Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

BENTUK PANGKAT , AKAR DAN LOGARITMA
Standar Kompetensi
Memahami dan menggunakan aturan dan sifat serta manipulasi Aljabar dalam
pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma.
Kompetensi Dasar
Menggunakan sifat, aturan dan manipulasi Aljabar dalam pemecahan masalah
akar, pangkat dan logaritma
I. Bentuk pangkat
I.1. Pangkat Bulat Positif
Definisi Bilangan berpangkat bulat positif
Misalkan n bilangan bulat positif dan a bilangan Real, bilangan a n mempunyai arti
a x a x a x … x a ( sebanyak n factor yang sama ). Bilangan a disebut basis atau
bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.
Contoh 1 : Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen
1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4
jawab : 45
3
2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 )
jawab : (- 2 )
æ1ö æ1ö æ1ö æ1ö
3. ç ÷ xç ÷ xç ÷ xç ÷
è5ø è5ø è5ø è5ø
4. 81
5. 256
6. 30.000
4
jawab :
jawab :
jawab :
jawab :
æ1ö
ç ÷
è5ø
34
44
3x104
I.2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif
Untuk m , n Î B + dan a Î R maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut
Bukti :
1. a m x a n = a m + n
2. a m : a n = a m -n
Bukti :
3. (a n ) = a mn
Bukti :
m
am
æaö
4. ç ÷ = m
b
èbø
Bukti :
5. (a x b ) = a m xb m
Bukti :
m
m
Contoh 2 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat
8x 5 y 6
4
4
1.
= ...
jawab : - x 5- 2 y 6-3 = - x 3 y 3
2 3
3
3
- 6x y
(2 x y )
2.
2
4x3 y
2
= ...
(2 x ) (4 y ) - (4 x y ) = ...
(4 xy ) + (6 x y )
3 2
3.
jawab :
3
2
2
jawab :
4x 4 y 2
= x 4-3 y 2-1 = xy
4x3 y
16 x 6 y 3 - 4 x 2 y 2
16 x 2 y 2 + 6 x 2 y 2
(
)
2 x 2 y 2 8x 4 y - 2
1
=
=
8x 4 y - 2
2 2
11
22 x y
I.3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol
Bukti :
1. Jika a ¹ 0, maka a 0 = 1
2
2
2
2. Jika n Î B dan a ¹ 0 maka a -n =
1
an
Bukti :
Contoh 3 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif
1
1
1. 2 - 4 = 4 =
16
2
1
1
-4
2. (- 3 x ) =
=
4
(- 3x ) 81x 4
LATIHAN 1
(
)
æ x2
1. Sederhanakan çç - 4
èy
ö
÷÷
ø
2
æ y -3 ö
.çç 2 ÷÷
è x ø
æ p -3 q 4 ö
2. Sederhanakan çç -2 3 ÷÷
èr s ø
2
3
æ 3 23 -2 15
çx y
6. Sederhanakan ç
1
ç z -14
è
æ p 3 r -3 ö
.çç - 4 4 ÷÷
èq s ø
a -2 + b -1
3. Sederhanakan -1
a + b -2
-3
5. Buktikan
-3
x +y
x -3 - y - 3
æxö
1 - çç ÷÷
è yø
1 10
ìé
2 2 -4 ù
ö
ïæ
7. íêêçç x 5 y 3 ÷÷ úú
ø ú
ïêè
û
îë
æ
: çç x
è
1
4
- 18 x -2 y 3
- 12 x -5 y 5
ü
öï
y ÷÷ý
øï
þ
1
2
-3
1
4
4
=
2
3
9. Sederhanakan
é 1
2ù
-2
-2
- (- 3) ú. (- 3) + (- 3) =
ê
-2
ë (- 3)
û
[
3
]
[( ) ] .[(8 ) ]
10. Sederhanakan 8 -2
3 5
3
TUGAS 1
1. Sederhanakan
-2
8. Tentukan nilai dari T = ab 3 c 4 , untuk
1
a = 100 , b = dan c = 0,01
8
ab -1 - a -1b
4. Sederhanakan
b -1 - a -2
æ xö
1 + çç ÷÷
è yø
=
-2
ö
÷
÷
÷
ø
6. Tulis dalam satu suku
1 1 1 1
1
+ + + +
2 4 8 16 32
6
0 -2
=
2. Sederhanakan (x -2 + y -2 )
-2
7. Tulis dalam bentuk
4
5
2m
2n
6
æ2ö
æ2ö
æ2ö
æ2ö
8ç ÷ - 4ç ÷ + 2ç ÷ + 6ç ÷
è3ø
è5ø
è3ø
è3ø
éæ a 2
3. Sederhanakan êçç 7
êëè b
ö
÷÷
ø
-3
æ a4 ö
.çç -3 ÷÷
èb ø
(
(
)
)(
5. Sederhanakan
II.
