Pelanggaran Lorentz dalam 4

Bab VIII Aspek Kosmologi Teori Skalar-Vektor-Tensor
VIII.1 Pendahuluan
Kemungkinan invarian Lorentz dilanggar pada energi-energi tinggi dalam teori 4dimensi dengan konsekuensi yang dapat diuji (Mattingly dan Vucetich, 2005)
telah menjadi sebuah subjek riset yang sangat menarik akhir-akhir ini. Hasil-hasil
tentatif dari gravitasi kuantum dan teori string menunjukan bahwa ada sebuah
keadaan dasar (ground state) yang tidak invarian Lorentz. Teori string juga
memprediksikan bahwa alam semesta dengan koordinat non komutatif (Connes,
dkk., 1998) menuju sebuah pelanggaran invarian Lorentz (Carrol, dkk., 2001).
Dari observasi astrofisika menunjukan bahwa keberadaan sinar kosmik energi
tinggi disekitar ambang Greisen-Zatsepin-Kuzmin (GZK) dapat dijelaskan melalui
pelanggaran invarian Lorentz (Chrisholm dan Kolb, 2004). Dari kebanyakan riset
yang mengeksplorasi kemungkinan pelanggaran Lorentz terfokus pada fisika non
gravitasional, yaitu ruang-waktu datar. Dalam ruang-waktu datar, pelanggaran
Lorentz digambarkan oleh kopling konstan dari tensor yang tidak memenuhi
simetri Lorentz. Untuk memformulasikan pelanggaran invarian Lorentz dalam
ruang-waktu lengkung tanpa melanggar prinsip-prinsip kovariansi dari tensor
maka tensor tersebut dipandang sebagai medan dinamik yang memenuhi
persamaan-persamaan medan efektif.
Bab ini bertujuan untuk memberikan sebuah implementasi pelanggaran Lorentz
dalam fisika gravitasional dengan meninjau sebuah medan vektor yang memiliki
nilai ekspektasi vakum yang tidak lenyap dan mengkopel medan vektor dengan
gravitasi atau medan-medan materi. Jika medan-medan materi adalah sebuah
medan skalar maka teori yang dihasilkan adalah teori gravitasi skalar-vektortensor pelanggaran Lorentz. Kasus khusus dari teori ini tanpa medan skalar
pertama kali diperkenalkan oleh Kostelecky dan Samuel (1989). Dalam konteks
berbeda, Bekenstein (2004) juga mengkaji teori gravitasi dengan sebuah medan
vektor untuk menjelaskan efek dari materi gelap. Medan vektor dapat menentukan
sebuah kerangka universal pada setiap titik di dalam ruang-waktu dan setiap
162
medan-medan materi yang terkopel dengan medan ini akan mengalami
pelanggaran invarian Lorentz lokal (Colladay dan Kostelecky, 1998).
Di dalam bab ini pula dipelajari beberapa akibat kosmologi dari pelanggaran
Lorentz dalam konteks skalar-vektor-tensor. Pertama dibahas formulasi umum
dari teori skalar-vektor-tensor pelanggaran Lorentz dengan meninjau kopling
antara medan skalar dan medan vektor adalah bergantung waktu. Evolusi waktu
dari parameter-parameternya dapat dipandang sebagai sebuah konsekuensi dari
dinamika medan skalar. Kemudian dengan menggunakan persamaan-persamaan
dinamika, diturunkan persamaan keadaan dalam ungkapan parameter vektor
kopling. Konsekuensi kosmologi dari medan skalar menggelinding yaitu inflasi
dibahas untuk beberapa model yang diberikan. Akhirnya, titik-titik kritis dari
sistem global ditinjau untuk mempelajari stabilitas sistem.
VIII.2
Teori Gravitasi Skalar-Vektor-Tensor
Di dalam sub bab ini dibahas skema dari teori skalar-vektor-tensor dengan
meninjau alam semesta 4-dimensi di mana ada derajat kebebasan nongravitasional
dalam
kerangka
kerja
teori
gravitasi
skalar-vektor-tensor
Asumsikan bahwa ada simetri Lorentz yang dilanggar secara spontan dengan nilai
.
ekspektasi dari sebuah medan vektor diberikan oleh
Tinjau sebuah aksi sebagai jumlah dari tiga aksi yang berbeda
(VIII.1)
di mana aksi untuk medan tensor,
, medan vektor,
, dan medan skalar,
,
berturut-turut diberikan sebagai berikut:
(VIII.2)
(VIII.3)
(VIII.4)
163
Disini
(
) adalah parameter sembarang dan
adalah rapat
dan medan
Lagrangian medan skalar dinyatakan sebagai fungsi dari metrik
skalar . λ adalah sebuah pengali Lagrange yang memberikan kendala medan
vektor menjadi serupa waktu. Selanjutnya aksi (VIII.1) dapat dipandang sebagai
sebuah aksi yang menggambarkan teori gravitasi skalar-vektor-tensor.
Pada
persamaan (VIII.3), oleh nilai ekspektasi vakum, medan vektor memenuhi sebuah
kendala
(VIII.5)
Selanjutnya pula, telah diambil medan vektor
berdimensi dan akibatnya parameter
kata lain,
sebagai sebuah vektor tak
memiliki dimensi kuadrat massa. Dengan
memberikan deskripsi skala massa pada perusakan simetri. Secara
prinsip, kerangka acuan diam khusus pada setiap titik dalam ruang-waktu
ditentukan oleh medan vektor
yang melanggar simetri Lorentz.
Solusi persamaan gerak dapat diperoleh dengan mengasumsikan bahwa alam
semesta memiliki sifat homogen dan isotropik. Untuk itu, metrik ruang-waktu
dapat dipilih metrik Friedmann-Robertson-Walker:
(VIII.6)
Faktor skala dari alam semesta ditentukan oleh
. Karena
adalah medan
vektor yang dinamik maka persamaan kendala (VIII.5) menghasilkan
(VIII.7)
Variasi aksi persamaan (VIII.1) terhadap metric
menghasilkan persamaan
medan Einstein berikut ini:
(VIII.8)
di mana
adalah tensor energi-momentum total,
.
dan
berturut-turut menyatakan tensor energi-momentum medan vektor dan medan
skalar yang didefinisikan melalui perumusan standar
(VIII.9)
Komponen waktu dan komponen ruang dari tensor energi-momentum total
diberikan oleh
164
(VIII.10)
di mana rapat energi dan tekanan dari medan vektor adalah
(VIII.11)
Sebagai catatan bahwa kopling parameter
tidak memberikan kontribusi
dinamik. Di dalam persamaan (VIII.11), tanda aksen menyatakan turunan dari
setiap kuantitas
terhadap , sehingga
dihubungkan dengan turunan terhadap
waktu oleh persamaan berikut:
(VIII.12)
Kuantitas
menyatakan parameter Hubble. Dari persamaan (VIII.11) dapat
dilihat bahwa persamaan energi untuk medan vektor diberikan oleh
(VIII.13)
Untuk mempertahankan hukum kekekalan energi total,
(VIII.14)
maka persamaan energi untuk medan skalar memenuhi
(VIII.15)
Persamaan energi total (VIII.14) dapat diperoleh melalui ketidakdivergenan secara
kovarian tensor energi-momentum total sebagai akibat dari lenyapnya divergensi
tensor Einstein secara geometrik yaitu dari kontraksi geometrik identitas Bianchi.
