laboratorium manajemen dasar modul matematika 2 ata 2015/2016

Laboratorium Manajemen Dasar
LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR
MODUL MATEMATIKA 2
ATA 2015/2016
NAMA
:
NPM
:
KELAS
:
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS GUNADARMA
DEPOK
MATEMATIKA EKONOMI 2
i
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
TEAM LITBANG
MATEMATIKA EKONOMI 2
Periode ATA 15/16
PENANGGUNG JAWAB:
1.
RATNA
2.
MELLYA
DERIVATIF
INTEGRAL TAK
TENTU
INTEGRAL
TERTENTU
TRANSEDENTAL
•YUNA INDRIANI
•AGUNG RAHMATING
•AULIA SAFITRI
•TIMOTIUS LORENZS
•SYIFA NAFISAH
•DICKA ARIPTIAN
•ADILAH LAYUNG
•YUSI NUR AWALIA
•UTAMI NUR HIDAYATI
•SIFA FAUZIAH
•DIDA ADAMS
•SITI FARIZA
•ALIFAH FARADILLA
•DELLA NOVRIA
•SYINTIA BAHRAINI
•DWI WAHYUNI
•FRENKY CARDINAL
•LUKHLU RAFIKA
•YULIANA
•ULFAH GITI
•DEVIE DESTIARINI
•SRI SUKMAWATI
•M. MUJAHID RIYANTO
MATEMATIKA EKONOMI 2
ii
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, hidayah, dan
karunia yang diberikan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya.Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan, maka modul ini dapat
digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.
Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikumsebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman bagi mahasiswa
dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi.Selain itu modul ini juga dapat
digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan
perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.
Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terima kasih kepada tim litbang Matematika
Ekonomi 2 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini.
Akhir kata, penyusun mngucapkan terimakasih kepada semua pihak yang
telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.
Depok, Desember 2015
Tim Litbang
MATEMATIKA EKONOMI 2
iii
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ....................................................................................................... iii
DAFTAR ISI...................................................................................................................... iv
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................................... vi
MATERI I. DERIVATIF .................................................................................................... 1
1.
KONSEP DASAR TURUNAN .................................................................................. 1
2.
KAIDAH DIFERENSIASI ......................................................................................... 1
3.
HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA .................................... 5
4.
3.1
Menentukan Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal ............................... 5
3.2
Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun .............................. 6
PENERAPAN EKONOMI ......................................................................................... 7
4.1
ELASTISITAS .................................................................................................... 7
4.1.1
Elastisitas Harga.......................................................................................... 7
4.1.2
Elastisitas Permintaan ................................................................................. 8
4.1.3
Elastisitas Penawaran ................................................................................ 12
4.1.4
Elastisitas Produksi ................................................................................... 16
4.2
BIAYA .............................................................................................................. 20
4.2.1
Biaya Total (TC) ....................................................................................... 20
4.2.2
Biaya Rata-Rata (AC) ............................................................................... 20
4.2.3
Biaya Marginal (MC) ................................................................................ 20
4.3
PENERIMAAN ................................................................................................ 25
4.3.1
Penerimaan Total (TR).............................................................................. 25
4.3.2
Penerimaan Rata-Rata (AR)...................................................................... 25
4.3.3
Penerimaan Marginal (MR) ...................................................................... 25
4.4
LABA MAKSIMUM ........................................................................................ 30
MATERI II. INTEGRAL TAK TENTU .......................................................................... 36
1.
KONSEP DAsSAR INTEGRALTAK TENTU ........................................................ 36
2.
KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTU ...................................... 37
3.
PENERAPAN EKONOMI ....................................................................................... 38
2.1
Fungsi Biaya ..................................................................................................... 38
2.2
Fungsi Penerimaan ............................................................................................ 42
MATEMATIKA EKONOMI 2
iv
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
2.3
Fungsi Produksi ................................................................................................ 46
2.4
Fungsi Utilitas ................................................................................................... 50
2.5
Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ........................................................... 51
MATERI III. INTEGRAL TERTENTU ........................................................................... 58
1.
KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU .......................................................... 58
2.
PENERAPAN EKONOMI ....................................................................................... 59
2.1
SURPLUS KONSUMEN = SK ( Consumer’s Surplus) ................................... 59
2.2
SURPLUS PRODUSEN = SP ( Poducer’s Surplus) ........................................ 65
MATERI IV. TRANSEDENTAL..................................................................................... 72
1.
2.
KONSEP DASAR TRANSEDENTAL .................................................................... 72
2.1
Fungsi Eksponensial ......................................................................................... 72
2.2
Fungsi Logaritmik ............................................................................................. 74
PENERAPAN EKONOMI ....................................................................................... 76
2.1
MODEL BUNGA MAJEMUK ........................................................................ 77
2.2
MODEL PERTUMBUHAN ............................................................................. 81
2.3
KURVA GOMPERTZ ...................................................................................... 85
2.4
KURVA BELAJAR (Learning Curve) ............................................................. 88
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 93
MATEMATIKA EKONOMI 2
v
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ...................................................... 9
Gambar 1.2 Tampilan Menu Awal Derivatif ...................................................................... 9
Gambar 1.3 Tampilan Menu Derivatif .............................................................................. 10
Gambar 1.4 Tampilan Pangkat Terbesar........................................................................... 10
Gambar 1.6 Tampilan Menu Output Data Elastisitas Permintan ...................................... 11
Gambar 1.7 Tampilan Menu Awal Software EC-Math .................................................... 13
Gambar 1.8 Tampilan Menu Awal Derivatif .................................................................... 13
Gambar 1.9 Tampilan Menu Derivatif .............................................................................. 14
Gambar 1.10Tampilan Pangkat Terbesar.......................................................................... 14
Gambar 1.11 Tampilan Menu Input Data Fungsi Elastisitas Penawaran .......................... 15
Gambar 1.12 Tampilan Menu Output Data Elastisitas Penawaran ................................... 15
Gambar 1.13 Tampilan Menu Awal Software EC-Math .................................................. 17
Gambar 1.14 Tampilan Menu Awal Derivatif .................................................................. 17
Gambar 1.15 Tampilan Menu Derivatif ............................................................................ 18
Gambar 1.16Tampilan Pangkat Terbesar.......................................................................... 18
Gambar 1.17 Tampilan Menu Input Data Fungsi Elastisitas Produksi ............................. 19
Gambar 1.18 Tampilan Menu Output Data Elastisitas Produksi ...................................... 19
Gambar 1.19 Tampilan Menu Awal Software EC-Math .................................................. 22
Gambar 1.20 Tampilan Menu Awal Derivatif .................................................................. 22
Gambar 1.21 Tampilan Menu Derivatif ............................................................................ 23
Gambar 1.22Tampilan Pangkat Terbesar.......................................................................... 23
Gambar 1.23 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya ................................................... 24
Gambar 1.24 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya ................................................ 24
Gambar 1.25 Tampilan Menu Awal Software EC-Math .................................................. 27
Gambar 1.26 Tampilan Menu Awal Derivatif .................................................................. 27
Gambar 1.27 Tampilan Menu Derivatif ............................................................................ 28
Gambar 1.28Tampilan Pangkat Terbesar.......................................................................... 28
Gambar 1.29 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan ......................................... 29
Gambar 1.30 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan ....................................... 29
MATEMATIKA EKONOMI 2
vi
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Gambar 1.31 Tampilan Menu Awal Software EC-Math .................................................. 32
Gambar 1.32 Tampilan Menu Awal Derivatif .................................................................. 32
Gambar 1.33 Tampilan Menu Derivatif ............................................................................ 33
Gambar 1.34 Tampilan Pangkat Terbesar......................................................................... 33
Gambar 1.35 Tampilan Menu Input Data Laba Maksimum ............................................. 34
Gambar 1.36 Tampilan Menu Output Data Laba Maksimum .......................................... 34
Gambar 1.37 Tampilan Quantitas ..................................................................................... 35
Gambar 1.38 Tampilan Menu Output Data Laba Maksimum .......................................... 35
Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math .................................................... 40
Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu..................................................... 40
Gambar 2. 3Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya.......................................................... 41
Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya ..................................................... 41
Gambar 2. 5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya ................................................. 42
Gambar 2. 6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ................................................... 44
Gambar 2. 7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu.................................................... 44
Gambar 2. 8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan ............................................... 45
Gambar 2. 9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan .......................................... 45
Gambar 2. 10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan ...................................... 46
Gambar 2. 11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ................................................. 48
Gambar 2. 12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu.................................................. 48
Gambar 2. 13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi .................................................. 49
Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi .............................................. 49
Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi ........................................... 50
Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math .................................................. 54
Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu.................................................. 55
Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi ................................................. 55
Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi ........................................... 56
Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi ......................................... 56
Gambar 2.21 Tampilan Menu Input Data Fungsi Saving ................................................. 57
Gambar 2.22 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving............................................... 57
Gambar 3.3 Tampilan Menu Integral Tertentu Surplus Konsumen 1 ............................... 62
Gambar 3.4 Tampilan Rumus Ec-Math ............................................................................ 62
MATEMATIKA EKONOMI 2
vii
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Gambar 3.5 Tampilan Output Surplus Konsumen Soal 1 ................................................. 63
Gambar 3.6 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2 ......................................... 64
Gambar 3.7 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 2 .......................................... 64
Gambar 3.8 Hasil Perhitungan Ec-Math Surplus Konsumen 2......................................... 65
Gambar 3.11 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1 ......................................... 68
Gambar 3.12 Tampilan Rumus Ec-math Surplus Produsen 1........................................... 68
Gambar 3.13 Hasil Surplus Produsen 1 ............................................................................ 69
Gambar 3.14 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2 ......................................... 70
Gambar 3.15 Tampilan Rumus Ec-Math .......................................................................... 70
Gambar 3.16 Hasil Surplus Produsen 2 ............................................................................ 71
Gambar 4.1 Tampilan Menu Awal Transedental .............................................................. 80
Gambar 4.2 Tampilan Menu Model Bunga Majemuk.................................................... 80
Gambar 4.3 Tampilan Hasil Output Kasus 1 .................................................................... 81
Gambar 4.4 Tampilan awal Transedental ......................................................................... 84
Gambar 4.5 Tampilan Menu Model Pertumbuhan......................................................... 84
Gambar 4.6 Tampilan Hasil Output Kasus 2 .................................................................... 85
Gambar 4.7 Tampilan Menu Awal Transedental .............................................................. 87
Gambar 4.8 Tampilan Menu Kurva Gompertz ............................................................... 87
Gambar 4.9 Tampilan Hasil Output Kasus 3 .................................................................... 88
Gambar 4.10 Tampilan Menu Awal Transedental ............................................................ 91
Gambar 4.11 Tampilan Menu Kurva Belajar ................................................................. 91
Gambar 4.12 Tampilan Hasil Output Kasus ..................................................................... 92
MATEMATIKA EKONOMI 2
viii
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
DERIVATIF
1. KONSEP DASAR TURUNAN
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsisehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan
diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : Δx → 0
Kurva 1.1 Kurva Derivatif
Bentuk Δy / Δx merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi (difference quotient) yang menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat y terhadap variabel bebas x.
