ISSN 2354-6948 40 - Universitas Panca Marga Probolinggo

ISSN 2354-6948
KONGRUENSI SEGIEMPAT
(Dikaji Berdasarkan Kongruensi Segitiga)
Nurul Saila
Staf Pengajar Universitas Panca Marga Probolinggo
[email protected]
(diterima: 21.12.2014, direvisi: 28.12.2014)
Abstrak
Kongruensi segiempat masih mengacu pada definisi kongruensi poligon. Segiempat dapat
dibentuk dari dua segitiga dengan sebuah sisi sekutu (diagonal). Untuk menunjukkan dua segitiga
kongruen, terdapat dua postulat dan satu teorema yang bisa digunakanyaitu (1) postulat sisi-sudutsisi, (2) postulat sudut-sisi-sudut dan (3) Teorema sisi-sisi-sisi.
Kajian teori ini bertujuan untuk merumuskan teorema yang dapat digunakan untuk
menunjukkan segiempat-segiempat kongruen.
Dari kajian ini disimpulkan bahwa dua segiempat kongruen jika terdapat suatu
korespondensi diantara titik-titik puncaknya sedemikian sehingga: (1) tiga sisi dan dua sudut yang
diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen dengan bagian-bagian yang
berkorespondensi dari segiempat kedua. (2) dua sisi yang bersisian dan diagonal yg ditarik dari titik
potong kedua sisi itu, dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen
dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua. (3) dua sisi yang berhadapan
dan diagonal serta sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dengan sisi-sisi itu dari segiempat
pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua.(4) dua
sudut yang berhadapan dan diagonal serta sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dan terletak
pada sisi yang sama dari diagonal segiempat pertama kongruen dengan bagian-bagian yang
berkorespondensi dari segiempat kedua.(5) keempat sisi dan satu diagonal segiempat pertama
kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua.
Kata kunci: Kongruensi, Segitiga, Segiempat.
ABCDEF
PENDAHULUAN
PQRSTU
(1) A ↔P, B↔Q, C↔R, D↔S, E↔T, F↔U;
Kongruensi
(2)
Kongruensi dinotasikan dengan “
“.Definisi
ruas garis-ruas garis yang kongruen adalah ruas garis;
ruas garis yang mempunyai ukuran sama,
. Sedangkan definisi sudut-
(3)
sudut yang kongruen adalah sudut-sudut yang
mempunyai ukuran sama, ∠A
∠B
u∠A = u∠B.
Berdasarkan definisi poligon-poligon yang
kongruen, maka segitiga-segitiga yang kongruen
Kongruensi Segitiga
adalah dua segitiga, dimana ketiga sisi dari segitiga
Segitiga adalah poligon yang mempunyai tiga
sisi. Biasanya segitiga dinotasikan dengan “∆”.
Definisi kongruensi segitiga mengacu pada definisi
kongruensi poligon. Definisi poligon-poligon yang
korespondensi satu-satu diantara titik-titik puncaknya
sedemikian sehingga:
Semua sisi yang berkorespondensi kongruen, dan
b.
Semua sudut yang berkorespondensi kongruen.
kongruen
dengan
tiga
sisi
yang
berkorespondensi dari segitiga kedua dan ketiga sudut
dari segitiga pertama kongruen dengan ketiga sudut
yang berkorespondensi dari segitiga kedua.
kongruen adalah dua poligon dimana terdapat suatu
a.
pertama
∆ ABC
∆ DEF
dan ∠A
∠D, ∠B
∠E, ∠C
∠F.
Terdapat dua postulat dan satu teorema untuk
membuktikan segitiga-segitiga kongruen, yaitu:
40
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
1.
ISSN 2354-6948
Postulat Sisi-Sudut-Sisi:“ Dua segitiga kongruen
7
7
jika terdapat suatu korespondensi diantara titik-
Transitif (4, 6)
Jika dua sisi suatu segitiga
kongruen maka sudut-sudut
dihadapan
sisi-sisi
itu
kongruen(teorema)
Diketahui
Transitif (8, 2)
∠CAR
∠CRA
titik puncaknya sedemikian sehingga dua sisi dan
sudut apitnya dari segitiga pertama kongruen
8
9
secara berurutan dengan bagian-bagian yang
berkorespondensi pada segitiga kedua ”.
2.
