bab ii analisis real

Bab 2
Sistem Bilangan Real
2.1.
dari
Aksioma Bilangan Real
Misalkan
adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi ‘+’ dan ‘.’
× ke
dan asumsikan memenuhi aksioma-aksioma berikut:
Aksioma Lapangan
Untuk semua bilangan real x, y, dan z berlaku:
A1. x + y = y + x
A2. (x + y) + z = x + (y + z)
A3. ∃0 ∈ sehingga x + 0 = x, untuk setiap x ∈
A4. ∀x ∈ , ∃! w ∈ sehingga x + w = 0
A5. xy = yx
A6. (xy)z = x(yz)
A7. ∃1 ∈ sehingga 1 ≠ 0, dan x.1 = x ∀x ∈
A8. ∀x ∈ , x ≠ 0, ∃w ∈ sehingga xw = 1
A9. x(y + z) = xy + xz
Himpunan yang memenuhi aksioma di atas disebut lapangan (terhadap operasi + dan .).
Diperoleh dari A1 bahwa elemen 0 adalah tunggal. Elemen w pada A4 juga tunggal dan dinotasikan
dengan ‘–x’. Elemen 1 pada A7 unik dan elemen w pada A8 juga unik dan dinotasikan dengan ‘x–1’
Kemudian didefinisikan pengurangan dan pembagian sebagai berikut:
x
x – y = x + (–y) dan
= xy −1
y
Aksioma Urutan
Misalkan P adalah himpunan bilangan real positif, P memenuhi aksioma berikut:
B1. x, y ∈ P ⇒ x + y ∈
B2. x, y ∈ P ⇒ x.y ∈
B3. x ∈ ⇒ (x = 0) atau (x ∈ P) atau (x ∈ P)
Suatu sistem yang memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan disebut lapangan terurut
(ordered field). Sehingga bilangan real adalah lapangan terurut. Begitu juga dengan himpunan bilangan
rasional merupakan lapangan terurut.
Dalam lapangan terurut didefinisikan x < y yang berarti x – y ∈ P. Kita menuliskan ‘x ≤ y’ untuk
‘x < y’ atau ‘x = y’. Himpunan bilangan real dengan relasi < merupakan himpunan terurut linear.
Berdasarkan aksioma urutan diperoleh:
a. (x < y) & (z < w) ⇒ x + z < y + w
b. (0 < x < y) & (0 < z < w) ⇒ xz < yw
c. Tidak ada x sehingga x < x.
Bukti :
a. Untuk membuktikan x + z < y + w cukup dibuktikan (y + w) – (x + z) ∈ P.
Karena x < y maka y – x ∈ P
Karena z < w maka w – z ∈ P
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Karena y – x, w – z ∈ P maka berdasarkan aksioma B1 diperoleh
y – x + w – z = y + w – x – z = (y + w) – (x + z) ∈ P.
b. Untuk membuktikan xz < yw cukup dibuktikan yw – xz
Karena 0 < x < y maka y – x ∈ P dan x – 0 = x ∈ P
Karena 0 < z < w maka w – z ∈ P dan w – 0 = w ∈ P
Karena y – x, y, w – z, dan w ∈ P maka berdasarkan B1 dan B2 diperoleh:
w(y – x) + x(w – z) = yw – wx + wx – xz = yw – xz ∈ P
c. Andaikan ada x sehingga x < x. Karena x < x maka x – x ∈ P. Akibatnya 0 ∈ P.
Kontradiksi dengan diketahui P himpunan bilangan positif. Jadi pengandaian salah yang
benar tidak ada x sehingga x < x.
Definisi (Supremum dan Infimum) :
Misalkan S ⊂ .
1. a* batas atas S, jika x ≤ a* untuk setiap x ∈ S
2. a batas atas terkecil dari S, jika
(i) a batas atas S
(ii) Jika b batas atas maka a ≤ b
Notasi : a = sup(S) = sup x = sup{x | x ∈ S}
x ∈S
*
3. c batas bawah S, jika c ≤ x untuk setiap x ∈ S
4. c batas bawah terbesar dari S, jika
(i) c batas bawah S
(ii) Jika d batas bawah maka d ≤ c
Notasi : c = inf(S) = inf x = inf{x | x ∈ S}
*
x ∈S
Perhatikan ilustrasi berikut:
a–ε
x0
a
Jika a batas atas terkecil, maka untuk setiap ε > 0 akan selalu ada x0 sehingga x0 > a – ε. Artinya,
a – ε bukan batas atas karena ada x0 yang nilainya lebih besar (atas) darinya.
c
x0
c+ε
Jika c batas bawah terbesar, maka untuk setiap ε > 0 akan selalu ada x0 sehingga x0 < c + ε.
Artinya c + ε bukan batas bawah karena ada x0 yang nilainya lebih kecil (bawah) darinya.
