Aljabar Linier

Aljabar Linier
Pertemuan 1
 Jadwal
Kuliah
Hari : Rabo
jam : 15.30
 Sistem
Penilaian




UTS 30 %
UAS 30 %
Tugas 40 %
Silabus
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Invers Matriks
Bab IV Sistem Persamaan Linear
Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen
Bab VI Matlab (SPL)
Bab VII Vektor
Bab VIII Perkalian Vektor
Bab IX Ruang Vektor
Bab X Proses Gram Schmidt
Bab XI Transformasi Linier Kernel
Bab XII Nilai Eigen ,Vektor Eigen
Bab XIII MATLAB
Sub Pokok Bahasan 1
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
– Matriks dan Jenisnya
– OperasiMatriks
– Operasi Baris Elementer
–Sifat OperasiMatriks
Beberapa Aplikasi Matriks
– Representasi image (citra)
– Chanel/Frequency assignment
– Operation Research
dan lain-lain.
Pengertian Matrix
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun
dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Notasi yang digunakan
Atau
Atau
Matriks

Notasi Matriks
A =  a
11
 a21
 :

a
 m1
a12
.....
a22
....
:
:
am 2
....
a1n 

a2 n 
: 

amn 
Baris ke -1
Unsur / entri /elemen kemn (baris m kolom n)
Kolom ke -2
Matrix A berukuran (ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan
sama (notasi A = B)
Jika aij  bij untuk setiap i dan j
Jenis Matriks
(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
 A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
 A*0=0, begitu juga 0*A=0.
(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris
dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33,
….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A
tersebut.
 Contoh : Matriks berukuran 2x2
1 4

A = 
 2 3
Jenis Matriks
(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang
semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :
 2 0 0


 0 5 0
 0 0 3


(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang
semua elemen diagonalnya adalah 1.
 Contoh :  1 0 0 


 0 1 0
0 0 1



Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
Jenis Matriks
(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua
elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
Contoh :
A=  4 0 0 


 0 4 0
0 4  ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah
(vi) MATRIKS 0SEGITIGA
matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal
elemennya = 0.
A =  3 2 1 
0 4 5
 0 0 4


(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas
diagonal elemennya = 0.
 3 0 0
A=  1 4 0 


 6 9 4


(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang
elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan
bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama
A  AT
dengan dirinya sendiri.
 1 2 0
Contoh :
 1 2 0




T
A =  2 3 1
A =  2 3 1
 0 1 1


 0 1 1


(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya
adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij,
elemen diagonal utamanya = 0
Contoh :

A
1 3 0 
0


4
2
 1 0
 3  4 0  1


0

2
1
0


0 
 0 1 3

A  
0  4  2
 1
3 4
0
1 


 0  2 1 0 


T
TRANSPOSE MATRIKS

Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka
transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A
dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

Beberapa Sifat Matriks Transpose :
 (A+B)T = AT + BT
 (AT) T = A
 k(AT) = (kA)T
 (AB)T = BT AT
Operasi Matrix
• Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan
Contoh =
a.
a b   e

  
c d  g
f  ae b f 
  

h  c  g d  h
b.
 1 6   3 1  4 7 

  
  

 3 5   4 1  7 6 
Operasi Matrix
• Pengurangan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan
Contoh =
a.
a b   e

  
c d  g
f  ae b f 
  

h  c  g d  h
b.
 1 6   3 1   2 5 

  
  

 3 5   4 1   1 4 
Operasi Matrix
Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
 p q   kp kq 
  

k 
 r s   kr ks 
• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn
a
A  
e
b
f
 p q


d

,B  r s
g  ( 2 x 3)
 t u

(3 x 2)
a
A.B 
e
b
f
 p q


d
 ap  br  dt
 ( 2 x 3) . r s 
 
g
 ep  fr  gt
 t u

(3 x 2)
aq  bs  du 

eq  fs  gu  ( 2 x 2 )
Hukum Perkalian Matriks :




Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif, A*B  B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan




(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A0 dan B0
Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2)
dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1
2
3
  3  2  1
 1




A 1
2
3 b1  b2   3  2  1
 0

 0

2
4
2
4




OBE2
 4  4 0  4
 1  1 0  1




1
A   0 2 1 7  b1  0 2 1 7 
4
 2  1 1 3    2  1 1 3 




OBE3
 1  1 0  1
 1  1 0  1

 b1 b3 

A   0 2 1 7   0 2 1 7 
 2 1 1 3 
0 1 1 5 




Definisi yang perlu diketahui :
 1 1 1 3


B  0 0 3 1
 0 0 0 0


– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan
satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris
ke-3 adalah nol.
OBE

Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke
kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris
paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi
Gauss)
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses
Eliminasi Gauss-Jordan)