Postulat
Sudut-Sisi-Sudut:“
kongruen jika terdapat suatu
Dua
segitiga
10
∠BAR
∠BRA
11
∠BAC
12
∆ABC
13
∆ABC
DEF
korespondensi
Jika dua sisi suatu segitiga
kongruen maka sudut-sudut
dihadapan
sisi-sisi
itu
kongruen(teorema)
Postulat penjumlahan dalam
kongruensi(7, 10)
Postulat sisi-sudut-sisi (9, 11,
7)
Jika dua segitiga kongruen
dengan segitiga yang sama
maka
ketiganya
saling
kongruen (12, 5) [Teorema]
diantara titik-titik puncaknya sedemikian sehingga
dua sudut dan sisi apitnya dari segitiga pertama
kongruen secara berurutan dengan bagian-bagian
yang berkorespondensi pada segitiga kedua ”.
3.
Teorema Sisi-Sisi-Sisi:“ Dua segitiga kongruen
jika terdapat suatu korespondensi diantara titiktitik puncaknya sedemikian sehingga tiga sisi dari
segitiga pertama kongruen dengan sisi-sisi yang
Segiempat
berkorespondensi pada segitiga kedua ”.
Pembuktian:
Segiempat adalah poligon yang mempunyai
empat sisi. Berdasarkan definisi poligon, maka definisi
Diketahui:
segiempat
adalah
Buktikan:
adalah
dengan
,
Bukti:
himpunan
ruas
titik-titik
garis-ruas
sedemikian
sehingga
garis
jika
sebarang dua ruas garis berpotongan maka titik
potongnya akan berupa
dan bukan (tidak
ada) titik yang lain.
No
1
2
3
4
5
6
Pernyataan
Pada titik B,
dibuat sudut
yang
konruen
dengan
∠DEF
(∠SBC
∠DEF)
Perpanjang
ke R,
sedemikian
sehingga
.
Alasan
Pada sebuah titik dari suatu
garis, ada suatu sudut yang
titik sudutnya titik itu dan
salah satu sisinya garis itu
sedemikian sehingga sudut
ini kongruen dengan
sebarang sudut yang
diketahui (Postulat)
Sinar dapat diperpanjang
menurut arahnya sejauh yang
diinginkan (postulat).
adalah
garis melalui
R dan C
Ada satu dan hanya satu
garis melalui dua titik
(postulat).
∆BRC
∆DEF
Diketahui
Postulat sisi-sudut-sisi (2, 1,
4)
Definisi kongruensi segitiga
P1
P2
P3
P4
disebut titik-
Himpunan titik-titik
titik
puncak
segiempat.
ruas
garis-ruas
garis
, disebut sisi-sisi segiempat.
Sudut-sudut ∠P1, ∠P2, ∠P3, ∠P4, disebut sudut-sudut
segiempat. Ruas garis-ruas garis yang menghubungkan
titik-titik
disebut
puncak
,
yang
disebut
berhadapan,
diagonal-diagonal
segiempat.
Segiempat diberi nama menurut nama titik-titik
puncaknya yang diambil searah jarum jam atau
berlawanan dengan arah jarum jam. Jadi, segiempat
41
Kongruensi Segiempat…
Saila, N.
diatas dapat diberi nama segiempat
atau
atau
atau
(searah jarum
jam) atau segiempat
atau
atau
A
B
atau
E
(berlawanan dengan arah
jarum jam).
D
Jenis-jenis Segiempat
1.
C
Persegipanjang ABCD mempunyai sifat-sifat:
Sisi-sisi yang berhadapan sejajar (
dan
)
2.
Sisi-sisi
yang
(
3.
berhadapan
kongruen
)
Keempat sudutnya siku-siku (u∠A = u∠C = u∠B
= u∠D = 90°)
Gambar 1. Jenis-jenis Segiempat
4.
Diagonal-diagonalnya sama panjang dan membagi
dua
Jajaran Genjang
Definisi jajaran genjang adalah suatu
sama
panjang
).
(
segiempat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar.
Sejajar dinotasikan dengan “ ∥ “. Jadi:
ABCD Jajaran genjang
dan
A
Persegi
Definisi persegi adalah suatu persegipanjang
.
dengan dua sisi bersisian kongruen. Jadi:
B
ABCD persegi
ABCD persegi panjang dan
E
atau
D
C
A
B
D
C
Jajaran genjang ABCD mempunyai sifat-sifat:
1.
Sisi-sisi yang berhadapan sejajar (
dan
)
2.