Dari dua ilustrasi di atas, maka definisi supremum dan infimum dapat dinyatakan dalam notasi
matematis sebagai berikut:
1. a batas atas terkecil dari S, jika
(i) ∀x ∈ S, x ≤ a
(ii) ∀ε > 0, ∃x0 ∈ S, ∋ x0 > a – ε
2. c batas bawah terbesar dari S, jika
(i) ∀x ∈ S, c ≤ x
(ii) ∀ε > 0, ∃x0 ∈ S, ∋ x0 < c + ε
22
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Contoh Soal :
Misalkan A dan B terbatas. Buktikan bahwa
sup(A + B) = sup(A) + sup(B)
dengan
A + B = {a + b | a ∈ A dan b ∈ B}
Jawab :
Misal p = sup(A) dan q = sup(B). Karena
p = sup( A ) ⇔ .( i ) p ≥ a , ∀a ∈ A
.( ii ) ∀ε > 0, ∃a 0 ∈ A ∋ a 0 > p − ε2
dan
q = sup( B ) ⇔ .( iii ) q ≥ b , ∀b ∈ B
.( iv ) ∀ε > 0, ∃b0 ∈ B ∋ b0 > q − ε2
Dari (i) dan (iii) diperoleh
p + q ≥ a + b, ∀a ∈ A dan b ∈ B. Jadi, p + q ≥ a + b, ∀a + b ∈ A + B ……………….. (*)
Jadi p + q batas atas dari A + B
Dari (ii) dan (iv) diperoleh
∀ε > 0, ∃a0 ∈ A dan b0 ∈ B sehingga a0 + b0 > (p + q) – ε ……………………………. (**)
Dari (*) dan (**) terbukti bahwa p + q = sup(A + B)
Aksioma Kelengkapan
Setiap himpunan bagian dari
terkecil (supremum).
Setiap himpunan bagian dari
bawah terbesar (infimum).
yang tidak kosong dan terbatas di atas mempunyai batas atas
yang tidak kosong dan terbatas di bawah mempunyai batas
2.2.
Bilangan Real yang Diperluas
Untuk memperluas sistem bilangan real , maka ditambahkan elemen ∞ dan –∞. Himpunan
baru ini disebut himpunan bilangan real yang diperluas * . Relasi < diperluas definisinya pada *
menjadi –∞ < x < ∞ untuk setiap x ∈ . Kemudian didefinisikan ∀x ∈ .
x + ∞ = ∞,
x – ∞ = –∞
x.∞ = ∞
jika x > 0
x.–∞ = –∞
jika x > 0
dan
∞ + ∞ = ∞, –∞ – ∞ = –∞
∞.(±∞) = ±∞, –∞.(±∞) = ∓ ∞
Sedangkan operasi ∞ – ∞ tidak didefinisikan. Tetapi, 0.∞ = 0.
Salah satu kegunaan * adalah untuk mendefinisikan sup(S) dan inf(S) untuk semua S
himpunan himpunan bagian dari
yang tidak kosong S.
Jika S tidak terbatas di atas, maka sup(S) = ∞
Jika S tidak terbatas di bawah, maka inf(S) = –∞
Jadi, didefinisikan sup(∅) = –∞.
2.3.
Bilangan Asli dan Bilangan Rasional sebagai Subset dari Bilangan Real
Kita telah menggunakan simbol 1 bukan hanya untuk menyatakan bilangan asli pertama tetapi
juga bilangan real ‘spesial’ seperti yang dituliskan dalam aksioma A7. Pertama, didefinisikan bilangan
real 3 sebagai 1 + 1 + 1. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bilangan real yang
berkorespondensi dengan sembarang bilangan asli.
Berdasarkan prinsip rekursif maka terdapat sebuah fungsi ϕ : → yang memetakan bilangan
asli ke bilangan real dengan definisi sebagai berikut:
23
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
ϕ(1) = 1
ϕ(n + 1) = ϕ(n) + 1
(Catatan: 1 menyatakan bilangan real pada sisi kanan dan bilangan asli pada sisi kiri)
Kita harus menunjukkan bahwa fungsi ϕ adalah fungsi satu-satu. Untuk menunjukkannya
cukup ditunjukkan bahwa fungsi ϕ monoton.
Bukti :
Akan dibuktikan ϕ monoton naik.
Artinya, jika p < q maka ϕ(p) < ϕ(q) dengan p , q ∈ .
Karena p < q maka q = p + n untuk setiap n ∈
Akan dibuktikan bahwa ϕ(p) < ϕ(p + n)
Bukti dengan induksi
Untuk n = 1, diperoleh
ϕ(p) < ϕ(p + 1) = ϕ(p) + 1
Jadi, pernyataan benar untuk n = 1.
Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu berlaku
ϕ(p) < ϕ(p + k)
Akan dibuktikan pernyataan benar untuk n = k + 1,
ϕ(p + (k + 1)) = ϕ((p + k) + 1)
= ϕ(p + k) + 1
> ϕ(p) + 1
> ϕ(p)
Jadi, ϕ(p) < ϕ(p + (k + 1)). Artinya pernyataan benar untuk n = k + 1.
Berdasarkan induksi di atas, terbukti ϕ monoton. Dengan kata lain, terbukti ϕ satu-satu.
Selanjutnya, juga dapat dibuktikan (dengan induksi matematika) bahwa
ϕ(p + q) = ϕ(p) + ϕ(q)
dan
ϕ(pq) = ϕ(p) ϕ(q)
Bukti :
Pertama:
Misalkan q = n , ∀n ∈ . Diperoleh
ϕ(p + n) = ϕ(p) + ϕ(n)
Untuk n = 1
ϕ ( p + 1) = ϕ ( p ) + 1 = ϕ ( p ) + ϕ (1)
Jadi pernyataan benar untuk n = 1.
Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu
ϕ(p + k) = ϕ(p) + ϕ(k)
Akan dibuktikan pernyataan benar untuk n = k + 1, yaitu:
ϕ ( p + ( k + 1)) = ϕ (( p + k ) + 1)
= ϕ( p + k ) + 1
= ϕ( p ) + ϕ( k ) + 1
= ϕ ( p ) + ϕ ( k + 1)
Jadi pernyataan benar n = k + 1. Berdasarkan prinsip induksi, terbukti bahwa
ϕ(p + q) = ϕ(p) + ϕ(q)
Kedua:
Misalkan q = n , ∀n ∈ . Diperoleh
ϕ(pn) = ϕ(p) ϕ(n)
24
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Untuk n = 1
ϕ(p1) = ϕ(p) = ϕ(p)1 = ϕ(p)ϕ(1)
Jadi pernyataan benar untuk n = 1.
Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu:
ϕ(pk) = ϕ(p)ϕ(k)
Akan dibuktikan pernyaaan berlaku untuk n = k + 1, yaitu:
ϕ ( p( k + 1)) = ϕ ( pk + p )
= ϕ ( pk ) + ϕ ( p )
= ϕ ( p )ϕ ( k ) + ϕ ( p )
= ϕ ( p ) (ϕ ( k ) + 1)
= ϕ ( p )ϕ ( k + 1)
Jadi pernyataan benar n = k + 1. Berdasarkan prinsip induksi, terbukti bahwa
ϕ(pq) = ϕ(p) ϕ(q)
Sehingga ϕ memberikan korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dengan subset
bilangan real. Artinya ada korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dengan himpunan
dapat
bagian dari bilangan real yang mengawetkan operasi penjumlahan, perkalian, dan relasi <. Jadi
dipandang sebagai himpunan bagian dari .
Dengan mendefinisikan selisih bilangan-bilangan asli, maka diperoleh himpunan bilangan bulat
yang merupakan subset dari
. Kemudian mendefinisikan pembagian bilangan-bilangan bulat
diperoleh himpunan bilangan rasional . Jadi himpunan bilangan real
isomorf1 dengan , , dan
.
Proposisi :
Setiap himpunan terurut isomorf dengan , , dan .
Aksioma Archimedes :
Untuk setiap x ∈ , ada n ∈ sehingga x < n
(Setiap bilangan real yang disebutkan, pasti ada bilangan bulat yang lebih besar darinya)
Bukti :
Jika x < 0, diambil n = 0.
Jika tidak demikian, didefinisikan himpunan
S = {k ∈ |k ≤ x } , x ≥ 0
Sehingga himpunan S mempunyai batas atas yaitu x. Dari definisi di atas, S tidak kosong karena
paling tidak S memuat 1 elemen yaitu x. Karena S tidak kosong dan terbatas di atas maka S
mempunyai supremum (aksioma kelengkapan). Misalkan
y = sup(S)
1
Karena y supremum, maka y − 2 bukan batas atas. Oleh karena itu ada k ∈ S sehingga
k > y − 21
Jika kedua ruas ditambah 1, diperoleh
k + 1 > y + 21 > y
Karena y supremum, maka k + 1 ∉ S . Karena k + 1 bilangan bulat yang bukan elemen S, maka
k+1>x
Jadi dipilih n = k + 1 ∈ . (cool!!)
Akibat :
Terdapat suatu bilangan rasional diantara dua bilangan real sembarang
Dengan kata lain, jika x < y maka ∃r ∈ sehingga x < r < y.
1
Ekuivalen, ada korespondensi 1-1
25
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Konstruksi bukti :
Diketahui x < r < y, berarti dicari bilangan n , q ∈
sehingga r =
n
n
n
dengan x < dan < y .
q
q
q
⎧
⎫
n
Didefinisikan2 himpunan S = ⎨n ∈ + | ≥ y ⎬ . Dari sini jelas S memiliki batas bawah, yaitu y.
q
⎩
⎭
Karena S terbatas ke bawah dan S tidak kosong maka S memiliki batas bawah terbesar3,
p
p
misalkan p = inf(S) dan p ∈ + . Karena p ∈ S maka ≥ y atau y ≤ . Selain itu p – 1∉ S.
q
q
p −1
p −1
< y atau y >
.
Oleh karena itu
q
q
p
p −1
p
p −1
< y . Jadi
−( y − x ) <
atau
Di lain pihak x = y − ( y − x ) < − ( y − x ) <
q
q
q
q
p p −1
1
−
< ( y − x ) ⇔ y − x > ⇔ q > ( y − x )−1 . Bilangan q inilah yang diambil sebagai
q
q
q
4
bilangan bulat yang lebih besar dari (y – x)–1
Bukti :
Jika x ≥ 0, maka untuk setiap bilangan real (y – x)–1 ada q ∈ sehingga
1
1
q > ( y − x )−1 atau y − x > ⇔ < y − x
q
q
Misalkan
⎧
⎫
n
S = ⎨n ∈ + | ≥ y ⎬
q
⎩
⎭
S ≠ ∅ karena paling tidak y ∈ S. Dari definisi S tersebut S terbatas ke bawah. Karena S ≠ ∅ dan
terbatas ke bawah maka S memiliki infimum, misalkan p = inf(S). Karena p ∈ S maka
p
p
≥ y atau y ≤
q
q
Karena p ∈ S maka p – 1∉ S. Oleh karena itu,
p −1
p −1
< y atau y >
q
q
Sehingga
p −1
p
p 1 p −1
< y ≤ dan x = y − ( y − x ) < − =
q
q
q q
q
Jadi,
p −1
p −1
x<
< y.
dan
q
q
p −1
∈ yang jelas terletak diantara x dan y.
Dari sini dipilih r =
q
Jika x < 0, diambil n ∈ sehingga n > –x atau n + x > 0. Jadi, menurut pembuktian di atas, ada
r ∈ dengan n + x < r < y < y + n atau x < r – n < y. Jelas r – n bilangan rasional.
2 Pendefinisian ini didasarkan pada hipotesis bahwa y paling besar. Jadi, dibentuk himpunan dengan anggota-anggota bilangan rasional dan
bernilai lebih besar dari y. Idenya adalah agar himpunan mempunyai infimum, misalkan p.
3 Berdasarkan Aksioma Kelengkapan
4 Berdasarkan Aksioma Archimedes
26
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
2.4.
