Uswatun Chasanah, S

MODUL 6
Uswatun Chasanah, S.Pd
TRIGONOMETRI
I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul 6 ini membahas tentang “ Trigonometri “ yang mana akan mempelajari sisi-sisi dan
sudut-sudut yang ada dalam suatu segitiga. Perkembangan ilmu trigonometri telah dimulai
sejak zaman Yunani Kuno. Penerapan ilmu ini sering digunakan dalam bidang fisika, tehnik,
dan navigasi
B. Prasarat
Untuk mempelajari modul ini, terlebih dahulu harus menyelesaikan kompetensi dasar dari
modul sebelumnya.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Penggunaan modul ini sangat sederhana. Siswa terlebih dahulu mempelajarinya. Jika
mengalami kesulitan bisa mendiskusikannya dengan teman-teman dan guru sebagai fasilitator
beserta siswa menyimpulkan materi yang di pelajari.
D. Tujuan Akhir
Diharapkan siswa dapat mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih dari materi yang
disajikan.
E. Kompetensi Dasar
1. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.
2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi,
persamaan, dan identitas trigonometri.
3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan,
fungsi, persamaan, identitas trigonometri, dan penafsirannya.
F. Cek Kemampuan
1. Tentukan nilai a, b, dan c pada tiap gambar di bawah ini!
25
b
3
a
4
13
c
5
3
A
2 cm
R
2. Perhatikan Gambar disamping!
P
a. Tunjukin bahwa Δ ABC dan Δ PQR sebangun. 15 cm
3 cm
6 cm
5 cm
b. Sebutkan perbandingan sisi yang sama
B
C
Q
9 cm
pada ke dua segitiga itu.
3. Perhatikan gambar di bawah ini!
A
B
a. Apakah ke dua segitiga itu memiliki perbandingan
yang sama? Jika jawabanmu ya, sebutkan!
b. Apakah ke dua segitiga itu sebangun?
11 cm
5 cm
5 cm
6 cm
6 cm
3 cm
c. Apakah ke dua segitiga itu kongruen? Berikan
alasanmu.
4. Gambarlah sebuah segitiga, ukurlah ke-3 sisinya, berapakah jumlah seluruh sudutnya?
Cobalah dengan cara yang sama untuk segitiga yang lain, Apa kesimpulanmu?
Setelah kalian benar-benar dapat menjawab soal-soal di atas, mari kita lanjutkan ke materi
berikut.
Peta Konsep
TRIGONOMETRI
Perbandingan
Trigonometri pada
Suatu Sudut
Persamaan
Trigonometri
Sederhana
Fungsi
Trigonometri
Penerapan
Trigonometri dalam
Kehidupan Sehari-hari
Rumus-rumus
Segitiga
- Aturan Sinus
- Aturan Kosinus
- Luas Segitiga dan
segi – n beraturan
II. PEMBELAJARAN
A. Rencana Belajar Siswa
Modul 6 ini akan dilaksanakan dalam waktu 18 jam pelajaran
B. Kegiatan Belajar
1. Kegiatan Belajar 1
a. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:
- Menjelaskan arti derajat dan radian.
- Mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya
b. Uraian materi
 Ukuran Sudut dalam Derajat
Dengan menggunakan gambar di samping, sudut saru putaran penuh
10
besarnya adalah 3600, sehingga dapat di artikan:
10 =
1 x sudut satu putaran
3600
catatan: 10 dibaca satu derajat
1 derajat = 60 menit ( ditulis 10 = 60’ )
1 menit = 60 detik ( ditulis 1’ = 60 ‘’ )
CONTOH. Nyatakan besar sudut 320 15’ dalam bentuk desimal !
Penyelesaian:
15’ = 15 x 1 0 = 0,250
60
320 15’ = 320 + 15’
= 320 + 0,250
= 32, 250
CONTOH. Nyatakan besar sudut 185, 450 dalam bentuk derajat, menit, detik!
Penyelesaian:
185, 450 = 1850 + 0,450
= 1850 + 0,45 x 60’
= 1850 + 27’
= 1850 27’
 Ukuran Sudut dalam Radian
Ukuran radian suatu sudut AOB adalah bilangan yang menyatakan
A
perbandingan antara panjang busur AB dengan jari-jari OA.
r
Besar < AOB dikatakan satu radian ( biasa ditulis 1 rad ) jika
1 rad
O
r
panjang busur AB sama dengan jari-jari lingkaran.
r
B
CONTOH. Tentukan ukuran sudut pusat suatu juring, jika panjang jari-jari 40 cm dan
panjang busur 86 cm.
Penyelesaian:
Diketahui : Panjang busur = 86 cm
Panjang jari-jari = 40 cm
Ukuran radian = panjang busur = 86 : 40 = 2, 15 rad
Panjang jari-jari
 Hubungan Satuan Derajat dan Radian
Besar < POR adalah 1 rad. Untuk satu putaran penuh, nilainya
P
sama dengan keliling lingkaran yaitu 2πr. Oleh karena itu
r
1 putaran penuh = 2r = 2π rad. Karena sudut 1 putaran penuh =
1 rad r
O
r
r
0
360 , maka 2π rad = 3600 ↔ π rad = 1800 ↔ 1 rad = 180 ≈ 57,30.
0
R

Sebaliknya, dapat diperoleh hubungan berikut:
3600 = 2π rad ↔ 10 = 2rad ↔ 10 = rad ≈ 0.0174 rad.
3600
180 0
Dengan demikian, hubungan antara satuan derajat dan radian dapat dinyatakan sebagai
0
1 rad = 180 ≈ 57,30
berikut:

1800 = π rad
10 = rad ≈ 0.0174 rad
180 0
CONTOH.
1. Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat di bawah ini ke dalam satuan radian!
a. 600
b. 3300
Penyelesaian:
a. 600 = 600 x rad = 1 π rad.
b. 3300 = 3300 x rad = 1 5 π rad.
180 0
3
180 0
6
2. Ubahlah besar sudut di bawah ini ke dalam satuan derajat!
a. 3 π rad
b. 2 rad
5
Penyelesaian:
a. 3 π rad = 3 x 1800 = 1080
5
0
0
b. 2 rad = 2 x 180 = 2 x 180 = 114,60

5
22
7
c. Rangkuman
0
Hubungan derajat dan radian adalah 1 rad = 180 atau π rad = 1800