2. KAIDAH DIFERENSIASI
Berikut ini adalah kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi:
1. Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0
Contoh : y = 5 maka y’ = 0
2. Diferensiasi fungsi linear
Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b
Contoh : y = 16 + 5x maka y’ = 5
MATEMATIKA EKONOMI 2
1
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a xn-1
Contoh : y = 6X5 maka y’ = 5.6X5-1 = 30X4
4. Diferensiasi penjumlahan atau pengurangan fungsi
Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n(x), maka y’ = u’ ± v’
Contoh : y = 5X6 – 6X5
u = 5X6 → u’ = 6.5X6-1 = 30X5
v = -6X5 → v’ = 5.-6X5-1 = -30X4
karena y’ = u’ + v’
maka y’ = 30X5 – 30X4
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = k .u , dimana u = g(x), maka y’ = k . u’
Contoh : y = 6 . 5X5
u = 5X5 maka → u’ = 5.5X5-1 = 25X4
karena y’ = k . u’ maka y’ = 6 . 25X4 = 150X4
b. Perkalian fungsi
Jika y = u.v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’.v + u.v’
Contoh: y = (X6 – 5)(5X5 – 6)
u = (X6 – 5) maka → u’ = 6X5
v = (5X5 – 6) maka → v’ = 25X4
karena y’ = u’.v + u.v’ maka
y’ = (6X5).(5X5 – 6) + (X6 – 5). (25X4)
y’ = 30X10 – 36X5 + 25X10 – 125X4
y’ = 55X10 – 36X5 - 125X4
MATEMATIKA EKONOMI 2
2
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
c. Diferensiasi hasil bagi fungsi v2
𝑢
Jika y = 𝑣 , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ =
𝑢′ .𝑣−𝑢.𝑣 ′
𝑣2
(6𝑥 2 −5)
Contoh : y = (5𝑥 3 −6)
u = 6x2 – 5 → u’ = 2.6x2= 12x
v = 5x3 – 6 → v’ = 3.15x3 =15x2
karena y’ =
y’=
𝑢′ .𝑣−𝑢.𝑣 ′
𝑣2
(12𝑥)(5𝑥 3 −6)−(6𝑥 2 −5)(15𝑥 2 )
(5𝑥 3 −6)2
y’ =
y’ =
y’ =
(12𝑥)(15𝑥 2 −6)−(6𝑥 2 −5)(15𝑥 2 )
25𝑥 6 −60𝑥 3 +36
180𝑥 3 −72𝑥 − 90𝑥 4 +75𝑥 2
25𝑥 6 −60𝑥 3 +36
− 90𝑥 4 + 180𝑥 3 +75𝑥 2 −72𝑥
25𝑥 6 −60𝑥 3 +36
d. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)
Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f [g(x)], maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
Contoh 1 : y = (6𝑥 2 + 5)2
misalkan : u = 6𝑥 2 + 5, sehingga y = 𝑢2
𝒅𝒖=
𝒅𝒙
𝒅𝒚 =
12x
𝑑𝑦
𝒅𝒖
𝑑𝑦
2u
𝑑𝑢
Maka 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥 = 2u . 12x = 2(6𝑥 2 + 5)(12x) = 144𝑥 3 +120x
MATEMATIKA EKONOMI 2
3
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
e. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mediferensiasikan
sebanyak n kali.
𝑑𝑛 𝑦
Derivatif ke-n dilambangkan dengan 𝑑𝑥 𝑛 atau 𝑓 𝑛 (𝑥) atau
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑥
Contoh :
y = x6 + 6x5 + 5x maka
y’ = 6x5 + 30x4 + 5
y’’= 30x4 + 120x3
f. Diferensiasi implisif
Adalah suatu metode direferensiasi dengan mendireferensiasikan f (x,y)
= 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian
dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx.
Contoh : xy2 – x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :
𝑑𝑦
𝑑𝑦
1.y2 + x.2y 𝑑𝑥 – 2x + 𝑑𝑥 = 0
𝑑𝑦
(2xy + 1)𝑑𝑥 = -y2 + 2x
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
−𝑦 2 +2𝑥
2𝑥𝑦+1
g. Derivatif fungsi logaritmik

𝑑𝑦
1
y = ln x → 𝑑𝑥 = 𝑥
y = ln u, dimana u = g (x)
𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 . 1 =𝑢′
𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑢 𝑢
𝒅𝒚
𝟏
y = alog x → 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒂
contoh : jika y = ln (6 – 5x2) maka tentukan dy / dx
u=6–5x2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= u’ = -10x
MATEMATIKA EKONOMI 2
4
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑢′
𝑢
=
Derivatif
−10𝑥
6 − 5𝑥 2
h. Derivatif fungsi eksponensial
𝑑𝑦
y = ex → 𝑑𝑥 = ex
y = ax →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ax ln a
i. Derivatif fungsi trigonometric
Beberapa turunan fungsi trigonometric yang penting adalah :
y = sin x →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos x
𝑑𝑦
y = cos x → 𝑑𝑥 = - sin x
𝑑𝑦
y = tg x → 𝑑𝑥 = sec2x
𝑑𝑦
y = ctg x → 𝑑𝑥 = - cosec2x
𝑑𝑦
y = sec x → 𝑑𝑥 = sec x .tg x
𝑑𝑦
y = cosec x → 𝑑𝑥 = - cosec x .ctg x
1
Catatan : sec x = cos 𝑥
1
cos x = sin 𝑥
3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
3.1 Menentukan Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal
Langkah – langkah untuk mencari Garis Singgung dan Garis Normal adalah :
1. Tentukanlah titik singgung (xo, yo)
2. Cari koefisien arah m = f’(x)
MATEMATIKA EKONOMI 2
5
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
3. Cari Garis Singgung dengan rumus : y – yo = m (x – xo)
4. Cari Garis Normal dengan rumus : y – yo =
−1
𝑚
(x – xo)
* Catatan :Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis
Singgung kurva
3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f’(x) > 0
2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f’(x) < 0
Jika diketahui y = f (x), maka pada f (x) = 0, titik (x,y) merupakan Nilai
Stasioner
Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :

Jika f(x) > 0, maka (x, y) merupakan titik balik minimum

Jika f(x) < 0, maka (x, y) merupakan titik balik maksimum

Jika f(x) = 0, maka (x, y) merupakan titik balik belok
Contoh :
Diketahui TR = 56Q – 6Q2, tentukanlah nilai maksimum atau nilai minimum
dari fungsi tersebut!
Jawab :
TR’
=0
56 - 12Q
=0
- 12Q
= - 56
Q
= - 56 / - 12
Q
= 4,67
TR’’ = - 12 (TR’’ < 0, merupakan titik balik maksimum)
Nilai maksimum TR
= 56Q – 6Q2
= 56 (4,67) – 6 (4,67)2
= 261,52 – 130,8534
= 130,67
MATEMATIKA EKONOMI 2
6
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
4. PENERAPAN EKONOMI
4.1 ELASTISITAS
4.1.1 Elastisitas Harga
Elastis Harga adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah perubahan relative dari harga.
Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam yang digunakanyaitu:
1. Elastisitas Titik (Point Elasticity)
∆𝑄/𝑄
∆𝑄 𝑃
Ƞ = ∆𝑃/𝑃 = ∆𝑃 .𝑄
2. Elastisitas Busur (Arc Elasticity)
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur
kurva.Kelemahannya adalah timbulnya tafsiran ganda.
𝑃1 ∆𝑄
Ƞ = 𝑄1. ∆𝑃
𝑃2 ∆𝑄
Ƞ = 𝑄2. ∆𝑃
(𝑃1+𝑃2)/2 ∆𝑄
Ƞ = (𝑄1+𝑄2)/2. ∆𝑃
Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung:
a. Elastisitas harga permintaan, ƞd < 0 (negatif)
b. Elastisitas harga penawaran, ƞs > 0 (positif)
Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :
a. |ƞ| > 1 → Elastis
b. |ƞ| < 1 → Inelastis
c. |ƞ| = 1 → Unitery Elastis
d. |ƞ| = 0 → Inelastis Sempurna
e. |ƞ| = ~ → Elastis Tak Hingga
MATEMATIKA EKONOMI 2
7
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
4.1.2 Elastisitas Permintaan
Elastis adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang
diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan ditanyakan Qd =
f(P), maka elastisitas permintaannya adalah
𝑃
Ƞd = Qd’ .𝑄𝑑
Contoh Kasus :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 11–5P2.
Tentukan elastisitas permintaan pada saat P = 6/unit. Bagaimanakah sifat
elastisitasnya? Analisislah!
: Qd = 11 – 5P2 → Qd’ = -10P
Diketahui
P=6
Ditanya
: ƞd?
Jawab
:
𝑃
Ƞd = Qd’ .𝑄𝑑
𝑃
Ƞd = -10P .11−5𝑃2
6
Ƞd = -10(6) .11−5(6)2
Ƞd = 2,13 → Elastis
Analisis
:
Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 2, 13 pada saat harga produk sebesar
Rp. 6. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang diminta akan turun
sebanyak 2,13%
MATEMATIKA EKONOMI 2
8
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi Ec-Math
Gambar 1.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Derivatif
Gambar 1.2 Tampilan Menu Awal Derivatif
MATEMATIKA EKONOMI 2
9
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
3. Pilih Mencari Elastisitas Permintaan
Gambar 1.3 Tampilan Menu Derivatif
4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
Gambar 1.4 Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2
10
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang
diketahui di soal.
Gambar 1.5 Tampilan Menu Input DataFungsi Elastisitas Permintaan
6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut
Gambar 1.6 Tampilan Menu Output Data Elastisitas Permintan
MATEMATIKA EKONOMI 2
11
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
4.1.3
Derivatif
Elastisitas Penawaran
Elastisitas Penawaran adalah suatu koefisen yang menjelaskan besarnya pe-
rubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika
fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f (P) , maka elastisitaspenawarannya:
𝑃
Ƞs = Qs’ .𝑄𝑠
Contoh Kasus
Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = -65 + 5P2.
Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp. 5 / unit. Bagaimana sifat elastis
penawaran tersebut, analisislah!
: Qs = -65 + 5P2 → Qs’ = 10P
Diketahui
P=5
Ditanya
: ƞs?
Jawab
:
𝑃
Ƞs = Qs’ .𝑄𝑠
𝑃
Ƞs = 10P .−65 + 5𝑃2
6
Ƞs = 10(5) .−65 + 5(5)2
Ƞs = 4,17 → Elastis
Analisis
:
Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 4,17 pada saat harga produk
sebesar Rp. 5. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang diminta akan
bertambah sebanyak 4,17%
MATEMATIKA EKONOMI 2
12
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 1.7 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Derivatif
Gambar 1.8 Tampilan Menu Awal Derivatif
MATEMATIKA EKONOMI 2
13
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
3. Pilih Mencari Elastisitas Penawaran
Gambar 1.9 Tampilan Menu Derivatif
4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
Gambar 1.10Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2
14
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang
diketahui di soal
Gambar 1.11 Tampilan Menu Input Data Fungsi Elastisitas Penawaran
6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut
Gambar 1.12 Tampilan Menu Output Data Elastisitas Penawaran
MATEMATIKA EKONOMI 2
15
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
4.1.4
Derivatif
Elastisitas Produksi
Elastisitas Produksi adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya pe-
rubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah
masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan denganP = f(x),
maka elastisitas produksinya:
𝑋
ȠP = P’ .𝑃
Contoh Kasus
Diketahui Fungsi Produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 5X2 – 6X3. hitunglah
elastisitas pada X = 6 unit dan analisislah!
Diketahui
: P = 5X2 – 6X3→ P’ = 10X – 18X2
X=6
Ditanya
: ȠP?
Jawab
:
𝑋
ȠP = P’ .
𝑃
𝑋
ȠP = 10X – 18X2 .5𝑥 2 − 6𝑥3
6
ȠP = 10(6) – 18(6)2 .5(6)2 − 6(6)3
ȠP =
10(6)2 − 18𝑋 3
5(6)2 − 6(6)3
ȠP = 3,16 → elastis
Analisis
:
Jadi besarnya elastisitas produksi adalah 3,16 pada saat jumlah masukan produk
sebesar Rp. 6 / unit.
MATEMATIKA EKONOMI 2
16
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 1.13 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Derivatif
Gambar 1.14 Tampilan Menu Awal Derivatif
MATEMATIKA EKONOMI 2
17
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
3. Pilih Mencari Elastisitas Produksi
Gambar 1.15 Tampilan Menu Derivatif
4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian Enter
Gambar 1.16Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2
18
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang
dietahui di soal
Gambar 1.17 Tampilan Menu Input Data Fungsi Elastisitas Produksi
6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Gambar 1.18 Tampilan Menu Output Data Elastisitas Produksi
MATEMATIKA EKONOMI 2
19
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
4.2 BIAYA
4.2.1 Biaya Total (TC)
Biaya Total adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau
memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya
variabel.
TC = F(Q) atau TC = FC + VC
Dimana :
TC = Total Cost
VC = Variabel Cost
FC = Fixed Cost
Q = Quantitas
4.2.2 Biaya Rata-Rata (AC)
Biaya Rata-Rata adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi
suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total
AC = TC / Q
4.2.3 Biaya Marginal (MC)
Biaya Marginal adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu
MC = TC’ =
MATEMATIKA EKONOMI 2
20
∆𝑇𝐶
∆𝑄
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
Contoh Kasus :
Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan PT. Ceprat Ceprit di tunjukkan oleh
persamaan TC = 66Q3 + 55Q2 – 11Q + 5. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya
rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 6 unit? Berikan analisisnya!
Diketahui
: TC = 66Q3 + 55Q2 – 11Q + 5
Q=6
Ditanya
: TC, AC, MC pada saat Q = 6 ?
Jawab
:
TC
= 66 (6)3 + 55(6)2 – 11(6) + 5
= 14.256 + 1980 – 66 + 5
= 16. 175
AC
= TC / Q
= 16.175 / 6
= 2.695,83
MC
= TC’
= 198Q2 + 110Q – 11
= 198(6)2 + 110(6) -11
= 7.128 + 660 – 11
= 7.777
Analisis
:
Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 6 unit maka biaya total yang
dikeluarkan sebesar Rp. 16.175 dengan biaya rata-rata Rp. 2695,83 dan biaya marginal Rp. 7.777
MATEMATIKA EKONOMI 2
21
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 1.19 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Derivatif
Gambar 1.20 Tampilan Menu Awal Derivatif
MATEMATIKA EKONOMI 2
22
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
3. Pilih Mencari Fungsi Biaya
Gambar 1.21 Tampilan Menu Derivatif
4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter
Gambar 1.22Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2
23
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang
diketahui di soal.
Gambar 1.23 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya
6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Gambar 1.24 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya
MATEMATIKA EKONOMI 2
24
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
4.3 PENERIMAAN
4.3.1 Penerimaan Total (TR)
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi
.
TR = F(Q) = P . Q
4.3.2 Penerimaan Rata-Rata (AR)
Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
AR =
𝑇𝑅
𝑄
=
𝑃𝑥𝑄
𝑄
=P
4.3.3 Penerimaan Marginal (MR)
Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh
akibat pertambahan
penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.
MC = TR’ =
∆𝑇𝑅
∆𝑄
Contoh Kasus
Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 65Q + 5.
Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya?Berapakah besarnya penerimaan
total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 5 unit?
Berikan alasannya!
Diketahui
:
P = 65Q + 5
Q=5
Ditanya
:
Persamaan TR?
Besarnya TR, AR dan MR pada saat Q = 5?
MATEMATIKA EKONOMI 2
25
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Jawab
TR
Derivatif
:
=PxQ
= (65Q + 5) Q
= 65Q2 + 5Q
Jika Q= 5, maka :
TR
= 65Q2 + 5Q
= 65(5)2 + 5(5)
=1.625 + 25
=1.650
AR
= TR / Q
= 1.650 / 5
= 330
MR
= TR’
= 130Q + 5
= 130(5) + 5
= 650 + 5
= 655
Analisis
:
Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan makanan ringan saat penjualan 5
unit sebesar Rp. 1.650 dengan penerimaan rata-rata sebesar Rp. 330 dan
penerimaan marginal sebesar Rp. 655
MATEMATIKA EKONOMI 2
26
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 1.25 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Derivatif
Gambar 1.26 Tampilan Menu Awal Derivatif
MATEMATIKA EKONOMI 2
27
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
3. Pilih Mencari Fungsi Penerimaan
Gambar 1.27 Tampilan Menu Derivatif
4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2, kemudian tekan Enter
Gambar 1.28Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2
28
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang
diketahui di soal
Gambar 1.29 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan
6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagi berikut.