Barisan Bilangan Real
Barisan bilangan real <xn> adalah suatu fungsi yang memetakan setiap bilangan asli n ke
bilangan real xn. Bilangan real l dikatakan limit barisan <xn> jika untuk setiap ε positif terdapat bilangan
N sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |xn – l| < ε. Secara matematis,
l = lim x n ⇔ ( ∀ε > 0 )( ∃N ) ∋ ( n ≥ N ) ( x n − l < ε )
Barisan bilangan real <xn> disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ε positif terdapat bilangan N
sehingga untuk setiap n, m ≥ N berlaku |xn – xm| < ε. Jadi
x n barisan Cauchy ⇔ ( ∀ε > 0 )( ∃N ) ∋ ( n , m ≥ N ) ( x n − x m < ε )
Kriteria Cauchy :
Barisan bilangan real <xn> konvergen5 jika dan hanya jika <xn> barisan Cauchy.
Notasi limit ini diperluas untuk memasukkan bilangan ∞ (pada * )sebagai berikut.
lim x n = ∞, jika ∀∆ > 0, ∃N ∋ ∀n ≥ N , x n > ∆
lim x n = −∞, jika ∀∆ > 0, ∃N ∋ ∀n ≥ N , x n < −∆
Misalkan S(l, ε) = {x ∈
: |x – l| < ε}, maka
l = lim xn, jika ∀ε > 0, ∃N, ∋ xn ∈ S(l, ε), ∀n ≥ N
Pada kasus ini l adalah titik limit (cluster point) dari <xn>. Jadi titik l dikatakan titik limit (Cluster
Point) dari barisan <xn> jika ∀ε > 0, terdapat sedikitnya satu titik xN sehingga |xN – l| < ε. Bilamana
konsep ini diperluas pada * , l = ∞ titik limit dari barisan <xn>, jika ∀∆ > 0 terdapat paling sedikit
satu titik xN sehingga xN ≥ ∆.
Jika <xn> adalah suatu barisan, didefinisikan limit superior sebagai
lim x n = lim sup x n = inf sup x k = inf{sup{x 1 , x 2 ,....},sup{x 2 , x 3 ,...},...} 6
n
k ≥n
Simbol lim dan lim sup keduanya digunakan untuk limit superior. Bilangan real l dikatakan
limit superior dari barisan <xn> jika dan hanya jika :
(i) ∀ε > 0, ∃n ∋ ∀k ≥ n, xk < l + ε
(ii) ∀ε > 0 dan ∀n, ∃k ≥ n, xk > l – ε (ada paling sedikit satu titik xk sehingga xk > l – ε
Untuk bilangan real yang diperluas ∞ adalah limit superior <xn> jika dan hanya jika ∀∆ dan n
terdapat k ≥ n sedemikian sehingga xk ≥ ∆. Bilangan real –∞ adalah limit superior <xn> jika dan hanya
jika –∞ = lim xn.
Limit inferior didefinisikan sebagai
lim x n = lim inf x n = sup inf x k = sup{inf{x 1 , x 2 ,....}, inf{x 2 , x 3 ,...},...}
k ≥n
n
Sifat-sifat:
1) lim ( −x n ) = −lim x n
2) lim x n ≤ lim x n
3) lim x n = l (pada
*
) ⇔ l = lim x n = lim x n
4) lim x n + lim y n ≤ lim ( x n + y n ) ≤ lim x n + lim y n
≤ lim ( x n + y n ) ≤ lim x n + lim y n
2.5.
Himpunan Terbuka dalam Bilangan Real
Selang buka (a, b) = {x | a < x < b}. Notasi B(x, δ) = {y | |x – y| < δ} = (x – δ, x + δ)
menyatakan bola yang berpusat di x dan berjari-jari δ. Dalam bilangan real, B(x, δ) adalah selang buka.
5
6
Limitnya ada
Diantara supremum-supremum tersebut, manakah infimumnya?
27
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Definisi :
Himpunan O dikatakan terbuka di
jika
∀x ∈ O , ∃δ > 0 ∋ B( x , δ ) ⊂ O
Dengan kata lain, ∀x ∈ O selalu terdapat selang buka I yang memuat x sehingga I ⊂ O.
Selang buka adalah contoh dari himpunan terbuka. Himpunan kosong dan
himpunan terbuka.
juga contoh dari
Proposisi :
Jika O1 dan O2 terbuka maka O1 ∩ O2 terbuka.
Bukti :
Diambil sebarang x ∈ O1 ∩ O2. Akan ditunjukkan ∃δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂ O1 ∩ O2.
Karena x ∈ O1 ∩ O2, maka x ∈ O1 dan x ∈ O2. Karena O1 dan O2 terbuka maka ∃δ1, δ2 > 0
sehingga B(x, δ1) ⊂ O1 dan B(x, δ2) ⊂ O2. Artinya
|t – x| < δ1
dan
|t – x| < δ2
Dengan mengambil δ = min(δ1, δ2), diperoleh
|t – x| < δ < δ1
dan
|t – x| < δ < δ2
Dengan kata lain, ∀t ∈ B(x, δ) berlaku t ∈ B(x, δ1) dan t ∈ B(x, δ2), dengan δ = min{δ1, δ2}.
Jadi B(x, δ) ⊂ O1 dan B(x, δ) ⊂ O2. Sehingga B(x, δ) ⊂ O1 ∩ O2.
Akibat :
Irisan sejumlah berhingga himpunan terbuka adalah terbuka.