d. Tugas
1. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan radian.
a. 150
b. 2050
c. 5040
2. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan derajat.
a. 100 rad
b. 3π rad
c. 2 π rad
5
d. 6200
d. 6 π rad.
5
3. Nyatakan besar sudut berikut dalam bentuk derajat, menit, detik.
a. 45,550
b. 235,150
4. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam bentuk desimal.
a. 370 20’
b. 58030’45’’
5. Jari - jari lingkaran sama dengan 16 cm. Tentukan panjang busurnya jika sudut pusatnya
sama dengan 300
e. Tes Formatif 1
Isilah titik-titik dibawah ini dengan jawaban yang ada di sebelah kanan
1. Nilai 2 1 π rad = …
a. 286,60
e. 125015’
4
2. 2050 = …
3. 5 rad = …
b. 4050
c. 41 π rad
4. 125,250 = …
d. 7
f. 125’27’
g. 13,50
36
6
5. 13030’ = …
f.
Kunci Jawaban Tes formatif 1
1. b
2. c
3. a
4. e
5. g
g. Lembar Kerja 1
1. Nyatakan sudut 185020’15’’ ke dalam bentuk radian.
2. Jari-jari lingkaran 14 cm. Jika sudut suatu juring 300. tentukan panjang busur dan luas
juring tersebut.
3. Jika α = 49,40 dan β = 24045’. Hitunglah nilai dari:
a. α - β
b. α + β
2. Kegiatan Belajar 2
a. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:
- Menentukan sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut dengan perbandingan trigonometri
segitiga siku-siku.
- Menentukan sinus, kosinus, dan tangen dari sudut khusus/istimewa.
b. Uraian Materi
 Perbandinan Trigonometri pada Segitiga.
Perhatikan gambar!
Y
y adalah sisi di depan sudut α
x adalah sisi di dekat sudut α
r adalah sisi miring / hipotenusa
r
y
α
X
x
Perbandingan-perbandingan trigonometri di definisikan:
a. sin α = sisi di depan sudut α = y
sisi miring
r
b. cos α = sisi di dekat sudut α = x
sisi miring
r
c. tan α = sisi di depan sudut α = y
sisi di dekat sudut α
x
d. cosec α =
sisi miring
sisi di depan sudut α
e. sec α =
sisi miring
sisi di dekat sudut α
f. cot α = sisi di dekat sudut α =
sisi di depan sudut α
Dari definisi di atas dapat di hubungkan:
a. sin α =
c. cot α =
1
cosec α
b. cos α = 1
sec α
1
tan α
d. tan α = sin α = 1
cos α
cot α
CONTOH. Dari segitiga berikut ini, tentukan sin α,
cos α, tan α, cot α, sec α dan cosec α.
Penyelesaian:
Diketahui : y = 12 dan r = 13
x = r 2  y2
r = 13
= 132  122
= 169  144
= 25
=5
Jadi, sin α = y = 12
y=12
cosec α = r = 12
13
r
Cos α = x = 5
r
13
Tan α = y = 12
x
5
13
y
sec α = r = 13
x
5
cot α = x = 5
y
12
α
x
= r
y
= r
x
x
y
CONTOH. Jika 0 < β < 900, dan sin β = 3 , Tentukan cos β dan tan β.
5
Penyelesaian:
x=
3
5 2  32
Jadi, cos β = 4
25  9
5
tan β = 3
4
5
=
β
= 16
= 4
x
 Koordinat Kutub
Koordinat kutub atau koordinat polar merupakan cara
penentuan letak suatu titik menurut jarak titik ke
pangkal koordinat dan menurut besar sudut yang
dibentuk terhadap sumbu X
Dari gambar di samping, titik P(x,y) dapat ditulis
dalam koordinat kutub P(r, α) dengan
r = x 2  y 2 dan α = arc tan y
Y
P(x,y)
r
y
α
X
x
x
Dari cos α = x
r
diperoleh;
x = r cos α
dan sin α = y
r
P(r, α0) = P(x,y), dengan
x = r cos α
y = r sin α
y = r sin α,
Catatan: untuk menentukan α, perhatikan letak
kuadran dari titik tersebut.
CONTOH: Ubahlah koordinat Kartesius berikut kedalam koordinat kutub.
a. P ( 3 , 1 )
b. Q ( - 3, 4)
Penyelesaian:
a. P ( 3 , 1 )
b. Q ( - 3, 4)
x = 3 , y = 1 ( kuadarn I )
x = - 3, y = 4
( kuadran II )
r=
x2  y2
=
3 1
=2
r=
α = arc tan y
x2  y2
=
=5
9  16
α = arc tan y
x
x
= arc tan 4
= arc tan 1
3
3
0
0
= 30
Jadi, koordinat kutubnya P(2, 300)
= - 53,1
Jadi, koordinat kutubnya P(5; 53,10)
CONTOH: Ubahlah koordinat kutub berikut ke dalam koordinat Kartesius.
a. A (10, 600)
b. B (5 2 , 450)
Penyelesaian:
a. A (10, 600), r = 10, α = 600
x = r cos α = 10 cos 600 = 10 ( 1 ) = 5
2
1
y = r sin α = 10 sin 60 = 10 ( 3 ) = 5
2
0
3
Jadi, koordinat Kartesiusnya adalah A (5, 5
b. B (5 2 , 450), r = 5 2 , α = 450
x = r cos α = 5 2 cos 450 = 5 2 ( 1 2 ) = 5
3)
2
y = r sin α = 5 2 sin 45 = 5 2 ( 1
2
0
2)
=5
Jadi, koordinat Kartesiusnya adalah B (5, 5)
 Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa
2
2
300
1
450
3
3
1
2
600
1
1
Dari segitiga siku-siku di atas, di peroleh:
Sudut α Sin α Cos α
Tan α
Cosec α
Sec α
Cot α
1
Tdk
terdefinisi
00
0
1
0
Tdk
terdefinisi
300
1
2
1
3
3
2
2
3
3
1
2
2
1
3
2
1
3
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
3
2
3
2
1
3
1
0
Tdk
terdefinisi
1
Tdk
terdefinisi
0
450
600
900
CONTOH. Diketahui Δ ABC siku-siku di B, sudut A = 300
dan BC = 12 cm. Hitung panjang AB dan AC.
Penyelesaian:
sin 300 = BC
tan 300 = BC
AC
1 = 12
AC
2
C
12
AB
1 = 12
AB
3
AC = 24 cm
AB = 12
A
3
2
3
B
cm
CONTOH. Hitunglah nilai dari (sin 300 + cos 600) . tan 300
Penyelesaian:
(sin 300 + cos 600) . tan 300 = ( 1 + 1 ) ( 1 3 ) = 1
2
300
3
3
CONTOH. Buktikan bahwa sin 900 cos 450 – cos 900 sin 450 = sin 450
Bukti:
Ruas kiri: sin 900 cos 450 – cos 900 sin 450 = 1 . ( 1 2 ) – 0 . ( 1
2
Ruas kanan: sin 450 = 1
2
3)
= 1
2
2
2
2
Ruas kiri = ruas kanan
Jadi terbukti sin 900 cos 450 – cos 900 sin 450 = sin 450
c. Rangkuman
*) a. sin α = sisi di depan sudut α = y
sisi miring
r
b. cos α = sisi di dekat sudut α = x
sisi miring
r
c. tan α = sisi di depan sudut α = y
sisi di dekat sudut α
x
*) P(x,y)
P(r, α0)
r = x2  y2
α0 = arc tan y
P(r, α0)
P(x,y)
x = r cos α
y = r sin α
x
d. Tugas
1. Tentukan nilai sin α, cos α, tan α, cosec α, sec α, dan tan α pada segitiga siku-siku
berikut.
a)
b)
α
24
25
8
6
α
2. Nyatakan koordinat titik-titik berikut ke dalam koordinat Kartesius.
a) A (12, 450)
b) B (8 2 , 600)
3. Nyatakan koordinat titik-titik berikut ke dalam koordinat Kutub.
a) P ( 8 3 , 8)
b) Q ( - 1, 3 )
4. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai dari:
a) sin 300 + cos 600 – tan 450
c) sin 600 – cos 300 – cos 600 + sin 300
0
0 2
0
0 2
b) (cos45 + sin45 ) + (sin45 – cos45 )
cos 300 + tan 600
tan 450 + cos 900
e. Tes Formatif 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1.
Diketahui sec α = 17 , maka nilai dari sin α. cot α = …
α
15
8
A.
C. 8
E. 136
15
D. 64
225
17
B. 15
17
225
2. Diketahui sin β = 0,8, untuk 0 ≤ β ≤ 900, maka nilai tan β sama dengan …
A. 0,4
B. 0,5
C. 0,6
D. 1,0
E. 1,33
3. Koordinat kutub dari koordinat kartesius P( 3 , 1) adalah…
A. (2, 300)
B. (2, 600)
C. ( 2 , 300)
D. ( 3 , 600)
E. (3,300)
4.
C
Jika <CAB =300 dan panjang BC= 6 cm, maka panjang AC
adalah …
A.
3 6 cm
C. 9 cm
E. 18 3 cm
300
A
B
B. 6 3 cm
D. 18 cm
5. Nilai dari sin 600.cos 300 – cos 900.tan 300 = …
A. 1 3
B. 1 6
C. 1 6
D. 3
E. 4
4
f.
4
2
4
3
Kunci Jawaban Tes Formatif 2
1. B 2. E 3. A 4. B 5. D
g. Lembar Kerja 2
1. Jika cos α = p, untuk 0 ≤ α ≤ 900, tentukan nilai dari
a. cos2 α – sin2 α
b. 1 – cot2 α
2.
13
α
Tentukan nilai dari
a. tan α + cot β
b. sin α. cos α
β
2
3. Jika cos α = 12 , untuk 0 ≤ α ≤ 900, tentukan nilai dari 1  tan 
2 tan 
13
4. Tentukan nilai sin α, cos α, tan α, cosec α, sec α, dan tan α dari sudut α pada koordinat
Kartesius berikut ini.
Y
X
-X
α
P(9,12)
α
α
X
-Y
P(2, - 9)
P(-3,- 8)
-Y
3. Kegiatan Belajar 3
a. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:
- Menentukan sinus, kosinus dan tangen dari sudut di semua kuadran.
- Menentukan besar suatu sudut yang nilai sinus, kosinus, dan tangennya diketahui.
- Menggunakan kalkulator untuk menentukan nilai pendekatan fungsi trigonometri dan
besar sudutnya.
- Menggunakan rumus sinus dan kosinus dalam penyelesaian soal
- Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sederhana.
b. Uraian Materi
 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut pada Semua Kuadran
Sumbu koordinat membagi bidang koordinat
menjadi empat bagian yang di sebut Kuadran.
- Kuadran pertama (kuadran I) besar sudutnya 0 < α < 900
- Kuadran ke dua (kuadran II) besar sudutnya 900 < α < 1800
- Kuadran ke tiga (kudran III) besar sudutnya 1800 < α < 2700
- Kuadran ke empat (kuadran IV) besar sudutnya 2700< α <3600
Y
Y
Kuadran II
Sin, cosec
positip
Kuadran I
Semua positip
Kuadran III
Tan, cot
positip
Kuadran IV
Cos, sec
positip
Kuadran I
r1
sin α1 =
A(x1, y1)
y1
α
y1
;
r1
cosec α1 =
X
x1
r1
;
y1
Kuadran II
B(-x2,y2)
y2
;
r2
r
cosec α2 = 2 ;
y2
sin α2 =
r2
y2
α
-x2
-x3
-y3
α
 y3
;
r3
r
cosec α3 = 3 ;
 y3
sin α3 =
r3
C(-x3,-y3)
Kuadran III
x4
α
r4
 y4
;
r4
r
cosec α3 = 4 ;
 y4
sin α4 =
-y4
D(x4,-y4)
Kuadran IV
x1
;
r1
r
sec α1 = 1 ;
x1
cos α1 =
 x2
;
r2
r
sec α2 = 2 ;
 x2
cos α2 =
 x3
;
r3
r
sec α3 = 3 ;
 x3
cos α3 =
x4
;
r4
r
sec α3 = 4 ;
x4
cos α4 =
y1
x1
x1
cot α1 =
y1
tan α1 =
y2
 x2
 x2
cot α2 =
y2
tan α2 =
y3
x3
x
cot α3 = 3
y3
tan α3 =
 y4
x4
x4
cot α3 =
 y4
tan α4 =
CONTOH. Diketahui cos α =  3 , dan 1800 < α < 2700, tentukan nilai sin α . cot α
5
Penyelesaian:
A -3
α
5
B
Panjang AB = 5 2  32 = 16 = 4
4
Sin α =
(α di kuadran III)
5
Tan α = 4
cot α = 3
3
4