Ruas kanan persamaan (VIII.13) dan persamaan (VIII.14) dipandang sebagai
sebuah suku interaksi antara medan vektor dan medan skalar sebagai akibat dari
kopling parameter yang bergantung pada medan skalar dan tentunya juga terhadap
waktu.
Dengan memanfaatkan komponen waktu dan komponen ruang persamaan
(VIII.10) dan persamaan Einstein (VIII.8), dapat diperoleh dua buah persamaan
bebas yang dinamakan sebagai persamaan Friedmann sebagai berikut:
165
(VIII.16)
(VIII.17)
Kedua persamaan Friedmann di atas dapat ditulis kembali dalam bentuk yang
lebih sederhana:
(VIII.18)
(VIII.19)
Suku kedua pada ruas kanan persamaan (VIII.19) adalah sebuah akibat dari
medan vektor kopling yang tidak konstan. Jika
, tanpa medan vektor,
persamaan (VIII.18) dan persamaan (VIII.19) tidak lain adalah persaman gerak
untuk teori skalar-tensor. Sedangkan, jika
, persamaan tersebut
menjadi persamaan yang telah dipelajari oleh Carrol dan Lim (2004).
Dengan menggunakan persamaan (VIII.18) dan persamaan (VIII.15) dapat
diperoleh tiga buah persamaan berikut:
(VIII.20)
(VIII.21)
(VIII.22)
di mana
(VIII.23)
dan
adalah persamaan keadaan dari medan skalar. Dapat pula dilihat
bahwa persamaan-persamaan (VIII.20) – (VIII.22) memenuhi kendala:
(VIII.24)
dan juga oleh persamaan Friedmann (VIII.19). Solusi dari sistem persamaan
(VIII.21) – (VIII.23) dan (VIII.24) bergantung pada model yang ditinjau dan jenis
166
materi yang ada dalam alam semesta. Solusi umum persamaan-persamaan tersebut
adalah:
(VIII.25)
(VIII.26)
(VIII.27)
Jika fungsi-fungsi
dan
diberikan, maka dapat diperoleh evolusi parameter
Hubble dalam pelanggaran Lorentz. Misalnya, konstanta kosmologi adalah suatu
fluida yang memiliki persamaan keadaan konstan
di atas memiliki solusi:
,
dan
masing-masing merupakan fungsi dari . Jika
dari suatu bentuk fluida dan
. Sehingga persamaan
di mana
dan
merupakan parameter konstan
diberikan, persamaan (VIII.25) - (VIII.27) dapat
digunakan untuk menentukan kopling vektor
dan rapat energi medan skalar
, kemudian potensial dari medan skalar dapat ditentukan.
VIII.3
Persamaan Dinamika Medan Skalar
Jika bentuk Lagrangian dari sebuah medan skalar diberikan di dalam ruang-waktu
FRW, maka dapat diperoleh persamaan gerak untuk medan skalar dengan
memanfaatkan persamaan-persamaan (VIII.15) dan (VIII.20) – (VIII.22). Untuk
itu, tinjau sebuah rapat Lagrangian dari sebuah medan skalar
potensial
yang memiliki
di dalam persamaan (VIII.1),
(VIII.28)
di mana
dan
untuk medan skalar biasa. Sedangkan
untuk medan skalar phantom. Dengan asumsi bahwa medan skalar adalah
homogen, sebagai fungsi dari waktu, maka maka rapat energi
dan tekanan
dapat diperoleh, yaitu
(VIII.29)
(VIII.30)
167
Dari kedua persamaan di atas, parameter persamaan keadaan diberikan oleh
(VIII.31)
Substitusi persamaan (VIII.29) ke dalam persamaan (VIII.18), maka persamaan
Friedmann dapat dinyatakan kembali dalam bentuk
(VIII.32)
Kemudian dengan mengambil turunan persamaan (VIII.18) terhadap
serta
menggunakan persamaan (VIII.15), dapat diperoleh persamaan gerak untuk
medan skalar:
(VIII.33)
Selanjutnya, turunan terhadap
dari persamaan (VIII.32) dan dengan
memanfaatkan persamaan (VIII.33), persamaan gerak medan skalar menjadi
(VIII.34)
Substitusi (VIII.34) ke dalam persamaan Friedmann, menghasilkan ungkapan
untuk potensial medan skalar
(VIII.35)
Di dalam persamaan di atas, parameter Hubble,
medan skalar
,
, dinyatakan sebagai fungsi dari
. Dari persamaan (VIII.20), persamaan keadaan
untuk medan skalar dapat ditulis kembali dalam bentuk
(VIII.36)
Persamaan-persamaan (VIII.34) dan (VIII.36) adalah dua buah persamaan yang
dapat digunakan untuk memperoleh solusi medan skalar
dan persamaan
keadaannya
. Hal ini dapat dikerjakan jika parameter Hubble
dan vektor
kopling
diketahui. Dengan menentukan kedua parameter tersebut, dapat
diperoleh solusi eksak persamaan-persamaan (VIII.34) dan (VIII.36). Persamaanpersamaan tersebut dapat dimanfaatkan untuk memperoleh kuantitas-kuantitas
fisis berikut: potensial
, energi kinetik ( ), rapat energi ( ) dan tekanan ( ),
168
(VIII.37)
VIII.3.1
Solusi Eksak dan Evolusi Medan Skalar
Pertama diselesaikan persamaan-persamaan (VIII.34) dan (VIII.36) untuk
, dan
,
,
, yang memerlukan dua buah kuantitas harus diketahui. Berikut ini dicari
solusi-solusi eksak dari persamaan keadaan medan skalar untuk kopling vektor
kudratik medan skalar. Zlatev, dkk., (1999) telah mempelajari persamaan keadaan
medan skalar dalam konteks kosmologi dengan medan skalar sebagai medan
tracker serta ditinjau pula beberapa jenis potensial yang menghasilkan dinamika
persamaan keadaan.