Bukti :
n
Misal Oi , i = 1, …, n himpunan terbuka. Akan dibuktikan
∩O
i =1
terbuka. Maka,
i
n
x ∈ ∩ Oi ⇔ .x ∈ Oi , i = 1,
,n
i =1
⇔ .∃δ i > 0 ∋ B( x , δ i ) ⊂ Oi , i = 1,
,n
⇔ .B( x , δ ) ⊂ Oi , δ = min{δ i }, i = 1,
,n
n
Jadi,
∩O
i =1
i
terbuka.
Another version (alternate soln) :
n
Diambil sebarang x ∈ ∩ Oi , maka x ∈ Oi dengan Oi terbuka ∀i.
i =1
Karena x ∈ O1 dan O1 terbuka, maka terdapat δ1 > 0 sehingga B(x, δ1) ⊂ O1
Karena x ∈ O2 dan O2 terbuka, maka terdapat δ2 > 0 sehingga B(x, δ2) ⊂ O2
Demikian seterusnya.
Karena x ∈ On dan On terbuka, maka terdapat δn > 0 sehingga B(x, δn) ⊂ On
Diambil δ = min{δ1, δ2, . . ., δn}, jelas bahwa δ > 0. Maka B(x, δ) ⊂ B(x, δi) ⊂ Oi, i = 1, 2, …, n
n
yang berakibat bahwa B( x , δ ) ⊂ ∩ Oi . Jadi terbukti bahwa
i =1
n
∩O
i =1
i
terbuka
Konvers dari proposisi di atas diberikan pada proposisi sebagai berikut
28
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Proposisisi :
Setiap himpunan terbuka di
merupakan gabungan terhitung dari selang-selang terbuka yang
saling asing.
Bukti :
Misalkan O sebarang himpunan terbuka di .
Karena O terbuka, maka untuk setiap x ∈ O terdapat y > x sedemikian sehingga (x, y) ⊂ O.
Misalkan
b = sup {y | (x, y) ⊂ O}, dan
a = inf {z | (z, x) ⊂ O}
maka a < x < b dan Ix = (a, b) adalah selang terbuka yang memuat x.
Klaim Ix ⊂ O. Diambil sebarang w ∈ Ix, sebut x < w < b, berdasarkan definisi b di atas, maka
diperoleh bilangan y > w sehingga (x, y) ⊂ O. Jadi w ∈ O.
Klaim b ∉ O. Andaikan b ∈ O, maka ada ε > 0 sehingga (b – ε, b + ε) ⊂ O atau (x, b + ε) ⊂ O.
Kontradiksi dengan definisi b. Secara sama dapat dibuktikan bahwa a ∉ O.
Himpunan {Ix}, x ∈ O merupakan koleksi selang-selang buka.
Karena setiap x di O termuat di Ix dan setiap Ix termuat di O, diperoleh O = ∪ I x .
Misalkan (a, b) dan (c, d) sebarang dua selang di O dengan beberapa titik yang sama. Maka
haruslah c < b dan a < d.
Karena c ∉ O, maka c ∉ (a, b). Diperoleh c ≤ a.
Karena a ∉ O, maka c ∉ (c, d). Diperoleh a ≤ c.
Jadi a = c. Secara sama, diperoleh b = d. Akibatnya (a, b) = (c, d).
Sehingga setiap dua selang yang berbeda di {Ix} pasti saling asing. Jadi, O merupakan gabungan
selang-selang buka yang saling asing. Terakhir tinggal ditunjukkan O terhitung.
Setiap selang buka memuat bilangan rasional7. Karena O gabungan selang-selang buka yang
saling asing dan setiap interval buka memuat bilangan rasional maka terdapat korespondensi 1-1
antara O dengan himpunan bilangan rasional atau himpunan bagiannya. Jadi O terhitung.
Proposisi :
Jika C koleksi himpunan terbuka di
, maka
∪ O himpuan terbuka di
.
O∈C
Bukti :
x ∈ ∪ O ⇔ .x ∈ O , untuk suatu O ∈ C
O∈C
⇔ .∃δ > 0 ∋ B( x , δ ) ⊂ O , untuk suatu O ∈ C
⇔ .∃δ > 0 ∋ B( x , δ ) ⊂
∪O
O∈C
Jadi,
∪ O himpunan terbuka di
.
O∈C
Another version (with countable revision) :
Diambil sebarang x ∈ ∪ O , maka terdapat O ∈ C sehingga x ∈ O. Karena O terbuka maka
O∈C
∪ O . Jadi terbukti bahwa untuk setiap
∪ O yang berarti ∪ O terbuka.
terdapat δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂ O ⊂
O∈C
terdapat δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂
O∈C
7
O∈C
Aksioma Archimedes
29
x ∈∪O
O∈C
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Perlu diperhatikan bahwa, jika C koleksi himpunan terbuka di
⎛ 1 1⎞
. Sebagai contoh, On = ⎜ − , ⎟ selang terbuka, tetapi
⎝ n n⎠
himpunan terbuka di
himpunan hingga di
maka
∩O
8
O∈C
∞
∩O
n =1
n
belum tentu
= {0} bukan
.
Proposisi (Lindelöf) :
Misalkan C koleksi himpunan terbuka di
sedemikian sehingga
, maka terdapat {Oi} subkoleksi terhitung dari C
∞
∪ O = ∪ Oi
O∈C
Bukti :
Misal
i =1
U = ∪{O |O ∈ C }
Diambil sebarang x ∈ U. Maka terdapat himpunan O ∈ C, dengan x ∈ O.
Karena O terbuka, maka terdapat selang buka Ix sehingga x ∈ Ix ⊂ O. Diperoleh9 bahwa
terdapat selang buka Jx dengan titik akhir bilangan rasional sehingga x ∈ Jx ⊂ Ix. Karena koleksi
semua selang buka dengan titik akhir bilangan rasional adalah terhitung, maka himpunan {Jx}, x
∈ U terhitung dan U = ∪ J x .
x ∈U
Untuk setiap selang di {Jx} pilih himpunan O di C yang memuat Jx. Diperoleh subset terhitung
{Oi }i =1 dari C, dan U =
∞
2.6.