4
3
Jadi, sin α. cot α =
. = 3
5
5
4
 Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
1. Sudut ( 900 – α )
sin ( 900 – α ) = cos α,
cos ( 900 – α ) = sin α,
tan ( 900 – α ) = cot α,
cosec ( 900 – α ) = sec α
sec ( 900 – α ) = cosec α
cot ( 900 – α ) = tan α
CONTOH. Nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplementernya.
a. sin 480
b. sec 720
c. tan 250
Penyelesaian:
a. sin 480 = sin ( 900 – 420 ) = cos 420
b. sec 720 = sec ( 900 – 180 ) = cosec 180
c. tan 250 = tan ( 900 – 650 ) = cot 650
CONTOH. Tentukan α jika sec 4α = cosec 2α
Penyelesaian:
sec 4α = cosec 2α
sec 4α = cosec (900 – 4α)
maka cosec (900 – 4α) = cosec 2α
900 – 4α = 2α
6α = 900
α = 900 : 6
α = 150
0
2. Sudut ( 90 + α )
sin ( 900 + α ) = cos α,
cos ( 900 + α ) = – sin α,
tan ( 900 + α ) = – cot α,
cosec ( 900 + α ) = sec α
sec ( 900 + α ) = – cosec α
cot ( 900 + α ) = – tan α
CONTOH. Carilah nilai dari: a. tan 1350
Penyelesaian:
a. tan 1350 = tan (900 + 450)
= –cot 450
=–1
b. cos 1200
b. cos 1200 = cos (900 + 300)
= –sin 300
=– 1
2
3. Sudut ( 1800 – α ) dan (1800 + α )
sin ( 1800 – α ) = sin α,
cos (1800 – α ) = – cos α,
tan ( 1800 – α ) = – tan α,
cosec ( 1800 – α ) = cosec α
sec ( 1800 – α ) = – sec α
cot ( 1800 – α ) = – cot α
sin ( 1800 + α ) = – sin α,
cos (1800 + α ) = – cos α,
tan ( 1800 + α ) = tan α,
cosec ( 1800 + α ) = – cosec α
sec ( 1800 + α ) = – sec α
cot ( 1800 + α ) = cot α
CONTOH.
Nyatakan ke dalam sudut lancip.
a. sin 1370
b. cos 1200
c. cot 1600
Penyelesaian:
a. sin 1370 = sin ( 1800 – 430 ) = sin 430
b. cos 1200 = cos (1800 – 600 ) = – cos 600 = – 1
2
c. cot 1600 = cot ( 1800 – 200 ) = – cot 200
CONTOH.
Hitunglah nilai dari:
a. tan 2100
b. cos 2250
c. sin 2400
Penyelesaian:
a. tan 2100 = tan ( 1800 + 300 ) = tan 300 = 1 3
3
b. cos 225 = cos (180 + 45 ) = – cos 45 = – 1
0
0
0
0
2
2
c. sin 2400 = sin ( 1800 + 600 ) = – sin 600 = – 1 3
2
4. Sudut ( 2700 – α ) dan ( 2700 + α )
sin ( 2700 – α ) = – cos α,
cos ( 2700 – α ) = – sin α,
tan ( 2700 – α ) = cot α,
cosec ( 2700 – α ) = – sec α
sec ( 2700 – α ) = – cosec α
cot ( 2700 – α ) = tan α
sin ( 2700 + α ) = – cos α,
cos (2700 + α ) = sin α,
tan ( 2700 + α ) = – cot α,
cosec ( 2700 + α ) = – sec α
sec ( 2700 + α ) = cosec α
cot ( 2700 + α ) = – tan α
CONTOH.
Hitunglah nilai dari : a. sin 2250
b. tan 2100
Penyelesaian:
a. sin 2250 = sin ( 2700 – 450 ) = – cos 450 = – 1 2
2
b. tan 2100 = tan ( 2700 – 600 ) = cot 600 =
1
3
3
CONTOH.
Nyatakan ke dalam sudut lancip: a. sec 3200
Penyelesaian:
a. sec 3200 = sec ( 2700 + 500 ) = cosec 500
b. sin 2790 = sin ( 2700 + 90 ) = – cos 90
b. sin 2790
5. Sudut ( 3600 – α )
sin ( 3600 – α ) = – sin α,
cos ( 3600 – α ) = cos α,
tan ( 3600 – α ) = – tan α,
CONTOH.
cosec ( 3600 – α ) = – cosec α
sec ( 3600 – α ) = sec α
cot ( 3600 – α ) = – cot α
Nyatakan ke dalam sudut lancip:
a. cos 3450
b. sin 2850
c. tan 3200
Penyelesaian:
a. cos 3450 = cos ( 3600 – 150 ) = cos 150
b. sin 2850 = sin ( 3600 – 750 ) = – sin 750
c. tan 3200 = tan ( 3600 – 400 ) = – tan 400
6. Sudut negatif (– α)
sin (– α ) = – sin α,
cos ( – α ) = cos α,
tan (– α ) = – tan α,
cosec (– α ) = – cosec α
sec (– α ) = sec α
cot ( – α ) = – cot α
CONTOH.
Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ke dalam sudut lancip positip.
a. cos (–600)
b. cosec (–400)
c. tan (–1480)
Penyelesaian:
a. cos (–600) = cos 600
b. cosec (–400) = – cosec 400
c. tan (–1480) = – tan 1480
atau tan (–1480) = – tan 1480
0
0
= – {tan(180 – 32 )}
= – {tan(900+580)}
= – (– tan 320)
= – (– cot 580)
0
= tan 32
= cot 580
CONTOH.
Hitunglah nilai dari: a. cos (– 450)
Penyelesaian:
a. cos (– 450) = cos 450 = 1 2
b. tan (– 600)
2
b. tan (– 600) = – tan 600 = –
3
7. Sudut ( n.360 – α ) dan ( n.360 + α )
0
0
sin ( n. 3600 – α ) = sin (– α ) = – sin α,
cos ( n. 3600 – α ) = cos ( – α ) = cos α,
tan ( n. 3600 – α ) = tan (– α ) = – tan α,
cosec ( n. 3600 – α ) = cosec (– α ) = – cosec α
sec ( n. 3600 – α ) = sec (– α ) = sec α
cot ( n. 3600 – α ) = cot ( – α ) = – cot α
sin ( n. 3600 + α ) = sin α
cos ( n. 3600 + α ) = cos α
tan ( n. 3600 + α ) = tan α
cosec ( n. 3600 + α ) = cosec α
sec ( n. 3600 + α ) = sec α
cot ( n. 3600 – α ) = cot α
CONTOH. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ke dalam sudut lancip.
a. cosec 7000
b. cos 4400
Penyelesaian:
a. cosec 7000= cosec(2. 3600–200)= –cosec 200= –cosec(900–700)= –sec 700
b. cos 4400 = cos ( 3600 + 800 ) = cos 80 = cos ( 900 – 100 ) = sin 100
CONTOH. Hitunglah nilai dari: a. cos 4200
b. sin 4800
Penyelesaian:
a. cos 4200 = cos ( 3600 + 600 ) = cos 600 = 1
2
b. sin 4800 = sin (3600+1200) = sin 1200 = sin (900+300) = cos 300 =
1
2
 Persamaan Trigonometri
1. Persamaan sin x = sin p
Jika sin x = sin p, maka (i) x = p + k. 3600, atau
(ii) x = ( 1800 – p ) + k. 3600, dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….
3
CONTOH.
Tentukan HP dari 2 sin x =
Penyelesaian:
2 sin x = 3
sin x = 1 3
3,
untuk 00 ≤ x ≤ 3600
2
sin x = sin 600
(i) x = 600 + k . 3600
k=0
x = 600
0
Jadi, HP = { 60 , 1200}
(ii) x = (1800 – 600) + k . 3600
k=0
x = 1200
CONTOH. Tentukan HP dari 2 sin 2x = 1, untuk 00 ≤ x ≤ 3600
Penyelesaian:
2 sin 2x = 1
sin 2x = 1
2
sin 2x = sin 300
(i) 2x = 300 + k . 3600
x = 150 + k . 1800
k=0
x = 150
k=1
x = 1950
(ii) 2x = (1800 – 300) + k . 3600
2x = 1500 + k . 3600
x = 750 + k . 1800
k=0
x = 750
k=1
x = 2250
Jadi, HP = { 150, 750, 1950, 2250 }
2. Persamaan cos x = cos p
Jika cos x = cos p, maka (i) x = p + k. 3600, atau
(ii) x = – p + k. 3600, dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….
CONTOH. Tentukan HP dari 2 cos x + 1 = 0, untuk 00 ≤ x ≤ 3600
Penyelesaian:
2 cos x + 1 = 0
2 cos x = – 1
cos x = – 1
2
cos x = cos 1200
(i) x = 1200 + k . 3600
k=0
x = 1200
Jadi, HP = { 1200, 2400}
(ii) x = – 1200 + k . 3600
k=1
x = 2400
CONTOH. Tentukan HP dari 2 cos (x + 450) =
Penyelesaian:
2 cos (x + 450) = 2
cos (x + 450) = 1 2
2,
dengan 00 ≤ x ≤ 3600
2
cos (x + 450) = cos 450
(i) x + 450 = 450 + k . 3600
x = k . 3600
k=0
x = 00
k=1
x = 3600
0
Jadi, HP = { 0 , 2700, 3600 }
(ii) x + 450 = – 450 + k . 3600
x = – 900 + k . 3600
k=1
x = 2700
3. Persamaan tan x = tan p
Jika tan x = tan p, maka x = p + k . 1800, dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….
CONTOH. Tentukan HP dari tan 2x =
Penyelesaian:
tan 2x = 3
tan 2x = tan 600
2x = 600 + k . 1800
x = 300 + k . 900
k=0
x = 300
k=1
x = 1200
k=2
x = 2100
k=3
x = 3000
3,
untuk 00 ≤ x ≤ 3600
Jadi, HP = { 300, 1200, 2100, 3000 }
CONTOH. Tentukan HP dari tan (x + 200) – 3 = 0, untuk 00 ≤ x ≤ 3600
Penyelesaian:
tan (x + 200) – 3 = 0
tan (x + 200) = 3
tan (x + 200) = tan 600
x + 200 = 600 + k . 1800
x = 400 + k . 1800
k=0
x = 400
k=1
x = 2200
0
0
Jadi, HP = { 40 , 220 }
CONTOH. Tentukan HP dari sin
1x
2
= cos x, untuk – 3600 ≤ x ≤ 3600
Penyelesaian:
sin 1 x = cos x
sin
(i)
2
1x
2
= sin (900 – x)
1x=
2
1x+
2
(900 – x) + k . 3600
(ii)
x = 900 + k . 3600
3 x = 900 + k . 3600
2
1x
2
1x
2
= (1800 –(900 – x)) + k . 3600
= (1800 – 900 + x) + k . 3600
1 x = 900 +
2
– 1 x = 900
2
x = 600 + k. 2400
k = –1
x = –1800
k=0
x = 600
k=1
x = 3000
Jadi, HP = { –1800, 600, 3000 }
x + k. 3600
+ k. 3600
x = –1800 – k . 7200
k =0
x = –1800
c. Rangkuman
* Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi 4 bagian, yang di sebut kuadran.
- kuadran pertama, semua bernilai positip
- kuadran ke dua hanya sin dan cosec yang bernilai positip
- kuadran ke tiga hanya tan dan cot yang bernilai positip
- kuadran ke empat hanya cos dan sec yang bernilai positip
* Persamaan Trigonometri
1. sin x = sin p
2. cos x = cos p
3. tan x = tan p
(i) x = p + k . 3600
(i) x = p + k . 3600
x = p + k . 1800
0
0
0
(ii) x =(180 – p) + k .360
(ii) x = – p + k . 360
dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….
d. Tugas
1. Diketahui sin α = –
a. sec α
2. Jika cot θ = –
7
24
3
5
dan cos α bertanda positip, tentukan nilai dari:
b. cosec α
c. 1 – cot2 α
0
0
dan 270 < θ < 360 . hitunglah nilai sec θ dan cosec θ
3. Diketahui cos θ = – 1 dan sin θ =
2
4. Diketahui sin α =
7
25
1
2
3.
Tentukan nilai dari cosec θ dan tan θ
dan cos β = 3 , α dan β pada kuadran I. Tentukan nilai dari
5
tan   tan 
1  tan  . tan 
5. Jika cos α = –0,8 , α pada kuadran II. Tentukan nilai sin α + cotan α.
6. Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai-nilai berikut.
a. sin 1200
c. tan 2100
e. cos (–450) g. sin 2250
i. sin (–1500)
0
0
0
0
b. cos 120
d. sin 210
f. tan (–45 )
h. tan (–30 )
j. tan (–1500)
0
0
7. Untuk 0 ≤ x ≤ 360 . tentukan HP dari:
a. sec 3x = 2
b. sin 2x. cos x – cos x = 0
e. Tes Formatif 3
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1. Jika sin A = 3 , A sudut pada kuadran II, maka cos A = …
5
B.  4
A. –1
D. 4
C. 0
5
E. 1
5
2. Diketahui tan A = 3 dengan sudut A lancip. Nilai 2 cos A = …
4
B. 8
5
A. 6
5
C. 5
D. 4
E. 5
4
5
3
3. Diketahui cos α = t, maka cosec α = …
1
A.
1 t
1 t
2
4. Jika cos β = –
A.
t
B.
1
2
D.
2
1 t 2
t
1
9
C.
3
D. –
1
2
1
3
3
5. sin α = p, p ≠ 0, maka sin (2700 – α) sama dengan …
1
1
1
A.
B.
C.
D. – 1  p 2
 p 1
p 1
1 p
2
2
t 1
t
E.
dan β pada kuadran II, maka tan β = …
3
B.
3
C. 1  t 2
6. Nilai cos 1110 adalah …
A. 3
B. 1 3
E. –
3
E. 1  p 2
2
0
C. –
D. – 1
3
2
3
2
E.
1
2
0
0
0
7. Nilai dari sin 270 cos135 tan 135 = …
sin 150 0 cos 225 0
A. –2
B. – 1
C.
2
D. 1
1
2
E. 2
8. Himpunan penyelesaian dari 2 cos (x + 600) = 1, untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …
A. { 00, 2400, 3600 }
C. { 300, 3600 }
E. { 00 }
B. { 00, 3600 }
D. { 600, 2700 }
9. Nilai x yang memenuhi 2 sin x – 1 = 0, untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …
A. 300 atau 1200
C. 600 atau 1200
E. 600 atau 2700
0
0
0
0
B. 30 atau 150
D. 30 atau 180
10. Himpunan penyelesaian dari sin 1 x = 1 3 , jika 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …
2
A. { 600 }
f.
B. { 1200 }
Kunci Jawaban Tes Formatif 3
1. B 2. B 3. A 4. D 5. D 6. B
2
C. { 600, 1200 }
7. E
8. A
D. { 300, 1200 }
9. B
E. { 1200, 2400 }
10. E
g. Lembar Kerja 3
1. Dengan menggunakan hubungan perbandingan trigonometri, tentukan ke enam nilai
perbandingantrigonometri jika diketahui:
a. 2 sin α = 1 (α di kuadran I)
e. cot α = 3 (α di kuadran I)
b. 5 sin α = –2 (α di kuadran IV)
f. 3 sec α = –5 (α di kuadran II)
c. tan α = 5 (α di kuadran III)
g. – 5 cosec α = 13 (α di kuadran IV)
d. – cos α = 3 (α di kuadran II)
h. 4 cosec α = 3 3 (α di kuadran I)
2. Jika diketahui tan α = - 2 (α di kuadran II). Tentukan:
a. 2 sin α cos α
b. sec α – cosec α
c. 2 sec α + sin α
3. Nyatakan sebagai fungsi-fungsi trigonometri sudut lancip.
a. sin 1300
b. tan 1470
c. cos 2830
d. cot 3100
0
0
0
4. Tentukan HP dari sin (2x – 45 ) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360
5. Tentukan HP dari :
a. tan (x – π) = cot  , untuk 00 ≤ x ≤ 2 π
3
b. sin (2x –  ) = cos  , untuk –π ≤ x ≤ π
3
5
4. Kegiatan Belajar 4
a. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:
- Mengonstruksikan grafik fungsi sinus dan kosinus
- Menggambar grafik fungsi tangen
b. Uraian Materi
 Periodisitas Fungsi Trigonometri
Secara umum dikatakan bahwa jika pad suatu fungsi berlaku f(x) = f(x + p), untuk setiap x,
maka fungsi tersebut adalah fungsi periode dengan periode p, sehingga dari pengertian
tersebut di dapat;
(i) y = sin kx mempunyai periode 1 x 3600
k
(ii) y = cos kx mempunyai periode 1 x 3600
k
(iii) y = tan kx mempunyai periode 1 x 1800
k
CONTOH. Tentukan periode fungsi-fungsi berikut ini.
a. y = sin 6x
b. y = 2 tan 1 x
4
Penyelsesaian:
a. y = sin 6x
k=6
b. y = 2 tan
Periode = 1 x 3600 = 600
1
4
Periode =
6
x
k=
1
4
1 x 1800 = 7200
1/ 4
 Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri
Grafik y = a sin kx + b dan y = a cos kx + b mempunyai nilai maksimum y =│a│+ b dan nilai
minimum y = –│a│+ b. Sedangkan grafik y = tan x tidak mempunyai nilai maksimum atau
minimum
Amplitudo grafik suatu fungsi = 1 ( nilai maksimum – nilai minimum )
2
CONTOH. Tentukan nilai maksimum , nilai minimum dan amplitudo dari fungsi berikut.
a. y = 3 sin 5x + 2
b. y = –2 cos 3x – 2
c. y = –3 cos (6x + 200 )
Penyelesaian:
a. y = 3 sin 5x + 2
b. y = –2 cos 3x – 2
c. y = –3 cos (6x + 200 )
maks = │3│+2=5
maks = │–2│– 2 = 0
maks = │–3│= 3
min = –│3│+2 = –1
min = –│–2│– 2 = –4
min = –│–3│= –3
Amplitudo = 1 (5+1)=3
Amplitudo= 1 (0+4)=2
Amplitudo = 1 (3+3)=3
2
2
 Grafik Fungsi Sinus
Grafik f(x) = sin x , untuk 0 ≤ x ≤ 2π