)
-2
=
(2 ) (2 )
(2 ) (2 )
Bentuk Akar
Pangkat Rasional
-2 4
3 -2
-2 2
5 3
ù
ú
úû
-1
8. Sederhanakan
a -4 - b -4
=
a - 2 - b -2
xy -1 - x -1 y
9. Sederhanakan
=
y -1 + x -1
4. Sederhanakan
é - 4 x 2 y 3 (- 2 xy )-2 ù
ê
ú
4 2
5
ë - 4x y - 2x y û
2
7
=
éæ
ç 1 1
10. Sederhanakan êç 3 . 1
êç a
b2
ëêè
3
ö ù
÷ ú
÷÷.abú =
ø ûú
Jika m , n bilangan bulat dan a Î Re al ,
maka
m
n
a = n am =
Bukti
( a)
n
m
Contoh 4 : Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana
2
5
1. a = 5 a 2
7
2
æ 212 ö
3
2
3
ç
÷
2. a
ç ÷ =a = a
è ø
1
3.
3
4 æ 4 ö3
=ç ÷ =
27 è 27 ø
3
3
4
1
= 34
27 3
Bilangan Irasional dan Bentuk Akar
Beberapa contoh bilangan irasional dalam bentuk akar : 0,2 , 3 , 7 , 3 2
Beberapa contoh bilangan yang ditulis dengan tanda akar, akan tetapi bukan
merupakn bentuk akar : 9 , 16 , 3 8 , 3 0,001
(i) Penjumlahan , pengurangan dan perkalian bentuk akar
1. m a + n a = (m + n ) a dengan a ³ 0
2. m a - n a = (m - n ) a dengan a ³ 0
3. a x b = ab dengan a ³ 0 dan b ³ 0
Contoh 5 :
1. 2 a - 5 a + 7 a = (2 - 5 + 7 ) a = 4 a
2.
(
(
)
2 3-2 2 = 3 2 -2 4 = 3 2 -4
)(
)
3. 2 - 3 2 + 8 = 4 + 16 - 6 - 24 = 2 + 4 - 6 - 2 6 = 6 - 3 6
(ii) Merasionalkan pecahan
Cara merasional:
a
Bentuk :
a
b
b
x
b
b
Cara merasional:
1
Bentuk :
1
a- b
a+ b
x
a+ b a- b
Cara merasional:
1
Bentuk :
1
a- b
a+ b
x
a+ b
a- b
Contoh 6 :
1.
2.
5
3
5
5
=
=
5
2
7+ 5
20
3
=
5
3
3
20
x
100 10 1
=
=
20
20 2
=
20
4
1- 3 41- 3
3.
=
x
=
= -2 1 - 3 = 2 3 - 2
1- 3
1+ 3 1+ 3 1- 3
4.
20
4
3
3
x
(
2
=
7+ 5
x
7- 5
7- 5
)
=
(
(
)
) (
)
2 7- 5
2 7- 5
=
= 7- 5
7-5
2
(iii) Menyederhanakan bentuk akar
Sifat – sifat
a.
a+ b=
(a + b ) + 2
ab
b. a - b = (a + b ) - 2 ab
untuk a > b > 0 , karena harus
merupakan bilangan-bilangan
positif
Bukti :
Bukti :
Contoh 7 :
1.
7 + 2 10 =
2.