Gambar 1.30 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan
MATEMATIKA EKONOMI 2
29
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
4.4 LABA MAKSIMUM
Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum :
1.
Pendekatan Totalitas (Totality Approach)
2.
Pendekatan Rata – Rata (Average Approach)
3.
Pendekatan Marginal (Marginal Approach)
Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan Marginal (MR), laba maksimum
akan tercapai pada saat MR = MC. Laba (π dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi TC (dTC/dQ atau MC) sehingga MR –
MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau
kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.
Contoh Kasus
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -561Q +
5.555 dengan biaya variabel VC = 65Q2 – 1.115Q. Biaya tetap yang dikeluarkan
perusahaan sebesar 6.555.tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan
bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut? Analisislah!
Diketahui
: P = -561Q + 5.555
VC = 65Q2 - 1.115Q
FC = 6.555
Ditanya
: Q pada saat laba max?
Jawab
:
TR
=PxQ
= (-561Q + 5.555) Q
= -561Q2 +5.555Q
MATEMATIKA EKONOMI 2
30
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
TC
Derivatif
= VC + FC
= (65Q2 – 1.115Q) + 6.555
= 65Q2 – 1.115Q + 6.555
Laba/ Rugi
= TR – TC
= (-561Q2 + 5.555Q) – (65Q2 – 1.115Q + 6.555)
= -561Q2 + 5.555Q – 65Q2 + 1.115Q – 6.555
= -626Q2 + 6.670Q – 6.555
Laba Maksimum
Laba’
=0
-1.252Q + 6.676
=0
-1.252Q
= -6.676
= 5,33 → 5
Q
Saat Q = 5
Laba
= -626Q2 + 6.670Q – 6.555
= -626 (5)2 + 6.670 (5) – 6.555
= -15.650 + 33.350 – 6.555
= 11.145
Analisis:
Jadi, untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual produknya
sebanyak 5 unit sehingga keuntungan yang ia dapat sebesar Rp. 11.145.
MATEMATIKA EKONOMI 2
31
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 1.31 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Menu Derivatif
Gambar 1.32 Tampilan Menu Awal Derivatif
MATEMATIKA EKONOMI 2
32
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
3. Pilih Mencari Fungsi Laba
Gambar 1.33 Tampilan Menu Derivatif
4. Masukkan Pangkat Terbesar TR, sama dengan 2, kemudian Enter
Gambar 1.34 Tampilan Pangkat Terbesar
MATEMATIKA EKONOMI 2
33
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang
diketahui di soal:
Gambar 1.35 Tampilan Menu Input Data Laba Maksimum
6. Kemudian tekan Enter, lalu masukkan Pangkat Terbesar TC, sama dengan
2, kemudian tekan Enter
Gambar 1.36 Tampilan Menu Output Data Laba Maksimum
MATEMATIKA EKONOMI 2
34
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Derivatif
7. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang
diketahui di soal. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut
Gambar 1.37 Tampilan Quantitas
8. Kemudian masukkan nilai Kuantitas Barangnya. Maka akan muncul hasilnya sebagai berikut
Gambar 1.38 Tampilan Menu Output Data Laba Maksimum
MATEMATIKA EKONOMI 2
35
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
INTEGRAL TAK TENTU
1. KONSEP DAsSAR INTEGRALTAK TENTU
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral
tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan
dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari
fungsinya diketahui. Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah :
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑘
Dimana suku yang berada di sebelah kiri dibaca “integral dari f(x) terhadap x”
Keterangan :
∫
= Tanda integral
f(x)dx
= Diferensial dari F(x)
f(x)
= Integrand
F(x)
= Integral particular
k
= Konstanta pengintegralan
∫ X n dx =
Formula Integral
𝑋 𝑛+1
+
𝑛+1
k
Contoh
Jika diketahui suatu fungsi asal
: F(x)
= 𝑥² + 10
Fungsi turunannya
: f(x)dx
=
𝑑 𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
= 2x
Jika prosesnya dibalik (fungsi turunan f(x) diintegralkan), maka:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑘 = 𝑥²+ k
MATEMATIKA EKONOMI 2
36
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita mengintegralkan
fungsi turunan konstanta nilainya tetap dalam bentuk “k”. Nilai k tidak dapat diisi
dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai k tersebut sudah ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan
kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTU
Berikut ini adalah beberapa kaidah dalam integral tak tentu, diantaranya:
1. Formula pangkat
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝒏+𝟏
𝑛+1
+k
2. Formula logaritmis
1
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln𝑥 + k
3. Formula eksponensial
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + k
∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + k u = ƒ(x)
4. Formula penjumlahan
∫{𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)}𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝑘
5. Formula perkalian
∫ 𝑛𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑛 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
6. Formula subtitusi
𝑑𝑢
∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹 (𝑢) + 𝑘
MATEMATIKA EKONOMI 2
37
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
3. PENERAPAN EKONOMI
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan
fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya
diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi
total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari
fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.
2.1 Fungsi Biaya
TC (Total Cost)
= ∫MC dQ atau ƒ’(Q) dQ
AC (Average Cost)
=
𝑻𝑪
𝑸
Contoh Kasus
Diketahui fungsi biaya marjinal pada suatu perusahaan Aplamanda sebesar
𝑀𝐶 = 6𝑄 2 + 16𝑄 + 5. Bentuklah fungsi biaya total dan biaya rata-ratanya
apabila diketahui konstanta sebesar 6. Berapakah besarnya biaya total dan
biaya rata-rata jika kuantitasnya sebesar 61? Analisislah!
Diketahui : 𝑀𝐶 = 6𝑄 2 + 16𝑄 + 5
Ditanya
𝑘
= 6
𝑄
= 61
: Persamaan TC dan AC?
Besarnya TC dan AC jika 𝑄 = 61?
Jawab
:
𝑇𝐶 = ∫ 𝑀𝐶 𝑑𝑄
= ∫ 6𝑄 2 + 16𝑄 + 5 𝑑𝑄
6𝑄 3 162
=
+
+ 5𝑄 + 𝑘
3
2
MATEMATIKA EKONOMI 2
38
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
= 2𝑄 3 + 8𝑄 2 + 5𝑄 + 6
𝐴𝐶 =
=
𝑇𝐶
𝑄
2𝑄 3 + 8𝑄 2 + 5𝑄 + 6
𝑄
= 2𝑄 2 + 8𝑄 + 5 +
6
𝑄
Jika 𝑄 = 61, maka:
𝑇𝐶 = 2𝑄 3 + 8𝑄 2 + 5𝑄 + 6
= 2(61)3 + 8(61)2 + 5(61) + 6
= 2(226.981) + 8(3.721) + 305 + 6
= 453.962 + 29.768 + 305 + 6
= 484.041
𝐴𝐶 =
=
𝑇𝐶
𝑄
484.041
61
= 7.935,1
Analisis:
Apabila 𝑀𝐶 = 6𝑄 2 + 16𝑄 + 5 dan konstanta sebesar 6, maka fungsi biaya total dan fungsi biaya rata-rata adalah 𝑇𝐶 = 2𝑄 3 + 8𝑄 2 + 5𝑄 + 6 dan 𝐴𝐶 =
6
2𝑄 2 + 8𝑄 + 5 + 𝑄. Pada saat kuantitasnya sebesar 61 unit, maka biaya total
sebesar Rp 484.041 dan biaya rata-rata sebesar Rp 7.935,1.
MATEMATIKA EKONOMI 2
39
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
MATEMATIKA EKONOMI 2
40
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
3. Pilih Fungsi Biaya
Gambar 2. 3Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya
4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukkan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variable pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC sebesar c, yaitu 6, kemudian masukkan persamaan MC seperti yang
diketahui di soal. Klik Calculate.
Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya
MATEMATIKA EKONOMI 2
41
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nila Q seperti yang ada di
soal, yaitu 61. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2. 5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya
2.2 Fungsi Penerimaan
= ∫MR dQ atau ƒ’(Q) dQ
TR (Total Revenue)
AR (Average Revenue) =
𝑇𝑅
𝑄
Contoh Kasus
Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan
𝑀𝑅 = 66𝑄 2 + 16𝑄 + 5, maka bentuklah fungsi TR dan AR jika 𝑘 = 0 ? Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas
yang terjual sebesar 15 unit? Analisislah!
Diketahui : 𝑀𝑅 = 66𝑄 2 + 16𝑄 + 5
Ditanya
𝑘
=0
𝑄
= 15
: Persamaan TR dan AR?
Besarnya TR dan AR jika 𝑄 = 15?