2
3
5

x
0 




6
Sin x
1
2
0
4
3
2
3
2
1
1
2
4
3
6
1
3
2
2
1
2
0
7

6
–1
5

4
–
2
1
2
2
4

3
–
3

2
3
2
Y
Grafik y = sin x
1

2
–1

3

2
2
X
–1
5

3
–
3
2
7

4
–
1
2
11

6
2
–1
0
2
 Graik Fungsi Kosinus
Grafik f(x) = cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π


2
3

x
0 


6
cos x
1
4
3
2
2
2
Y
3
2
3
1
2
0
–1
–
2
2
2

5

6
4
-
7

6
–1
3
2
-
3
2
5

4
–
4

3
–
2
2
1
2
3

2
5

3
7

4
11

6
0
1
2
2
2
3
2
Grafik y = cos x
1

2

2
3

2
X
–1
 Grafik Fungsi Tangen
Grafik f(x) = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π

3
x
0 

Tan x
0
4
2
1
Tdk
terdefinisi
Y
4
–1
0
5

4
3

2
7

4
2
1
Tdk
terdefinisi
–1
0
Ggrafik y = tan x
1
–1

4

2

3

4
5 3
 
4 2
7

4
2
 Menggambar grafik fungsi trigonometri
Ada beberapa cara untuk menggambar grafik fungsi trigonometri, diantaranya:
a. Tabel nilai trigonometri
CONTOH. Lukislah grafik y = 2 sin x, untuk 00 ≤ x ≤ 3600
Penyelesaian:
x
y=2sin x
00
0
300
1
900
2
1500
1
1800
0
2700
–2
3600
0
2
1
300 900
1800
2700
3600
–1
–2
b. Dengan cara menentukan koordinat titik-titik potong dengan sumbu koordinat,
menentukan koordinat titik maksimum dan minimum jika ada.
CONTOH. Gambarlah y = 3 cos (x – 300)
Penyelesaian:
2
1
*) Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
* Titik potong dengan sumbu X
y=0
3 cos (x – 300) = 0
cos (x – 300) = 0
cos (x – 300) = cos 900
(i) x – 300 = 900 + k. 3600
(ii) x – 300 = –900 + k. 3600
0
0
x = 120 + k . 360
x = – 600 + k. 3600
0
k=0
x = 120
k=1
x = 3000
0
Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (120 , 0) dan (3000, 0)
* Titik potong dengan sumbu Y
x=0
0
3
3 cos (0 – 30 ) = 3 . ( 1 3 ) =
3
2
2
Jadi, titik potong sumbu Y adalah ( 3
3,
0)
2
*) Menentukan titik maksimum dan minimum
* y = 3 cos (x – 300)
* y = 3 cos (x – 300)
y maks = 3
y min = –│3 │ = – 3
3 cos (x – 300) = 3
3 cos (x – 300) = – 3
0
cos (x – 30 ) = 1
cos (x – 300) = – 1
cos (x – 300) = cos 00
cos (x – 300) = cos 1800
0
0
0
(i) x – 30 = 0 + k . 360
(i) x – 300 = 1800 + k . 3600
0
0
x = 30 + k . 360
x = 2100 + k . 3600
0
k=0
x = 30
k=0
x = 2100
0
0
0
0
0
(ii) x – 30 = 0 + k . 360
(ii) x – 30 = –180 + k . 3600
0
0
x = 30 + k . 360
x = –1500 + k . 3600
k=0
x = 300
k=1
x = 2100
Jadi, titik balik maksimum
Jadi, titik balik minimum
Adalah (300, 3)
adalah (2100, –3)
3
2100
300
1200
3600
3000
–3
c. Rangkuman
Cara menggambar grafik fungsi trigonometri, diantaranya:
- Tabel nilai kebenaran
- Dengan cara menentukan koordinat titik potong dengan sumbu koordinat, menentukan
koordinat titik maksimum dan minimum jika ada.
d. Tugas
1. Tentukan periode fungsi berikut.
a. y = 2 cos (2x – 600) + 2
b. y = - 3 sin ( 1 x +600) – 2
c. y = 3 tan 4x
d. y = - sin 2x + 6
2
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari:
a. y = 3 cos (x – 600) – 2
b. y = 4 sin (x + 450) + 1 c. y = 3 – 4 cos (x – 600)
3. Gambarlah grafik dari:
a. y = - 2 sin 1 x, 00 ≤ x ≤ 1800
d. y = 3 + cos x, 00 ≤ x ≤ 3600
2
b. y = - 2 sin 2x, 00 ≤ x ≤ 1800
c. y = │cos x│, 00 ≤ x ≤ 3600
e. y = 3 + 3 sin x, 00 ≤ x ≤ 3600
e. Tes Formatif 4
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1. 2
Persamaan yang sesuai dengan grafik di samping adalah
A. y = 2 cos x
D. y = - 2 sin x
0
0
90
270
1800
3600
B. y = - 2 cos x
E. y = - 2 sin 2x
C. y = 2 sin x
-2
2. Nilai maksimum dari f(x) = 5 + 2 sin 3x adalah …
A. 1
B. 2
C. 5
D. 6
E. 7
3. Grafik y = cos x terletak di bawah grafik y = sin x pada interval …
A. 00<x<1800
B. 450<x<900
C. 450<x<1800
D. 900<x<1800
E. 1350<x<1800
4. Grafik di bawah menunjukan fungsi:
A. y = 2 cos x
B. y = cos 2x
2

2
D. y = 2 cos 2x
E. y = 2 cos 1 x
2

2
C. y = 2 cos x
-2
5. Grafik di bawah ini menggambarkan fungsi …
A. y = sin2x
1
B. y = sin 2x
C. y = 2 sin x2

D. y = sin x2
E. y = sin (x+2)
2
-1
f.
Kunci Jawaban Tes Formatif 4
1. D 2. E 3. D 4. D 5. A
g. Lembar Kerja 4
1. tentukan amplitudo dari:
a. – 4 cos (3x + 600) – 2
b. – 2 sin (x – 900) + 2
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari:
a. – 3 sin 2x + 5
b. 5 + cos 3x
3. Tentukan periode fungsi trigonometri berikut.
a. 3 sin (2x – 450)
b. 2 tan (5x + 450)
c. 3 sin ( 1 x + 600)
2
4. Gambarkan y = - cos 2x ; 00 ≤ x ≤ 1800
5. Kegiatan Belajar 5
a. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:
- Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian
- Membuktikan identitas trigonometri sederhana
b. Uraian Materi
 Hubungan antara perbandingan-perbandingan trigonometri
1
a) sin α =
sin α. cosec α = 1
d) tan α = sin 
cos ec
b) cos α = 1
sec 
c) tan α = 1
cot 
 Identitas trigonometri
a) sin2 α + cos2 α = 1
b) 1 + tan2 α = sec2 α
c) 1 + cot2 α = cosec2 α
cos α. sec α = 1
tan α cot α = 1
cos 
cos

e) cot α =
sin 
CONTOH. Buktikan (sin α + cos α )2 – 1 = 2 sin α cos α
Bukti:
Ruas kiri: (sin α + cos α )2 – 1 = (sin α + cos α ) (sin α + cos α ) – 1
= sin2 α + cos2 α + 2 sin α cos α – 1
= 1 + 2 sin α cos α – 1
= 2 sin α cos α
= ruas kanan
Jadi terbukti: (sin α + cos α )2 – 1 = 2 sin α cos α
CONTOH. Buktikan cos4 α – sin4 α = 1 – 2 sin2 α
Bukti:
Ruas kiri: cos4 α – sin4 α = (cos2 α + sin2 α) (cos2 α – sin2 α)
= cos2 α – sin2 α
= 1 – sin2α – sin2 α
= 1 – 2 sin2 α
= ruas kanan
Jadi, terbukti cos4 α – sin4 α = 1 – 2 sin2 α
c. Rangkuman
Cara membuktikan persamaan identitas trigonometri adalah dengan menguraikan ruas kiri
maupun ruas kanan sehingga hasil dari uraian tersebut sama dengan ruas yang satunya.
Proses penguraian menggunakan rumus-rumus dasar hubungan perbandingan trigonomatri
d. Tugas
1. Buktikan identitas-identitas berikut.
a. 5 cos2 α – 4 = - 5 sin2 α + 1
d. sec A + tan A = cos A
1  sin A
b. 6 sin2 α – 6 = – cos α
c. cos2 α ( 1 – tan2 α ) = 1 – 2 sin2 α
e. sec2 A ( 1 – sin2 A ) = 1
f. cosec2 A ( 1 – cos2 A ) = 1
2. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut.
a. (1 – sin A) (tan A + sec A)
c. (tan A – cos A)(sin A. cos A)
2
b. 1  cot A
d.
cot A sec A
e. Tes Formatif 5
1. Bentuk sederhana dari
1
1
–
sin A  1
sin A  1
1  sec 
adalah …
tan   sin 
A. sec α
B. sin α
2. Diketahui p – q = cos α dan
A. sin α + cos α
B. sin2 α + cos2 α
C. tan α
E. cos α
D. cosec α
2 pq = sin α, maka p2 + q2 = …
C. sin2 α – cos2 α
E. cos2 α – sin2 α
2
2
D. sin α + sin α
3. untuk setiap sudut α. Bentuk ( 1 – sin2 α) (1 + tan2 α) dapat disederhanakan menjadi …
A. 1 + sin2 α
B. sin2 α – cos2 α
4. Kila a – b = sin A dan ab =
A. 1
B.
1
2
C.
2
3
5. Bentuk sederhana dari cos x
1  sin x
A. 1 sin x
cos x
f.
C. 1 + cos2 α
E. sin2 α
D. 1
cos2 A, maka a2 + b2 sama dengan …
D.
1
2
1
4
E. – 2
adalah …
B. 1 sin x
cos x
Kunci Jawaban Tes Formatif 5
1. D
2. B 3. D 4. A 5. A
C. 1 cos x
sin x
D. 1  cos x
1  sin x
E. cos x  1
sin x
g. Lembar Kerja 5
1. Buktikan identitas trigonometri berikut ini.
a. 2 = sin x + 1 cos x
sin x
1  cos x
d. tan A  cot A = 1 – 2 cos2 A
tan A  cot A
sin x
e. tan2A – sin2A = tan2A . sin2A
f. tan(900–A).tanA + cot(900–A). cotA = 2
b. cos A + tan A = cos A . sec2 A
1
c, cot2A + 1 =
sin 2 A
2. Jika diketahui p = 3 sin α dan q = –
2
a. 1 p + q
3
cos α. tentukan nilai dari:
2
b.  p  –  3 
q
q
2