Tinjau sebuah model berikut ini:
(VIII.38)
di mana
dan
adalah parameter-parameter konstan. Setelah mengintegrasi
persamaan (VIII.34) maka persamaan evolusi untuk medan skalar diberikan oleh:
(VIII.39)
Di dalam persamaan di atas
adalah sebuah konstanta. Kemudian
persamaan keadaan medan skalar menjadi
(VIII.40)
Evolusi dari potensial, energi kinetik, rapat energi dan tekanan berturut-turut
adalah
(VIII.41)
Solusi-solusi yang diberikan pada persamaan di atas sepenuhnya terkait dengan
pelangggaran Lorentz yang dinyatakan oleh kopling parameter
. Dari model
yang diberikan oleh persamaan (VIII.38), evolusi kosmik dimulai dari faktor skala
169
yang konstan kemudian bertambah secara eksponensial,
kopling
mulai dari medan skalar yang konstan,
. Vektor
, kemudian menurun secara
eksponensial untuki medan skalar biasa dan untuk kasus medan phantom evolusi
dari vektor kopling menjadi menurun. Sedangkan potensial, energi kinetik, rapat
energi dan tekanan adalah fungsi-fungsi eksponensial terhadap waktu dan
kuantitas tersebut menurun untuk medan skalar biasa. Untuk medan phantom
potensial dan rapat energinya bertambah secara eksponensial. Energi kinetik dan
tekanan untuk medan skalar biasa mulai dengan besaran negatif. Persamaan
keadaan
menjadi besaran yang tidak dinamik dan hanya bergantung pada nilai
dari parameter kopling
baik untuk medan skalar biasa maupun medan phantom.
Agar ekspansi yang dipercepat dapat terjadi
memiliki nilai
persamaan keadaan
maka parameter kopling
untuk medan skalar biasa. Dari hasil observasi,
memiliki nilai lebih kecil dari
. Jadi nilai
dapat
dan
dipilih sesuai dengan hasil observasi. Untuk kasus di mana
, juga diperoleh persamaan keadaan yang konstan,
(VIII.42)
Syarat bagi alam semesta yang dipercepat atau
menghasilkan
(VIII.43)
Untuk model di atas diperoleh ekspansi fungsi pangkat yang memiliki bentuk
(VIII.44)
di mana pangkatnya didefinisikan oleh
(VIII.45)
Evolusi dari medan skalar diberikan oleh
(VIII.46)
170
VIII.3.2
Dinamika Persamaan Keadaan
Tinjau sebuah model di mana vektor kopling diberikan dalam bentuk fungsi
pangkat dari medan skalar
H = H 0 , β (φ ) = mφ n , n > 2 .
(VIII.47)
Disini H 0 , m dan n adalah parameter-parameter konstan. Dengan mengikuti
langkah-langkah penurunan sebelumnya, evolusi dari medan skalar diperoleh
sebagai berikut
φ (t ) =
φ0
,
1 ( n − 2)
⎡⎣1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0n − 2 ( t − t0 ) ⎤⎦
(VIII.48)
dan vektor kopling diberikan oleh
β (t ) =
mφ0n
⎡⎣1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0n − 2 ( t − t0 ) ⎤⎦
n ( n − 2)
.
(VIII.49)
Sedangkan persamaan keadaan (VIII.36) menghasilkan
4η mn 2φ0n − 2 3
.
1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0n − 2 ( t − t0 )
ω ( t ) = −1 +
(VIII.50)
Potensial, energi kinetik, rapat energi dan tekanan medan skalar memilki solusi
⎡
⎤
2η mn 2φ0n − 2 3
V ( t ) = 3mH φ ⎢1 −
⎥×
n−2
⎣ 1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0 ( t − t0 ) ⎦
2 2
0 0
×
K (t ) =
ρ (t ) =
1
⎡⎣1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0n − 2 ( t − t0 ) ⎤⎦
(
2η mnH 0φ0n −1
)
n ( n − 2)
,
(VIII.51)
2
⎡⎣1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0n − 2 ( t − t0 ) ⎤⎦
3mH 02φ0n
⎡⎣1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0n − 2 ( t − t0 ) ⎤⎦
2 ( n −1) ( n − 2 )
n ( n − 2)
,
,
(VIII.52)
(VIII.53)
⎡
⎤
4η mn 2φ0n − 2 3
p ( t ) = 3mH 02φ02 ⎢ −1 +
⎥×
n−2
1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0 ( t − t0 ) ⎦
⎣
×
1
⎡⎣1 + 2η mnH 0 ( n − 2 )φ0n − 2 ( t − t0 ) ⎤⎦
171
n ( n − 2)
.
(VIII.54)
Dari solusi-solusi di atas bahwa model (VIII.47) menggambarkan dinamika
evolusi yang dimulai dari faktor skala yang konstan kemudian naik secara
eksponensial, a (t ) = a0 exp[ H 0 (t − t0 )] . Vektor kopling juga mulai dari nilai yang
konstan mφ02 . Persamaan keadaan
menjadi dinamik baik untuk medan skalar
biasa maupun medan phantom. Kemudian, potensial, energi kinetik, rapat energi
dan tekanan menurun untuk medan skalar biasa sedangkan untuk medan phantom
potensial dan rapat energi bertambah besar.
VIII.4
Skenario Inflasi Pelanggaran Lorentz
Pelanggaran Lorentz di dalam skenario inflasi dapat dibedakan menjadi dua
bagian: daerah gelindingan perlahan (slow-roll) pelanggaran Lorentz, 8π G β >> 1 ,
dan daerah gelindingan perlahan standar, 8π G β << 1 . Kasus pertama terkait
dengan β = β pada persamaan (VIII.23) dan kasus kedua terkait dengan
β = (8π G ) −1 yang menggambarkan inflasi standar.
Di dalam sub bab ini ditinjau skenario inflasi medan skalar yang didasarkan atas
teori skalar-vektor-tensor. Vektor kopling dan potensial diberikan sebagai model
dan dinamikanya digambarkan oleh persamaan Friedmann dan persamaan gerak
medan skalar. Dari hasil yang diperoleh pada sub Bab VIII.2, persamaanpersamaan dinamika tersebut adalah
H2 =
1 ⎡1 2 2
⎤
H φ ′ + V (φ ) ⎥ ,
⎢
3β ⎣ 2
⎦
H ′ 1 φ ′2 β ′
+
+
= 0,
H 2 β
β
φ ′′ +
V,
H′
φ ′ + 3φ ′ + φ2 + 3β ,φ = 0 .
H
H
(VIII.55)
(VIII.56)
(VIII.57)
Persamaan-persamaan dinamika di atas menghasilkan nilai kritis dari medan
skalar (lihat Gambar VIII.1) yang didefinisikan oleh
8π Gβ (φc ) = 1 .
(VIII.58)
Sebagai contoh, parameter kopling dengan bentuk β = nφ 2 maka persamaan
(VIII.58) menghasilkan
172
φc =
Gambar VIII.1
M pl
.