Sisi-sisi
yang
(
3.
berhadapan
kongruen
)
Persegi ABCD mempunyai sifat-sifat:
Sudut-sudut yang berhadapan kongruen (∠A ≅∠C
1.
Sisi-sisi yang berhadapan sejajar (
dan
dan ∠B ≅∠D)
4.
)
Diagonal-diagonalnya membagi dua sama panjang
2.
)
(
(
Persegi Panjang
3.
Definisi persegi panjang adalah suatu jajaran
)
Keempat sudutnya siku-siku (u∠A = u∠C = u∠B
= u∠D = 90°)
genjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku. Jadi:
ABCD persegipanjang
Keempat sisinya kongruen
4.
dan
Diagonal-diagonalnya sama panjang dan membagi
dua sama panjang
∠A atau ∠B atau ∠C atau ∠D merupakan sudut siku-
(
siku.
42
).
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
ISSN 2354-6948
Trapesium Samakaki
Belah Ketupat
Definisi trapesium samakaki adalah suatu
Definisi belah ketupat adalah suatu jajaran
genjang dengan dua sisi bersisian kongruen. Jadi:
trapesium dimana sisi-sisinya yang tidak sejajar
ABCD belah ketupat
kongruen. Jadi:
ABCD jajaran genjang dan
ABCD trapesium samakaki
atau
ABCD trapesium dan
.
≅
A
A
E
B
B
D
D
C
C
Trapesium samakaki ABCD mempunyai sifat-sifat:
Belah ketupat ABCD mempunyai sifat-sifat:
1.
Sisi-sisi yang berhadapan sejajar (
dan
1.
Mempunyai sepasang sisi sejajar (
2.
Sepasang sisi
)
2.
(
Keempat sisinya kongruen
(
3.
3.
)
yang tidak sejajar
kongruen
).
Sudut-sudut alas bawah dan alas atasnya kongruen
(∠D ≅∠C, ∠A ≅∠B).
Sudut-sudut yang berhadapan kongruen (∠A ≅∠C
, ∠B ≅∠D)
4.
≅
).
Kongruensi Segiempat
Diagonal-diagonalnya berpotongan tegaklurus dan
Segiempat dinotasikan dengan “□”. Segiempat
membagi dua sama panjang
adalah poligon yang mempunyai empat sisi. Sehingga
(
kongruensi segiempat mengacu pada kongruensi
).
poligon. Definisi poligon-poligon yang kongruen
adalah
Trapesium
dua
poligon
dimana
terdapat
suatu
korespondensi satu-satu diantara titik-titik puncaknya
Definisi trapesium adalah suatu segiempat yang
mempunyai satu dan hanya satu pasang sisi sejajar.
sedemikian sehingga:
Jadi:
a.
Semua sisi yang berkorespondensi kongruen, dan
b.
Semua sudut yang berkorespondensi kongruen.
dan
ABCD trapesium
A
.
Sehingga segiempat-segiempat yang kongruen adalah
B
dua segiempat dimana terdapat suatu korespondensi
satu-satu diantara titik-titik puncaknya sedemikian
sehingga:
D
Sisi-sisi yang sejajar,
trapesium.
dan
adalah alas atas dan
C
disebut alas
adalah alas
bawah. Sedangkan sisi-sisi yang tidak sejajar,
dan
a.
Semua sisi yang berkorespondensi kongruen, dan
b.
Semua sudut yang berkorespondensi kongruen.
Maka,
disebut kaki-kaki trapesium. Sudut-sudut ∠D dan
□
∠C disebut sudut-sudut alas bawah, sedangkan sudutsudut ∠A dan ∠B disebut sudut-sudut alas atas.
dan
43
ABCD
≅
□
PQRS
Kongruensi Segiempat…
Saila, N.
∠A ≅ ∠P, ∠B ≅ ∠Q, ∠C ≅ ∠R, ∠D ≅ ∠S.
Kongruensi Segiempat Berdasarkan Postulat Sisi-
Suatu Segiempat dapat dibentuk dari dua
Sudut-Sisi.
segitiga dengan sebuah sisi sekutu.
A
Postulat Sisi-Sudut-Sisi:
B
“
Dua
segitiga
korespondensi
kongruen
diantara
jika
terdapat
titik-titik
suatu
puncaknya
sedemikian sehingga dua sisi dan sudut apitnya dari
D
C
□ ABCD dibentuk oleh ∆ABD dan ∆BCD dengan sisi
sekutu
.
segitiga pertama kongruen secara berurutan dengan
bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga
kedua ”.