3

2
2
c. q
3 p
 
3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut
a. (sin B – cos B)2 + 2 sin B cos B
1
b. sin B + cos B –
cos B
sin B
+ p
3
c. cos4 B – sin4 B + 2 sin2 B
d. 1 sin B + cos B = 2 sec B
cos B sin B
1  sin B
cos B
6. Kegiatan Belajar 6
a. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:
- Menghitung luas segitiga yang komponennya diketahui.
- Membuktikan rumus sinus dan rumus kosinus.
b. Uraian Materi
 Rumus – rumus Segitiga
1) Aturan Sinus.
Pada setiap segitiga ABC berlaku aturan sinus:
C
a
c
= b =
sin A
sin B
sin C
a
b
A
c
B
Bukti:
C
a
C
b
a
D
D
b
c
A
E
B
E
c
Gambar (i)
A
B
Gambar (ii)
Dari gambar (i). Dalam Δ AEC, sin A = CE atau CE = b sin A ……….(1)
AC
Dari gambar (ii). Dalam Δ BEC, sin B = CE atau CE = a sin B ……….(2)
BC
Dari (1) dan (2):
a sin B = b sin A
(masing-masing ruas dibagi sinA . sinB)
a sin B
b sin A
a
b
=
, maka
=
……………………(3)
sin A sin B
sin A sin B
sin A
sin B
Dari gambar (i). Dalam Δ ABD, sin A = BD atau BD = c sin A …………(4)
AB
Dari gambar (ii). Dalam Δ CDB, sin C = BD atau BD = a sin C …………(5)
BC
Dari (4) dan (5):
c sin A = a sin C
(masing-masing ruas dibagi sinA. sinC)
c sin A
a sin C
c
a
=
, maka
=
……………………..(6)
sin A sin C
sin A sin C
sin C
sin A
a
b
c
Dari (3) dan (6) di peroleh:
=
=
sin A
sin B
sin C
Aturan sinus digunakan jika diketahui 3 unsur yang secara berurutan, yaitu:
1. sisi – sudut – sudut (s, sd, sd)
2. sisi – sisi – sudut (s, s, sd)
3. sudut – sisi – sudut ( sd, s, sd )
CONTOH. Dalam Δ ABC, dengan c = 35 cm, <A = 470, dan <C = 980.
Hitung panjang a dan b !
Penyelesaian:
c
*) a =
sin A
sin C
0
c sin A
a=
= (35) sin 47
= 25, 8 cm
sin C
sin 98 0
*) < B = 1800 – (470 + 980) = 350
b
c
=
sin B
sin C
0
b = c sin B = (35) sin 35
= 20, 3 cm
sin C
sin 98 0
Jadi, panjang sisi a = 25,8 cm dan b = 20, 3 cm
CONTOH. Pada Δ ABC, diketahui panjang sisi AB = 10 cm, sisi AC = 12 cm
dan sin B = 4 . Tentukan nilai cos C.
5
Penyelesaian:
Panjang sisi AB = c = 10 cm, panjang sisi AC = b = 12 cm, sin B = 4
5
c
Dengan aturan sinus: b =
sin B
sin C
10
12
=
sin C
4/5
4
(10)
sin C = 5
= 8= 2
12
12 3
Identitas trigonometri: sin2 C + cos2 C = 1
( 2 )2 + cos2 C = 1
3
cos2C = 1 – 4 = 5
9
cos c = 1
9
5
3
2) Aturan Kosinus.
Pada setiap Δ ABC berlaku rumus kosinus:
b = a + c – 2 ac cos B
2
2
C
2
2
2
cos A = b  c  a
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
2
atau
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C
2bc
2
2
cos B = a  c  b
2ac
2
a