∞
∪ O = ∪ Oi
O∈C
i =1
Himpunan Tertutup
Penutup himpunan E dinotasikan E
Definisi :
x ∈ E ⇔ ∀δ > 0, ∃y ∈ E ∋| x − y |< δ
Dengan kata lain, x ∈ E , jika setiap selang buka yang memuat x juga memuat suatu titik di E10.
Jadi, jelas E ⊂ E .
Contoh :
E = (0, 1]. Tentukan E .
Apakah x = 0 ∈ E ?
∀δ > 0, ∃y ∈ E = (0,1] ∋ | x − y |< δ
Perhatikan bahwa
yn =
1
→0
n
∀δ > 0, ∃n0 ∈ N, ∋ |yn – 0| < δ, ∀n ≥ n0
atau, ∀δ > 0, |yn – 0| < δ
1
1
Pilih y n0 = ∈ (0,1] . Karena → 0 , maka ∀δ > 0, |yn – 0| < δ. Sehingga x = 0 ∈ E .
n0
n
Jadi, E = [0,1] .
Irisan tak berhingga himpunan-himpunan terbuka
Lihat proposisi : Jika x dan y bilangan real dan x < y maka terdapat bilangan rasional r sehingga x < r < y
10 |x – y| < δ, berarti y ∈ (x – δ, x + δ). Sehingga ∀δ > 0, y ∈ (x – δ, x + δ). Jadi, setiap selang terbuka yang memuat x, juga memuat
suatu titik (yaitu y) di E.
8
9
30
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Proposisi :
1. Jika A ⊂ B maka A ⊂ B
2. A ∪ B = A ∪ B
Bukti :
1. Diambil sebarang δ > 0 dan x ∈ A .
Karena x ∈ A , maka ∃y ∈ A ∋ |y – x| < δ.
Karena A ⊂ B, maka y ∈ B ∋ |y – x| < δ. Menurut definisi, x ∈ B . Jadi terbukti A ⊂ B .
2. Karena A ⊂ A ∪ B, berdasar 1) di atas maka A ⊂ A ∪ B .
Hal yang sama, karena B ⊂ A ∪ B maka B ⊂ A ∪ B . Jadi, A ∪ B ⊂ A ∪ B .
Kemudian, akan dibuktikan bahwa A ∪ B ⊂ A ∪ B . Disini dibuktikan kontraposisinya,
yaitu jika x ∉ A ∪ B maka x ∉ A ∪ B .
Karena x ∉ A ∪ B , maka x ∉ A dan x ∉ B .
x ∉ A ⇒ ∃δ 1 > 0 ∋ tidak ada y ∈ A dengan | x − y |< δ 1
x ∉ B ⇒ ∃δ 2 > 0 ∋ tidak ada y ∈ B dengan | x − y |< δ 2
Diambil δ = min{δ1, δ2}, maka tidak ada y ∈ A ∪ B dengan |y – x| < δ.
Jadi, x ∉ A ∪ B .
Ini berarti, jika x ∉ A ∪ B maka x ∉ A ∪ B .
Bukti lain :
Diambil sebarang δ > 0 dan x ∈ A ∪ B .
x ∈ A ∪ B ⇒ ∀δ > 0, ∃y ∈ A ∪ B ∋| y − x |< δ
Karena y ∈ A ∪ B, maka y ∈ A atau y ∈ B.
Untuk y ∈ A dengan |y – x| < δ diperoleh x ∈ A
Untuk y ∈ B dengan |y – x| < δ diperoleh x ∈ B
Jadi, x ∈ A ∪ B .
Definisi :
Himpunan F disebut tertutup (closed) jika F = F
Menurut definisi F ⊂ F , maka himpunan F disebut tertutup jika F ⊂ F , yaitu jika F
memuat semua titik-titik clusternya.
Contoh :
1) F = (0, 1] bukan himpunan tertutup, sebab F = [0,1] ≠ F
2) F = [0, 1] himpunan tertutup, sebab F = [0,1] = F
3) Selang [a, b] dan [1, ∞] adalah himpunan tertutup
adalah himpunan tertutup
4)
5) F = ∅. Akan dibuktikan bahwa ∅ = ∅
Bukti :
Dari definisi, ∅ ⊂ ∅ . Jadi, tinggal dibuktikan ∅ ⊂ ∅ .
x ∈∅ ⇔ .∀δ > 0, ∃y ∈∅, ∋| y − x |< δ
⇔ .∀δ > 0, ∃y ∈ ∅, ∋ y ∈ B( x , δ )
⇔ .x ∈ ∅
Jadi, ∅ ⊂ ∅ . Oleh karena itu terbukti bahwa ∅ ⊂ ∅ .
Proposisi :
Penutup himpunan E adalah tertutup.
31
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Bukti :
Akan dibuktikan E = E . Dari definisi, E ⊂ E . Jadi, tinggal dibuktikan E ⊂ E .
Misalkan x ∈ E .
x ∈ E ⇔ ∀δ > 0, ∃y ∈ E , ∋| y − x |< δ 2
Karena y ∈ E maka untuk δ di atas, terdapat z ∈ E sehingga |z − y |< δ 2 .
Jadi, untuk δ di atas, terdapat z ∈ E sehingga
|z − x |. =|z − y + y − x |
. <|z − y | +| y − x |
. < δ 2 +δ 2 = δ
Ini berarti x ∈ E
Proposisi :
Jika F1 dan F2 tertutup, maka F1 ∪ F2 tertutup.