8π n
(VIII.59)
Sebuah titik kritis di mana kopling antara vektor pelanggaran
Lorentz dan medan skalar menjadi tidak efektif (Kanno dan Soda,
2006).
Misalkan φi menyatakan nilai awal dari medan skalar. Dengan mengambil
φi ~ 3M pl , syarat φi > φc menghasilkan parameter kopling n > 1/(72π ) ~ 1/ 226
agar terjadi inflasi pelanggaran Lorentz. Sedangkan jika φi < φc , efek dari
pelanggaran Lorentz dapat diabaikan. Berikut ini ditinjau sebuah model vektor
kopling yang diberikan oleh
β (φ ) = nφ m ,
(VIII.60)
dengan m dan n adalah parameter-parameter. Untuk model ini, nilai kritis dari
medan skalar adalah
⎛ M pl2
φc = ⎜⎜
⎝ 8nπ
1m
⎞
⎟⎟
⎠
,
dan
n>
M pl2
8π ( 3M pl )
m
.
(VIII.61)
Ada beberapa tipe potensial yang dapat menghasilkan inflasi dalam kosmologi
standar. Di dalam skenario teori scalar-vektor-tensor, inflasi dapat terjadi tanpa
potensial (Kanno dan Soda, 2006). Pada pasal berikut ini ditinjau dua tipe
potensial yaitu potensial fungsi pangkat kebalikan (inverse power-law potential)
173
dan potensial fungsi pangkat (power-law potential). Solusi dan analisanya dibahas
untuk masing-masing daerah inflasi.
VIII.4.1
Potensial Fungsi Pangkat Kebalikan
Tinjau sebuah potensial dalam bentuk
V (φ ) = μ 4 +ν φ −ν .
(VIII.62)
Disini μ dan ν adalah konstanta-konstanta. Model potensial fungsi pangkat
kebalikan dalam kosmologi standar dapat menghasilkan perturbasi tensor untuk
fluktuasi medan skalar skala-invarian (Barrow, 1990) dan juga dapat dihasilkan
dalam model supersimetrik QCD (Binetruy, 1999).
VIII.4.1.1
Daerah Gelindingan Perlahan Pelanggaran Lorentz
Untuk nilai medan skalar φ yang cukup besar, fungsi kopling β(φ) dan fungsi
potensial V(φ) keduannya memberikan kontribusi dalam model yang ditinjau.
Selama inflasi, efek pelanggaran Lorentz terhadap dinamika inflasi juga besar.
Dalam daerah pelanggaran Lorentz persamaan Friedmann dan persamaan gerak
medan skalar diberikan oleh
H2 =
1
3β
⎡ 1 2 ′2
⎤
⎢⎣ 2 H φ + V (φ ) ⎥⎦ ,
(VIII.63)
H ′ 1 φ ′2 β ′
+
+
= 0,
H 2 β
β
φ ′′ +
(VIII.64)
V,
H′
φ ′ + 3φ ′ + φ2 + 3β ,φ = 0 .
H
H
(VIII.65)
Ketika terjadi inflasi, faktor skala menghasilkan sebuah percepatan dan medan
skalar berevolusi lebih lambat dibandingkan dengan ekspansi alam semesta.
Sehingga medan skalar memenuhi syarat menggelinding perlahan
H 2φ ′2 << V, φ ′′ << φ ′ , φ ′2 << β dan β ′ << β .
(VIII.66)
Dengan syarat ini persamaan (VIII.63) – (VIII.65) menjadi
H2~
V
,
3β
V
⎛β
φ ′ ~ − β ⎜ ,φ + ,φ
V
⎝ β
⎞
⎟.
⎠
(VIII.67)
Dari model yang diberikan, potensial oleh persamaan (VIII.62) dan kopling vektor
oleh persamaan (VIII.60), maka dapat diperoleh
174
H2 =
μ 4 +ν
3n
φ − (ν + m ) ,
(VIII.68)
φ ′ = −n ( m − ν )φ ( m −1) .
(VIII.69)
Solusi dari medan skalar sebagai fungsi dari faktor skala dapat diperoleh dengan
mengintegrasi persamaan (VIII.69),
φ (α ) = ⎣⎡φi2 − m + n ( m − 2 )( m − ν )(α − α i ) ⎦⎤
−1 ( m − 2 )
, m ≠ 2, m ≠ ν , (VIII.70)
dengan φ (α = α1 ) ≡ φi adalah suatu konstanta. Persamaan Friedmann menjadi
H2 =
μ 4 +ν
⎡φi2 − m + n ( m − 2 )( m − ν )(α − α i ) ⎤⎦
3n ⎣
( m +ν ) ( m − 2 )
.
(VIII.71)
Agar solusi yang diberikan oleh persamaan (VIII.70) memenuhi syarat
gelindingan perlahan (VIII.66) selama terjadi pelanggaran Lorentz, maka pangkat
m dari kopling vektor memenuhi m > 2 karena:
φ ′2 (~ α −2(1− m ) ( 2 − m ) )<< β (~ α m ( 2 − m ) ),
β ′ (~ α
−2 (1− m ) ( 2 − m )
)<< β (~ α
m ( 2 − m)
(VIII.72)
).
(VIII.73)
Ekspansi alam semesta yang terjadi pada daerah pelanggaran Lorentz diberikan
oleh evolusi faktor skala,
−1 ( D −1)
⎧⎪ B 1 ⎛ 1
⎫⎪
a (t )
⎞
= exp ⎨− + ⎜ D −1 − AC ( D − 1)( t − ti ) ⎟
⎬ , C ≠ 0 , (VIII.74)
ai
⎠
⎩⎪ C C ⎝ B
⎭⎪
dengan A, B, C dan D adalah konstanta-konstanta yang didefinisikan sebagai
berikut:
A=
μ 4 +ν
3n
, B = φi2 − m , C = n ( m − 2 )( m − ν ) , D =
m +ν
.
2 ( m − 2)
(VIII.75)
Dengan memanfaatkan persamaan-persamaan (VIII.70), (VIII.71) dan (VIII.74)
maka evolusi waktu dari kuantitas-kuantitas medan skalar, parameter Hubble dan
kopling vektor berturut-turut adalah
1 ( D −1)( m − 2 )
⎞
⎛ 1
φ ( t ) = ⎜ D −1 − AC ( D − 1)( t − ti ) ⎟
⎝B
⎠
⎞
⎛ 1
H ( t ) = A ⎜ D −1 − AC ( D − 1)( t − ti ) ⎟
⎝B
⎠
175
,
(VIII.76)
− D ( D −1)
,
(VIII.77)
⎞
⎛ 1
− AC ( D − 1)( t − ti ) ⎟
D −1
⎝B
⎠
β (t ) = n ⎜
m ( D −1)( m − 2 )
.