MATEMATIKA EKONOMI 2
42
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Jawab
Integral Tertentu
:
𝑇𝑅 = ∫ 𝑀𝑅 𝑑𝑄
= ∫ 66𝑄 2 + 16𝑄 + 5 𝑑𝑄
=
66𝑄 3 16𝑄 2
+
+ 5𝑄 + 𝑘
3
2
= 22𝑄 3 + 8𝑄 2 + 5𝑄
𝐴𝑅 =
𝑇𝑅
𝑄
22𝑄 3 + 8𝑄 2 + 5𝑄
=
𝑄
= 22𝑄 2 + 8𝑄 + 5
Jika 𝑄 = 15, maka:
𝑇𝑅 = 22𝑄 3 + 8𝑄 2 + 5𝑄
= 22(15)3 + 8(15)2 + 5(15)
= 22(3.375) + 8(225) + 75
= 74.250 + 1.800 + 75
= 76.125
𝐴𝑅 =
=
𝑇𝑅
𝑄
76.125
15
= 5.075
Analisis :
Apabila 𝑀𝑅 = 66𝑄 2 + 16𝑄 + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah 𝑇𝑅 = 22𝑄 3 + 8𝑄 2 +
5𝑄 dan 𝐴𝑅 = 22𝑄 2 + 8𝑄 + 5. Pada saat kuantitasnya sebesar 15 unit, maka
besarnya biaya penerimaan yang masuk ke perusahaan tersebut adalah Rp
76.125, sedangkan besarnya penerimaan rata-rata adalah Rp 5.075.
MATEMATIKA EKONOMI 2
43
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 2. 6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2. 7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
MATEMATIKA EKONOMI 2
44
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
3. Pilih Fungsi Penerimaan
Gambar 2. 8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan
4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukkan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variable pada data soal, yaitu 2. Masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.
Gambar 2. 9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan
MATEMATIKA EKONOMI 2
45
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nila Q seperti yang ada di
soal, yaitu 15. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2. 10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan
2.3 Fungsi Produksi
TP (Total Produksi)
= ∫MP dX atau ƒ’(X) dX
AP (Produk Rata-Rata) =
X
𝑇𝑃
𝑋
= (Masukan / Input )
Contoh Kasus
Produk marjinal PT. Cahaya ditunjukkan oleh persamaan 66𝑋 2 + 5. Bentuklah
fungsi produk total dan fungsi produk rata-ratanya jika 𝑘 = 0? Berapakah
besarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 11 unit? Analisislah!
Diketahui :𝑀𝑃 = 66𝑋 2 + 5
Ditanya
𝑘
= 0
𝑋
= 11
: Persamaan TP dan AP?
Besarnya TP dan AP jika 𝑋 = 11?
MATEMATIKA EKONOMI 2
46
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Jawab
Integral Tertentu
:
𝑇𝑃 = ∫ 𝑀𝑃 𝑑𝑋
= ∫ 66𝑋 2 + 5 𝑑𝑋
=
66𝑋 3
+ 5𝑋 + 𝑘
3
= 22𝑋 3 + 5𝑋 + 𝑘
= 22𝑋 3 + 5𝑋 + 0
= 22𝑋 3 + 5𝑋
𝐴𝑃 =
=
𝑇𝑃
𝑋
22𝑋 3 + 5𝑋
𝑋
= 22𝑋 2 + 5
Jika 𝑋 = 11, maka:
𝑇𝑃 = 22𝑋 3 + 5𝑋
= 22(11)3 + 5(11)
= 22(1331) + 55
= 29.282 + 55
= 29.337
𝑇𝑃
𝑋
29.337
=
11
𝐴𝑃 =
= 2.667
Analisis :
Apabila 𝑀𝑃 = 66𝑋 2 + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi total produksi
𝑇𝑃 = 22𝑋 3 + 5𝑋 dan fungsi rata-rata produksi 𝐴𝑃 = 22𝑋 2 + 5. Jika masukan
MATEMATIKA EKONOMI 2
47
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
yang digunakan sebesar 11 unit, maka besarnya produk total adalah 29.337
unit, sedangkan produk rata-ratanya sebesar 2.667 unit.
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 2. 11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2. 12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
MATEMATIKA EKONOMI 2
48
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
3. Pilih Fungsi Produksi
Gambar 2. 13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi
4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukkan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variable pada data soal, yaitu 1. Masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.
Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi
MATEMATIKA EKONOMI 2
49
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nila Q seperti yang ada di
soal, yaitu 11. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi
2.4 Fungsi Utilitas
TU(Total Utilitas) = ∫MU dQ atau ƒ’(Q) dQ
Contoh Kasus :
Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan 𝑀𝑈 = 66𝑄 2 − 56𝑄 + 5 dan konstantanya sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika 𝑄 = 11?
Diketahui :𝑀𝑈 = 66𝑄 2 − 56𝑄 + 5
𝑘 = 0
𝑄 = 11
Ditanya
: Persamaan TU?
Besarnya TU jika 𝑄 = 11?
MATEMATIKA EKONOMI 2
50
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Besarnya TU jika 𝑄 = 11?
Jawab
:
𝑇𝑈 = ∫ 𝑀𝑈 𝑑𝑄
= ∫ 66𝑄 2 − 56𝑄 + 5 𝑑𝑄
=
66𝑄 3 56𝑄 2
−
+ 5𝑄 + 𝑘
3
2
= 22𝑄 3 − 28𝑄 2 + 5𝑄 + 𝑘
= 22𝑄 3 − 28𝑄 2 + 5𝑄
Jika 𝑄 = 11, maka:
𝑇𝑈 = 22𝑄 3 − 28𝑄 2 + 5𝑄
= 22(11)3 − 28(11)2 + 5(11)
= 22(1.331) − 28(121) + 55
= 29.282 − 3.388 + 55
= 25.949
Analisis :
Apabila 𝑀𝑈 = 66𝑄 2 − 56𝑄 + 5 dan konstanta sebesar 0, maka persamaan
fungsi utilitas totalnya adalah 𝑇𝑈 = 22𝑄 3 − 28𝑄 2 + 5𝑄. Jika kuantitasnya
sebesar 11 unit, maka besarnya utilitas total konsumen sebesar 25.949
2.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional
terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + bY
Karena,
Y=C+S
Maka, S = -a + (1-b)Y
MATEMATIKA EKONOMI 2
51
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan
(S) adalah integral dari MPS.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k = +a
S = ∫ MPS dY = F(Y) + k k = -a
Keterangan:
MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (ΔC) dengan perubahan Pendapatan Nasional (ΔY) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
MPS (Marginal Propensity to Saving)=Perbandingan antara besarnya perubahan
saving (ΔS) dengan perubahan Pendapatan Nasional (ΔY) yang mengakibatkan
adanya perubahan konsumsi tersebut.
k = a = Autonomous Consumption = konsumsi otonom menunjukkan besarnya
konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol
k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan
nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.
Dimana :
0,5 < MPC < 1
MPC + MPS = 1
MPC < 1 = menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahanpendapatan
digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkansisanya yaitu sejumlah
kecil merupakan tambahan tabungan.
MPC > ½ = menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan
untuk konsumsi.
MPC selalu positif =karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.
MATEMATIKA EKONOMI 2
52
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Contoh Kasus :
Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara Jepang, jika diketahui bahwa 𝑀𝑃𝐶 = 0,65 dan konsumsi autunomnya sebesar 15
milyar? Berapa besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan nasional negara Jepang sebesar 565milyar?
Diketahui : 𝑀𝑃𝐶 = 0,65
Konsumsi Otonomus = k = a = 15
Pendapatan Nasional = 565
Ditanya
: f(C) dan f(S)?
Besar C dan S?
Jawab
:
𝑀𝑃𝐶 + 𝑀𝑃𝑆 = 1
𝑀𝑃𝑆 = 1 − 𝑀𝑃𝐶
= 1 − 0,65
= 0,35
𝐶 = ∫ 𝑀𝑃𝐶 𝑑𝑌
= ∫ 0,65 𝑑𝑌
= 0,65𝑌 + 𝑘
= 0,65𝑌 + 15
𝑆 = ∫ 𝑀𝑃𝑆 𝑑𝑌
= ∫ 0,35 𝑑𝑌
= 0,35𝑌 − 𝑘
= 0,35𝑌 − 15
Jika (𝑌 = 565), maka:
𝐶 = 0,65𝑌 + 15
MATEMATIKA EKONOMI 2
53
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
= 0,65(565) + 15
= 367,25 + 15
= 382,25
𝑆 = 0,35𝑌 − 15
= 0,35(565) − 15
= 197,75 − 15
= 182,75
Analisis :
Apabila 𝑀𝑃𝐶 = 0,65 dan konsumsi autonomisnya sebesar 15, maka fungsi
konsumsi yang terbentuk adalah 𝐶 = 0,65𝑌 + 15. Sedangkan fungsi tabungannya adalah 𝑆 = 0,35𝑌 − 15. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar 565 milyar, maka konsumsi dan tabungan masyarakat negara Jepang sebesar 382,25 dan 182,75.