Bukti :
Akan dibuktikan bahwa F1 ∪ F2 = F1 ∪ F2 .
Dari definisi, jelas bahwa F1 ∪ F2 ⊂ F1 ∪ F2 sehingga cukup dibuktikan F1 ∪ F2 ⊂ F1 ∪ F2
Diambil sebarang x ∈ F1 ∪ F2 . Akan dibuktikan bahwa x ∈ F1 ∪ F2 . Menurut proposisi
sebelumnya, x ∈ F1 ∪ F2 = F1 ∪ F2 . Karena F1 dan F2 tertutup, maka x ∈ F1 ∪ F2 .
Proposisi :
Irisan koleksi himpunan tertutup adalah tertutup
Bukti :
Misalkan C koleksi himpunan-himpunan tertutup. Akan dibuktikan bahwa
∩{F | F ∈ C }
∩{F | F ∈ C } = ∩{F | F ∈ C } . Menurut definisi, cukup dibuktikan
∩{F | F ∈ C } ⊂ ∩{F | F ∈ C } .
Diambil sebarang x ∈ ∩{F | F ∈ C } . Maka untuk setiap δ > 0 terdapat y ∈ ∩{F | F ∈ C }
tertutup, yaitu
sehingga |y – x| < δ.
Karena y ∈ ∩{F | F ∈ C } maka y ∈ F untuk setiap F ∈ C dengan |y – x| < δ. Menurut
definisi, diperoleh bahwa x ∈ F untuk setiap F ∈ C.
Karena F ∈ C maka F tertutup. Karena F tertutup maka F = F akibatnya x ∈ F, untuk
setiap F ∈ C. Dari sini maka, x ∈ ∩{F | F ∈ C } .
Jadi terbukti bahwa
∩{F | F ∈ C } ⊂ ∩{F | F ∈ C } . Sehingga ∩{F | F ∈ C } tertutup.
Proposisi :
1. Komplemen himpunan terbuka adalah tertutup
2. Komplemen himpunan tertutup adalah terbuka
Bukti :
1. Misalkan O himpunan terbuka. Akan dibuktikan bahwa O c = O c . Dari definisi O c ⊂ O c .
Jadi cukup dibuktikan O c ⊂ O c . Akan dibuktikan kontraposisinya.
Karena O terbuka, maka ∀x ∈ O, ∃δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂ O.
Karena x ∈ O, maka x ∉ Oc.
Misalkan y ∈ B(x, δ). Karena B(x, δ) ⊂ O maka y ∈ O.
32
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
Sehingga, jika |y – x| < δ maka y ∈ O. Artinya, tidak ada y ∈ Oc sehingga |y – x| < δ.
Sesuai definisi penutup, x ∉ O c
2. Misalkan F himpunan tertutup. Akan dibuktikan bahwa Fc terbuka.
Diambil sebarang x ∈ Fc, akan dibuktikan bahwa terdapat δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂ Fc.
Jika δ > 0 diambil sembarang, maka cukup dibuktikan B(x, δ) ⊂ Fc. Akan dibuktikan
kontraposisinya.
Karena x ∈ Fc maka x ∉ F. Karena F tertutup, maka x ∉ F = F . Artinya, tidak ada
y ∈ F sehingga untuk setiap δ > 0 yang diberikan berlaku |y – x| < δ. Sehingga, untuk
setiap y ∈ F berlaku y ∉ B(x, δ). Jadi, untuk setiap y ∉ Fc maka y ∉ B(x, δ).
Koleksi himpunan C disebut selimut (covers) dari himpunan F jika
F ⊂ ∪{O : O ∈ C }
dalam hal ini koleksi himpunan C disebut menyelimuti (covering) F. Jika setiap O ∈ C terbuka, maka
koleksi C disebut selimut terbuka (open covering) dari F. Jika C hanya memuat sejumlah berhingga
himpunan-himpunan, maka koleksi C disebut selimut hingga (finite covering). Dalam hal ‘selimut terbuka’,
kata sifat ‘terbuka’ tersebut menunjukkan sifat himpunan-himpunan dalam selimut dan tidak bermakna
‘diselimuti oleh himpunan terbuka’. Demikian juga dengan istilah ‘selimut hingga’ tidak menunjukkan
bahwa selimutnya merupakan himpunan berhingga.
Teorema (Heine-Borel) :
Misalkan F tertutup dan terbatas pada . Maka setiap selimut terbuka dari F mempunyai
selimut bagian yang berhingga.
Dengan kata lain, jika C adalah koleksi himpunan terbuka sehingga F ⊂ ∪{O : O ∈ C }
n
maka ada koleksi berhingga {O1, O2, . . ., On} pada C sehingga F ⊂ ∪ Oi .
i =1
Bukti :
(see ‘Real Analysis’, 3rd ed., H.L. Royden, page 45)
2.7.
Fungsi Kontinu
Misalkan f fungsi bernilai real dengan domain E merupakan himpunan bilangan real. Berikut ini
definisi-definisi kontinu di titik, kontinu pada E, dan kontinu seragam pada E11.
Definisi :
Fungsi f dikatakan kontinu di titik (continuous at the point) x ∈ E jika ∀ε > 0, ∃δ > 0 sehingga ∀y
∈ E, dengan |y – x| < δ maka |f(x) – f(y)| < ε.
Fungsi f dikatakan kontinu pada (contiuous on) A subset dari E jika f kontinu di setiap titik dari A.
Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada (uniformly continuous on) E, jika ∀ε > 0, ∃δ > 0 sehingga
∀x, y ∈ E, dengan |y – x| < δ maka |f(x) – f(y)| < ε.