(VIII.78)
Evolusi dari rapat energi medan skalar diberikan oleh
⎛ 1
⎞
ρ ( t ) V = 3nA ⎜ D −1 − AC ( D − 1)( t − ti ) ⎟
⎝B
⎠
( m − 2 D ( m − 2 ) ) ( D −1)( m − 2)
2
.
(VIII.79)
Persamaan (VIII.77) menunjukkan bahwa parameter Hubble menurun selama
terjadi inflasi, hal ini adalah sebuah konsekuensi dari pelanggaran Lorentz.
Setelah mensubstitusikan persamaan (VIII.60) ke persamaan (VIII.67) maka
untuk m = 2, ν ≠ 2 evolusi dari medan skalar diberikan oleh
φ (α ) = φi e− n ( 2 −ν )(α −α ) ,
i
(VIII.80)
dengan φ (α = α i ) ≡ φi . Agar solusi ini memenuhi syarat gelindingan perlahan
maka
n<
1
( 2 −ν )
2
.
(VIII.81)
Sehingga kisaran dari parameter n di mana inflasi pelanggaran Lorentz terjadi
adalah
1
1
.
<n<
2
226
( 2 −ν )
(VIII.82)
Parameter Hubble sebagai fungsi dari faktor skala diberikan oleh
H 2 (α ) = H i2e
(
)
− n ν 2 − 4 (α − α i )
,
(VIII.83)
di mana
H i2 =
μ 4 +ν
.
2 +ν
3nφi( )
(VIII.84)
Faktor skala juga dapat diungkapkan sebagai fungsi dari medan skalar
1 n (ν − 2 )
a (t ) ⎡φ (t ) ⎤
=⎢
⎥
ai
⎣ φi ⎦
.
(VIII.84)
Sehingga evolusi waktu dari kuantitas-kuantitas fisis dapat dirangkum sebagai
berikut:
176
1 n (ν 2 − 4 )
a (t )
= ⎡⎣ n ν 2 − 4 H i2 ( t − ti ) ⎤⎦
,
ai
)
(VIII.85)
1 (ν + 2 )
φ (t )
= ⎡⎣ n (ν 2 − 4 ) H i2 ( t − ti ) ⎤⎦
,
φi
(VIII.86)
H (t )
= n ν 2 − 4 ( t − ti ) ,
2
Hi
(VIII.87)
2 (ν + 2 )
β (t )
= ⎡⎣ n (ν 2 − 4 ) H i2 ( t − ti ) ⎤⎦
.
2
nφi
(VIII.88)
(
(
)
Dan evolusi dari rapat energi medan skalar adalah
ρ (t ) =
VIII.4.1.2
−ν (ν + 2 )
μ 4 +ν ⎡
2
2
⎤
n
4
H
t
t
ν
−
−
.
(
)
(
)
i
i
⎦
φi ⎣
(VIII.89)
Daerah Gelindingan Perlahan Standar
Setelah medan skalar melewati nilai kritis φc , dinamika inflasi ditentukan oleh
potensial V. Untuk daerah gelindingan perlahan standar persmaan Friedmann dan
persamaan gerak medan skalar menjadi
H2 =
8π G ⎡ 1 2 2
⎤
H φ′ + V ⎥ ,
⎢
3 ⎣2
⎦
(VIII.90)
H′
+ 4π Gφ ′2 = 0 ,
H
φ ′′ +
(VIII.91)
V,
H′
φ ′ + 3φ ′ + φ2 = 0 .
H
H
(VIII.92)
Syarat gelindingan perlahan standar menghasilkan persamaan gelindingan
perlahan
H2 ≈
8π G
V,
3
φ′ ≈
1 V,φ
.
8π G V
(VIII.93)
Untuk potensial fungsi pangkat kebalikan, persamaan evolusi dari medan skalar
inflaton dan parameter Hubble sebagai fungsi dari faktor skala adalah
φ 2 (α ) = φc2 +
H 2 (α ) =
ν
(α − α c ) ,
4π G
8π G 4 +ν
μ
3
ν
⎡ 2
+
φ
(α − α c )⎤⎥
c
⎢⎣
4π G
⎦
177
(VIII.94)
−ν 2
.
(VIII.95)
Solusi untuk faktor skala diperoleh
a (t )
⎡ 4π G 2
⎤
= exp ⎢
φ ( t ) − φc2 ⎥ .
ν
ac
⎣
⎦
(
)
(VIII.96)
Ketika syarat gelindingan perlahan dilanggar maka inflasi pada daerah standar
berakhir dan alam semesta mulai dengan periode pemanasan kembali (reheating).
Persamaan-persamaan evolusinya diberikan oleh
a (t )
⎧ B
1
D +1
= exp ⎨− s +
Bs s + AsCs ( Ds + 1)( t − tc )
ac
⎩ Cs Cs
(
(
φ ( t ) = Bs D +1 + AsCs ( Ds + 1)( t − tc )
s
(
H ( t ) = As Bs
)
1 2 ( Ds +1)
+ AsCs ( Ds + 1)( t − tc )
Ds +1
)
Ds
(
1 ( Ds +1)
⎫
⎬,
⎭
,
(VIII.97)
(VIII.98)
( Ds +1)
3 ⎛ As2Cs ⎞ Ds +1
+ AsCs ( Ds + 1)( t − tc )
⎟ Bs
8 ⎝ Ds ⎠
ρ (t ) = ⎜
)
)
.
2 Ds
(VIII.99)
( Ds +1)
,
(VIII.100)
di mana
8π G 4 +ν
ν
ν
, Ds = .
μ , Bs = φc2 , Cs =
3
4π G
4
As =
(VIII.101)
Berbeda dengan daerah inflasi pelanggran Lorentz pada daerah gelindingan
perlahan standar, parameter Hubble bertambah besar selama evolusi. Kuantitas
lain yang dihitung selama fasa inflansi adalah jumlah e-folding. Jumlah e-folding
total diberikan oleh
B 1⎛ 1
⎞
N = − + ⎜ D −1 − AC ( D − 1)( tc − ti ) ⎟
C C⎝B
⎠
−
=
(
−1 ( D −1)
Bs
1
D +1
+
Bs s + As Cs ( Ds + 1)( te − tc )
Cs Cs
)
1 ( Ds +1)
1 2−m
4π G 2
φc − φi2 − m +
φe − φc2 , .