P
Jadi,
Q
,
atau
,
S
atau
R
.
□ PQRS dibentuk oleh ∆PQS dan ∆QRS dengan sisi
sekutu
.
Kajian 1
Jika ∆ ABD ≅ ∆PQS, berdasarkan definisi segitigasegitiga yang kongruen, maka :
, dan
1.
2.
.
Jika ∆BCD ≅ ∆QRS, berdasarkan definisi segitiga-
Pada □ABCD dan □PQRS di atas,□ABCD
segitiga yang kongruen, maka:
dapat dibentuk dari ∆ABC dan ∆ACD, dan □PQRS
, dan
1.
dapat dibentuk dari ∆PQR dan ∆PRS. Pada ∆ABC
2.
.
Karena
dan
dan ∆PQR, jika
maka ∠B
maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi, ∆ABC ≅
∆PQR. Sehingga
≅ ∠Q (postulat penjumlahan sudut).
maka
Karena
Jika
∠C ≅∠R maka ∠ACD ≅∠PRS. Dan jika
∠D ≅ ∠Q (postulat penjumlahan sudut).
maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi, ∆ACD ≅
Sehingga jika ∆ ABD ≅ ∆PQS dan ∆BCD ≅ ∆QRS
∆PRS. Sehingga □ABCD ≅ □PQRS.
maka:
Pembuktian:
1.
dan
2.
, ∠B ≅∠Q, ∠C ≅∠R, ∠D ≅ ∠S.
Yaitu □ABCD ≅ □PQRS.
Jadi
dengan
menunjukkan
dua
segitiga
yang
membentuk segiempat yang pertama masing-masing
kongruen dengan dua segitiga yang membentuk
segiempat kedua maka kedua segiempat kongruen.
PEMBAHASAN
44
Diketahui:
□ABCD dan □PQRS,
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
ISSN 2354-6948
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu
•
korespondensi
∠B ≅ ∠Q
satu-satu
diantara
titik-titik
puncaknya sedemikian sehingga tiga sisi dan dua
Buktikan:
∠C ≅ ∠R
sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat
□ABCD ≅ □PQRS
pertama
bagian-bagian
Bukti:
PERNYATAAN
1.
2.
3.
4.
5.
∠B ≅ ∠Q
∆ABC ≅ ∆PQR
∠CAB ≅∠RPQ
7.
10.
11.
∠C ≅ ∠R
∠ACD ≅∠PRS
∆ACD ≅ ∆PRS
12.
∠CAD ≅∠RPS
13.
∠A ≅ ∠P
14.
15.
∠D ≅ ∠S
16.
□ABCD ≅ □PQRS
(TERBUKTI)
secara
yang
berurutan
dengan
berkorespondensi
Kajian 2
Pada □ABCD dan □PQRS di atas, □ABCD
dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS
dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD dan
∆PQS, jika
dan ∠ABD ≅ ∠PQS dan
maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi,
∆ABD ≅ ∆PQR. Dan jika
dan ∠DBC ≅
∠SQR maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi
∆DBC ≅ ∆SQR. Akibatnya: □ABCD ≅ □PQRS.
Pembuktian:
Diketahui: □ABCD dan □PQRS,
∠DBC ≅ ∠SQR
adalah tiga sisi dari □ ABCD.
∠ABD ≅ ∠PQS
∠B adalah sudut yang diapit oleh sisi- sisi
Buktikan: □ABCD ≅ □PQRS
dan ∠C adalah sudut yang diapit oleh sisi-sisi
. Sedangkan
adalah
bagian-bagian
,
dari
□
Bukti:
∠Q dan ∠R
PQRS
dari
segiempat kedua.
ALASAN
Diketahui
Diketahui
Diketahui
Postulat sisisudutsisi(1,2,3)
Definisi
kongruensi ∆
(4)
Definisi
kongruensi ∆
(4)
Definisi
kongruensi ∆
(4)
Diketahui
Postulat
pengurangan
sudut(7,6)
Diketahui
Postulat sisisudutsisi(5,8,9)
Definisi
kongruensi ∆
(11)
Postulat
penjumlahan
sudut (5, 12)
Definisi
kongruensi ∆
(11)
Definisi
kongruensi ∆
(11)
Definisi
kongruensi □
(1,3,10,14;
2,8,13,15)
6.
8.
9.
kongruen
PERNYATAAN
yang
berkorespondensi satu-satu secara berurutan dengan
∠B dan ∠C dari □ ABCD. Jadi:
45
1.
