Eksplorasi masalah logaritma diskret pada finite

BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan, dapat disimpulkan sebagai
berikut:
1. ? ? ?? ? ? = ? ? ?? ???? ?? ?? ? ? ? ?? ? merupakan finite field di bawah operasi
penjumlahan dan perkalian modulo ? ?? ? beorder ? ? , dengan ? ?? ? ? ? ? ?? ?
adalah polinomial irreducible
atas
merupakan perluasan field dari ? ? .
? ? dan ? ? ? ? ?? ? dengan ? ? ?? ?
Elemen-elemen ? ? ?? ? ? dapat
direpresentasikan dalam bentuk polinomial dan dalam bentuk vektor. Elemen-
elemen tak nol dari finite field ? ? ?? ? ? membentuk grup siklik perkalian
beroder
? ? ?? – ?
? ? ?? ? ? ? ?? ?.
Grup
dinotasikan dengan
siklik
? ? ?? ? ??
? ? ?? ? ??
dengan
yaitu
generator
? ? ?? ? ?? ?
?
adalah
? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?g ?? ? ? ? ?GKarena ? generator dari ? ? ?? ? ??
maka ? ?? ? ? ? ? ?? ? merupakan polinomial primitif dengan akar ? .
2. Solusi masalah logaritma diskret menggunakan algoritme pelacakan lengkap
diperoleh dengan melacak semua kemungkinan solusi secara lengkap
sebanyak order grup multiplikatif ? ? ?? ? ?? yaitu ? ? ? ? ? ? (untuk kasus
terburuk). Oleh karena itu algoritme ini tidak efisien untuk grup multiplikatif
? ? ?? ? ?? berorder relatif besar. Eksplorasi dilakukan dengan menggunakan
sifat finite field ? ? ?? ? ?. Algoritme hasil eksplorasi adalah algoritme
pelacakan lengkap negatif. Algoritme hasil eksplorasi lebih cepat memperoleh
solusi karena pelacakan hanya sampai pada setengah order grup.
3. Solusi masalah logaritma diskret pada grup siklik ? ? ?? ? ?? menggunakan
algoritme Baby-step Giant-step 1 melalui dua tahap yaitu tahap Baby-step
dan tahap Giant-step 1. Tahap Baby-step menghitung ? ? ?• ? ? ??? ?? dan
disimpan dalam memori komputer sebanyak ? ? ?? ? ?. Solusi diperoleh pada
tahap Giant-step 1 yaitu menghitung
? ? ? ?? , ? ? ? ? ? ? ? , sedemikian
sehingga ? ? ? ?? ? ? ? ?• ? ? ? ?? ??. Diperlukan memori yang besar untuk ?
yang relatif besar. Eksplorasi dilakukan dengan menggunakan ide space-time
89
tradeoff yaitu situasi di mana memori komputer digunakan untuk mengurangi
biaya dan waktu eksekusi program (Hoffstein, 2008). Algoritme hasil
eksplorasi adalah algoritme Baby-step Giant-step 2, Baby-step Giant-step 3
dan Baby-step Giant-step 4.
4. Algoritme Pollard-rho efisien digunakan pada grup siklik beroeder prima
(Menezes et al,. 1997). Grup siklik ? ? ?? ? ?? selalu berorder komposit.
Eksplorasi dilakukan dalam pemilihan basis logaritme, misalkan ? ? , di mana
gc? ?? ?? ? ? ?, ? prima. Solusi masalah logaritme diskret pada grup
siklik ? ? ?? ? ?? menggunakan algoritme ini dipengaruhi oleh pemilihan ? .
Pemilihan ? dilakukan secara acak dan memerlukan waktu yang lama
sehingga algoritme ini kurang efisien digunakan untuk menentukan solusi
masalah logaritma diskret pada ? ? ?? ? ??.
5. Algoritme Pohlig-Hellman hanya berlaku untuk ?
bilangan ganjil
pada ? ? ?? ? ?? (Menezes et al,. (1997). Eksplorasi algoritme ini menghasilkan
algoritme yang berlaku untuk ? ganjil maupun ?
genap pada ? ? ?? ? ?? .
Solusi masalah logaritme diskret pada grup siklik ? ? ?? ? ?? menggunakan
algoritme ini dipengaruhi oleh faktorisasi prima dari order ? ? ?? ? ?? .
Faktorisasi prima yang efisien adalah faktorisasi prima kecil. Komputasi
dilakukan pada subgrup ? ? ?? ? ?? .
6. Algoritme Index-Calculus mengandalkan kekuatannya pada faktorisasi
polinomial. Kecepatan komputasi sangat tergantung pada pemilihan faktor
basis. Faktor basis dipilih dari representasi polinomial elemen ? ? ?? ? ?? yang
merupakan polinomial irreducible monik berderajat kurang dari atau sama
dengan setengan ? (Menezes et al. (1997). Semakin banyak faktor basis yang
dipilih, semakin besar ukuran matriks dan solusi tunggal dari sistem
persamaan linear yang diperoleh sulit untuk diperoleh. Belum ditemukan
ketentuan berapa banyak faktor basis yang harus dipilih. Oleh karena itu
algoritme ini kurang efisien digunakan untuk menentukan solusi masalah
logaritma diskret pada ? ? ?? ? ??.
90
4.2 Saran
1. Komputasi algoritme solusi masalah logaritma dikret pada ? ? ?? ? ?? dengan
order
? ? ? ? ? ? dilakukan baru sampai pada
dikembangkan lebih lanjut.
? ? ? ?. Hal ini dapat
2. Algoritme Pollard Rho dan algoritme Index-Calculus dapat dieksplorasi lebih
lanjut untuk menemukan algoritme yang lebih efisien.
3. Algoritme solusi masalah logaritma diskret dapat diaplikasikan pada grup lain
seperti ? ? ?? ? ?? ? di mana ? bilangan prima untuk ? ? ? ?? ? , ... , grup kurva
eliptik dan lain- lain.