SI217-021005-879-20 377KB Sep 17 2011 10

BAB VI
PENERAPAN DIFFERENSIASI
6.1 Persamaan garis singgung
Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m
adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah
penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 6.1.
y
dy
f(x + x)
y
f(x)
l
0
Gambar 6.1
l1
f(x)
x=dx
x
x+x
x
Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang
menyinggung titik (x,y) pada f(x) adalah
Jika garis tersebut menyinggung titik P(x1,y1) maka
kemiringannya adalah
Contoh 6.1
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva
y = x2 + x -3 di titik P(2,3)
Penyelesaian
Kemiringan garis singgung yang menyinggung titik P(2,3)
adalah
Persamaan garis : y = mx + n.
Karena menyinggung titik P(2,3) maka 3 = 5(2) + n  n = –7.
Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
y = 5x – 7
6.2 Persamaan garis normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis
singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui
bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian
kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus
dapat ditulis menjadi,
dimana m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah
kemiringan garis normalnya.
Contoh 6.2
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6)
pada kurva y = 3x2 – 2x + 5
Penyelesaian
Jadi,
Contoh 6.3
Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan
titik singgung pada t = 2
Penyelesaian
Titik singgung untuk t = 2 adalah (–2,12)
Persamaan garis singgung y = 12x + 36
5.3 Kelengkungan (Curvature)
Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi
seberapa cepatnya perubahan arah dari kurva di titik tersebut.
Jika perubahan arah suatu kurva di titik tertentu terjadi secara
berangsur-angsur maka harga kelengkungannya besar.
Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara mendadak
maka kelengkungannya kecil.
6.3.1 Jari-jari kelengkungan
y
C
R
Q
R
P

x
0
Gambar 6.2
Pada Gambar 6.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP
dan CQ berpotongan di titik C. Panjang busur PQ = s.
Jika jarak titik P dan titik Q sangan kecil, maka CP = CQ = R
dan panjang busur s  0. Telah diketahui bahwa panjang
busur suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut  adalah R.
Sehingga panjang busur,
s

x
Gambar 6.3
Perhatikan Gambar 6.3

y
Jadi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah
Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik (x1 ,y1) adalah
Contoh 6.4
Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 di titik (3,3)
Penyelesaian
5.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature )
y
Dari Gambar 6.4 didapat
LC = R cos 
LP = R sin 
h = x1 – LP
k = y1 + LC
C

R
k
L
P(x,y)

0
h
x
x1
Gambar 6.4
(6.7)
Contoh 6.5
Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 6.4
Penyelesaian
Jadi pusat kelengkungan adalah
6.4 Nilai ekstrim
Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjukkan
pada Gambar 6.5.
Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur,
tekanan atau pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap
waktu atau pengukuran lainnya.
Jika kita perhatikan Gambar 6.5, harga pengukuran meningkat
pada [x0 ,x1], menurun pada [x1 ,x2 ] dan seterusnya hingga
konstan pada selang [x6 , x7]
Definisi 6.4.1
Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2
adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka :
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) <
ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) >
iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga
Definisi 6.4.1
Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2
adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka :
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan
f(x1) < f(x2)
ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan
f(x1) > f(x2)
iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap
harga x1 dan x2
y
0
x0=a
x1
x2
x3
x4
x5
x6 x7
x
Gambar 6.5
Teorema 5.4.2
Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidaktidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b].
Contoh 6.6
Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk
selang-selang berikut a) [-2,0] ; b) (-3, 1) ; c) [-3,-2) ; d) (-1,1]
Penyelesaian
y
y
a
b
Pada selang [-2,0]
Maksimum =f(0)=6
 Minimum = f(-2) = 0

–2
0
x
Pada selang (-3,1)
Maksimum tidak ada
(tak kontinu pada x=-3)
Minimum tidak ada
(f tak kontinu pada x = 1)
–3
0 1
x
y
y