2.
3.
4.
∠ABD ≅ ∠PQS
∆ABD ≅ ∆PQS
ALASAN
Diketahui
Diketahui
Diketahui
Postulat sisi-
Kongruensi Segiempat…
Saila, N.
sudut-sisi(1,2,3)
Definisi
kongruensi
segitiga(4)
Definisi
kongruensi
segitiga(4)
Definisi
∠ADB ≅∠PSQ
kongruensi
segitiga(4)
Diketahui
Diketahui
∠DBC ≅ ∠SQR
Postulat sisi∆DBC ≅ ∆SQR
sudut-sisi(3,9,8)
Definisi
∠BDC ≅ ∠QSR
kongruensi
segitiga(10)
Definisi
kongruensi
segitiga(10)
Definisi
∠C ≅ ∠R
kongruensi
segitiga(10)
Postulat
∠B ≅ ∠Q
penjumlahan
sudut(2,9)
Postulat
∠D ≅ ∠S
penjumlahan
sudut(7,11)
Definisi
□ABCD ≅ □PQRS
kongruensi □
(TERBUKTI)
(1,6,8,12;
5,13,14,15)
adalah dua sisi yang terletak
5.
Kajian 2
∠A ≅ ∠P
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
bersisian dari □ ABCD.
dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS
dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD dan
∆PQS, jika
adalah sudut yang diapit oleh sisi
maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi,
∆ABD ≅ ∆PQR. Dan jika
dan diagonal
. Sedangkan
∆DBC ≅ ∆SQR. Akibatnya: □ABCD ≅ □PQRS.
Pembuktian:
Diketahui: □ABCD
dan □PQRS,
∠DBC ≅
,
dan
∠SQR dan
∠PQS adalah bagian-bagian dari □PQRS yang
,
berkorespondensi secara berurutan dengan
∠SQR
∠ABD ≅ ∠PQS
Buktikan: □ABCD ≅
□PQRS
Bukti:
PERNYATAAN
, ∠DBC dan ∠ABD dari □ ABCD. Jadi:
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu
korespondensi
satu-satu
diantara
titik-titik
puncaknya sedemikian sehingga dua sisi yang
1.
2.
3.
4.
∠ABD ≅ ∠PQS
∆ABD ≅ ∆PQS
bersisian dan diagonal yg ditarik dari titik potong
kedua sisi itu, dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi
itu
dari
berurutan
segiempatpertama
dengan
dan ∠DBC ≅
∠SQR maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi
. ∠DBC
dan ∠ABD adalah sudut yang diapit oleh sisi
•
dan ∠ABD ≅ ∠PQS dan
adalah diagonal □ ABCD
yang ditarik dari titik potong sisi
diagonal
Pada □ABCD dan □PQRS di atas, □ABCD
kongruen
bagian-bagian
5.
∠A ≅ ∠P
secara
yang
6.
berkorespondensi dari segiempat kedua.
7.
46
∠ADB ≅∠PSQ
ALASAN
Diketahui
Diketahui
Diketahui
Postulat sisisudutsisi(1,2,3)
Definisi
kongruensi
segitiga(4)
Definisi
kongruensi
segitiga(4)
Definisi
kongruensi
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
ISSN 2354-6948
segitiga(4)
Diketahui
Diketahui
∠DBC ≅ ∠SQR
Postulat sisi∆DBC ≅ ∆SQR
sudutsisi(3,9,8)
Definisi
∠BDC ≅ ∠QSR
kongruensi
segitiga(10)
Definisi
kongruensi
segitiga(10)
Definisi
∠C ≅ ∠R
kongruensi
segitiga(10)
Postulat
∠B ≅ ∠Q
penjumlahan
sudut(2,9)
Postulat
∠D ≅ ∠S
penjumlahan
sudut(7,11)
Definisi
□ABCD ≅ □PQRS
kongruensi □
(TERBUKTI)
(1,6,8,12;
5,13,14,15)
adalah dua sisi yang terletak
bersisian dari □ ABCD.
dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS
dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD dan
adalah sudut yang diapit oleh sisi
maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi,
∆ABD ≅ ∆PQR. Dan jika
∆DBC ≅ ∆QSR. Akibatnya: □ABCD ≅ □PQRS.