8 - 2 15 =
(5 + 2) + 2
(5 + 3) - 2
LATIHAN 2
1. Sederhanakan
252 - 7 + 112 =
2. Sederhanakan
80 - 5 - 125 =
5x2 = 5 + 2
5 x3 = 5 - 3
6. Dengan merasionalkan penyebut,
4
sederhanakan :
=
5- 3
7. Sederhanakan : æç 3 + 6 + 3 - 6 ö÷
è
ø
2
3. Tentukan bentuk sederhana dari
6+4 2 =
4. Jika x = 2 - 5 dan y = 2 + 5
maka nilai x 2 - y 2 =
5. Sederhanakan dengan
merasionalkan penyebutnya :
8
=
3+ 5
TUGAS 2
1. Sederhanakan
2 150 - 5 54 - 7 48 =
2. Sederhanakan :
2 - 3 2 -5 3 =
(
)(
3. Sederhankan :
)
5
1
-2
=
6
6
8. Sederhanakan :
2 + 3 æç 2 - 3 ö÷ - 2 - 3 æç 2 + 3 ö÷ =
è
ø
è
ø
(
)
(
9.Sederhanakan :
10. Sederhanakan :
)
2+ 3
2 + 2+ 3
=
8
1
-2
=
15
15
6. Sederhanakan dengan merasionalkan
3- 6
penyebutnya ;
=
3- 2
7. Sederhanakan dengan merasionalkan
3
penyebutnya ;
=
5+ 2- 3
8. Sederhanakan :
(t -
)(
)
t 2 -1 t + t 2 -1 =
23 - 8 7 =
4. Sederhanakan :
5. Diketahui p = 3 + 5 dan
q = 3 - 5 . Tentukan nilai
( p + q )2
=
9. Sederhanakan :
4
27 - 8 11 =
10. Rasionalkan penyebut dari pecahan
3 2
6
berikut ;
=
3+ 6
2+ 3
III. Bentuk Logaritma
3.1 Definisi
a
log b = c « a c = b
a disebut basis atau bilangan pokok (a ¹ 1 dan a > 0)
b disebut numerus ( b > 0 )
c disebut hasil logaritma
Contoh 8 :
1. 3 log 27 = 3 karena 33 = 27
2.
2
( )
log 2 3 = 2 log 2
6
=6
3.2 Sifat-sifat Logaritma
1. a log(bxc )= a log b+ a log c
2. a log(b : c )= a log b- a log c
5. a log a = 1, a log1 = 0, a log a n = n
6.
an
log b m =
m a
x log b
n
3. a log b n = nx a log b
7. a
a
log b
=b
8. a log b.b log c.c log d = a log d
p
log b
1
4. log b = p
= b
log a
log a
a
Contoh 9 :
1. Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka nilai
log 6 = log(2 x3) = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781
2 8 log 3
= 3 8 log 3 = 3 p
23
2
2
2
log 2
log 2
3
3. Sederhanakan : 5 log 27 x 3 log 5= 5 log 33 x 3 log 5 =35 log 3 x 3 log 5 = 3
IV.
1. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana
Contoh 10 :
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x + 4 + 2 x + 1 = 3
Jawab :
x + 4 = 3 - 2x + 1
2. Diketahui 8 log 3 = p maka 4 log 9 =
8
log 9
=
8
log 4
8
log 3 2
=
x + 4 = 9 + (2 x + 1) - 6 2 x + 1
6 2x + 1 = x + 6
36(2 x + 1) = x 2 + 12 x + 36
72 x + 36 = x 2 + 12 x + 36
x 2 - 60 x = 0
x( x - 60) = 0
x1 = 0 atau x 2 = 60(tidak memenuhi)
( )
2. Diketahui : 8 x
Jawab :
(2 )
3x 2
2
= 16 , tentukan nilai x yang memenuhi
= 16 « 2 6 x = 2 4 « 6 x = 4 ® x =
2
3
3. Diketahui : 4 ( x +3 ) = 4 8 x +5 , tentukan nilai x yang memenuhi
Jawab :
2
2( x +3)
=2
æ x +5 ö
3ç
÷
è 4 ø
« 2 2 x +6 = 2
3 x +15
4
« 2x + 6 =
3 x + 15
9
« 8 x + 24 = 3 x + 5 ® x = 4
5
IV.2. Persamaan Logaritma Sederhana
Contoh 11 :
1. Diketahui : 2 log x + 2 log( x + 2) = 3 , tentukan nilai x yang memenuhi
Jawab :
2
log x( x + 2)= 2 log 2 3 « 2 log x 2 + 2 x = 2 log 8
(
)
« x + 2 x = 8 « x + 2 x - 8 = 0 « ( x - 2 )( x + 4 ) = 0 ® x1 = 2 atau x2 = -4 (tidak memenuhi)
2
2
2. Tentukan nilai x jika diketahui x = 10 x 100
Jawab :