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka aplikasi EC-Math
Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
MATEMATIKA EKONOMI 2
54
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Konsumsi
Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi
MATEMATIKA EKONOMI 2
55
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar
15, kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,65. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi
5. Masukkan nilai Y sesuai data soal sebesar 565 pada kolom Y untuk menghitung nilai konsumsinya, klik Calculate.
Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi
MATEMATIKA EKONOMI 2
56
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
6. Setelah itu masuk ke menu Integral Tak Tentu. Lalu pilih Fungsi Tabungan.
Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui sebesar -15,
kemudian masukkan nilai MPS yaitu 0,35. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.21 Tampilan Menu Input Data Fungsi Saving
7. Masukkan nilai Y sesuai data soal sebesar 565 pada kolom Y untuk menghitung nilai savingnya, klik Calculate.
Gambar 2.22 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving
MATEMATIKA EKONOMI 2
57
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
INTEGRAL TERTENTU
1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU
Integral Tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses
pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah di tentukan.
Rumus Integral Tertentu :
b
∫ f(x)dx = [F(x)]ba = [F(b)] − [F(a)]
a
Keterangan :
∫ = Tanda Integral
a = Batas Bawah
f(x)dx = Diferensial dari F(x)
b = Batas Atas
f(x) = Integral
dimana a<b
F(x) = Integral Partikular
Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan nilai a = 1 dan nilai b = 5
pada persamaan ∫6x2 + 5x + 1 dx !
Jawab :
5
∫6x2 + 5x + 1 dx =[2𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 𝑥]15
= [2(5)3 + 2,5 (5)2 + 5] – [2(1)3 + 2,5 (1)2 + 1]
= [250 + 62,5 + 5] – [ 2 + 2,5 + 1]
= [317,5] – [5,5] = 312
MATEMATIKA EKONOMI 2
58
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
2. PENERAPAN EKONOMI
Integral Tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya Keuntungan Konsumen (Surplus Konsumen) dan Keuntungan Produsen (Surplus Produsen).
2.1 SURPLUS KONSUMEN = SK ( Consumer’s Surplus)
Surplus konsumen merupakan cerminan suatu keuntungan lebih/surplus
yang dinikmati oleh konsumen tertentu, berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu
barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukan oleh luas area di bawah kurva
permintaan (P= f(Q) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe)).
Catatan : Jika mencari SK/Cs maka harus memakai fungsi permintaan
Jika fungsi permintaan/ demand berbentuk D = f(Q) maka rumusnya :
𝑃̂
𝑄𝑒
CS = ∫0 𝑓(𝑄)𝑑𝑄 – Qe . Pe = ∫ 𝑓(𝑃)𝑑𝑃
Keterangan :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar
Pe = Tingkat harga keseimbangan dipasar
P̂ = Tingkat harga pada saat Q=0
P
Surplus Konsumen Cs
Pe
0
Qe
Q
Gambar 3.1 Grafik Surplus Konsumen
MATEMATIKA EKONOMI 2
59
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Contoh Kasus :
Diketahui fungsi permintaan barang Pd = 65 - 5Q dan fungsi penawaran Ps =
5 + 5Q, tentukanlah surplus konsumen dengan dua cara! Buatlah analisis dan
grafiknya!
Diketahui : Pd = 65 - 5Q
Ps = 5 + 5Q
Ditanya : Cs ?
Jawab :
Pd = Ps
P = 5 + 5Q
65 – 5Q = 5 + 5Q
P = 5 + 5(6)
-5Q –5Q = 5 – 65
Pe= 35
-10Q = -60
Qe = 6
Cara 1
𝑄𝑒
Cs = ∫0 𝑓(𝑄)𝑑𝑄 − 𝑄𝑒. 𝑃𝑒
6
= ∫0 [65 − 5𝑄]𝑑𝑄 − 6.35
5
= [65𝑄 − 2 𝑄 2 ]60 − 210
= [ 65(6) – 2,5(6)2] – [65(6) – 2,5(6)2] – 210
= 300 – 0 – 210
= 90
Analisis :
Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 90 karena konsumen
dapat membeli dengan harga Rp 35 padahal konsumen sanggup membayar
lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 35.
MATEMATIKA EKONOMI 2
60
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Langkah membuat kurva :
1. Pd = 65 – 5Q
Misal P = 0, maka 0 = 65 – 5Q
Q = 13
Misal Q = 0, maka P = 65 – 5(0)
P = 65
2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 6) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 35)
3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan luas segitiga, L = (a x t) : 2. Dengan a
= 6; t = 30. Maka nilai Cs atau luas segitiga yang diarsir adalah L = (6 x 30)
: 2 = 90
Surplus Konsumen atau
luas area berikut sebesar 90
P
65
35
0
6
13
Q
Gambar 3.2 Grafik Surplus Konsumen 1
MATEMATIKA EKONOMI 2
61
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Pilih materi Integral Tertentu, Surplus Konsumen 1 (Rumus 1)
Gambar 3.3 Tampilan Menu Integral Tertentu Surplus Konsumen 1
2. Masukan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Liat fungsi permintaannya), pilih 1 variabel
Gambar 3.4 Tampilan Rumus Ec-Math
MATEMATIKA EKONOMI 2
62
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
3. Masukkan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung maka akan tampil
jawabannya .
Gambar 3.5 Tampilan Output Surplus Konsumen Soal 1
Cara 2
Pd = 65 – 5Q
→ 5Q = 65 – P
Q = 13 – 0.2P
Jika : Q= P̂ 0 ;
= 65
𝑃̂
Cs = ∫𝑃𝑒 𝑓(𝑃)𝑑𝑃
65
= ∫35 [13 − 0,2𝑃] 𝑑𝑃
= [13𝑃 − 0,1𝑃2 ]65
35
= [13(65) – 0.1(65)2] – [13(35) – 0.1(35)2]
= [845 – 422,5] – [455 – 122,5]
= 422,5 – 332,5
= 90
MATEMATIKA EKONOMI 2
63
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Langkah-Langkah Menggunakan Software Ec-Math:
1. pilih materi Integral Tertentu, Surplus Konsumen 2 (Rumus 2)
Gambar 3.6 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2
2. Masukan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Liat fungsi permintaannya), pilih 1 variabel
Gambar 3.7 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 2
MATEMATIKA EKONOMI 2
64
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
3. Masukkan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung maka akan
tampil jawabannya
Gambar 3.8 Hasil Perhitungan Ec-Math Surplus Konsumen 2
2.2 SURPLUS PRODUSEN = SP ( Poducer’s Surplus)
Surplus Produsen menunjukan suatu keutungan lebih/surplus yang dinikmati
oleh produsen tertentu berkenaan dengan harga pasar dari barang yang ditawarkan.
Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva permintaan
(P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe). Rentang wilayahnya dibatasi
oleh Q= sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.
Catatan : Jika mencari SP/Ps maka harus memakai Fungsi Penawaran
𝑄𝑒
𝑃𝑒
Ps = Qe . Pe - ∫0 𝑓(𝑄)𝑑𝑄 = ∫𝑃̂ f(P)dP
Keterangan :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar
Pe = Tingkat harga keseimbangan dipasar
P̂ = Tingkat harga pada saat Q=0
MATEMATIKA EKONOMI 2
65
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Area Surplus Produsen
Gambar 3.9 Grafik Surplus Produsen
Contoh Kasus
Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran Ps = 51 + Q dan fungsi permintaam Pd = 55 – Q. Hitunglah surplus produsen? Buatlah analisisnya dan
grafiknya!
Diketahui : Ps = 51 + Q
Pd = 55 – Q
Ditanya : Ps ?
Jawab :
Pd = Ps
P = 51 + Q
55 – Q = 51 + Q
P = 51 + 2
-Q – Q = 51 – 55
Pe = 53
-2Q
= -4
Qe = 2
Cara 1 :
𝑄𝑒
Ps = Qe.Pe – ∫0 𝑓(𝑄)𝑑𝑄
2
= 2.53 – ∫0 [51 + 𝑄]𝑑𝑄
= 106 – [51𝑄 + 0,5𝑄 2 ]20
= 106 – [ 51(2) + 0,5(2)2] – [51(0) + 0,5(0)2]
MATEMATIKA EKONOMI 2
66
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
= 106 – 104
=2
nalisis :
Jadi produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp 2 dikarenakan perusahaan
dapat menjual barang dengan harga Rp 53 padahal sebenarnya ia bersedia
menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga leseimbangan pasar dengan
niai Rp 53.