Pembuktian:
Diketahui:
□ABCD dan □PQRS
∠ABD ≅ ∠PQS
dan diagonal
. Sedangkan
∠BDC ≅ ∠QSR
,
dan
∠SQR dan
Buktikan:
□ ABCD ≅ □ PQRS
Bukti:
∠PQS adalah bagian-bagian dari □PQRS yang
PERNYATAAN
(ss)
∠ABD ≅ ∠PQS
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu
1.
2.
3.
4.
∆ABD ≅ ∆PQR
korespondensi
5.
∠A≅ ∠P (sd)
6.
(ss)
berkorespondensi secara berurutan dengan
,
, ∠DBC dan ∠ABD dari □ ABCD. Jadi:
satu-satu
diantara
titik-titik
puncaknya sedemikian sehingga dua sisi yang
bersisian dan diagonal yg ditarik dari titik potong
kedua sisi itu, dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi
7.
∠ADB ≅∠PSQ
itu dari segiempat pertama kongruen secara
8.
9.
∠BDC ≅ ∠QSR
∠D ≅ ∠S (sd)
10.
11.
(ss)
∆DBC ≅ ∆QSR
12.
∠CBD ≅ ∠RQS
13.
∠B ≅ ∠Q (sd)
14.
∠C ≅ ∠R (sd)
berurutan
dengan
dan ∠BDC ≅
∠QSR maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi
. ∠DBC
dan ∠ABD adalah sudut yang diapit oleh sisi
•
dan ∠ABD ≅ ∠PQS dan
∆PQS jika
adalah diagonal □ ABCD
yang ditarik dari titik potong sisi
diagonal
Pada □ABCD dan □PQRS di atas,□ABCD
bagian-bagian
yang
berkorespondensi dari segiempat kedua.
Kajian 3
47
ALASAN
Diketahui
Diketahui
Diketahui
Postulat sisi-sudutsisi(1,2,3)
Definisi
kongruensi ∆(4)
Definisi
kongruensi ∆(4)
Definisi
kongruensi ∆(4)
Diketahui
Postulat
penjumlahan
sudut(7,8)
Diketahui
Postulat sisi-sudutsisi(3, 8, 10)
Definisi
kongruensi ∆(11)
Postulat
penjumlahan sudut
(2,12)
Definisi
Kongruensi Segiempat…
15.
Saila, N.
kongruensi ∆(11)
Definisi
kongruensi ∆(11)
Definisi
kongruensi □
(1,6,10,15;
5,9,13,14)
(ss)
16.
□ABCD ≅ □PQRS
(TERBUKTI)
dan
Pada □ABCD dan □PQRS di atas,□ABCD
adalah dua sisi yang berhadapan
dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS
adalah salah satu diagonal □
dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD dan
pada □ ABCD.
ABCD. Dan ∠ABD dan ∠DBC adalah sudut-sudut
∆PQS jika ∠ABD ≅∠PQS,
yang dibentuk oleh diagonal
.
≅∠PSQ maka berdasarkan postulat sudut-sisi-sudut,
, ∠PQS dan ∠SQR adalah
∆ABD ≅ ∆PQS. Dan jika ∠B ≅ ∠Q dan ∠D ≅ ∠S,
Sedangkan
,
,
dengan
dan
maka ∠ DBC ≅ ∠SQR dan ∠BDC ≅ ∠QSR. Sehingga
bagian-bagian dari □PQRS yang secara berurutan
kongruen dengan
,
,
dan ∠ADB
, ∠ABD dan ∠DBC.
∆ BDC ≅ ∆ QSR. Jadi □ABCD ≅ □PQRS.
Jadi:
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu
•
korespondensi
satu-satu
diantara
titik-titik
puncaknya sedemikian sehingga dua sisi yang
berhadapan dan diagonal serta sudut-sudut yang
Pembuktian:
Diketahui: □ABCD dan □PQRS
dibentuk oleh diagonal dengan sisi-sisi itu dari
segiempat pertama kongruen secara berurutan
∠ABD ≅∠PQS
dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari
segiempat kedua.
∠ADB ≅∠PSQ
∠B ≅ ∠Q
Kongruensi
Segiempat
Berdasarkan
Postulat
∠D ≅ ∠S
Sudut-Sisi-Sudut
Postulat Sudut-Sisi-Sudut:
“
Dua
segitiga
korespondensi
kongruen
diantara
jika
∠
terdapat
titik-titik
suatu
Buktikan:
puncaknya
Bukti:
sedemikian sehingga dua sudut dan sisi apitnya dari
segitiga pertama kongruen secara berurutan dengan
bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga
kedua ”.