b2  c 2
cos C =
2ab
b
a
2
c
A
B
C
Bukti.
Gambar (i)
C
a
b
Gambar (ii)
a
b
A
x
c-x
D
B
D
c
Pada gambar (i) Δ ABC lancip dan CD ┴ AB
Misalkan AD = x, maka BD = c – x
Pada Δ ADC; CD2 = b2 – x2 ……………………………………(1)
Pada Δ BDC; CD2 = a2 – ( c – x )2 = a2 – c2 + 2cx – x2 ………..(2)
Dari (1) dan (2): b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx – x2
b2 = a2 – c2 + 2cx
atau
a2 = b2 + c2 – 2cx ………………………..(3)
A
c
B
Dalam Δ ADC; cos A = x
x = b cos A ……………...(4)
b
Dari (3) dan (4); a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Jadi, a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.
Dengan cara yang serupa, dapat kita buktikan pula bahwa:
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C
Aturan kosinus di gunakan jika diketahui 3 unsur secara berurutan yaitu:
1. sisi – sisi – sisi ( s, s, s )
2. sudut – sudut – sudut ( sd, sd, sd )
3. sisi – sudut – sisi (s, sd, s)
Dan aturan kosinus di atas berlaku juga untuk segitumpul seperti Gambar (ii)
CONTOH. Diketahui Δ ABC dengan panjang AC = 4 cm, AB = 5 cm, dan <A = 400.
Tentukan panjang BC.
Penyelesaian:
C
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 42 + 52 – 2 . 4 . 5. cos 400
4 cm
= 16 + 25 – 40 (0,766)
= 41 – 30,64
400
B
A
= 10,36
5 cm
a = 10,36 = 3,219 cm
CONTOH. Dalam Δ ABC diketahui b = 8 cm, c = 5 cm, dan sudut A = 600.
Tentukan panjang sisi a !
Penyelesaian:
Dengan aturan kosinus: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 64 + 25 – 80 ( 1 )
2
= 49
a = 49 = 7 cm.
 Luas Segitiga
1. Luas segitiga jika diketahui alas dan tingginya
Apabila pada sebuah segitiga diketahui alas dan tingginya, maka
luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan
rumus:
t
L = 1 a.t
keterangan: a = alas; t = tinggi
2
a
2. Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut (s, sd, s)
Apabila pada sebuah segitiga diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh ke dua
sisi itu, maka luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
C
b
A
L=
a
L=
L=
B
c
1 a.b.sin C
2
1 a.c.sin B
2
1 b.c.sin A
2
CONTOH. Sebuah Δ ABC, panjang sisi a = 16 cm dan panjang sisi b = 24 cm, serta
<C = 450. Tentukan luas segitiga tersebut!
C
Penyelesaian:
16 cm
L Δ ABC = 1 a.b.sin C
24 cm
=
2
1.
2
= 96
16 . 24 .( 1
2
2
cm2
2)
A
450
B
3. Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi
Apabila pada sebuah segitiga, dua sudut dan satu sisi yang terletak di antara ke dua
sudut, maka luas segitiga itu dapat di tentukan dengan rumus:
C
L=
b 2 sin A sin C
L=
2 sin B
a
b
A
a 2 sin B sin C
2 sin A
B
c
L=
c 2 sin A sin B
2 sin C
CONTOH. Diketahui Δ ABC dengan <A = 250 dan <C = 450. Jika panjang sisi b =15 cm.
tentukan luas segitiga tersebut.
Penyelesaian:
Sudut B dapat dicari;
<B = 1800 – ( <A + <C )
Jadi, LΔABC =
b 2 sin A sin C
2 sin B
152 sin 250 sin 45
2 sin1100
= 1800 – ( 250 + 450 )
=
= 180 – 70
152 0, 4226.12 2
=
2( 0,939)
= 1100
= 35,802 cm2
0
0
4. Luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya
Apabila ketiga sisi sebuah segitiga diketahui, maka luas segitiga itu dapat ditentukan
dengan menggunakan rumus:
L = s(s  a)( s  b)( s  c)
Dengan s = 1 (a +b + c)
2
CONTOH. Sebuah Δ ABC diketahui panjang sisi-sisinya, masing-masing AB 4 cm, AC =
5 cm, dan BC = 7 cm. tentukan luas segitiga tersebut!
Penyelesaian:
s= 1(4+5+7)=8
2
L = 8(8  4)(8  5)(8  7) =
8.4.3.1 =
2.4.4.3.1 = 4 6
Jadi luas segitiga tersebut adalah 4 6 cm2
5. Luas segi banyak ( segi – n ) beraturan
Rumus luas segi – n beraturan:
0
L = n r2 sin 360
2
n
Keterangan: n = benyaknya segi
r = jarak pusat segi-n terhadap titik sudut pada lingkaran
CONTOH. Hitunglah luas segi – 8 beraturan jika titik-titik sudutnya terletak pada
lingkaran berjari-jari 16 cm
Penyelesaian:
n = 8, r = 16 cm
0
0
L = n r2 sin 360 = 8 .162 . sin 360 = 4 (256) ( 1 2 ) = 512 2 cm2
2
n
2
8
2
Jadi, luas segitiga tersebut adalah 512
c. Rangkuman
* Pada setiap segitiga berlaku aturan sinus
a =
b =
c
sin A
sin B
2
cm2
* Luas segitiga jika diketahui dua sudut
dan satu sisi.
sin C
L=
a 2 sin B sin C
2 sin A
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
L=
b 2 sin A sin C
2 sin B
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C
L=
c 2 sin A sin B
2 sin C
* Pada setiap segitiga berlaku aturan kosinus
* Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan
sudut apit dua sisi tersebut
L = 1 a.b.sin C
L=
L=
2
1 a.c.sin
2
1 b.c.sin
2
* Luas segitiga jika diketahui panjang
ketiga sisinya.
L = s(s  a)( s  b)( s  c)
* Luas segi banyak (segi – n) beraturan
B
0
L = n r2 sin 360
A
2
n
d. Tugas
1. Diketahui Δ ABC dengan panjang BC = 13 cm, <BAC = 450, dan <ABC = 300. Hitung
panjang sisi AB.
2. Dikatahui Δ MNO, dengan panjang MN = 24 cm, <MON = 1050, dan <OMN = 300. hitung
panjang sisi NO.
3. Diketahui Δ ABC, dengan <ABC = 500, <BAC = 800, dan AC + BC = 18 cm.
Hitung panjang AC, BC, dan AB.
4. Diketahui Δ ABC, dengan panjang AB = 7cm, BC = 8 cm, dan <ABC = 1500. hitung
panjang sisi yang belum diketahui.
5. Suatu Δ ABC, diketahui <A= 520 dan <C = 630. Jika panjang sisi a = 18 cm, tentukan
luas segitiga tersebut.
6. Tentukan luas Δ ABC jika diketahui sisi b = 16 cm, sisi c = 12 cm, dan besar <C = 300.
e. Tes Formatif 6
1.
2
a
600
3
P
2.
Q
450
300
R
Pada gambar disamping nilai a adalah …
A. 6
C. 11
B. 7
D. 13
E. 14
Pada gambar disamping PQ : PR = …
A. 1: 2
C. 3 : 1
B. 2 : 1
D. 1 : 3
E.
2:
3
3. Apabila pada segitiga ABC terdapat hubungan a2 = b2 + c2 – bc, maka besar sudut A
adalah …
A. 450
B. 600
C. 900
D. 1200
E. 1500
4. Jika a, b, dan c berturut-turut adalah sisi-sisi suatu segitiga dengan luas 28 cm2, a = 8
cm, b= 7 cm, maka besar sudut antara sisi a dan b adalah …
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
E. 1200
5. Sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya masing-masing 12 cm, 14 cm, dan 10
cm, maka luas segitiga tersebut adalah …
A. 16
f.
2
B. 16
3
C.16 6
D. 24
E. 24 6
3
Kunci Jawaban Tes Formatif 6
1. B
2. A 3. B 4. D 5. E
g. Lembar Kerja 6
1. Diketahui segi empat ABCD. Jika diagonalnya masing-masing 24 cm dan 15 cm serta
luas segiempat 60 2 cm2. Tentukan cos sudut yang dibentuk oleh poligon kedua
diagonalnya.
8 cm
D
2. Hitunglah luas daerah segi empat pada
C
gambar di samping.
6 cm
7 cm
A
11 cm
5 cm
B
3. Jari-jari lingkaran luar segi enam beraturan adalah 2 cm. Tentukan luas segi enam
beraturan tersebut.
4. Dalam Δ PQR diketahui panjang PQ= 6 cm dan PR= 10 cm. Jika luas Δ PQR= 15
tentukan panjang QR.
3
cm2.
5. Suatu Δ PQR, diketahui <A= 450 dan <B= 650. Jika panjang c = 18 cm. Tentukan luas
segitiga tersebut
7. Kegiatan Belajar 7
a. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:
- Menjelaskan karakteristik masalah model matematikanya yang memuat ekspresi
trigonomatri.
- Menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel yang berkaitan
dengan ekspresi trigonometri.
- Merumuskan, menyelesaikan, dan menafsirkan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus, dan rumus kosinus
b. Uraian Materi
Trigonometri sangat penting artinya dalam berbagai bidang keilmuan. Berikut ini adalah
beberapa kasus (kejadian) yang memanfaatkan perhitungan trigonometri dalam pemecahan
masalahnya.
CONTOH. Sebuah alat pengamat digunakan untuk mengamati sebuah balon dengan sudut
elevasi 600. Jarak alat pengamat ke titik yang terletak di tanah tepat di bawah
balon adalah 245 m. Tentukan ketinggian balon tersebut.
Penyelesaian:
y
Tan 600 =
r
x
y
r
y
alat
3 =
0
60
245
pengamat
tanah
y = 245 3 = 424,35
Jadi, tinggi balon tersebut adalah 424,35 m.
CONTOH. Dua buah kapal P dan Q berjarak 10 km. Kapal Q letaknya pada arah 1000 dari
P. kapal R terletak pada arah 1600 dari P. Jika kapal R terletak pada arah 2000
dari Q. Hitunglah jarak kapal R dari P dan dari Q.
Penyelesaian:
U
Dari sketsa diperoleh:
U
<RPQ = 1600 – 1000 = 600
1600
0
0
0
0
0
80
<PQR = 360 – (200 + 80 ) = 80
1000
0
0
0
0
P
<QRP = 180 – (80 + 60 ) = 40
2000
*kita cari panjang PR dengan aturan sinus
PQ
PR
=
↔ 10 0 = PR 0
sin QRP
sin PQR
sin 40
sin 80
0
↔ PR = 10 sin 800
↔
sin 40
10
= (0,9848)
0,6428
↔
= 15,32
Jadi, jarak antara kapal R dan P adalah 15,32 km
* kita cari panjang QR dengan aturan sinus.
PQ
QR
=
↔ 10 0 = QR 0
sin QRP
sin RPQ
sin 40
sin 60
0
↔ QR = 10 sin 600
sin 40
↔
Q
= 10(0,866)
0,6428
↔
= 13,47
Jadi, jarak antara kapal R dan Q adalah 13,47 km
R
c. Rangkuman
Perbandingan trigonometri, aturan sinus ataupun aturan kosinus dapat diterapkan untuk
memecahkan beberapa masalah dalam kehidupan sehari-hari.
d. Tugas
1. Dari puncak mercusuar, petugas melihat sebuah kapal yang akan merapat ke pelabuhan
dengan sudut depresi 600. Jika tinggi mercusuar tersebut 90 m di atas permukaan air
laut, tentukan jarak kapal tersebut dengan kaki mercusuar.
2. Sebuah rudal ditembakkan ke tanah oleh pesawat tempur X dari ketinggian 1200 m
dengan sudut elevasi 500 dari arah horizontal. Apabila kecepatan rudal tersebut 600
km/jam. Tentukan setelah berapa detik rudal tersebut sampai di tanah.
3. Sebidang tanah di beri 3 buah tonggak, yaitu A, B, dan C. tonggak B letaknya di sebelah
timur A. Tonggak C letaknya 1260 dari A dan 2260 dari B. tentukan jarak tonggak A ke C,
Jarak tonggak B ke C, dan luas tabah tersebut.
4. seorang anak menaikan layang-layang dengan benang sepanjang 300 m. tentukan tinggi
layang-layang jika sudut yang di bentuk benang dengan arah mendatar adalah 300
(tinggi anak diabaikan).
5. Seseorang mencoba menentukan tinggi nyala api
di puncak tugu monas di jakarta dengan cara mengukur
sudut elevasi 300 dan 450 (seperti gambar). Orang
tersebut berada sejauh 80 m dari kaki tugu. Tentukan
tinggi nyala apinya!
450
300
e. Tes Formatif 7
1. Dari pelabuhan P, kapal A berlayar ke arah 450 dengan kecepatan 30 km/jam,
sedangkan kapal B berlayar ke arah 3450 dengan kecepatan 35 km/jam. Berapakah jarak
kapal A dan kapal B setelah 2 jam?
A. 8 41 km
B. 8 43 km
C. 10 41 km
D. 10 43 km
E. 11 41 km
2. Dari suatu tempat, seseorang melihat puncak menara dengan sudut pandang sebesar
300. setelah berjalan 50 meter ke arah kaki menara, sudut pandang orang itu ke puncak
menara adalah 600. Jika tinggi orang tersebut di abaikan, berapakah jarak dari tempat
semula orang tersebut ke puncak menara?
A. 50 2 m
B. 50 3 m
C. 60 2 m
D. 60 3 m
E. 70 3 m
3. Dua orang yaitu P dan Q berjalan, masing-masing dari tempat A dan tempat B, mulai dari
saat yang sama menuju tempat C. Jika < BAC = 450 dan agar kedua orang itu harus
sampai di C pada waktu yang sama pula, berapa kalikah kecepatan P berjalan
dibandingkan dengan kecepatan Q?
A. 1 2 kali
B. 2 kali
C. 2 kali
D. 3 kali
E. 2 2 kali
2
4. Sebuah perahu pinisi berlayar dari pulau A dengan arah 450 sejauh 20 km sampai di B,
kemudian berubah haluan dengan arah 1050 sejauh 60 km. berapakah jarak perahu itu
dari pulau A?
A. 20 7 km
B. 20 13 km
C. 60 13 km
D. 80 13 km
E. 20 10 km
5. Luas suatu jajar genjang yang panjang sisi berturutan adalah 6 cm dan 9 cm, dan
sebuah sudutnya sama dengan 600 adalah …
A. 27 cm2
B.27 3 cm2
C. 13 1 3 cm2
D. 45 cm2
E. 54 cm2
2
f.
Kunci Jawaban Tes Formatif 7
1. D
2. B 3. B 4. B 5. A
g. Lembar Kerja 7
1. Ahmad berdiri 100 m di sebelah barat mercusuar dengan sudut elevasi 300. Jika tinggi
Ahmad 165 cm, tentukan tinggi mercusuar tersebut.
2. Dari sebuah puncak bukit seseorang melihat benda yang berada di kaki bukit dengan
sudut depresi 600. Jika tinggi bukit 700 m. hitunglah jarak orang terhadap benda tersebut.
3. Sebuah bis berjalan dari kota A ke kota B yang berjarak 40 km. sampai di kota B belok
sebesar 600 menuju kota C yang berjarak 60 km. tentukan jarak kota A dan kota C
4. Dari puncak mercusuar, petugas melihat sebuah kapal yang akan merapat ke pelabuhan
dengan sudut depresi 300. jika tinggi mercusuar tersebut 90 m di atas permukaan air laut.
Tentukan jarak kapal tersebut dengan kaki mercusuar.
5. Dalam suatu pasar malam diterbangkan sebuah balon udara. Dua pengamat yang
berjarak 1 km masing-masing dapat melihat balon dengan sudut elevasi 450. Hitunglah
ketinggian balon saat itu.
III. EVALUASI
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1. Nilai dari 1200 = …
A. 1 π rad
B. 1 π rad
C.
5
3
2
5
π rad
D.
2. Nilai dari cos 1200 + cos 450 + cos 1350 adalah …
A. 1 3
B. – 1 3
C. 1 2
2
2
π rad
3
5
D. – 1
2
E.
π rad
2
3
E. –
2
1
2
2
3. Apabila cos x = a, maka nilai dari cos (900 – x) adalah …
A.
2
B. 1  a
2a
a 1
4. Jika diketahui f(x) = sin 1 x + cos
2
A.
C.
D. –
1 a2
1 a2
E.
a2  1
2a
2
B.
1
2
1
2
1 x,
2
mak nilai f( 1 π) adalah …
2
C. 1
2
D.
5. sec x cos ecx sama dengan …
cot x
A. sin2x
B. cos2x
C. sin x
0
6. Jika cos 20 = t, maka cos 200 sama dengan …
A. 4t
B. 4t
C. t
1 t2
1 t2
E. 2
2
D. sec2x
1 t2
E. cos x
t
D.
2
t2
E.
1 t2
1 t2
7. Jika sin β = a, dan β sudut lancip mak sec β adalah …
1
A.
1 a
a
B.
C.
1 a
2
1 a2
2
D. 1  a
a 1
a
E.
a
2
8. Sin4 x – cos4 x sama dengan …
A. 1 – 2 cos2x
C. 1 – 2 sin2x
E. sin x – cos x
2
B. 2 cos x – 1
D. 2 sin2 x + 1
9. Diketahui sin β = 1 3 dan β terletak pada kuadran II, maka nilai sec β .cosec β adalah …
3
A.
B. –
3
10. Nilai sin 22200 = …
A. 0
B.
1
2
C.
2
C.
2
11. Himpunan penyelesaian dari sin 1 x =
2
1,
2
1
2
6
1
2
3
D. – 3
E. – 3
2
2
3
2
D. 1
E.
1
2
00 ≤ x ≤ 3600 adalah …
A. 300 atau 600
C. 1200 atau 2400
E. 600 atau 3000
0
0
0
0
B. 60 atau 120
D. 150 atau 240
12. Diketahui cos x = a, untuk 00 ≤ x ≤ 3600, syarat supaya himpunan penyelesaiannya tidak
kosong adalah …
A. a > – 1
B. a ≥ – 1
C. a ≤ 1
D. – 1< a< 1
E. a < 1
13. jika a sin x = b, untuk 00 ≤ x ≤ 3600, maka syarat supaya himpunan penyelesaiannya {900}
adalah …
A. 2a = b
B. b = 2a
C. b < a
D. a = b
E. a < b
14. Grafik y = - 3 cos (x+900), untuk 00 ≤ x ≤ 1800. titik potong terhadap sumbu x adalah …
A. (00, 0)
C. (1800, 0)
E. (00, 0) dan (900, 0)
B. (900, 0)
D. (00, 0) dan (1800, 0)
15. Nilai minimum dari y = 3 sin (2x+900) + 4 adalah …
A. – 3
B. – 1
C. 0
D. 1
E. 3
16. Titik balik maksimum dari f(x) = 3 sin (x+ 200) untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …
A. (700, 3)
B. (800, 3)
C. (900, 3)
D. (1800, 3)
E. (1500, 3)
17.
Persamaan yang sesuai dengan grafik di samping adalah …
2
A. y = sin 1 x
C. y = cos 1 x
E. y = - sin 2x