ν
C
(
)
(
)
(VIII.102)
untuk m > 2,ν ≠ m dan
N=
(
1
n ν −4
−
2
)
(
)
log ⎡⎣ n ν 2 − 4 H i2 ( tc − ti ) ⎤⎦
(
Bs
1
D +1
+
Bs s + As Cs ( Ds + 1)( te − tc )
Cs Cs
178
)
1 ( Ds +1)
=
⎛ φ ⎞ 4π G 2
1
φe − φc2 ,
log ⎜ i ⎟ +
ν
n ( 2 −ν )
⎝ φc ⎠
(
)
(VIII.103)
untuk m = 2,ν ≠ 2 . Di dalam persamaan-persamaan di atas, suku pertama adalah
kontribusi dari daerah inflasi pelanggaran Lorentz dan suku kedua adalah
kontribusi dari daerah inflasi standar. Sebuah contoh, jika nilai-nilai parameter
diambil sebagai berikut: N = 70, n = 10-2, m = 2 dan ν = 1. Jika φe ~ 0.3 Mpl
adalah besaran medan skalar pada akhir inflasi maka diperoleh nilai kritisnya φc
~ 2 M pl dan besaran ini masih lebih kecil dari φi ~ 2.5M pl . Sehingga kontribusi
dari akhir inflasi masih relevan.
VIII.4.2
Potensial Fungsi Pangkat
Pada pasal ini ditinjau untuk potensial fungsi pangkat, dibatasi hanya pada
pangkat dua, yaitu
V (φ ) =
VIII.4.2.1
1 2 2
M φ .
2
(VIII.104)
Daerah Gelindingan Perlahan Pelanggaran Lorentz
Untuk model potensial yang diberikan oleh persamaan (VIII.104) dan
memanfaatkan syarat gelindingan perlahan, maka persamaan gelindingan perlahan
pada daerah pelanggaran Lorentz adalah
M 2 −( m − 2)
H =
φ
,
6n
(VIII.105)
φ ′ = −n ( m + 2 )φ ( m −1) .
(VIII.106)
2
Solusi untuk medan skalar diberikan oleh
1 ( 2 − m)
φ (α ) = ⎡⎣φi2 − m + n ( m 2 − 4 ) (α − α i ) ⎤⎦
,
(VIII.107)
untuk m ≠ 2 dan
φ (α ) = φi e−4 n (α −α ) ,
i
(VIII.108)
untuk m = 2 . Skenario untuk kasus m = 2 telah dikaji oleh Kanno dan Soda
(2006), diperoleh bahwa parameter Hubble menjadi konstan selama inflasi daerah
179
pelanggaran Lorentz. Disini akan dibahas untuk kasus m ≠ 2 dan parameter
Hubble diberikan oleh
H 2 (α ) =
M 2 ⎡ 2−m
φi + n m 2 − 4 (α − α i ) ⎤⎦ ,
⎣
6n
(
)
(VIII.109)
dan solusi untuk faktor skala diberikan oleh
⎡
a (t )
1
= exp ⎢
2
ai
⎢⎣ n m − 4
(
)
⎛ 1
1 ⎞⎤
− m − 2 ⎟⎥ .
⎜⎜ m − 2
⎟
⎝ φ ( t ) φi ⎠ ⎥⎦
(VIII.110)
Seperti juga dalam kasus sebelumnya, untuk m > 2 efek pelanggaran Lorentz
dapat terjadi. Evolusi waktu dari persamaan (VIII.110) adalah
b
1⎡
1
(
)
⎤
2
α ( t ) = α i − + ⎢b1 2 + dc ( t − ti ) ⎥ ,
c c⎣
2
⎦
(VIII.111)
di mana
M2
, m > 2.
6n
b = φi2 − m , c = n m 2 − 4 , d =
(VIII.112)
Dengan memanfaatkan solusi (VIII.111) maka diperoleh
2
⎧⎪ b 1 ⎡ 1 2 1
a (t )
⎤ ⎫⎪
= exp ⎨− + ⎢b + dc ( t − ti ) ⎥ ⎬ ,
ai
2
⎦ ⎭⎪
⎩⎪ c c ⎣
1
⎡
⎤
φ ( t ) = ⎢b1 2 + dc ( t − ti ) ⎥
2
⎣
⎦
−2 ( m − 2 )
,
(VIII.114)
1
⎡
⎤
H ( t ) = d ⎢b1 2 + dc ( t − ti ) ⎥ ,
2
⎣
⎦
1
⎡
⎤
β ( t ) = n ⎢b1 2 + dc ( t − ti ) ⎥
2
⎣
⎦
(VIII.115)
−2 m ( m − 2 )
1
⎡
⎤
ρ ( t ) = 3nd ⎢b1 2 + dc ( t − ti ) ⎥
2
⎣
⎦
2
(VIII.113)
,
(VIII.116)
−4 ( m − 2 )
,
(VIII.117)
di mana b, c, dan d adalah konstanta-konstanta positif. Hasil yang signifikan
adalah parameter Hubble dan faktor skala bertambah besar selama inflasi
pelanggaran Lorentz untuk m > 2 . Sedangkan untuk m = 2 parameter Hubble
adalah konstan. Pada pasal berikut ini dapat dilihat bahwa parameter Hubble
menurun dalam daerah gelindingan perlahan standar. Sehingga selama periode
inflasi dapat dihasilkan spektrum dengan spektrum awal biru dan kemudian
180
spektrum warna merah. Hal ini dapat menjelaskan spektrum daya CMB pada
skala besar yang diamati oleh WMAP (Bennet, dkk., 2003). Secara kualitatif
dapat dijelaskan sebagai berikut. Ketika parameter Hubble bertambah besar maka
medan skalar memiliki energi yang tinggi selama periode inflasi pelanggaran
Lorentz dan dapat menghasilkan spektrum warna biru. Sebaliknya, dalam daerah
gelindingan perlahan standar, parameter Hubble menurun yang berarti energi
medan skalar menurun dan kemudian menghasilkan spektrum warna merah.
VIII.4.2.2
Daerah Gelindingan Perlahan Standar
Berikut ini ditinjau skenario inflasi chaotic dalam daerah gelindingan perlahan
standar. Persamaan Friedmann dan persamaan gerak diberikan oleh persamaan
(VIII.90) – (VIII.92). Dengan asumsi syarat gelindingan perlahan standar
dipenuhi maka persamaan gelindingan perlahan diberikan oleh
H2 ≈
φ′ ≈
4π G 2 2
M φ ,
3
(VIII.118)
1 −1
φ .
4π G
(VIII.119)
Persamaan-persamaan evolusi sebagai fungsi dari faktor skala adalah
1
(α − α c ) ,
2π G
(VIII.120)
4π GM 2 ⎛ 2
1
(α − α c ) ⎞⎟ .