Jadi,
∠A
,
≅∠P,
□ABCD ≅ □PQRS
atau
,
1.
2.
3.
4.
PERNYATAAN
∠ABD ≅∠PQS
∠ADB ≅∠PSQ
∆ABD ≅ ∆PQS
5.
(ss)
6.
(ss)
7.
∠A ≅∠P(sd)
8.
9.
∠B ≅ ∠Q (sd)
∠DBC ≅ ∠SQR
10.
11.
∠D ≅ ∠S(sd)
∠BDC ≅ ∠QSR
atau
∠A ≅∠P,
.
48
ALASAN
Diketahui
Diketahui
Diketahui
Postulat sudutsisi-sudut(1,2,3)
Definisi
kongruensi ∆(4)
Definisi
kongruensi ∆(4)
Definisi
kongruensi ∆(4)
Diketahui
Postulat
pengurangan
sudut(8,1)
Diketahui
Postulat
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
12.
∆ BDC ≅ ∆ QSR
13.
(ss)
14.
(ss)
15.
∠C ≅∠R(sd)
16.
□ABCD ≅ □PQRS
ISSN 2354-6948
pengurangan
sudut(10,3)
Postulat sudutsisi-sudut(9,2,11)
Definisi
kongruensi ∆(12)
Definisi
kongruensi ∆(12)
Definisi
kongruensi ∆(12)
Definisi
kongruensi □
(5,6,13,14;
7,8,10,15)
Pada □ABCD dan □PQRS di atas,□ABCD
dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS
dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD dan
∆PQS jika
,
dan
≅
maka
berdasarkan teorema sisi-sisi-sisi, ∆ABD ≅ ∆PQS.
B dan ∠D adalah sudut-sudut yang berhadapan
pada □ ABCD.
≅
adalah diagonal □ ABCD yang
Dan jika
dan
≅
≅
, maka berdasarkan
teorema sisi-sisi-sisi, ∆ BDC ≅ ∆ QSR. Jadi □ABCD
≅ □PQRS.
ditarik dari titik-titik sudut ∠B dan ∠D . Dan ∠ABD
dan ∠ADB adalah sudut-sudut yang dibentuk oleh
dengan sisi-sisi □ ABCD dan terletak
diagonal
pada sisi yang sama dari diagonal
∠Q , ∠S,
. Sedangkan
, ∠PQS dan ∠PSQ adalah bagian-bagian
Pembuktian:
Diketahui: □ABCD dan
□PQRS
dari □PQRS yang secara berurutan kongruen ∠B, ∠D,
, ∠ABD dan ∠ADB. Jadi,
•
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu
korespondensi
satu-satu
diantara
titik-titik
puncaknya sedemikian sehingga dua sudut yang
berhadapan dan diagonal serta sudut-sudut yang
dibentuk oleh diagonal dan terletak pada sisi yang
sama dari diagonal segiempat pertama kongruen
secara berurutan dengan bagian-bagian yang
∠B ≅ ∠Q
berkorespondensi dari segiempat kedua.
∠C ≅ ∠R
Kongruensi Segiempat Berdasarkan Teorema SisiSisi-Sisi
Buktikan:
□ABCD ≅
□PQRS
Teorema Sisi-Sisi-Sisi:
“Dua
segitiga
kongruen
jika
terdapat
titik-titik
puncaknya
ALASAN
Diketahui
kongruen dengan sisi-sisi yang berkorespondensi pada
Bukti:
PERNYATAAN
1.
≅
(ss)
2.
segitiga kedua ”.
3.
Diketahui
Jadi, jika pada ∆ ABC dan ∆ DEF berlaku:
4.
∆ABD ≅ ∆PQS
5.
∠A ≅∠P(sd)
6.
∠ABD ≅ ∠PQS
7.
∠ADB ≅ ∠PSQ
suatukorespondensi
diantara
sedemikian sehingga tiga sisi dari segitiga pertama
49
≅
(ss)
Diketahui
Teorema sisi-sisisisi(1, 2, 3)
Definisi kongruensi
∆(4)
Definisi kongruensi
∆(4)
Definisi kongruensi
Kongruensi Segiempat…
Saila, N.
8.
≅
(ss)
∆(4)
Diketahui
9.
≅
(ss)
Diketahui
10.
∆ BDC ≅ ∆ QSR
11.
∠C ≅∠R(sd)
12.
