Integral dan Persamaan Diferensial - "Darpublic" at ee

Sudaryatno Sudirham
Integral dan
Persamaan Diferensial
Bahan Kuliah Terbuka
dalam format pdf tersedia di
www.buku-e.lipi.go.id
dalam format pps beranimasi tersedia di
www.ee-cafe.org
Bahasan akan mencakup
1. Integral Tak Tentu
2. Integral Tentu
3. Persamaan Diferensial
1. Integral Tak Tentu
Pengertian-Pengertian
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk
mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
dy
= f (x )
dx
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini
disebut persamaan diferensial.
Contoh persamaan diferensial
dy
= 2 x2 + 5x + 6
dx
d2y
dx 2
+ 6 xy
dy
+ 3x 2 y 2 = 0
dx
Tinjau persamaan diferensial
dy
= f (x )
dx
Suatu fungsi y = F(x) dikatakan merupakan solusi dari persamaan
diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
dF ( x )
= f ( x)
dx
Karena d [F ( x ) + K ] = dF ( x) + dK = dF ( x) + 0 maka
dx
dx
dx
dx
fungsi y = F ( x ) + K juga merupakan solusi
dF ( x)
= f ( x)
dx
dapat dituliskan
dF ( x) = f ( x)dx
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
∫ f ( x)dx = F ( x) + K
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri
ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak
tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
Contoh:
Cari solusi persamaan diferensial
dy
= 5x 4
dx
ubah ke dalam bentuk diferensial
dy = 5 x 4 dx
Kita tahu bahwa d ( x 5 ) = 5 x 4 dx
oleh karena itu
∫
∫
y = 5 x 4 dx = d ( x5 ) = x5 + K
Contoh:
Carilah solusi persamaan
dy
= x2 y
dx
dy = x 2 y dx
y −1 / 2 dy = x 2 dx
(
1/ 2
d 2y
)= y
−1 / 2
kelompokkan peubah sehingga
ruas kiri dan kanan mengandung
peubah berbeda
1 
d  x 3  = x 2 dx
3 
dy
(
)
1 
d 2 y1 / 2 = d  x 3 
3 
Jika kedua ruas diintegrasi
2 y1 / 2 + K1 =
2 y1 / 2 =
1 3
x + K2
3
1 3
1
x + K 2 − K1 = x 3 + K
3
3
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk
memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini
dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
∫ dy = y + K
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
∫ ady = a ∫ dy
3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan
menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan
(n + 1).
∫
y n +1
y dy =
+ K,
n +1
n
jika n ≠ −1
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan
bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak
tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang
dimiliki oleh K.
yi = 10x2 +Ki
y = 10x2 100
100
y
-3
-1
K3
K2
K1
50
50
-5
y
1
3
x
5
kurva y = 10x 2
adalah kurva bernilai tunggal
-5
-3
kurva
-1
∫
1
3
x
5
10 x 3
dx = 10 x 2 + K
3
adalah kurva bernilai banyak
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan
menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Contoh:
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
v = at = 3t
kecepatan percepatan waktu
s ;0 tentukanlah
=3
posisi
Posisi benda pada waktu t = 0 adalah
benda pada t = 4.
Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
v=
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
ds
dt
a=
ds = vdt
dv
dt
2
t
s =. atdt = 3 + K = 1,5t 2 + K
2
∫
Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3
3 = 0 + K
sehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K = 3
s4 = 27
s = 1,5 t 2 + 3
Luas Sebagai Suatu Integral
Luas Sebagai Suatu Integral
Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y = f (x)
sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:
Apx
y
∆Apx
y = f(x) =2
2
0 p
x
x+∆x
∆Apx = 2∆x atau
lim
∆x →0
∆Apx
∆x
=
dApx
dx
= f ( x) = 2
x
q
∆A px
∆x
∫
= 2 = f ( x)
∫
Apx = dApx = 2dx = 2 x + K
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
0 = 2 p + K atau K = −2 p
A px = 2 x − 2 p
A pq = 2q − 2 p = 2(q − p)
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q
y
f(x+∆x )
f(x)
0 p
x
y = f(x)
x+∆x
q
x
Apx ∆Apx
∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
∆Apx = f(x)∆x
atau
∆Apx = f(x+∆x)∆x
∆A px = f ( x)∆x ≤ f ( x0 )∆x ≤ f ( x + ∆x)∆x
x0 adalah suatu nilai x yang
terletak antara x dan x+∆x
Jika ∆x → 0:
lim
∆x →0
∆A px
∆x
=
dA px
dx
= f ( x)
∫
A px = dA px =
∫ f ( x)dx = F ( x) + K
A pq = F (q) − F ( p) = F ( x)] qp
2. Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.
Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai
suatu limit.
y
y = f(x)
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas
segmen
0 p x2
xk
xk+1
xn q
x
Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
y
y
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)×∆xk
x
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q x
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+∆x)×∆xk
y
y
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)×∆xk
x
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q x
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+∆x)×∆xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
f ( xk )∆xk ≤ f ( x0k )∆xk ≤ f ( xk + ∆x)∆xk
n
n
n
k =1
k =1
k =1
∑ f ( xk )∆xk ≤ ∑ f ( x0k )∆xk ≤ ∑ f ( xk + ∆x)∆xk
Jika ∆xk → 0 ketiga jumlah ini mendekati
suatu nilai limit yang sama
Nilai limit itu merupakan integral tentu
y
y = f(x)
0 p x2
xk
xk+1
xn q
x
Luas bidang menjadi
Apq =
Apq =
q
∫p
q
∫p f ( x)dx
f ( x)dx = F ( x)]qp = F (q) − F ( p )
Luas Bidang
Definisi
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai
x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi
dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Luas antaray = x 3 − 12 x dan sumbu-x
dari x = −3 sampai x = +3.
Contoh:
y = x 3 − 12 x
∫
20
10
-4
-3 -2
0
-1 0
-10
-20
0

