vektor


2 2 
b=
1 


 1  . Jika a dan b membentuk


 2
sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …
11. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Tentukanlah nilai sin B.
12. Diketahui titik A(5, –1, –2), B(6, 3, 6), dan C(2, 5, 10), bila a wakil dari vektor AB dan b
wakil dari BC , tentukanlah kosinus sudut antara a dan b
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci
jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai
kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.3
 Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang perkalian vektor,
maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep
tentang perkalian vektor diatas.
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 19
 Jika nilai perolehan ≥ 𝟕𝟓 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
berikut ini.
H. Vektor Proyeksi
P
u

O
c
Q
R
v
Jika u dan v dua vektor bukan nol, maka:
1. panjang proyeksi (proyeksi skalar ortogonal) u pada v = | c | =
2. vektor proyeksi (proyeksi vektor ortogonal) u pada v = c =
uv
|v|
uv
| v |2
v
Contoh :
2
6
Tentukan proyeksi vektor 𝑢 = ( ) ke vektor 𝑣 = ( ) dan panjang vektor itu
4
2
Jawab :
uv
panjang proyeksi (proyeksi skalar ortogonal) u pada v = | c | =
|v|
=
2 6
( )( )
4 2
√(6)2 +(2)2
=
12+8
√40
=
20
2√10
= √10
Kegiatan 12.1.4.4 :
Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar .
Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba
mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda
mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.
1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor v =
2 
 
  3  terhadap
4 
 
vektor u =
  1
 
2  ,
  1
 
maka w = …
2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 20
3. Diketahui vektor a = 4i – 2j + 2k dan vektor b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vektor orthogonal
vektor a pada vektor b adalah …
4. Diketahui vektor a = 2i – 4j – 6k dan vektor b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vektor orthogonal
vektor a pada vektor b adalah …
5. Diketahui vektor a  i  2 j  k dan vektor
b  i  j  k . Proyeksi ortogonal vektor a
pada b adalah …
6. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vektor u, AC
wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …
7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil
vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …
8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi
vektor AB terhadap AC adalah …
10. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor
AB pada AC adalah …
11. Panjang proyeksi vektor a  2i  8 j  4k pada vektor b  pj  4k adalah 8. Maka nilai p
adalah ....
12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a
pada b adalah 5, maka nilai x = …
13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2,
maka x adalah …
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci
jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai
kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.4
 Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang proyeksi suatu
vektor, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami
konsep tentang proyeksi suatu vektor diatas.
 Jika nilai perolehan ≥ 𝟕𝟓 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
berikut ini Berupa tes akhir modul. Persiapkan diri anda
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 21
Daftar Pustaka
Anton, Howard., Elementary Linear Algebra (Fourth Edition). John Wiley & Sons,
Inc., Canada, 1984.
Depdiknas., Kurikulum 2004(Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika SMA
dan MA). Departeman Pendidikan Nasional, Jakarta, 2003.
(----------)., Broad Based Education(Buku II). Departemen Pendidikan Nasional,
Jakarta, 2003.
Holland, D-Treeby, T., Vektor (Pure and Applied). Edward Arnold Limited, London,
1983.
Muharti HW., Ilmu Ukur Analit Ruang, FPMIPA IKIP Yogyakarta, 1975.
Raharjo, Marsudi., Vektor R2 dan R3 (Standar Bahan Ajar Penataran Matematika
Guru SMA), PPPG Matematika, Yogyakarta, 2000.
Thomas, George B – Finley, Ross L., Calculus and Analytic Geometry. Addisson
Wesley Publishing Co, Boston, 1986
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 22
Modul 12.1.4 VEKTOR
Halaman 23