∠CBD ≅ ∠RQS
13.
∠CDB ≅ ∠RSQ
14.
∠B ≅ ∠Q(sd)
15.
∠D ≅ ∠S(sd)
16.
□ABCD ≅ □PQRS
yang
berkorespondensi
dari
segiempat
kedua.(postulat sisi-sudut-sisi)
3.
Teorema sisi-sisisisi(8,9,2)
Definisi kongruensi
∆(10)
Definisi kongruensi
∆(10)
Definisi kongruensi
∆(10)
Postulat penjumlahan
sudut (6, 12)
Postulat penjumlahan
sudut (7, 13)
Definisi kongruensi
□(1, 3, 8, 9; 5, 11, 14,
15)
dua sisi yang berhadapan dan diagonal serta
sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dengan
sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen
secara berurutan dengan bagian-bagian yang
berkorespondensi dari segiempat kedua.(postulat
sisi-sudut-sisi)
4.
dua sudut yang berhadapan dan diagonal serta
sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dan
terletak pada sisi yang sama dari diagonal
segiempat pertama kongruen secara berurutan
dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari
segiempat kedua.(postulat sudut-sisi-sudut)
keempat sisi
dari □ ABCD.
ABCD.
5.
adalah salah satu diagonal □
keempat
sisi
dan
satu
diagonal
segiempat pertama kongruen secara berurutan
dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari
Sedangkan
segiempat kedua.(teorema sisi-sisi-sisi)
adalah bagian-bagian dari □PQRS yang secara
berurutan
sehingga
kongruen
dengan
Saran
. Jadi,
•
Berdasarkan hasil kajian ini, maka penulis
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu
berharap ada yang tertarik untuk melakukan kajian
korespondensi
titik-titik
lebih lanjut tentang kongruensi bentuk-bentuk poligon
puncaknya sedemikian sehingga keempat sisi dan
yang lain atau kongruensi poligon secara lebih
satu diagonal segiempat pertama kongruen secara
spesifik.
berurutan
satu-satu
dengan
diantara
bagian-bagian
yang
berkorespondensi dari segiempat kedua.
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2005. Matematika
untuk SMP/MTs Kelas IX. Jakarta: Erlangga.
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Afrizal. 2010. Segitiga-Segitiga yang Sebangun.
diunduh
melaluihttp://afrizalmr.wordpress.com/category
/kesebangunan-segitiga/ pada tanggal 5 Maret
2013.
Berdasarkan konsep kongruensi segitiga, maka
dua
segiempat
korespondensi
kongruen
diantara
jika
terdapat
titik-titik
suatu
puncaknya
sedemikian sehingga:
1.
dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari
Asimtot. 2010. Segitiga Kongruen dan Sebangun.
diunduh
melaluihttp://asimtot.wordpress.com/2010/06/0
1/segitiga-kongruen-dan-sebangun/ pada
tanggal 5 Maret 2013.
segiempat kedua. (postulat sisi-sudut-sisi)
Lewis,
tiga sisi dan dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu
dari segiempat pertama kongruen secara berurutan
2.
dua sisi yang bersisian dan diagonal yg ditarik
dari titik potong kedua sisi itu, dua sudut yang
diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat pertama
kongruen secara berurutan dengan bagian-bagian
50
H. 1968. Geometry A Contemporary
course.New York: Van Nostrand Co.
Max Peter & William L.S. 1972. Fundamental
Geometry A Simplified Approach. New York:
Litton Educational Publishing Inc.
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
Moiss,
EE
&
Floyd,
Geometry.California:
Publishing Co.
ISSN 2354-6948
LD
Jr.
1975.
Addison
Wesley
Raharja,
Basuki.
2010. Kesebangunan
Segitiga. diunduh
melaluihttp://basukiraharja.wordpress.com/201
0/09/04/kesebangunan-segitiga/ pada tanggal 5
Maret 2013.
Tustanto, Wihdiasari, D dan Doh, Juliana JM. 2014.
Makalah Kongruensi dan Kesebangunan
Segiempat.
Diunduh
melalui
http://en.calameo.com/read/0033257636334e85
9f426 pada tanggal 3 April 2014.
Widya, Fia. 2014. Makalah Kesebangunan Segitiga
dan kongruensi Segitiga.diunduh melalui
http://litfia-kesebangunan-kongruensisegi3.blogspot.com/2014/03/makalahkesebangunan-segitiga-dan.html pada tanggal 3
April 2014.
51