x
Aa =
( x 3 − 12 x)dx =
− 6x2 
−3
4
 −3
= −0 − (20,25 − 54) = 33,75
0
4
x
1
2
3
4
3

x
Ab = ( x 3 − 12 x)dx =
− 6x2 
0
4
 0
= 20,25 − 54 − (0) = −33,75
∫
3
Apq = Aa − Ab = 33,75 − (−33,755) = 67,5
4
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi
mengenai Apx, formulasi
A=
q
∫p f ( x)dx = F (q) − F ( p))
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian
baik di atas maupun di bawah sumbu-x
y
y = f(x)
A2
p
A3
A1
A pq =
A4
q
q
x
∫p f ( x)dx = F (q) − F ( p))
A pq = − A1 + A2 − A3 + A4
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
y1 = f1 ( x) berada di atas y2 = f 2 ( x)
y1
y
p
x
0
y2
x+∆x
Rentang p ≤ x ≤ q
dibagi dalam n segmen
q
x
Asegmen = ∆A px = { f1 ( x) − f 2 ( x)}∆x
∆Apx
jumlah semua segmen:
n
x = q − ∆x
1
x= p
∑ Asegmen = ∑ { f1( x) − f 2 ( x)}∆x
n →∞
Dengan membuat n menuju tak
q
Asegmen = { f1 ( x) − f 2 ( x)}dx
hingga sehingga ∆x menuju nol kita A pq = lim
p
1
sampai pada suatu limit
∑
∫
Jika y1 = 4 dan y 2 = −2
Contoh:
berapakah luas bidang antara y1 dan y2
dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.
A pq =
+3
∫−2
({4 − (−2)}dx = 6 x ]+−32 = 18 − (−12) = 30
2
Jika y1 = x dan y 2 = 4
Contoh:
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada
perpotongan antara y1 dan y2.
y2
y1 = y 2 → x 2 = 4 ⇒ x1 = p = −2, x2 = q = 2
4
y
y2
di atas
x
y1
y1
2
-2
-1
0
0
1
2
2
3 

x
2

(4 − x )dx =  4 x −
A pq =

−2
3 

 -2
− 8  16 − 16 32
 8 
−
=
8 −  −  − 8 −
=
3
3
3
3
3

 

∫
2
2
Jika y1 = − x + 2 dan y2 = − x
Contoh:
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
y
Batas integrasi adalah nilai x pada
perpotongan kedua kurva
4
2
y1
y1 = y2 → −x 2 + 2 = −x atau − x2 + x + 2 = 0
0
-2
-1
0
-2
y2
-4
y1 di atas y2
1
2
x
−1+ 12 + 8
−1− 12 + 8
x1 = p =
= −1; x2 = q =
=2
−2
−2
2
 x3 x 2