⎜ φc −
3
2π G
⎝
⎠
(VIII.121)
φ 2 (α ) = φc2 −
H2 =
Integrasi persamaan (VIII.121) menghasilkan
2
b
1⎡
1
⎤
α ( t ) − α c = s − ⎢bs1 2 − d s cs ( t − tc ) ⎥ .
cs cs ⎣
2
⎦
(VIII.122)
Dengan memanfaatkan hubungan ini, dinamika evolusi dari alam semesta
digambarkan oleh persamaan berikut:
2
⎧⎪ bs 1 ⎡ 1 2 1
a (t )
⎤ ⎪⎫
= exp ⎨ − ⎢bs − d s cs ( t − tc ) ⎥ ⎬ ,
ac
2
⎦ ⎪⎭
⎪⎩ cs cs ⎣
1
2
φ ( t ) = bs1 2 − d s cs ( t − tc ) ,
(VIII.123)
(VIII.124)
181
⎡ 12 1
⎤
H ( t ) = d s ⎢bs − d s cs ( t − tc ) ⎥ ,
2
⎣
⎦
3c d
ρ (t ) = s s
4
(VIII.125)
2
⎡ 12 1
⎤
⎢⎣bs − 2 d s cs ( t − tc ) ⎦⎥ ,
(VIII.126)
di mana
bs = φc2 , cs =
1
4π GM 2
.
, ds =
2π G
3
(VIII.127)
Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, parameter Hubble menurun dalam
daerah gelindingan perlahan standar. Untuk kasus potensial chaotic, jumlah total
e-folding adalah
2
b 1⎡
1
1
⎤ b
N = − + ⎢b1 2 + dc ( tc − ti ) ⎥ + s −
c c⎣
2
⎦ cs cs
=
(
1
n m −4
2
)
(φ
2−m
c
)
(
⎡ 12 1
⎤
⎢⎣bs − 2 d s cs ( te − tc ) ⎥⎦
)
− φi2 − m + 2π G φc2 − φe2 .
2
(VIII.128)
di mana φe adalah nilai medan scalar pada akhir inflasi. Kembali suku pertama
muncul dari inflasi pada daerah pelanggaran Lorentz.
VIII.5
Analisis Ruang Fasa
VIII.5.1 Sistem Dinamik
Metode sistem dinamika dapat digunakan sebagai analisis kualitatif dari sebuah
model kosmologi yang terdiri dari persamaan-persamaan diferensial biasa.
Interpretasi fisis untuk melengkapi sistem dinamik dipahami dari definisi-definisi
variabel yang diberikan. Sebagai contoh, tinjau sebuah sistem yang terdiri dari
tiga buah derajat kebebasan yaitu terdiri dari tiga buah variabel: u, v dan w, untuk
menggambarkan sistem. Maka dinamika dari sistem dapat dinyatakan oleh
persamaan-persamaan diferensial biasa yang terkopel:
du
= f ( u , v, w ) ,
dt
(VIII.129)
dv
= g ( u , v, w ) ,
dt
(VIII.130)
dw
= h ( u , v, w ) .
dt
(VIII.131)
182
Fungsi-fungsi f, g, dan h tidak meliputi waktu sehingga sistemnya adalah
outonomous. Bentuk dari persamaan-persamaan sistem dinamik di atas dapat
dimanfaatkan untuk mengidentifikasi titik-titik tetap dari sistem. Titik-titik tetap
didefinisikan sebagai titik-titik di mana turunan waktu dari variabel-variabel
lenyap, untuk kasus di atas adalah
f ( u , v, w ) = 0 ,
(VIII.132)
g ( u, v, w) = 0 ,
(VIII.133)
h ( u , v, w ) = 0 .
(VIII.134)
Titik-titik tetap yang diperoleh menentukan trayektori dari sistem. Sebagai contoh,
untuk sistem 1-dimensi, persamaan dinamikanya adalah
dx
= f ( x) .
dt
(VIII.135)
Maka titik-titik tetap diperoleh dengan mengambil f ( x ) = 0 .
VIII.5.2 Sistem Dinamik Medan Skalar
Pada pasal ini dibahas struktur global dari dinamika sistem melalui analisis bidang
fasa dan menghitung evolusi kosmologi secara numerik. Dengan memperkenalkan
variabel-variabel berikut:
x≡
λ1 ≡
Γ1 ≡
V
φ′
, y≡
,
3H 2 β
6β
β,φ
β
, λ2 ≡ − β
V,φ
,
V
ββ ,φφ
VV
, Γ 2 ≡ ,2φφ .
2
β ,φ
V,φ
(VIII.136)
(VIII.137)
(VIII.138)
maka persamaan gerak medan skalar (VIII.56) dan (VIII.57) dapat dinyatakan
sebagai sistem bidang-autonomous:
(
)
x′ = −3x 1 − x 2 +
3
( λ1 + λ2 ) y 2 ,
2
⎡
⎤
3
y ′ = ⎢3 x −
( λ1 + λ2 )⎥ xy ,
2
⎣
⎦
183
(VIII.139)
(VIII.140)
⎛
⎝
1⎞
⎡
⎛
⎣
⎝
λ1′ = − 6λ12 ⎜ Γ1 − ⎟ x ,
2
(VIII.141)
⎠
λ2′ = − 6λ22 ⎢Γ 2 − ⎜1 −
λ1 ⎞ ⎤
⎟⎥ x .
2λ2 ⎠ ⎦
(VIII.142)
Sebuah aksen menyatakan turunan terhadap logaritme dari faktor skala, α = ln a .
Fungsi-fungsi λ1 (φ ) dan λ2 (φ ) masing-masing menentukan vektor kopling dan
potensial. Persamaan Friedmann (VIII.55) menjadi
x2 + y 2 = 1.
(VIII.143)
Persamaan keadaan medan skalar dapat diungkapkan dalam varibel-variabel baru
ωφ =
pφ
ρφ
=
x2 − y2
.
x2 + y2
(VIII.144)
Ungkapan x 2 mengandung informasi untuk ekspansi oleh energi kinetik medan
skalar dan y 2 oleh potensial dalam skenario pelanggaran Lorentz.
Dalam sistem autonomous, persamaan-persamaan (VIII.139) – (VIII.142) dapat
dinyatakan dalam bentuk x’ = f(x) di mana x(x, y, λ1 , λ2 ), dan titik-tritik tetap
yang dinamakan dengan titik-titik kritis x0 adalah solusi dari sistem persamaan
f(x0) = 0. Untuk menentukan stabilitas dari sistem, gangguan dilakukan disekitar
titik-titik kritis dalam bentuk x = x0 + u dan menghasilkan persamaan gerak u’ =
M u, di mana
M ij =
∂f i
∂x j
.
(VIII.145)
x0
Untuk persamaan-persamaan dinamika (VIII.139) – (VIII.142), u adalah sebuah
vektor kolom yang terdiri dari gangguan x, y, λ1 , λ2 . Jadi M ij adalah sebuah
matrik 4 x 4. Stabilitas dari titik-titik kritis ditentukan oleh nilai-nilai eigen μi
dari matrik M pada titik kritis. Titik kritis dikatakan stabil jika nilai-nilai eigen
dari M adalah riil negatif Re( μi ) < 0 dan tidak stabil jika Re( μi ) > 0 dan jika
tidak memenuhi keduannya, titik kritis dikatakan titik balik (saddle point).