d
c

–3
–2
0
c) Pada selang [-3,-2)
Maksimum =f(-3)=0
Minimum tidak ada
(f tak kontinu pada x = -2)
x
–1
1
x
0
d) Pada selang (-1,1]
Maksimum tidak ada
(f tak kontinu pada x=-1)
Minimum = f(1) = 12
6.4.1 Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat
suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian
rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau
terkecil (minimum). Setiap harga f yang mempunyai harga
maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal.
Definisi 6.4.3
Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi
(domain) fungsi, maka
i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang
terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa
sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada (a,b).
ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang
terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa
sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada (a,b).
y
Maksimum
lokal
Minimum
lokal
0
a
x
b
x1
Gambar 6.7
c
x
Teorema 6.4.4
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b).
Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c
jika f’(c) = 0.
Teorema 6.4.5
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b).
Suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada
titik c jika f’(c) ada dan tidak sama dengan 0.
Teorema 6.4.6
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b].
Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c
jika f’(c) = 0.
Teorema 6.4.7
Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f,
maka f’(c)= 0
6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka
kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan
titik tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum
mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik
terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum
sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.
Teorema 6.4.8
Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S.
Jika c terletak pada S, maka :
i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x)  f(c)
untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.
ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x)  f(c)
untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang tertutup [a,b]:
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b)
2. Tentukan titik ujung
a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik
ujungnya adalah a dan b.
b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak
mempunyai titik ujung.
c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b]
maka titik ujungnya adalah b.
d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka
titik ujungnya adalah a.
3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari
nomor 1 diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.
5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar
dan terkecil yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang terbuka (a,b):
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar
dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(a)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar
dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(b)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar
dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Contoh 5.7
Jika diketahui f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai
maksimum dan minimum f pada selang tertutup [– 4,3]
Penyelesaian:
Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)
f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10
f’(x) = 6x2 – 6x – 12 = 0
6x2 – 6x – 12 = 0  6(x2 – x – 2) = 0  6(x–2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = –1
f(x1 ) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = –10
f(x2 ) = f(–1) = –2 – 3 + 12 + 10 = 17
Titik ujung : – 4 dan 3
f(– 4) = – 64 – 48 + 48 + 10 = – 54
f(3) = 54 – 27 – 36 + 10 = 1
Jadi : f(2) adalah minimum lokal
f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak
f(-4) adalah minimum mutlak
y
17
-4
-3
-2 -1 0
1
Gambar 6.8
2 3
x
6.5 Kecekungan dan kecembungan
Jika terdapat sebuah persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, maka
persamaan tersebut dapat ditulis menjadi,
atau
y
y
-r
0
r
x
-r
0
r
x
(a)
(b)
Gambar 6.9
x
Jika kita perhatikan Gambar 6.7 (a) maka akan terlihat bahwa
garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik
selalu berada pada bagian atas kurva pada selang terbuka (–r,r).
Sedangkan pada Gambar 6.7 (b) garis singgung yang
menyinggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada
selang terbuka (–r,r).
Bentuk Gambar 6.7 (a) biasanya disebut cembung keatas atau
cekung kebawah dan Gambar 6.7 (b) biasanya disebut cembung
kebawah atau cekung keatas.
Definisi 6.5.1
Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada
selang (a,b) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada
sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian
bawah kurva f.
Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas (cekung kebawah)
jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang
titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f.
Kurva f pada Gambar 6.10 cembung keatas pada selang (a,b)
dan cembung kebawah pada selang (b,c).
y
cembung ke bawah
cembung keatas
0
a
b
c
x
Gambar 6.10
Definisi 6.5.2
Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan
harga turunan kedua f pada x = xo atau f’’(xo) < 0 maka
kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung
keatas. Jika pada selang (a,b) harga f’’(xo) > 0, maka kurva f
pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.
Definisi 6.5.3
Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu
di titik x = xo. Jika f’’(xo) = 0 dan disekitar x = xo berlaku
f’’(x)>0 untuk x<xo dan f’’(x) < 0 untuk x>xo atau
berlaku f’’(x)<0 untuk x<xo dan f’’(x) > 0 untuk x>xo,
maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik belok dari kurva
tersebut.
Contoh 6.8
Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika
diketahui :
f(x) = 6 – 5x + x2.
Penyelesaian :
f(x) = 6 – 5x + x2 ; f’(x) = -5 + 2x ; f’’(x) = 2
Karena f’’(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka kurva
f cembung kebawah.
Contoh 6.9
Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan
daerah pada kurva f yang merupakan daerah cembung
kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva
yang dimaksud !
Penyelesaian :
f(x) = 2+x+3x2-x3
f’(x) = 1 + 6x – 3x2
f’’(x) = 6 – 6x
Daerah cembung keatas : f’’(x) = 6 – 6x < 0  x>1
Daerah cembung kebawah : f’’(x) = 6 – 6x > 0  x<1
Titik belok : f’’(x) = 6 – 6x = 0  x=1
6.6 Kecepatan dan percepatan sesaat
6.6.1 Kecepatan
Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan
sesaat, kiranya kita perlu mengetahui apa yang
dimaksud dengan kecepatan dan percepatan rata-rata.
Kecepatan rata-rata
pada bidang datar didefinisikan
sebagai
dimana s2 dan s1 adalah masing-masing posisi akhir
dan awal terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1
adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai posisi
akhir dan posisi awal.
Untuk selisih waktu (t) yang cukup besar, maka persamaan 6.8
hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk
suatu saat tertentu.
Sebetulnya persamaan 6.8 dapat digunakan untuk menentukan
kecepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat
kecil atau dalam bentuk rumus,
dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan
pertama dari lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau
dapat ditulis dalam bentuk s = s(t).
dimana v2 dan v1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal
terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang
dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal.
Untuk selisih waktu (t) yang cukup besar, maka persamaan 6.8
hanya dapat digunakan untuk menentukan percepatan rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung percepatan untuk
suatu saat tertentu.
Sebetulnya persamaan 6.10 dapat digunakan untuk menentukan
percepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat
kecil atau dalam bentuk rumus,
dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan
pertama dari kecepatan.
Contoh 6.10
Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan
s = 3t2 – 5t + 2, dimana t dalam detik dan s dalam satuan meter.
Tentukan panjang lintasan, kecepatan dan percepatan pada saat
t = 15 detik.
Penyelesaian
Untuk t = 15 detik
Didapat : s = 15(45 – 5) = 600 meter
v = 90 – 5 = 85 m/detik
a = 6 m/detik2