Langkah membuat kurva :
1. Ps = 51 + Q
Misal P = 0, maka 0 = 51 + Q
Q = -51
Misal Q = 0 maka P = 51 +0
P = 51
2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 2) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 53)
3. Untuk area Ps dapat dihitung dengan rumus luas segitiga, L = (a x t) : 2.
Dengan a=2 ; t=2. Maka nilai Cs atau luas segita yang diarsir adalah L = (2
x 2) : 2 = 2
Ps = 51 + Q
Surplus Produsen, atau
sebesar 2
53
51
-51
0
2
Gambar 3.10 Grafik Surplus Produsen
MATEMATIKA EKONOMI 2
67
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math
1. Pilih materi Integral Tertentu, Surplus Produsen 1 (Rumus 1)
Gambar 3.11 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1
2. Masukan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Liat fungsi penawarannya), pilih 1 variabel
Gambar 3.12 Tampilan Rumus Ec-math Surplus Produsen 1
MATEMATIKA EKONOMI 2
68
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
3. Masukkan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung maka akan tampil
jawabannya
Gambar 3.13 Hasil Surplus Produsen 1
Cara 2
Ps = 51 + Q → Qs = P – 51
Jika : Q = 0 ; 𝑃̂
= 51
𝑃𝑒
Ps = ∫𝑃̂ 𝑓(𝑃)𝑑𝑃
53
= ∫51 [𝑃 − 51]𝑑𝑃
= [0,5𝑃2 − 51𝑃]53
51
= [ 0.5(53)2 – 51(53)] – [0.5(51)2 – 51(51)]
= [1404,5 - 2703] – [1300.5 - 2601]
= -1298.5 - (-1300.5)
=2
MATEMATIKA EKONOMI 2
69
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math
1. Pilih materi Integral Tertentu, Surplus Produsen 2 (Rumus 2)
Gambar 3.14 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2
2. Masukan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Liat fungsi penawarannya), pilih 1 variabel
Gambar 3.15 Tampilan Rumus Ec-Math
MATEMATIKA EKONOMI 2
70
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Integral Tertentu
3. Masukkan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung maka akan
tampil jawabannya
Gambar 3.16 Hasil Surplus Produsen 2
MATEMATIKA EKONOMI 2
71
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
TRANSEDENTAL
1. KONSEP DASAR TRANSEDENTAL
Transedental merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Transedental digunakan untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk dalam fungsi transendental
adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Namun pokok pembahasan di sini
hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial
maupun fungsi logaritmik keduanya memiliki hubungan yang erat, dikarenakan
fungsi logaritma adalah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau
sebaliknya.
2.1 Fungsi Eksponensial
Fungsi Eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat adalah
suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya.

Bentuk Fungsi Eksponens yang paling sederhana adalah:
Dimana : n > 0

Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah:
Dimana n ≠ 0
e
= 2,71828
k , c = konstanta
MATEMATIKA EKONOMI 2
72
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Hukum-hukum Eksponensial , antara lain :
1.
a0 = 1
2. a–k = 1/(a)k
3. a1/q =
a
4. aman
5. am/an = am-n
6. (am)k = amk
Contoh :
Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e0,15x -1, pada masing-masing sumbu
dan hitunglah f(6)!
Jawab:

Pada sumbu x ; y = 0
e0,15x – 1
=0
e0,15x
=1
Ln e0,15x
= Ln 1
0,15x Ln e
= Ln 1
0,15x
=0
x
=0
Titik potongnya (0 ; 0)
Ket :
Ln e = 1
Ln 1 = 0
MATEMATIKA EKONOMI 2
73
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar

Transedental
Pada sumbu y ; x = 0
y = e0,15x – 1
y = e0,15(0) – 1
y = e0 – 1
y=1–1
y=0
Titik potongnya (0 ; 0)

Untuk x = 6
y = e0,15x – 1
y = e0,15(6) – 1
y = e0,9 – 1
y = 2,718280,9 – 1
y = 2,4596 – 1
y = 1,4596
Titik potongnya (6 ; 1,4596)
2.2 Fungsi Logaritmik
Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk
menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 52 = 25 ini berarti bahwa eksponen
2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5. Sedangkan fungsi logaritma
adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma, seperti y = a
log x atau y = a + b log x.
Bentuk Fungsi Logaritmik yang paling sederhana adalah :
Dimana : n > 0
MATEMATIKA EKONOMI 2
74
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
n≠1
Bentuk Fungsi Logaritmik yang lebih umum adalah :
y = a Ln(1 + x ) + b
Dimana x > -1
Hukum-hukum atau rumus-rumus logaritma
1. Log a.b = log a + log b
2. Log a/b = log a – log b
3.
a
log b = log b / log a
4.
a
log b = c maka ac = b
5.
a
log a = 1
6. log xn = n log x
7.
a
log1
=0
8. a a log b = b
Contoh :
Tentukan titik potong kurva logaritmik y = -1,5 Ln(1 + x) – 1 , pada masingmasing sumbu dan hitunglah f(6)!
Jawab :

Pada sumbu x ; y = 0
-1,5 Ln(1 + x) – 1= 0
-1,5 Ln(1 + x)
=1
Ln (1 + x)
= -0,67
1+x
= e-0,67
1+x
= 0,5117
x
= -0,4883
Titik potongnya (-0,4883 ; 0)
MATEMATIKA EKONOMI 2
75
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar

Transedental
Pada sumbu y ; x = 0
y = -1,5 Ln(1 + x) – 1
y = -1,5 Ln(1 + 0) – 1
y = -1,5 Ln 1 – 1
y = -1,5 . 0 – 1
y = -1
Titik potongnya (0 ; -1)

Untuk x = 6
y = -1,5 Ln(1 + x) – 1
y = -1,5 Ln(1 + 6) – 1
y = -1,5 Ln 7 – 1
y = -2,9189 – 1
y = -3,9189
Titik potongnya (6 ; -3,9189)
2. PENERAPAN EKONOMI
Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dan
diimplementasikan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya
model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain:
MATEMATIKA EKONOMI 2
76
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK
Model bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial.
Model ini digunakan untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari jumlah
sekarang suatu pinjaman atau tabungan.
Jika suatu modal awal P dibunga majemukkan secara tahunan pada suku
bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :
Tetapi jika bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun, maka jumlah
di masa mendatang Fn adalah :
dimana :
Fn = Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun
P
= Jumlah saldo sekarang (tahun ke-0)
i
= Tingkat bunga pertahun
m
= Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
n
= jumlah tahun
Dalam hali ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variable) dan n se-
bagai variabel bebas ( independent variable). Dengan demikian, prinsip-prinsip
penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan dimodel ini.
Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu tahun (m
sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atau sering) maka jumlah
dimasa mendatang Fn adalah :
Dimana e = 2,71828
MATEMATIKA EKONOMI 2
77
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam seringkali dipraktekkan oleh para “ pelepas uang” atau “rentenir” atau “lintah darat” yang
kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m=360). Oleh karena itu, model ini dapat pula disebut
“model lintah darat”
Contoh Kasus :
Thova seorang fashion stylist akan mengembangkan usaha salonnya. Ia membutuhkan modal sekitar Rp 565.515.555,-. Untuk itu ia akan meminjam modal
ke sebuah bank swasta untuk jangka waktu 5 tahun dengan bunga 6% per tahun. Hitunglah :
a. Berapa rupiah jumlah yang harus dibayarkan Thova pada saat pinjamannya
jatuh tempo jika bunga diperhitungkan per kuartal!
b. Berapa rupiah jumlah yang harus dibayarkan oleh Thova pada saat pinjamannya jatuuh tempo jika bunga diperhitungkan per jam!
Diketahui :
Ditanya
:
P = 565.515.555
i = 0,06 (6%)
m=3
n=5
a.F5 per kuartal ?
b.F5 per jam ?
Jawab
:
a. Per kuartal (dengan rumus majemuk biasa)
1) Tanpa Menggunakan Logaritma
F5 = 565.515.555 (1 +
F5 = 565.515.555
F5 = 565.515.555 (1,3458)
F5 = 761.109.480
MATEMATIKA EKONOMI 2
78
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
2) Dengan Menggunakan Logaritma
F5
= 565.515.555
Log F5 = log 565.515.555 + 15 log 1,020
Log F5 = 8,7524 + 0,129
Log F5 = 8,8814
F5
= 761.026.886
b. Per jam (dengan rumus bunga majemuk sinabung)
1) Tanpa Menggunakan Logaritma Natural
F5 = 565.515.555 x e0,06*5
F5 = 565.515.555 x e0,30
F5 = 565.515.555 x 1,3498
F5 = 763.332.896
2) Dengan Menggunakan Logaritma Natural
F5 = 565.515.555 x e0,06*5
F5 = 565.515.555 x e0,3
Ln F5 = Ln 565.515.555 + 0,3 Ln e
Ln F5 = 20,1532 + 0,3
Ln F5 = 20,4532
F5 = 763.329.237
Analisis
:
Jumlah uang yang harus dibayar oleh Thova saat jatuh tempo apabila pembayaran bunga dihitung per kuartal adalah sebesar Rp 761.109.480,-. Sedangkan jika pembayaran bunga dihitung per jam, maka jumlah uang yang harus dibayar oleh Thova saat jatuh tempo adalah sebesar Rp 763.332.896,-.
MATEMATIKA EKONOMI 2
79
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka Software Ec-Math, lalu klik materi Transedental, klik Transedental
Gambar 4.1 Tampilan Menu Awal Transedental
2. Lalu pilih Model Bunga Majemuk
Gambar 4.2 Tampilan Menu Model Bunga Majemuk
MATEMATIKA EKONOMI 2
80
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, kemudian klik hasil maka akan
muncul jawaban dibawah data diketahui
Gambar 4.3 Tampilan Hasil Output Kasus 1
Catatan :
Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software Ec-Math
mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual menggunakan
pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan pada software Ec-Math tidak
menggunakan pembulatan.
2.2 MODEL PERTUMBUHAN
Model pertumbuhan tak lain juga bentuk fungsi eksponensial. Model ini tidak
saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dapat diterapkan
untuk menaksir variabel-variabel lain yang berkenaan dengan pertumbuhannya.