x = 10 x 100 log 3-log 2
x = 10 x 100
log
2 log
1
log 9 - log 2
2
3
2
3
2
x = 10 x 10
9 45
x = 10 x =
4 2
LATIHAN 3
1. Tentukan nilai x yang memenuhi
log( x + 4) = log x + log 4
6. Tentukan nilai x yang memenuhi
2
persamaan 4 (x + x ) = 16
2. Diketahui 2 log 3 = a dan 5 log 2 = b .
Nyatakan 30 log 90 dalam a dan b
7. Tentukan nilai x yang memenuhi
x +1 + x -1
persamaan
x +1 - x -1
3. Tentukan penyelesaian dari
persamaan x + 6 - x - 1 = 1
8. Nilai x yang memenuhi persamaan
æ1ö
ç ÷
è3ø
-2 x
= 27
æ1
ö
ç x +1 ÷
è3
ø
adalah
4. Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian
dari persamaan
log x 2 = log( x + 3) + log 4 , hitunglah
x1 + x2
9. Nilai x yang memenuhi persamaan
2
log( x + 2 )+ ( x + 2 ) log 4 = 3 adalah
5. Tentukan x jika diketahui
10. Nilai x yang memenuhi persamaan
2
log 2 log x = 2 log 10- 2 log x 2 + 1 adalah
4
x +5
= 8
4
x +10
(
)
TUGAS 3
1. Diketahui 7 log 2 = a dan 2 log 3 = b . 6. Nilai x yang memenuhi persamaan
2x
Nyatakan 6 log 98 dalam a dan b
= 64 2 3 x . 8 3 x adalah
x+2
8
2. Tentukan nilai x yang memenuhi
log(2 x - 3) + log( x + 2 )
=1
log(6 x - 8)
3
3.
log 2 36- 3 log 2 4
3
log 5 12
=
7. log a + log a 2 + log a 3 + ... + log a n =
8. Nilai x yang memenuhi persamaan
x
log(3 x + 2 )= x log x 2 - 3 x + 10 = 0
adalah
(
)
4. Penyelesaian dari persamaan
2
6 x -3 x +8 = 36 x + 2 adalah x1 dan x2
dengan x1 > x2. Nilai dari x1 – x2 =
9. Tentukan nilai x yang memenuhi
2x + 1 - 2x - 1
persamaan
2x + 1 + 2x - 1
5. Nilai x yang memenuhi persamaan
x
log( x + 12) - 3. x log 4 + 1 = 0
adalah
10. Jika a dan b adalah akar-akar
3
2
2
persamaan 3 log (4 x +3) + 4 log ( x -1) = 49 ,
maka a + b =
LATIHAN ULANGAN HARIAN
1. Jika 7 log 2 = a dan 2 log 3 = b , maka
log 98 =
a
A.
a+b
a+2
B.
b+a
a +1
C.
b+2
6
a+2
a(b + 1)
b+2
E.
b(a + 1)
D.
2. Bentuk sederhana dari
1
3 -1
adalah
…
A. 2 3 + 2
1
1
3+
2
2
1 1
C. 3
2 2
B.
1 1
+
3
4 4
1 1
E. - 3
4 4
D. -
3. Bentuk
4.
5.
6.
7.
4
dapat disederhanakan
5- 3
menjadi…
A. 4 5 + 4 3
D. 2 5 + 2 3
B. 4 5 - 4 3
E. 2 5 - 2 3
C. 4 3 - 4 2
Nilai x yang memenuhi persamaan
2
log 2 log x = 2 log(10- 2 log x 2 ) + 1
adalah …
A. 4
D. 6
B. 16
E. 32
C. 12
Nilai x1 + x 2 yang memenuhi
persamaan log x 2 = log( x + 3) + log 4
adalah …
A. 4
D. -3
B. 3
E. - 12
C. -4
Nilai x yang memenuhi pertaksamaan
2
9
= 3 x adalah …
4 x -3
3
A. 1 atau 5
D. 5
B. –5 atau 1
E. – 1
C. – 5 atau –1
Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar
persamaan 2 x. log 9 + 2.3 x +1 + 9 = 0
maka nilai dari x1 + x 2 = …
A. log 3
B. log 2
C. 2
D. 3
E. 4
8. Himpunan penyelesaian dari
persamaan logaritma
2
log(2 x - 3) x
1
- log( x + 6 ) + 2
=1
2
log x
1+ log x
adalah …
A. 6
D. {3}
B. {6}
E. { 1 , 6 }
C. {1}
9. Bentuk paling sederhana dari
2
{ }
1
5-2 6
adalah …
A. 3 - 2
D. 2 + 3
B. 3 + 2
E. 5
C. 3 + 2
10. Jika x1 dan x adalah penyelsesaian dari
persamaan 27 x + 4 = 3 x
x1 + x 2 =…
A. –6
D. 6
B. –5
E.8
C. 6
2 -3 x + 3
, maka