Berikut ini ditinjau model yang sederhana
184
β (φ ) = mφ 2 ,
V (φ ) =
1 2 2
M φ ,
2
(VIII.146)
dengan m dan M adalah parameter-parameter. Substitusi persamaan ini ke
persamaan-persamaan (VIII.137) dan (VIII.138) menghasilkan
λ1 = λ2 = −2 m ,
Γ1 = Γ 2 =
1
.
2
(VIII.147)
Dan secara trivial dipenuhi untuk persamaan-persamaan (VIII.141) dan (VIII.142).
Persamaan (VIII.139) dan persamaan (VIII.140) dapat diyatakan dalam
persamaan tunggal
⎡
⎤
3
x′ = − ⎢3 x −
( λ1 + λ2 )⎥ 1 − x 2
2
⎣
⎦
(
(
)
)
= − ⎡⎣3 x + 2 6m ⎤⎦ 1 − x 2 .
(VIII.148)
Solusi-solusi pelanggaran Lorentz dapat diperoleh dari persamaan
H′
= −3 x 2 + 6λ1 x .
H
(VIII.149)
Suku kedua ruas kanan persamaan ini muncul akibat dari pelanggaran Lorentz.
Titik-titik kritis ( x0 , y0 ) dari sistem adalah
(1, 0) , ( −1,0) dan ( − 8m / 3, 1 − 8m / 3 ) .
(VIII.150)
Titik-titik kritis (1, 0) atau ( −1,0) berhubungan dengan solusi-solusi didominasi
oleh suku kinetik pelanggaran Lorentz dan titik kritis ( − 8m / 3, 1 − 8m / 3 )
berhubungan dengan solusi potensial-kinetik pelanggaran Lorentz. Dengan
mengintegrasi persamaan (VIII.149), solusi untuk parameter Hubble diberikan
oleh
⎛ α⎞
H ∝ exp ⎜ − ⎟ .
⎝ p⎠
(VIII.151)
Solusi ini berhubungan dengan alam semesta mengembang dengan faktor skala
diberikan oleh
a (t ) ~ t p ,
p≡
1
3x − 6λ1 x0
2
0
=
1
.
3x + 2 6mx0
2
0
(VIII.152)
Sehingga titik kritis x 0 = ±1 menghasilkan m > 1/ 6 dan titik kritis x 0 = − 8m / 3
menghasilkan m < 1/16 .
185
Gangguan linier disekitar titik x0+ = +1 dan x0− = −1 berturut-turut menghasilkan
nilai-nilai eigen μ + = 6 + 4 6m dan μ − = 6 − 4 6m . Jadi untuk nilai m positif,
x0+ = +1 selalu tidak stabil dan x0− = −1 adalah stabil untuk m > 3/8 tetapi tidak
stabil untuk m < 3/8 .
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Gambar VIII.2
Bidang fasa solusi dominasi kinetik pelanggaran Lorentz.
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Gambar VIII.3
Bidang fasa solusi potensial-kinetik pelanggaran Lorentz.
186
Kemudian gangguan liniear disekitar titik potensial-kinetik pelanggaran Lorentz
menghasilkan nilai eigen μ = 8m − 3 , dan memberikan solusi stabil untuk
m < 3/8 . Gambar VIII.2 dan Gambar VIII.3 menunjukan kurva bidang fasa
untuk m > 3/8 dan m < 3/8 . Trayektori dibatasi di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 1 .
Dalam model (VIII.146), persamaan keadaan medan skalar diberikan oleh
ωφ = −1 +
16m
,
3
(VIII.153)
yaitu ditentukan oleh parameter m dari vektor kopling, dan selalu memenuhi
ωφ > −1 untuk m positif.
VIII.6
Rangkuman
Dalam bab ini telah diperoleh perumusan kosmologi dari teori gravitasi skalarvektor-tensor dengan medan vektor serupa waktu. Dengan asumsi bahwa medanmedan adalah homogen, rapat energi dan tekanan dari medan skalar diperoleh dan
persamaan (VIII.20) – (VIII.22) bersama-sama dengan persamaan Friedmaan
dapat digunakan untuk menggambarkan solusi-solusi kosmologi.
Di dalam sub Bab VIII.3, solusi eksak persamaan keadaan diperoleh dari model
parameter Hubble dan vektor kopling fungsi pangkat. Persamaan keadaan non
dinamik diperoleh untuk n = 2 dan n > 2 menjadi dinamik. Untuk kasus ini medan
skalar terkait dengan pelanggaran Lorentz dan persamaan keadaan dari medan
skalar ditentukan oleh parameter kopling vektor.
Inflasi pelanggaran Lorentz yang dibahas di dalam sub Bab VIII.4 menunjukkan
bahwa untuk potensial fungsi pangkat kebalikan, evolusi parameter Hubble
menurun pada daerah pelanggaran Lorentz dan bertambah besar pada daerah
gelindingan perlahan standar. Untuk kasus potensial fungsi pangkat, potensial
chaotic, evolusi parameter Hubble menurun pada daerah pelanggaran Lorentz dan
bertambah besar pada daerah gelindingan perlahan standar.
187
Vektor kopling kuadratik dan potensial chaotic berhubungan dengan nilai-nilai
konstan λ1 = λ2 = −2 m dan Γ1 = Γ 2 = 1/ 2 . Untuk kasus sebaliknya jika λ1 dan
λ2 dibuat konstan, ditemukan bahwa bentuk vektor kopling masih dalam fungsi
kuadratik dari medan skalar sedangkan potensial sebagai fungsi dari medan skalar
adalah fungsi pangkat V ~ φ 2γ dan Γ1 = 1/ 2 , Γ 2 = 1 − 1/(2γ ) di mana γ = λ2 / λ1 .
Di dalam sub Bab VIII.5, dipelajari perilaku atraktor dari medan skalar penyebab
inflasi dalam konteks pelanggaran Lorentz. Diperoleh bahwa ada solusi-solusi
stabil dari evolusi alam semesta. Ada tiga buah titik kritis yang diperoleh yaitu:
dua buah solusi ketika suku kinetik menjadi dominan dan satu buah solusi ketika
suku kinetik-potensial menjadi dominan. Bergantung dari kopling parameter, jika
salah satu dari titik kritis adalah stabil maka titik kritis yang lain menjadi tidak
stabil. Alam semesta kemudian berevolusi dari keadaan yang tidak stabil menuju
ke salah satu titik kritis yang stabil.
188