Pendekatan nonparametrik dalam pendugaan

4 TINJAUAN PUSTAKA
Model Area Kecil
Model area kecil biasanya menggunakan model linier campuran dalam bentuk
(1)
dengan
adalah penduga langsung,
lah koefisien regresi,
adalah matriks peubah penyerta,
matriks konstan,
kenal sebagai pengaruh area kecil, dan
ada-
adalah vektor acak yang biasa divektor dari galat contoh (Rao, 2003).
Model (1) merupakan model berbasis area dengan satu peubah penyerta yang
dapat dinyatakan sebagai
(2)
(3)
dan
0,
terdistribusi sebagai
dan
0,
(Fay Herriot, 1979) ser-
ta bebas satu sama lain. Model di atas dikenal sebagai model Fay-Herriot. Da) dengan peu-
lam model Fay-Herriot hubungan antara penduga langsung (
bah penyerta ( ) diasumsikan linier. Dalam kenyataannya belum tentu hubungan keduanya itu linier ( Kismiantini, 2007). Penduga
diperoleh dengan
cara menghitung rata-rata terboboti dari penduga langsung
dan penduga sin-
tetik
dan
1
, yaitu
(4)
dengan asumsi
tidak
Jika
0,
1
diketahui.
diketahui,
′
∑
.
maka
penduga
, sehingga
dari
adalah
dan
(5)
5 Pendugaan MSE dapat dilakukan dengan metode jacknife, bootstrap atau seperti yang dilakukan oleh Prasadh Rao menggunakan BLUP.
Bila terjadi hubungan yang tak linier antara penduga langsung dan peubah penyerta dalam model (1), Mukhopadhyay dan Maiti (2004) memodifikasi
model Fay-Herriot tersebut ke dalam bentuk
(6)
(7)
dimana i = 1, 2, …, m menyatakan banyaknya area kecil. Fungsi
fungsi mulus yang mendefinisikan hubungan antara
dan
(6) dan (7) hubungan antara
dan
. adalah
. Dalam model
tidak harus linier sehingga memungkin-
kan dilakukan pemodelan dengan berbagai macam kemungkinan bentuk hudan
bungan antara
.
adalah rataan area kecil yang tidak teramati,
bebas dan identik dengan
0 dan
dan ragam contoh yang bebas dengan
0 dan
galat acak yang berdistribusi
, dan
, dengan asumsi
diketahui. Penggabungan persamaan (6) dan (7)
akan menghasilkan persamaan berikut
(8)
Pendekatan Berbasis Kernel
Mukhopadhyay dan Maiti (2004) menduga
dengan mengguna-
kan pendugaan kernel Nadaraya-Watson
∑
(9)
∑
dan
. adalah fungsi kernel dengan lebar jendela h serta
⁄
dengan K(.) memenuhi :
i.
K(.) simetri
ii.
K(.) terbatas dan kontinu pada daerah hasil
iii.
1
(sebut X )
6 Hasil pemulusan yang diperoleh dari metode pemulusan Kernel sangat
bergantung dari lebar jendela (h) yang digunakan. Semakin besar lebar
jendela yang digunakan, kurva pemulusan yang diperoleh akan semakin
mulus, yang menunjukkan bahwa bias pendugaan semakin besar dan
ragamnya semakin kecil. Sebaliknya, jika lebar jendela diperkecil, kurva
pemulusan akan semakin bergelombang mengikuti data dan mengakibatkan
bias yang semakin kecil serta ragam yang besar (Silverman, 1986). Pada penelitian ini rumus lebar jendela (h) yang dipakai adalah
/
(Silverman,
1986)
Terdapat beberapa macam fungsi kernel yang umum dikenal, antara
lain Box, Parzen, Triangle, Gaussian (Normal), dan lain-lain (Silverman,
1984). Dalam penelitian
ini fungsi kernel yang digunakan adalah kernel
Gaussian (Normal) yaitu
, ∞
√
berhubungan linier terhadap
Penduga
∞
, dan dapat ditulis sebagai
∑
(10)
dimana
(11)
∑
Dengan menggunakan kernel Nadaraya-Watson tersebut, penduga terbaik
dari rataan area kecil
adalah
|
dimana
Bila
1
dengan asumsi
dan
(12)
diketahui.
merupakan penduga dari
maka
1
(13)
Mukhopadhyay dan Maiti (2004) merumuskan penduga
max 0,
∑
sedangkan penduga MSE dari
1
sebagai
(14)
adalah
2
(15)
7 Namun demikian, nilai
pada persamaan (15) tidak dapat dihi-
tung karena ketiadaan informasi dari
dan
, sehingga
dalam penelitian ini akan digunakan pendekatan bootstrap untuk menduga
MSE dari
. Opsomer et. al. (2005) merumuskan penduga MSE bootstrap
sebagai berikut:
∑
dengan j adalah banyaknya populasi bootstrap,
area kecil ke-i dari populasi bootstrap ke-j, dan
rataan area kecil ke-i dari populasi bootstrap ke-j.
(16)
adalah penduga rataan
adalah ‘nilai sebenarnya’