Untuk selanjutnya, jika disebutkan f kontinu, maka yang dimaksud adalah f kontinu pada
domainnya.
Proposisi :
Misalkan f fungsi bernilai real yang kontinu dan didefinisikan pada F. Jika F kontinu dan
terbatas, maka f terbatas pada F dan mempunyai titik maksimum dan minimum pada F.
Artinya ada titik x1 dan x2 di dalam F sehingga f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), ∀x ∈ F.
Bukti :
11
Pembedaan ini hanya terlihat dari bagaimana ketergantungan pemilihan δ terhadap yang lain (x, y, atau δ)
33
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
(see ‘Real Analysis’, 3rd ed., H.L. Royden, page 47)
Proposisi :
Misalkan f fungsi bernilai real yang didefinisikan pada . Fungsi f kontinu pada
hanya jika f–1(O) terbuka untuk setiap O himpunan terbuka di .
Bukti :
(see ‘Real Analysis’, 3rd ed., H.L. Royden, page 47–48)
jika dan
Teorema (Teorema Nilai Antara) :
Misalkan f fungsi bernilai real dan kontinu pada [a, b]. Jika f(a) ≤ f(y) ≤ f(b) atau f(b) ≤ f(y) ≤ f(a)
maka ada c ∈ [a, b] sedemikian sehingga f(c) = y.
Proposisi :
Jika f fungsi bernilai real dan kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas F maka f kontinu
seragam pada F.
Bukti :
(see ‘Real Analysis’, 3rd ed., H.L. Royden, page 48)
Definisi :
Misalkan <fn> barisan fungsi pada E. Barisan <fn> dikatakan konvergen titik demi titik (converge
pointwise) pada E ke fungsi f, jika ∀x ∈ E dan ε > 0, ∃N12 sehingga |f(x) – fn(x)| < ε, ∀n ≥ N.
Barisan <fn> dikatakan konvergen seragam (converge uniformly) pada E ke fungsi f, jika ∀ε > 0,
∃N13 sehingga ∀x ∈ E, |f(x) – fn(x)| < ε, ∀n ≥ N.
2.8.
Himpunan Borel
Walaupun irisan dari sebarang koleksi himpunan tertutup adalah tertutup dan gabungan dari
koleksi berhingga dari himpunan tertutup juga tertutup, tetapi gabungan dari koleksi terhitung
himpunan-himpunan tertutup tidak harus tertutup.
Sebagai contoh, himpunan bilangan rasional adalah gabungan dari koleksi terhitung himpunanhimpunan tertutup yang setiap himpunannya memuat tepat satu anggota.
Definisi :
Koleksi himpunan Borel B adalah aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan-himpunan
terbuka.
Eksistensi aljabar-σ ini dijamin oleh proposisi14 3 di Bab I. Lebih lanjut, aljabar-σ terkecil ini
juga memuat semua himpunan-himpunan tertutup dan memuat pula semua selang-selang buka.
Himpunan yang merupakan gabungan terhitung dari himpunan-himpunan tertutup disebut Fσ
atau dikatakan memiliki tipe Fσ (F untuk tertutup, σ untuk jumlah). Sehingga, himpunan D dikatakan
∞
memiliki tipe Fσ jika dapat ditulis D = ∪ Fn untuk setiap himpunan tertutup Fn di R.
n =1
Jika F himpunan tertutup, maka F memiliki tipe Fσ sebab F dapat ditulis menjadi
∞
F = ∪ Fn
n =1
dengan F1 = F; F2 = F3 = F4 = . . . = ∅ yang merupakan himpunan tutup. Juga, selang buka (a, b)
memiliki tipe Fσ, sebab
Pemilihannya bergantung pada x
Pemilihannya tidak bergantung pada x
14 Proposisi : Misalkan C koleksi himpunan bagian dari X, maka terdapat aljabar-σ terkecil R yang memuat C.
12
13
34
Bab 2 – Sistem Bilangan Real
Compiled by : Khaeroni, S.Si
∞
1⎤
⎡ 1
( a , b ) = ∪ ⎢a + , b − ⎥
n
n⎦
n =1 ⎣
Dari sini diperoleh bahwa setiap himpunan terbuka memiliki tipe Fσ. Sebab, jika O buka maka :
∞
1⎤
⎡ 1
O = ∪ ⎢a + , b − ⎥
n
n⎦
n =1 ⎣
Dengan a = batas bawah O, dan b = batas atas O.
Irisan terhitung dari semua himpunan terbuka dikatakan memiliki tipe Gδ. Jadi, suatu himpunan
dikatakan memiliki tipe Gδ jika himpunan tersebut merupakan irisan terhitung dari semua himpunan
terbuka.
Jadi, komplemen dari himpunan yang memiliki tipe Fσ adalah himpunan yang memiliki tipe Gδ
dan demikian juga sebaliknya. Sebab,
c
∞
⎛
⎞
⎛∞ ⎞
c
Fσ = ∪ Fn ⇒ ⎜ Fσ = ∪ Fn ⎟ ⇔ ( Fσ ) . = ⎜ ∪ Fn ⎟
n =1
n =1
⎝
⎠
⎝ n =1 ⎠
∞
c
∞
. = ∩ Fnc
n =1
Karena Fn tertutup untuk setiap Fn di
maka menurut proposisi, Fnc terbuka. Terlihat (Fσ)c
merupakan irisan terhitung dari himpunan-himpunan terbuka. Jadi terbukti bahwa (Fσ)c memiliki tipe
Gδ. Bukti sebaliknya analog.
Himpunan yang memiliki tipe Fσ dan Gδ adalah contoh himpunan Borel, yaitu aljabar-σ terkecil
yang memuat semua himpunan terbuka dan tertutup.
35