-2
2
2
2
B. y = 2sin 1 x
D. y = 2 cos
2
18. Jika 2 cos x = 1, maka nilai x untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …
A. 600 atau 1500
C. 1800 atau 3300
0
0
B. 60 atau 120
D. 2100 atau 3000
1
2
x
E. 600 atau 3000
19. Nilai x yang memenuhi 3cot x = 3 , untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …
A. 600 atau 2400
C. 300 atau 1500
E. 450 atau 1350
B. 600 atau 1200
D. 300 atau 2400
3
20. Jika diketahui x = π, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah …
4
C. sin x – cos x = 1
D. sin x + cos x = 1
A. sin x = cos x
B. sin x < cos x
E. sin x + cos x = 0
2
2
21. Jika tan (2x+100) = cot (3x – 150, maka nilai x adalah …
A. 13
B. 19
C. 21
D. 25
E. 26
22. Himpunan penyelesaian dari 3 tan 2x = 1, untuk 00 ≤ x ≤ 1800 adalah …
A. {00}
B. {150}
C. {1050}
D. {150,105 0}
E. {00,150, 1050)
23. Diketahui Δ ABC, dengan panjang AB= 10 cm, BC = 15 cm dan AC = 20 cm, nilai cos <C = ..
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
5
6
7
8
9
24. Luas Δ ABC adalah 24 cm2, sisi AC = 8 cm, dan AB = 12 cm. Nilai cos <A = …
A. 1 2
B. 1
C. 1 3
D. 1 2
E.
3
3
2
2
1
2
3
25. Suatu Δ ABC diketahui panjang BC = 10 cm, AB = 6 cm, dan <B = 300. Luas Δ ABC tersebut
adalah …
A. 60 3
B. 30 3
C. 15
D. 30
E. 60
26. Jika dalam Δ ABC diketahui sisi BC = 10 cm, AC = 40 cm, dan <C= 1200, maka AB = …
A. 10 13
B.20 3
C. 10 21
D. 10 17
E. 50
27.
Panjang Ac pada gambar disamping adalah …
C
A. 5 2
C. 5 6
E. 5 3
A
450
600
2
5
B.
3
2
B
2
D. 5
2
28. Jari-jari lingkaran luar segi enam beraturan adalah 2 cm, maka luas segi enam beraturan
tersebut adalah … cm2
A. 8 3
B. 6 3
C. 16 3
D. 8 3
E. 4 3
3
3
29. Sebuah pesawat tempur melihat sasaran dengan sudut depresi 600, dan ketinggian pesawat
150 m. Jarak pesawat dengan sasaran adalah …
A. 100 2
B. 100 3
C. 150 2
D. 150 3
E. 300 2
30. Pada Δ ABC, panjang AC = 5 cm, BC = 4 cm, Jika sin A = 3 , maka cos B = …
5
A. 1
4
7
B.
1
2
7
C.
3
7
7
D.
4
5
E.
3
4
31. Sebuah Δ ABC dengan panjang sisi berturut-turut 4 cm, 5 cm, dan 6 cm, maka nilai cosinus
sudut terkecil adalah …
A. – 0,2
B. – 0,25
C. 0,125
D. 0,25
E. 0,75
32. Jika sin x – cos x = a, maka nilai 2sinx cosx adalah …
A. 2a2
B. a2 + 1
C. a2 – 1
D. 1 – a2
E. 1 (1 – a2)
2
33. Sebuah Δ ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan sisi AC = 2 cm, jika sudut A = 900, maka
panjang sisi BC adalah …
A. 10 cm
B. 11 cm
C. 13 cm
D. 14 cm
D. 15 cm
34. Jika diketahui Δ ABC dengan panjangn BC = 8 cm dan AC = 5 cm, serta luas segitiga tersebut
10 3 cm2, maka <ACB adalah …
A. 150
B. 300
C. 450
D. 600
E. 900
35. Jika diketahui panjang BC = 8 cm, AC = 5 cm, dan luas segitiga tersebut 10 cm2, maka
besarnya sudut ACB adalah …
A. 150
B. 300
C. 450
D. 600
E. 750
0
0
36. Jika sin (x – 20 ) = cos (x + 10 ), maka nilai x sama dengan …
A. 200
B. 300
C. 400
D. 500
E. 600
37. Sebuah Δ ABC, Panjang AB, BC, dan AC berturut-turut adalah 5 cm, 6 cm, dan 7 cm, maka
nilai cos B adalah …
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 2
5
5
4
5
7
38. Diketahui Δ ABC dengan BC = 3 cm, AC = 4 cm, dan <A = 300, nilai cos <B adalah …
A. 2 5
B. 1 5
C. 1 3
D. 2
E. 1
3
5
3
2
2
39. Dalam suatu Δ ABC, diketahui BC = 15 cm, AB = 12 cm, dan luas segitiga adalah 45 cm2,
maka besar <B = …
A. 900
B. 600
C. 450
D. 300
E. 150
2
40 Luas Δ ABC adalah (3+2 3 ) cm . panjang AB= (6+4 3 ) cm, dan BC = 7 cm, maka nilai
sin 3 <ABC = …
7
A. 1
B. 4 3
C. 1
D.
E. 7
7
Kunci Jawaban:
Tes Formatif 1
1. Jawab. B
2 1 π rad = 9 π rad = 9 x 1800 = 4050
4
4
3 4 3
64 3
2
7
4. Jawab. E
125,250 = 1250 + 0,250
4
= 1250 + 0,25 x 60’
2. Jawab. C
2050 = 2050 x rad = 41 π rad
180 0
36
3. Jawab. A
0
0
5 rad = 5 x 180 = 5 x 180 = 286,60

= 1250 + 15’ = 125015’
5. Jawab. G
13030’ = 130 + 30’ = 130 + 30 x 1 = 130+0,50 = 13,50
60 0
22 / 7
Tes Formatif 2
1. Jawab. B
sec α = 17 , sin α = 8 , cot α = 15
15
8
17
2
17
8
3. Jawab. A
P( 3 , 1)
r=
3  12 = 2.
Α = arc tan 1 = 300
α
15
3
Jadi, sin α. cos α = 8 . 15 = 15
8
17
Jadi, koordinat kutubnya adalah P(2, 900)
17
2. Jawab. E
sin β = 0,8 = 8
10
tan β = 8 = 1,33
4. Jawab. B
tan 300 = 6
β
6
6
AC
1 = 6
AC
3
10
8
C
AC = 6 3
0
A
30
B
6
5. sin 600.cos 300 – cos 900.tan 300 = 1
2
Tes Formatif 3
1. Jawab. B
5
3
A
– 0.
1
2
3
=
3
4
–0=
3
4
6. Jawab. B
cos 11100 = cos (3. 3600 + 300) = cos 300 = 1
5
2
cos A = – 4 (karena di
3
7. Jawab. E
5
kuadran II)
2. Jawab. B
Tan A= 3 , A lancip
5
1
sin 270 0 cos 135 0 tan 135 0 =  1( 2 2 )( 1)
0
0
1
sin 150 cos 225
( 12 2 )
2
1
=2 2 = 2
 14 2
8. Jawab. A.
2 cos (x+600) = 1
4
A
4
2 cos A= 2. 4 = 8
5
cos α = t
sin α = 1  t 2
1
2
α
t
cosec α =
cos (x+600) = 1
5
3. Jawab. A
1 t
3
sin A= 3
4
3
3. 1
2
1 = 1
sin 
1 t2
2
cos (x+600) = cos 600
(i) x+600 = 600+k.3600
x = k.3600
k=0
(ii) x+600= – 600+k. 3600
x = –1200+k. 3600
x=00
k=1
x= 3600
Jadi, HP = {00, 2400, 3600}
k= 1
x= 2400
4. Jawab. D
cos β = – 1
9. Jawab. B
2 sin x – 1 = 0
3
2
2
1
tan β = – 1 = – 1
3
3
2 sin x = 1
3
sin x = 1
(tan di kuadran II negatif)
β
2
sin x = sin 300
(i) x = 300 + k.3600
k=0
x = 300
3
5. Jawab. D
Diketahui sin α = p
Maka sin(2700– α)= –cos α
= – 1  p2
Jadi, HP = { 300, 1500 }
10. Jawab. E
sin 1 x = 1
3
2
2
sin 1 x = sin 600
2
(i) 1 x = 600 + k. 3600
2
1
p
(ii) x= (1800–300)+ k.3600
x= 1500 + k. 3600
k= 0
x= 1500
1 t 2
x = 1200 + k. 7200
k=0
x = 1200
(ii) 1 x=(1800–600)+ k.3600
2
1 x = 1200+ k.3600
2
x = 2400+ k.7200
k=0
x = 2400
Jadi, HP = { 1200, 2400 }
Tes Formatif 4
1. Jawab. D
Ciri-ciri grafik tersebut adalah:
- merupakan fungsi sinus
- memiliki periode = 3600
- substitusikan = 900
y = - 2 sin x
y = - 2 sin 900
y=-2.1
y = - 2 (benar)
2. Jawab. E
f(x) = 5 + 2 sin 3x
nilai maksimum = │2│+ 5 = 7
3. Jawab. D
4. Jawab. D
ciri-ciri grafik tersebut adalah:
- merupakan grafik kosinus
- memiliki periode = π
- nilai maksimum = 2
- substitusi x = 00
y = 2 cos 2x
y = 2 cox 00
y=2.1
y = 2 (benar)
5. Jawab. A
grafik selalu positif
Jadi, y = sin2 x bernilai selalu positip
y = cosx
1
y = sinx
-1

2
Tes Formatif 5
1. Jawab. D
1  sec 
=
tan   sin 

3

2
2
5. Jawab. A
cos x = cos x . 1  sin x = cos x(1  sin x)
1  sin x 1  sin x 1  sin x
1  sin 2 x
1  cos1 
sin 
cos 