MATEMATIKA EKONOMI 2
81
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Dimana :
Pt
= Jumlah penduduk pada tahun ke-t
t
= Jumlah tahun
P1
= Jumlah penduduk pada tahun pertama (basis)
r
= Tingkat pertumbuhan
Agar model diatas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam
variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka
persamaan diatas dapat diubah bentuknya menjadi :
Dimana :
N
= Variabel yang sedang diamati
r
= Persentase pertumbuhan per satuan waktu
t
= Indeks tahun
Contoh Kasus :
ORIORI adalah salah satu perusahaan bidang Multi Level Marketing di Indonesia, mulai beroperasi sejak tahun 2011. Pada awal usahanya, perusahaan ini
menggunakan Personal Marketing Sales sebanyak 656 orang untuk seluruh Indonesia. Diperkirakan pertumbuhan Personal Marketingnya sebesar 15% per
tahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing yang dimiliki oleh ORIORI pada tahun 2015? Analisislah!
Diketahui : N = 656 orang
t = 5 tahun
r = 0,15
R = 1 + 0,15 = 1,15
MATEMATIKA EKONOMI 2
82
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Ditanya
Transedental
: N5 ?
Jawab
:
1) Tanpa Menggunakan Logaritma
Nt = N1 x R(t-1)
N5 = 656 x 1,15(5-1)
N5 = 656 x 1,154
N5 = 656 x 1,749
N5 = 1.147 orang
2) Dengan Menggunakan Logaritma
N5 = 656 x 1,15(5-1)
N5 = 656 x 1,154
Log N5 = log 656 + 4 log 1,15
Log N5 = 2,8169 + 0,2428
Log N5 = 3,0597
N5 = 1.147 orang
Analisis :
Dalam kurun waktu 5 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personal Marketing
Sales akan meningkat menjadi 1.147 orang, dengan jumlah penigkatan sebesar
491 orang.
MATEMATIKA EKONOMI 2
83
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka Software Ec-Math, lalu klik materi Transedental,
Gambar 4.4 Tampilan awal Transedental
2. Lalu pilih Model Pertumbuhan
Gambar 4.5 Tampilan Menu Model Pertumbuhan
MATEMATIKA EKONOMI 2
84
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, kemudian klik hasil maka akan
muncul jawaban dibawah data diketahui
Gambar 4.6 Tampilan Hasil Output Kasus 2
2.3 KURVA GOMPERTZ
Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat
kecil atau tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.
Dimana :
N
= Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati
c
= Batas jenuh pertumbuhan
a
= Proporsi pertumbuhan awal
r
= Tingkat pertumbuhan rata-rata
t
= indeks waktu
MATEMATIKA EKONOMI 2
85
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Contoh Kasus :
Diketahui PT.SENTOSA setiap bulannya selalu mengalami peningkatan
jumlah produksi sebesar 51% per bulan, dengan produksi awal sebesar 516
unit. Jika batas jenuh pertumbuhan sebesar 1.556, berapakah jumlah produk
yang akan dihasilkan oleh perusahaan pada bulan ke 5 ?
Diketahui : c = 1.556
x = 516
a=
r = 51% = 0,51
t=5
Ditanya
: N5 ?
Jawab
:
1) Tanpa Menggunakan Logaritma
N = c.a rt
N = 1556 x 0.3316 0,51^5
N = 1556 x 0.3316 0.034
N = 1556 x 0.963165446
N = 1498
2) Dengan Menggunakan Logaritma
N = c.a rt
N = 1556 x 0,3316 0,51^5
N = 1556 x 0,3316 0.034
LogN = log 1556 + 0,034 log 0,3316
LogN = 3,192009593 + 0,034 log 0,3316
LogN = 3,192009593 + 0,034 (-0,479385478)
LogN = 3,192009593 + (-0,016299106)
LogN = 3,175710487
N
= 1498
MATEMATIKA EKONOMI 2
86
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Analisis :
Jadi pada bulan ke-5 PT.SUKSES akan menghasilkan 1498 unit produk jika
produksi awalnya sebesar 516 unit dengan tingkat pertumbuhan 51% setiap
bulan, dan batas jenuh pertumbuhan 1.556
Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka
Software
Ec-Math,
lalu
klik
materi
Transedental,
Gambar 4.7 Tampilan Menu Awal Transedental
2. Lalu pilih Kurva Gompertz
Gambar 4.8 Tampilan Menu Kurva Gompertz
MATEMATIKA EKONOMI 2
87
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
3. Klik mencari N , Masukkan data yang diketahui pada soal, kemudian klik
hasil maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui
Gambar 4.9 Tampilan Hasil Output Kasus 3
2.4 KURVA BELAJAR (Learning Curve)
Metode ini lebih banyak digunakan kedalam penerapan ekonomi untuk menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel
waktu.
a. Bentuk Dasar
Dimana :
m = batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapai k,m,s > 0
b. Perilaku Produksi
MATEMATIKA EKONOMI 2
88
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Dimana :
P
= Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu
Pm = Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu
Ps= Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t=0)
t
= Indeks waktu
r
= Tingkat pertumbuhan produksi
c. Perilaku Biaya
Dimana :
C
= biaya total per satuan waktu
Cm = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) per
satuan waktu
Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode ( pada t = 0)
t
= Indeks waktu
r
= Persentase kenaikan biaya per satuan waktu
Contoh Kasus :
Pt. Nusantara Mampu Menghasilkan Kapasitas Produksi Maksimum Sebesar
65% pada awal produks dari kapasitas yang telah ditentukan. Namun manager
produksi perusahaan yakin bahwa produks dapat ditingkatkan sebesar 16% setiap bulan. Jika kapasitas produksi maksmum perusahaan sebesar 1.561 unit,
maka berapa unit produksi setelah produksi berlangsung selama 6 bulan?
Diketahui :
Pm
= 1.561
Ps
= 65% (1.561) = 1.014,65
r
= 16% = 0,16
t
=6
MATEMATIKA EKONOMI 2
89
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Ditanya : P6 ?
Jawab :
1) Tanpa menggunakan Logaritma
P6
= Pm – Ps x e-r.t
= 1.561 – 1.014 x e-0,16.6
= 1.561 – 1.014 x e-0,96
= 1.561 – 1.014 (0,3828)
= 1.561 – 388,1592
= 1.172,8408 → 1.172
2) Dengan menggunakan Logaritma
P6
= Pm – Ps x e-r.t
= 1.561 – 1.014 x e-0,16.6
= 1.561 – 1.014 x e-0,96
Ln P6
= 1.561 – 1.014 (-0,96 ln e)
= 1.561 – 1.014 (-0,96 .1)
= 1.561 – 1.014 (anti ln 0,96)
= 1.561 – 1.014 (0,3828)
= 1.561 – 388,1592
= 1.172,8408 → 1.172
Analisis :
Dengan kapasitas produksi maksimum sebesar 1.561 unit dan peningkatan
produksi 16% setiap bulannya, maka jumlah produksi yang dihasilkan perusahaan setelah 6 bulan adalah 1.172 unit
MATEMATIKA EKONOMI 2
90
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka Software Ec-Math, lalu klik materi Transedental, klik Transedental
Gambar 4.10 Tampilan Menu Awal Transedental
2. Lalu pilih Kurva Belajar (Learning Curve)
Gambar 4.11 Tampilan Menu Kurva Belajar
MATEMATIKA EKONOMI 2
91
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
Transedental
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, kemudian klik hasil maka akan
muncul jawaban dibawah data diketahui
Gambar 4.12 Tampilan Hasil Output Kasus
MATEMATIKA EKONOMI 2
92
ATA 15/16
Laboratorium Manajemen Dasar
DAFTAR PUSTAKA
ANDI. H. Johanes dan Budiono, Sri Handoko. 1994. Pengantar Matematika untuk
Ekonomi. Jakarta: LP3ES. Kalangi,
Assauri, Sofjan. 1996. Matematika Ekonomi, Edisi Baru. Jakarta: PT Raja Grafindo
Persada.
BPFE. Dumatubun, Pius Izak. 1999. Matematika Aplikasi Bisnis dan Ekonomi,
Edisi Pertama.
Chiang, Alpha C. 1986. Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jakarta: Erlangga
Dumairy. 1995. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi Kedua. Yogyakarta:
Dumatubun, Pius Izak. 1999. Matematika Aplikasi Bisnis dan Ekonomi, Edisi Pertama. Yogyakarta:
Joseph Bintang. 2006. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat.
Modul Matematika Ekonomi 2. Lab. Manajemen Dasar Periode ATA 2014/2015.
Riyanti Esty, Hedwigis (2008). Matematika Ekonomi Bisnis 2, Penerbit: PT.
Grasindo, Jakarta.
Sessu, A. 2014. Pengantar Matematika Ekonomi. Jakarta: Bumi Aksara
Teguh, Muhammad. 2014. MATEMATIKA EKONOMI. Jakarta: Rajawali Per.
Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 2002
Yusuf. 1999. Manual Matematika Ekonomi. Yogyakarta: UGM Press
MATEMATIKA EKONOMI 2
93
ATA 15/16