2

Apq = (− x + 2 + x)dx = −
+
+ 2 x 
 3

−1
2

 −1
∫
2
 8
  −1 1

=  − + 2 + 4 −  −
+ − 2  = 4,5
 3
  3 2

Penerapan Integral
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan
konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh
piranti ini selama 8 jam ?
Contoh:
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan
energi diberi simbol w, maka
p=
dw
dt
yang memberikan w =
∫ pdt
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas
bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan
satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam
adalah
w=
8
∫0
8
∫0
8
pdt = 100dt = 100t 0 = 800 Watt.hour [Wh]
= 0,8 kilo Watt hour [kWh]
Contoh:
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap
waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah
muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t =
0 sampai t = 5 detik ?
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
i=
∫
dq sehingga q = idt
dt
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
5
5
5
0,05 2
1,25
q = idt = 0,05tdt =
t
=
= 0,625 coulomb
0
0
2
2
0
∫
∫
Volume Sebagai Suatu Integral
Berikut ini kita akan melihat penggunaan
integral untuk menghitung volume.
Balok
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan
A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan
maka volume irisan ∆V adalah
A( x)∆x ≤ ∆V ≤ A( x + ∆x)∆x
q
∆x
V=
Volume balok V adalah
∑ A( x )∆x
p
luas rata-rata irisan antara
A(x) dan A(x+∆x).
Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil
A(x) sebagai pengganti maka kita
memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: V ≈
q
∑ A( x)∆x
p
Jika ∆x menuju nol dan A(x)
kontinyu antara p dan q maka :
q
q
A( x)∆x = ∫ A( x)dx
∑
p
∆x → o
V = lim
p
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
P
y
Q
O
x
A(x) adalah luas lingkaran dengan
jari-jari r(x); sedangkan r(x)
memiliki persamaan garis OP.
∆x
m : kemiringan garis OP
h : jarak O-Q.
V=
h
∫0
A( x)dx =
h
∫0
π[r ( x)] dx =
2
h
∫0
πm 2 x 2 dx
πm 2 h3 π(PQ/OQ) 2 h3
h
Vkerucut =
=
= πr 2
3
3
3
Jika garis OP memotong sumbu-y maka
diperoleh kerucut terpotong
Rotasi Bidang Sembarang
f(x)
y
0 a
A( x) = π(r ( x) )2 = π( f ( x) )2
b
x
∆x
V=
b
∫a
π( f ( x) )2 dx
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
f3(x)
f2(x)
y
f1(x)
0 a
b
∆x
x
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi
bagian. Pada gambar di samping ini
terdapat tiga rentang x dimana
fungsi linier kontinyu. Kita dapat
menghitung volume total sebagai
jumlah volume dari tiga bagian.
3. Persamaan
Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
2
Contoh:
5
 d3y 
 d2y 