 sin
sin 
2
2
cos  sin  = cosec α
= cos   1 .
cos 
sin 2  (cos   1)
2. Jawab.B
p – q = cos α
p2 – 2pq +q2 = cos2 α
2 pq = sin2 α
2 pq = sin α
+
p2 + q2 = cos2 α + sin2 α
3. Jawab. D
(1–sin2 α) (1+ tan2 α) = cos2 α (1 + tan2 α)
= cos2 α + cos2 α tan2α
= cos2 α + sin2 α
=1
= cos x(1  sin x) = 1 sin x
cos 2 x
cos x
4. Jawab. A
a – b = sinA
a2 – 2ab + b2 = sin2A
2
ab = 1 cos A
2ab = cos2A
2
a2 + b2 = sin2A + cos2A
a2 + b2 = 1
+
Tes Formatif 6
1. Jawab. B
a2 = 22 + 32 – 2. 2. 3 cos 600
= 4 + 9 – 12 . ( 1 )
3. Jawab. B
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
a2 = b2 + c2 – bc (2 cos A)
2
= 13 – 6
=7
a = 7
karena a2 = b2 + c2 – bc maka
2 cos A = 1
cos A = 1
A = 600
a
2
600
3
2
2. Jawab. A
PQ =
4. Jawab. D
L = 1 ab sin C
PR
sin 30 0
sin 45 0
PQ = sin 30 0
PR
sin 45 0
1
PQ =
2
1
PR
2
2
PQ =
PR
2
28 = 1 . 8 . 7. sin C
2
C
28 = 28 sin C
b=7
sin C = 1
1
2
C = 900
Jadi, PQ : PR = 1 : 2
5. Jawab. E
s = 1 (10 + 12+ 14) = 18
2
L=
s(s  a)( s  b)( s  c)
= 18(18  10)(18  12)(18  14)
= 18.8.6.4
= 6.3.4.2.6.4
= 6 . 4 6 = 24 6
12
10
14
U
Tes Formatif 7
1. Jawab. D
AB2 = PA2 + PB2 – 2 (PA)(PB) cos 600
= 302 + 352 – 2 (30)(35) ( 1 )
A
2
= 900 + 1225 – 1050
AB = 1075 = 25.43 = 5 43 km/jam
Jadi, jarak AB = kecepatan x waktu
= 5 43 x 2
= 10 43 km
2. Jawab. B
50
r
=
1
2
r = 50 
1
2
1
2
1
2
P
300
r
300
1200 600
50m
3 = 50 3 m
2 =
0
150 45
3
3. Jawab. B
BC = AC
sin 30 0
sin 45 0
Q
P
=
sin 30 0
sin 45 0
P =
Q
30 km/jam
35 km/jam
sin 30 0
sin 120 0
50 =
r
1
2
U
B
2
C
P = sin 45 0
sin 30 0
Q
A
P
P = 2Q
300
450
1
2
B
Q
Jadi, kecepatan P adalah 2 kali kecepatan Q
4. Jawab. B
AC2 = AB2 + BC2 – 2 (AB)(BC) cos 1200
= 202 + 602 – 2 (20)(60)( - 1 )
U
B 1050
2
= 400 + 3600 + 1200
= 5200
AC = 5200 = 400.13 = 20 13
U
450
A
1200
20km
60km
C
a=8
5. Jawab. A
sin 600 = t
Jadi, Ljajargenjang= alas x tinggi
9
6
1 = t
6
2
t =3
Evaluasi
1. Jawab. E
1200
=
1200
=9x3
6
= 27 cm2
600
x rad = 2 π rad
180 0
2
40. Jawab. A
sisi AB = c = 6 + 4
sisi BC = a = 7
L =3+2 3
L = 1 . a. c . sin B
2
2
=– 1
3 + 2 3 = 1 (6 + 4 3 ). 7. sinB
2
2
3. Jawab. C
sinB =
Diketahui: cos x = a
Maka cos (900 – x ) = sin x = 1  a 2
(3  2 3 )
= 1
7(3  2 3 )
7
39. Jawab. B
sin BC= a = 15 cm, sisi AB= c= 12 cm, L = 45 cm2
L = 1 a.c sin B
2
1
1  a2
45 = 1 . 15. 12. sin B = 90 sin B
2
x
B = 300
sin B = 45 = 1
a
90
4. Jawab. D
f(x) = sin 1 x +cos 1 x
2
2
38. Jawab. B
sisi BC= a= 3, sisi AC = b = 4, <A = 300
2
f( 1 π) = sin 1 . 1 π + cos 1 . 1 π
2
3
3
2. Jawab. E
cos 1200 + cos 450 + cos 1350
= – 1 + 1 2– 1 2
2
t
2 2
2
1
1
= sin π + cos
π
4
4
2
= sin 450 + cos 450
=
a
sin A
sin B =
b
sin B
3
sin 30 0
4 sin 30 0
3
=
4.( 12 )
=
4
sin B
= 2
3
3
Cos B = 1 5
3
= 1
2+ 1
2
2
37. Jawab. A
2
2
2
2
cos B = a  c  b = 36  25  49 = 12 = 1
= 2
2.6.5
2ac
5. Jawab. D
sec x cos ecx
=
cot x
1
1
cos x sin x
cos x
sin x
=
.
=
60
36. Jawab. D
.
1
cos x. sin x
1
cos 2 x.
sin(x – 200) = cos (x +100)
sin(x – 200) = cos (900 – (x +200)
sin x
cos x
= cos (900 – x – 200)
= sec2x
6. Jawab. C
cos 200 = t
t
cot t =
1
1 t
2
200
t
1 t2
= cos (1100 – x )
maka cos (1100 – x ) = cos (x +100)
1100 – x = x + 100
2x = 1000
x = 500
7. Jawab. A
sin β = a
1
sec β =
1  a2
1
a
35. Jawab. B
β
1  a2
8. Jawab. A
Sisi BC = a = 8 cm, sisi AC = b = 5 cm
L = 1 a.b. sin C
2
sin4x – cos4x = (sin2x – cos2x)( sin2x + cos2x)
10 = 1 . 8. 5 sin C
2
= sin2x – cos2x
= 1 – cos2x – cos2x
10 = 20 sin C
sin C = 10 = 1
= 1 – 2cos2x
jadi, C = 300
20
2
5
9. Jawab. D
diketahui: sin β = 1 3
34. Jawab. D
sisi BC = a = 8,
sisi AC = b = 5
3
karena β di kuadran II, maka
1
3
LABC = 1 a.b. sin C
β
10 3 = 1 . 8. 5 sin C
2
sec β negatif, sehingga
2
2
sec β = –
3
dan cosec β = 3
10 3 = 20 sin C
2
jadi, sec β . cosec β = –
3
( 3)
=– 3 = –3 2
2
sin C = 1
3
2
2
jadi, C = 600
2
10. Jawab. C
sin 22200 = sin (6. 3600 + 600)
= sin 600
= 1 3
33. Jawab. C
Sisi AB = c = 3 cm, sisi AC = b = 2 cm, < A = 900
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 4 + 9 – 2. 2. 3. cos 900
2
= 13 – 12. (0)
= 13
11. Jawab. E
sin 1 x = 1
2
2
sin 1 x = sin 300
a = 13
2
12. Jawab. D
fungsi y = cos x memiliki
nilai maksimum = 1 dan minimum = –1
13. Jawab. D
a sin x = b
sin x = b
a
karena x = 900 maka b = 1
a
a=b
14. jawab. D
titiki potong sumbu X
y=0
– 3(cos(x+900)) = 0
cos(x+900) = 0
cos(x+900) = cos 900
(i) x + 900 = 900 + k. 3600
x = k. 3600
k=0
k=1
x =00
x=
3600
32. jawab. D
sinx–cosx = a
sin2x– 2sinxcosx+cos2x = a2
– 2 sinx cosx + 1 = a2
2 sinx cos x = 1 – a2
C
31. jawab. C
6
* a2=b2+c2 –2bc. cosA
2
2
2
cos A = b  c  a
5
A
B
4
2bc
36

16
 25 = 9
=
16
48
2
2
2
a

c

b
* cos B =
= 25  16  36 = 1
8
40
2ac
2
2
2
3
25

36

16
a

b

c
* cos C =
=
=
4
60
2ab
jadi, nilai cos terkecil adalah 1 = 0, 125
8
30. jawab. A
sin A = 3
C
5
4
= 5
sin A
sin B
4
5
3
sin B = 5 sin A = 5( 5 ) = 3
4
4
4
cos B = 1 7
B
A
4
(ii) x + 900 = – 900 + k. 3600
x = – 1800 + k. 3600
k=1
x=
1800
29. jawab. B
0
cos 300 = 150
r
0
150
r=
= 1500
0
1
cos 30
3
300
150
600
r
2
jadi titik potongnya adalah
(00, 0), (3600, 0) dan (1800, 0)
15. Jawab. D
y = 3 sin (2x + 90) + 4
min= –│3│+ 4 = – 3 +4 = 1
16. jawab. A
r = 100 3
28. jawab. B
Luas segi enam beratuiran:
0
L = 6 . 22. sin 360 = 3. 4.sin 600 = 12( 1
2
6
2
27. Jawab. C
0
AC =
5
AC = 5 sin 60
0
0
0
sin 60
sin 45
sin 45
3) = 6 3
1
AC= 5( 2 3 ) = 5 6
1
2
2
2
f(x) = 3 sin(x + 200)
f(x) maks = 3
3 sin(x + 200) = 3
sin(x + 200) = 1
sin(x + 200) = sin 900
26. Jawab. C
sisi BC = a = 10, sisi AC = b = 40, <C = 1200
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
= 100 + 1600 – 800 ( – 1 )
(i) x + 200 = 900 + k. 3600
x = 700 + k. 3600
k=0
x = 700
0
(ii) x + 20 = (1800 –900) + k. 3600
x + 200 = 900 + k. 3600
= 1700 + 400 = 2100
c = 10 21
25. Jawab. C
sisi BC = a = 10 cm, sisi AB = c = 6 cm, <B= 300
L = 1 .a.c sin B
2
2
x = 700 + k. 3600
= 1 . 10. 6 sin 300 = 30 ( 1 ) = 15 cm2
2
k=0
x = 700
jadi titik balik maks (700, 3)
17. jawab. B
2
24. Jawab. E
L= 24 cm2, sisi AC=b=8 cm, sisi AB= c = 12 cm
L = 1 .b.c sin A
2
ciri-ciri:
24 = 1 .(8) (12) sin A
- grafik sinus
- memiliki periode 7200
24 = 48 sin A
sin A = 24 = 1
2
48
A = 300
2
cos A = cos 300 = 1
- nilai maks = 2
3
2
- substitusi x = 1800
y = 2 sin 1 x
23. Jawab. D
2
y = 2 sin 900
y = 2 (benar)
18. jawab. E
sisi AB=c=10cm, sisi BC=a=15cm, sisi AC=b=20cm
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
2
2
2
cos C = a  b  c = 225  400  100 = 525 = 7
2ab
2 cos x = 1
cos x = 1
2.15.20
600
22. Jawab. D
3 tan 2x = 1, 00 ≤ x ≤ 1800
2
cos x = cos 600
tan 2x = 1 3
3
(i) x = 600 + k. 3600
k=0
x = 600
0
(ii) x = – 60 + k. 3600
k=1
x = 3000
0
jadi, x = 60 atau x = 3000
19. Jawab. A
3 cot x = 3
cot x = 1 3
tan 2x = tan 300
2x = 300 + k. 1800
x = 150 + k. 900
k=0
x = 150
k=1
x = 1050
0
jadi, HP = { 15 , 1050 }
21. Jawab. B
tan (2x + 100) = cot (3x – 15)
3
cot x = cot 600
x = 600 + k . 1800
k=0
x = 600
k=1
x = 2400
0
jadi, x = 60 atau x = 2400
20. Jawab. E
Dsengan subtitusi langsung:
x= 3π
sin x + cos x = 0
4
sin 3 π + cos 3 π = 0
4
4
1 2 – 1 2 =0
2
2
0 = 0 (benar)
dari cot (3x – 15) = tan (900– (3x – 15))
= tan (1050 – 3x)
diperoleh tan (2x + 100) = tan (1050 – 3x)
2x + 100 = 1050 – 3x
5x = 950
x = 190
8
β
IV. PENUTUP
Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban evaluasi. Hitunglah jawaban Anda yang benar,
kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
materi.
Rumus:
Jumlah jawaban Anda yang benar
Tingkat Penguasaan =
x 100 %
40
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
90 % – 100 % = Baik sekali
80 % – 89 % = Baik
70 % – 79 % = Cukup
< 70 % = Kurang
Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % atau lebih Anda dapat meneruskan Modul
berikutnya. Bagus! Tetap kalau kurang dari 80 % Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar pada
modul ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
V. DAFTAR PUSTAKA
Herawati, Endang Daman, dan Tri Dewi Listya. 2000. Matematika 1A untuk kelas 1 SMU.
Bandung : Yudhistira
Rosihan Ari Y dan Indriyastuti. 2007. Khasanah MATEMATIKA X untuk SMA dan MA.
Solo : Salatiga
BK Noormandiri dan Endar Sucipto. 2004. Matematika SMA kelas X. Jakarta : Erlangga
Ahmad Zaelani, Cucun Cunayah, dan Ersa Indra Irawan. 2006. 1700 Bank Soal
Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA. Bandung : YRAMA WIDYA
LKS Matematika SMA kelas X. Solo : Fokus