 +
 + y = ex
2
 dx 3 
 dx 2 
x
+1




adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
Contoh:
y = ke − x adalah solusi dari persamaan
karena turunan y = ke − x
adalah
dy
+ y=0
dt
dy
= −ke − x
dt
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
− ke − x + ke − x = 0
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
Persamaan Diferensial Orde Satu
Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan
Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y )dy + g ( x)dx = 0
Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
∫ f ( y)dy + ∫ g ( x)dx) = K
Contoh:
dy
= ex− y
dx
Persamaan ini dapat kita tuliskan
dy e x
=
dx e y
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
e y dy − e x dx = 0
Integrasi kedua ruas memberikan:
∫
∫
e y dy − e x dx = K
y
x
sehingga e − e = K atau
e y = ex + K
Contoh:
dy 1
=
dx xy
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy =
dx
x
ydy −
atau
Integrasi kedua ruas:
∫
ydy −
dx
=0
x
∫
dx
=K
x
y2
− ln x = K
2
atau
y = ln x 2 + K ′
Persamaan Diferensial Homogen
Orde Satu
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
dy
 y
= F 
dx
x
Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
y
yang akan memberikan
v=
x
y = vx dan
dv
dy
dv
v+x
= F (v )
=
v
+
x
dx
dx
dx
dv
x
= F (v ) − v
Pemisahan peubah:
dx
dv
dx
=
F (v ) − v
x
dx
dv
+
=0
atau:
x v − F (v )
Contoh:
( x 2 + y 2 )dx + 2 xydy = 0
Usahakan menjadi homogen x (1 +
2
(1 +
Peubah baru v = y/x
y = vx
dy
dv
= v+ x
dx
dx
Peubah terpisah
dy
dx
dy
dx
y2
x
y2
2
)dx + 2 xydy = 0
y
dy
2
x
x
1 + ( y / x) 2
=−
= F ( y / x)
2( y / x )
1+ v2
=−
= F (v )
2v
)dx = −2
dv
1 + v2
=−
v+x
dx
2v
dv
1 + v2
1 + 3v 2
= −v −
=−
x
dx
2v
2v
dx
2vdv
dx
+
=0
atau
=−
2
2
x 1 + 3v
x
1 + 3v
2vdv
Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.
dx
2vdv
+
=0
2
x 1 + 3v
Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1 d (ln x )
=
x
dx
Kita coba hitung
d ln(1 + 3v 2 ) d ln(1 + 3v 2 ) d (1 + 3v 2 )
1
=
=
( 6v )
2
2
dv
dv
d (1 + 3v )
1 + 3v
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx 1 d ln(1 + 3v 2 )
+
dv = 0
x 3
dv
1
1
Integrasi ke-dua ruas:
ln x + ln(1 + 3v 2 ) = K = ln K ′
3
3
2
3 ln x + ln(1 + 3v ) = K = ln K ′
x 3 (1 + 3v 2 ) = K ′
(
)
x 3 1 + 3( y / x) 2 = K ′
(
)
x x2 + 3 y2 = K ′
Persamaan Diferensial Linier
Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier,
semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk
dy
+ Py = Q
dx
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
dy
a
+ by = f (t )
dt
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a
dy
+ by = 0
dt
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a
d ( f1 + f 2 )
dy
+ by = a
+ b( f1 + f 2 )
dt
dt
df
df
df
= a 1 + bf1 + a 2 + bf 2 = a 1 + bf1 + 0
dt
dt
dt
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.
Solusi Homogen
Persamaan homogen
a
dy
+ by = 0
dt
Jika ya adalah solusinya maka
dy a b
+ dt = 0
ya a
Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a +
sehingga
ya =
b
− t+K
e a
b
t=K
a
b
ln y a = − t + K
a
= K a e − (b / a )t
Inilah solusi homogen
Jika solusi khusus adalah yp , maka
a
dy p
dt
+ by p = f (t )
Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f (t ) = 0 → y p = 0
Jika f (t ) = A = konstan, → y p = konstan = K
Jika f (t ) = Ae αt = eksponensial, → y p = eksponensial = Ke αt
Jika f (t ) = A sin ωt , atau f (t ) = A cos ωt → y p = K c cos ωt + K s sin ωt
Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalah
ytotal = y p + K a e − (b / a )t
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
Contoh:
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv
+ 1000v = 0
dt
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv
+ 1000dt = 0
v
ln v = −1000t + K
v = e −1000t + K = K a e −1000t
Penerapan kondisi awal:
Solusi total:
12 = K a
v = 12e −1000t V
Contoh:
Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
dv
+ v = 12
dt
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
10 −3
Solusi homogen:
10
−3
dva
+ va = 0
dt
dva
+ 10 3 dt = 0
va
va = K a e −1000t
Solusi khusus:
v p = 12
Solusi total (dugaan):
karena f(t) = 12
vtotal = 12 + K a e −1000t
Penerapan kondisi awal:
Solusi total:
0 = 12 + K a
vtotal = 12 − 12e −1000t V
K a = −12
Contoh:
Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv
menghasilkan persamaan
+ 5 v = 100 cos 10 t
dt
Carilah solusi total.
Solusi homogen:
dv a
+ 5va = 0
dt
dv a
+ 5dt = 0
va
ln va + 5t = K
va = K a e −5t
Solusi khusus: v p = Ac cos 10t + As sin 10t
−10 Ac sin 10t + 10 As cos 10t + 5 Ac cos 10t + 5 As sin 10t = 100 cos 10t
10 As cos 10t + 5 Ac cos 10t = 100 cos 10t
−10 Ac sin 10t + 5 As sin 10t = 0
10 As + 5 Ac = 100
−10 Ac + 5 As = 0
As = 8 Ac = 4
Solusi total (dugaan): v = 4 cos 10t + 8 sin 10t + K a e −5t
Penerapan kondisi awal: 0 = 4 + K a
Solusi total :
v = 4 cos 10t + 8 sin 10t − 4e −5t
K a = −4
Bahan Kuliah Terbuka
Integral dan
Persamaan Diferensial
Sudaryatno Sudirham